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Argomenti del volume
- Nozioni fondamentali;
- Congruenze nei triangoli;
- Rette parallele
- Quadrilateri;
- Circonferenza;
- Proporzionalità e similitudine;
- Equiestensione e aree;
- Trasformazioni geometriche piane.
Dati per l'adozione a scuola
- Titolo: "Matematica C3 Geometria Razionale";
- Codice ISBN: 9788896354797;
- Editore: Skuola.Net - IV edizione revisione settembre 2017;
- Formato: ebook (PDF).
Obiettivi. Il progetto Matematica C3 ha per obiettivo la realizzazione di un manuale di matematica, per tutto il percorso scolastico e per ogni tipologia di scuola, scritto in forma collaborativa e con licenza Creative Commons. Si propone, quindi, di abbattere i costi dell'istruzione, ridurre il peso dei libri, invogliare gli studenti a usare il libro, promuovere l'autoformazione per chi è fuori dai percorsi scolastici. Ha inoltre l'ambizione di avviare una sfida culturale più ampia di una scuola più democratica, più libera, dove ognuno possa accedere gratuitamente almeno alle risorse di base. Autori. Il manuale è scritto in forma collaborativa da diverse decine di docenti di matematica sulla base della loro esperienza reale di insegnamento nelle diverse scuole. Alla sua realizzazione hanno contribuito anche studenti e appassionati. Tutti hanno contribuito in maniera gratuita e libera.
Contenuti. Matematica C3 si presenta come un work in progress sempre aggiornato e migliorabile da parte di tutti, docenti e studenti. Può essere liberamente personalizzato da ciascun insegnante per adeguarlo alla scuola in cui insegna, al proprio modo di lavorare, alle esigenze dei suoi studenti. è pensato non tanto per lo studio della teoria, che resta principalmente un compito dell'insegnante, quanto per fornire un'ampia scelta di esercizi da cui attingere per "praticare" la matematica. Lo stile scelto è quello di raccontare la matematica allo stesso modo in cui l'insegnante la racconta in classe di fronte agli studenti. Gli argomenti sono trattati secondo un approccio laboratoriale, senza distinguere eccessivamente tra teoria ed esercizi; teoria, esempi svolti, esercizi guidati, esercizi da svolgere vengono presentati come un tutt'uno.
Supporti. Matematica C3 è disponile in formato elettronico pdf completamente gratuito; i sorgenti LaTeX sono liberi. I diversi volumi che compongono l'opera possono essere stampati, fotocopiati in proprio o stampati in tipografia per le sole le parti che occorrono, in nessun caso ci sono diritti d'autore da pagare agli autori o all'editore. Il docente che vorrà sperimentare nuove forme d'uso può usarlo in formato elettronico su tablet pc, netbook o più semplicemente pc portatili, può proiettarlo direttamente sulla lavagna interattiva (LIM) interagendo con il testo, svolgendo direttamente esempi ed esercizi, personalizzando con gli alunni definizioni ed enunciati; ricorrendo eventualmente a contenuti multimediali esterni presenti sui siti internet, confrontando definizioni e teoremi su Wikipedia, cercando sull'enciclopedia libera notizie storiche sugli autori, ricorrendo eventualmente a contenuti multimediali esterni presenti anche su www.skuola.net. A casa lo studente potrà usare il libro sullo stesso dispositivo che ha usato in classe (tablet, notebook) con le annotazioni e le modifiche fatte dall'insegnante, potrà svolgere gli esercizi sul computer o sul libro cartaceo, potrà scambiare file attraverso i social network o i sistemi di messaggistica istantanea, particolarmente diffusi tra i ragazzi.
Quarta edizione Modifiche sostanziali presenti in questa edizione: prima versione LATEX a cura di Daniele Masini, revisione dei risultati di alcuni esercizi, aggiunta di alcuni esercizi, correzioni di refusi.
Dati legali. Matematica C3 è rilasciato nei termini della licenza Creative Commons Attribuzione 3.0 Italia (CC BY 3.0) il cui testo integrale è disponibile al sito http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/deed.it
Dati tecnici per l'adozione del libro a scuola:
Titolo: Matematica C3, Geometria Razionale
Codice ISBN: 9788896354797
Editore: Skuola.Net - Anno di edizione: 2015
Formato: ebook (PDF).
Il coordinatore del progetto
prof. Antonio Bernardo
INDICE
CAPITOLO 1: NOZIONI FONDAMENTALI
1. Introduzione alla geometria razionale
2. Il metodo assiomatico, i concetti primitivi e le definizioni
3. Gli enti fondamentali della geometria
4. Prime definizioni
5. Confronto e operazioni fra segmenti e angoli
6. La misura
7. Poligoni e poligonale
8. ESERCIZI
CAPITOLO 2: CONGRUENZA NEI TRIANGOLI
1. Definizioni relative ai triangoli
2. Primo e secondo criterio di congruenza dei triangoli
3. Teoremi del triangolo isoscele
4. Terzo criterio di congruenza dei triangoli
5. Congruenza dei poligoni
6. ESERCIZI
CAPITOLO 3: RETTE PARALLELE
1. Primo teorema dell'angolo esterno
2. Rette perpendicolari
3. Rette parallele
4. Somma degli angoli interni di un triangolo
5. Somma degli angoli interni di un poligono
6. Generalizzazione dei criteri di congruenza dei triangoli
7. Disuguaglianze tra gli elementi di un triangolo
8. ESERCIZI
CAPITOLO 4: QUADRILATERI
1. Generalità sui quadrilateri
2. Trapezio e deltoide
3. Proprietà dei parallelogrammi
4. Parallelogrammi particolari
5. Corrispondenza di Talete
6. Conseguenze della corrispondenza di Talete
7. ESERCIZI
CAPITOLO 5: CIRCONFERENZA
1. Luoghi geometrici
2. Circonferenza e cerchio: definizioni e prime proprietà
3. Posizioni relative fra rette e circonferenze
4. Angoli nelle circonferenze
5. Proprietà dei segmenti di tangenza
6. Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza
7. Punti notevoli di un triangolo
8. Proprietà dei quadrilateri inscritti e circoscritti
9. Poligoni regolari
10. ESERCIZI
CAPITOLO 6: PROPORZIONALITà E SIMILITUDINE
1. La misura
2. Proporzionalità tra grandezze
3. Teorema di Talete, caso generale
4. Avere la stessa forma
5. La similitudine nei triangoli
6. Similitudine tra poligoni
7. Proprietà di secanti e tangenti ad una circonferenza
8. La sezione aurea
9. ESERCIZI
CAPITOLO 7: EQUIESTENSIONE E AREE
1. Estensione superficiale
2. Poligoni equivalenti
3. Aree dei principali poligoni
4. Teoremi di Pitagora e di Euclide
5. Applicazioni dei teoremi di Euclide e Pitagora
6. Applicazioni dell'algebra alla geometria
7. ESERCIZI
CAPITOLO 8: TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE PIANE
1. Generalità sulle trasformazioni geometriche piane
2. Le isometrie
3. Composizione di isometrie
4. Esercizi
Matematica C3 - Geometria Razionale
Manuale di geometria per il biennio della scuola secondaria di secondo grado terza edizione
Copyright © Skuola.Net 2017
Questo libro, eccetto dove diversamente specificato, è rilasciato nei termini della licenza Creative Commons Attribuzione 3.0 Italia (CC BY 3.0) il cui testo integrale è disponibile al sito http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/deed.it
Tu sei libero di Condividere - riprodurre, distribuire, comunicare al pubblico, esporre in pubblico, rappresentare, eseguire e recitare questo materiale con qualsiasi mezzo e formato Modificare - remixare, trasformare il materiale e basarti su di esso per le tue opere per qualsiasi fine, anche commerciale. Per maggiori informazioni su questo particolare regime di diritto d'autore si legga il materiale informativo pubblicato su www.copyleft-italia.it.
Coordinatori del progetto: Antonio Bernardo, Angela D'Amato, Anna Cristina Mocchetti, Claudio Carboncini.
Autori: Angela D'Amato, Antonio Bernardo, Cristina Mocchetti, Lucia Rapella, Gemma Fiorito.
Hanno collaborato: Francesco Camia, Erasmo Modica, Germano Pettarin, Nicola Chiriano, Luciano Sarra, Paolo Baggiani, Vittorio Patriarca, Giuseppe Pipino, Anna Battaglini-Frank, Dorotea Jacona, Eugenio Medaglia, Laura Todisco, Alberto Brudaglio, Luca Frangella, Alessandro Paolini.
Versione LaTeX: Daniele Masini
ISBN: 9788896354797
Sezione 1.3. Gli enti fondamentali della geometria 17
8
di Pasch
Trascuriamo in questa trattazione elementare l’assioma (X) e
q Osservazione 9
delle parallele
l’assioma (XI).
“essere congruente a”
Assiomi di congruenza 0
Assioma del trasporto di un segmento. Se sono due punti di una retta e è un punto
XII. A, B r A
0 0
sulla stessa retta (o fissato su un’altra retta ), si può sempre trovare un punto sulla
r B
0 0
retta (o su ), da una data parte rispetto ad , tale che il segmento sia congruente
r r A AB
0 0
al segmento (figura 1.7).
A B 0 0
La relazione di congruenza tra segmenti è transitiva, cioè se è congruente ad e
XIII. A B AB
00 00 0 0 00 00
è congruente ad allora è congruente ad .
A B AB A B A B 0 0
Siano e segmenti su una retta privi di punti comuni a parte e siano
XIV. AB BC r B, A B
∼
0 0 0 0 0 0
e segmenti su una retta privi di punti comuni a parte . Se e
B C r B AB A B
=
∼ ∼
0 0 0 0
, allora (figura 1.8).
BC B C AC A C
= = A B C r
0 0 0 0 0 0
A B A B r A B C r
F 1.7: Assioma XII F 1.8: Assioma XIV
IGURA IGURA
Prima di proseguire con gli altri assiomi premettiamo le seguenti definizioni.
semiretta
Chiamiamo la parte di retta costituita da un punto di essa, detto
Definizione 1.3.
origine della semiretta, e da tutti i punti che stanno dalla stessa parte rispetto all’origine.
O s
angolo
Si dice ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due
Definizione 1.4. lati
semirette aventi l’origine in comune; le semirette si dicono dell’angolo; l’origine comune
vertice
alle due semirette si dice dell’angolo (figura 1.9).
L’angolo individuato da tre punti è l’angolo formato dalla semiretta con origine
A, B, C
e passante per e dalla semiretta con origine e passante per Questo angolo si indica
B A B C.
con il simbolo Nei disegni si usa indicare l’angolo con un archetto che indica la parte di
A BC.
b
piano considerata. 0 0 0
XV. Dati un angolo ed una semiretta , esistono e sono uniche due semirette e
A BC B C B D
b
0 0 0
0 0
tali che sia l’angolo che sono congruenti all’angolo (figura 1.10);
B E, D
B C E B C A BC
c c b
8 chiamato così in onore del matematico tedesco Moritz Pasch (1843 - 1930) che ne mise in evidenza l’indeducibilità
dagli altri assiomi di Euclide, è uno degli assiomi che Hilbert aggiunse ai postulati di Euclide per renderli completi. Il
suo enunciato è il seguente: «Dati un triangolo nel piano, una retta che ne attraversi un lato in un punto che non sia
un estremo, deve necessariamente intersecare un altro dei due lati o il vertice in comune tra essi.»
9 si tratta del V postulato di Euclide, anche se nella tradizione didattica moderna esso viene in genere sostituito
dall’assioma di Playfair (più restrittivo): «Data una qualsiasi retta ed un punto non appartenente ad essa, è
r P
possibile tracciare per una ed una sola retta parallela alla retta data.»
P r
18 Capitolo 1. Nozioni fondamentali
r
lato
V angolo
vertice
angolo lato s
F 1.9: Le semirette e aventi l’origine comune, individuano due regioni del piano ognuna
r s, V
IGURA angolo.
delle quali è detta C E
B B 0
A C
D
F 1.10: Assioma XV
IGURA 0 0 00 00
0 00
La relazione di congruenza tra angoli è transitiva, cioè se e sono
XVI. A B C A B C
c c
0 0 00 00
0 00
≡
congruenti ad allora .
A BC, A B C A B C
c c
b
Assioma di continuità
Assioma di Archimede. Sulla retta che unisce due punti qualsiasi e si prende un punto
XVII. A B
, quindi si prendono i punti , , , . . . in modo che sia tra e , tra e
A A A A A A A A A
1 2 3 4 1 2 2 1
≡ ≡ ≡ ≡
, tra e , ecc. e che . . . allora tra tutti questi
A A A A AA A A A A A A
3 3 2 4 1 1 2 2 3 3 4
punti esiste sempre un punto tale che sta tra e (figura 1.11).
A B A A
n n
A A A
A A A A
A r
3 5 6
1 2 4 7
B
F 1.11: Assioma di Archimede (XVII)
IGURA
Assioma di completezza
XVIII. Ad un sistema di punti, linee rette e piani è impossibile aggiungere altri elementi in
modo tale che il sistema, così generalizzato, formi una nuova geometria obbediente a
tutti i cinque gruppi di assiomi. In altre parole, gli elementi della geometria formano un
sistema che non è suscettibile di estensione, nel caso in cui si considerino validi i cinque
gruppi di assiomi.
b Esercizi proposti: 1.33, 1.34, 1.36, 1.37, 1.38, 1.39, 1.40, 1.41, 1.42
Sezione 1.4. Prime definizioni 19
1.4 Prime definizioni
1.4.1 Semirette e segmenti
Nel paragrafo precedente abbiamo già introdotto alcune definizioni di base, necessarie per
enunciare tutti i postulati della geometria secondo l’assiomatizzazione di Hilbert. In questo
paragrafo costruiamo le prime definizioni. Per comodità del lettore riportiamo anche quelle
già date.
Partiamo dalla nozione generica di figura.
figura
Si chiama un qualsiasi insieme, non vuoto, di punti.
Definizione 1.5.
Questa definizione fa riferimento soltanto all’ente primitivo geometrico di punto.
Lo spazio non è considerato un ente primitivo, in quanto può essere ottenuto dalla seguente
definizione. spazio
Si chiama l’insieme di tutti i punti.
Definizione 1.6.
Risulta pertanto che una figura è un qualsiasi sottoinsieme dello spazio.
In base agli assiomi di ordinamento un qualunque punto su una retta divide la retta
P
in due parti, una è costituita dai punti che “seguono” l’altra è costituita dai punti che
P,
“precedono” P. semiretta
Si chiama la parte di retta costituita da un punto di essa, detto
Definizione 1.7.
origine della semiretta, e da tutti i punti che stanno dalla stessa parte rispetto all’origine.
Solitamente una semiretta viene indicata con una lettera latina minuscola.
Prendendo due qualsiasi rette dello spazio esse si possono trovare in diverse posizioni
reciproche, cioè una rispetto all’altra. complanari,
Due rette che appartengono ad uno stesso piano si dicono
Definizione 1.8. sghembe.
altrimenti si dicono
Due rette complanari ed che non hanno nessun punto in comune si
Definizione 1.9. r s
k
parallele
dicono e si scrive r s. incidenti.
Due rette che hanno un solo punto in comune si dicono
Definizione 1.10. coincidenti.
Se due rette hanno almeno due punti in comune sono
Definizione 1.11.
20 Capitolo 1. Nozioni fondamentali
m
u
r n
s v e sono parallele
m n
e sono coincidenti e sono incidenti
r s u v
F 1.12: Relazioni tra rette complanari
IGURA
F 1.13: Fascio proprio di rette
IGURA
Due rette non parallele possono appartenere a piani diversi, in questo caso
q Osservazione
non avranno punti in comune, sono cioè sghembe. Viceversa se due rette hanno un punto in
comune allora sono sicuramente complanari. Inoltre, se hanno più di un punto in comune le
rette coincidono, in questo caso ci sono infiniti piani che le contengono.
L’insieme di tutte le rette di un piano che passano per uno stesso punto
Definizione 1.12.
fascio proprio di rette, centro del fascio
è detto il punto in comune a tutte le rette si dice
(figura 1.13).
Prendendo su una retta due punti e la retta resta divisa in tre parti: la semiretta di
A B,
origine che non contiene la parte costituita dai punti compresi tra e e la semiretta di
A B, A B
origine che non contiene
B A. segmento
Si chiama l’insieme dei punti e e di tutti quelli della
Definizione 1.13. AB A B
estremi
retta che stanno tra e I punti e si dicono del segmento.
AB A B. A B
Un segmento viene indicato con le due lettere maiuscole dei suoi estremi.
estremo estremo
punti interni
r A B s
segmento AB
semiretta di origine semiretta di origine
A B
F 1.14: I punti e formano le due semirette ed e il segmento
A B r s, AB
IGURA
Due segmenti nel piano possono trovarsi in diverse posizioni reciproche. Alcune di esse
hanno un interesse per la geometria.
Sezione 1.4. Prime definizioni 21
consecutivi
Due segmenti si dicono se hanno in comune soltanto un
Definizione 1.14.
estremo (figura 1.15). I
A D L
G M
F E H
B C
segmenti consecutivi Segmenti non consecutivi
F 1.15: I segmenti e sono consecutivi perché hanno in comune solo il punto che è un
AB BC B
IGURA
estremo di entrambi; e non sono consecutivi perché hanno in comune solo il punto ma esso non
DE FG F
è estremo del segmento e non sono consecutivi perché non hanno nessun punto in comune.
DE; HI LM adiacenti
Due segmenti si dicono se sono consecutivi ed appartengono
Definizione 1.15.
alla stessa retta (figura 1.16). C G M
F
B I
L
E
A D H
segmenti adiacenti Segmenti non adiacenti
F 1.16: I segmenti e sono adiacenti perché hanno in comune solo l’estremo e giacciono
AB BC B
IGURA
sulla stessa retta; i segmenti e pur giacendo sulla stessa retta, non sono adiacenti poiché non
DE FG,
hanno alcun punto in comune; i segmenti e giacciono sulla stessa retta ma non sono adiacenti
HI LM
poiché hanno più di un punto in comune.
b Esercizi proposti: 1.43, 1.44, 1.45, 1.46, 1.47, 1.48, 1.49, 1.50
1.4.2 Semipiani e angoli semipiano
Si dice di origine la retta la figura formata dalla retta e da
Definizione 1.16. r r
una delle due parti in cui essa divide il piano (figura 1.17).
⊂
In un piano una qualsiasi retta dà origine a due semipiani distinti, che si dicono
π, r π
opposti.
semipiani convessa
Una figura si dice se, considerati due suoi qualsiasi punti, il
Definizione 1.17. concava
segmento che li unisce è contenuto nella figura. Si dice se esistono almeno due punti
per i quali il segmento che li unisce non è interamente contenuto nella figura (figura 1.18).
22 Capitolo 1. Nozioni fondamentali
π
semipiano r
semipiano
F 1.17: Semipiani opposti
IGURA P Q
F G
F 1.18: La figura è convessa, per qualsiasi coppia di punti interni a il segmento che li unisce è
F F
IGURA
interamente nella figura; la figura è concava perché unendo i punti e si ha un segmento che cade
G P Q
in parte esternamente alla figura. angolo
Ricordiamo la definizione di angolo già data: si dice ciascuna delle due parti in
lati
cui un piano è diviso da due semirette aventi l’origine in comune; le semirette si dicono
vertice
dell’angolo; l’origine comune alle due semirette si dice dell’angolo (figura 1.9).
piatto
Un angolo si dice se i suoi lati sono uno il prolungamento dell’altro.
Definizione 1.18. nullo
Un angolo si dice se è costituito solo da due semirette sovrapposte.
Definizione 1.19. angolo giro
È detto l’angolo che ha per lati due semirette sovrapposte e
Definizione 1.20.
che contiene tutti i punti del piano (figura 1.19).
angolo piatto angolo giro
O angolo nullo
A V B
angolo piatto
F 1.19: L’angolo a sinistra è piatto (sia quello sopra che quello sotto), gli angoli a destra,
ab
IGURA c
individuati dalle semirette coindicenti con origine in sono rispettivamente un angolo giro (quello
O,
esterno) e un angolo nullo (quello interno). concavo
Un angolo, i cui lati non appartengono alla stessa retta, si dice se
Definizione 1.21. convesso.
contiene i prolungamenti dei lati, se non li contiene si dice
Sezione 1.4. Prime definizioni 23
angolo convesso
angolo concavo
F 1.20: L’angolo concavo è quello in giallo in quanto contiene i prolungamenti dei lati (punteggiati)
IGURA
Quando si disegna un angolo è utile, oltre a disegnare le semirette e l’origine, indicare con
un archetto quale dei due angoli si intende considerare.
a
A
α
O B b
F 1.21: Per indicare che l’angolo da considerare è quello convesso e non quello concavo si è usato
IGURA
un archetto in prossimità del vertice O
Per indicare gli angoli si usano diverse convenzioni:
se si conoscono i nomi delle semirette che ne costituiscono i lati;
á ab:
c se si conoscono i nomi del vertice e di due punti sui lati;
á A OB:
b . . . (una lettera greca): per indicare direttamente l’angolo.
á α, β, γ,
I primi due modi di indicare l’angolo non individuano con chiarezza di quale dei due angoli
si tratta. Solitamente si intende l’angolo convesso, quando si vuole indicare l’angolo concavo
bisogna dirlo esplicitamente.
Anche per gli angoli si danno le definizioni di angoli consecutivi e angoli adiacenti, in
parte simili a quelle date per i segmenti. consecutivi
Due angoli si dicono se hanno il vertice e un lato comune e
Definizione 1.22.
giacciono da parte opposta rispetto al lato comune.
adiacenti
Due angoli si dicono se sono consecutivi e se i lati non comuni
Definizione 1.23.
giacciono sulla stessa retta. opposti al vertice
Due angoli convessi si dicono se i lati del primo sono i
Definizione 1.24.
prolungamenti dei lati dell’altro.