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Una campagna pubblicitaria
Un'agenzia pubblicitaria vuole pianificare la campagna di un certo prodotto servendosi dei seguenti tre canali: televisione, radio, riviste illustrate. Essa deve decidere quanti comunicati commerciali assegnare ad ogni canale per raggiungere il massimo numero possibile di potenziali consumatori, rispettando certi vincoli di budget. Nella tabella che segue sono indicati i costi relativi ad ogni canale e il numero di potenziali consumatori (complessivi o soltanto donne) raggiunti con un comunicato commerciale diffuso sui tre canali.
La campagna prevede un investimento di 420.000 € e questa somma non può essere superata; anzi, se possibile, deve essere spesa esattamente. Inoltre, vi vuole che Determina il numero ottimale di comunicati da diffondere su ogni canale. |
I comunicati da trasmettere sono: 30 per televisione, 50 per radio, 30 su riviste.
La motivazione di Pontormo (Reggio emilia):
Indichiamo con a, b, c il numero di comunicati via Tv, radio, riviste rispettivamente.
Cercheremo innanzitutto di studiare il caso in cui la somma viene interamente spesa, ossia il caso in cui
7.000a + 3.000b + 2.000c = 420.000 (*)
Le varie condizioni possono essere così espresse:
1. il numero di donne deve essere almeno di 20.000.000
300.000a + 200.000b + 100.000c >= 20.000.000
2. la spesa in pubblicità televisiva non deve superare la metà del totale
7.000a <= 210.000
3. i vincoli sul numero di comunicati
a >= 10 ; b >= 20 ; c >= 30
Posti tali vincoli, si deve cercare di ottenere il massimo numero di contatti; ciò significa trovare il massimo della funzione
f = 900.000a + 375.000b + 150.000c
Da (*) si ha c = (420 – 7a – 3b)/2; sostituendo e semplificando si ha il seguente sistema di disequazioni a due incognite:
a >= 10
b >= 20
a <= 30
7a + 3b <= 360
a – b <= 20
coniugato alla funzione da massimizzare f = 375.000a + 150.000b + 31.500.000
Si tratta di un classico problema di programmazione lineare risolvibile con metodo grafico.
La zona ammissibile sul sistema di assi cartesiani (a,b) é un trapezio delimitato dai punti P(10,20); Q(30,20), R(30,50) e S(10,290/3). Il massimo della funzione f si ha sul vertice R.
Pertanto a = 30, b = 50, c = (420 – 7*30 – 3*50)/2 = 30 e
f = 375.000*30 + 150.000*50 + 31.500.000 = 50.250.000.
Nel caso in cui non si spenda tutto, il problema é analogo; la funzione da massimizzare é una retta parallela ad f con intercetta dell'asse b inferiore a quella di f; pertanto i valori che si ottengono sono inferiori a quelli ottenuti prima. In conclusione la soluzione ottimale é quella ottenuta in precedenza.
La motivazione di Giancod (Roma):
Infatti il rapporto "costo/potenziali consumatori" più conveniente è quello della tv, poi viene la radio ed infine le riviste.
Per ottenere il massimo numero di consumatori converrà allora mandare per tv il massimo numero di messaggi, che è 30, perchè la spesa per la tv non deve superare 210.000 E (30 x 7000 = 210.000).
A questo punto conviene mandare il massimo numero di messaggi per radio, che è 50, poichè almeno 30 messaggi devono essere affidati alle riviste ( (210.000 – (2000×30)) / 3000 = 50).
A questo punto non resta che verifificare che anche l'ultim condizione sia soddisfatta e cioè il numero di donne raggiunte superi i 20.000.000:
300.00×30+200.000×50+100.000×30 = 22.000.000.