Aerei - Matematicamente

il kc-135

Aerei

In una base militare vi è un elevato numero di aerei dello stesso tipo e una riserva praticamente illimitata di carburante. Un aereo può portare carburante sufficiente per percorrere 1000 km e può scambiare carburante in volo con altri aerei dello stesso tipo. Supponendo che lo scambio avvenga in un lasso di tempo trascurabile, che nel travaso non si perda carburante, che gli aerei viaggino tutti alla stessa velocità costante, qual è il minimo numero di aerei necessario affinché uno di essi, utilizzando il carico degli altri, possa raggiungere un obiettivo posto a 1000 km e tutti gli aerei possano tornare alla base (compreso quello che deve raggiungere l’obiettivo) senza precipitare per manca nza di carburante?

soluzione

Dodos (Ascoli Piceno) 3 aerei

Si divide il percorso in frazioni di 250 Km.
Gli aerei percorreranno ogni frazione consumando, in ciascuna di esse, ¼ di carburante.
Al termine di ogni frazione ogni aereo potrà riversare ¼ del proprio carburante nel serbatoio di un altro aereo.

Fase 1 (partenza):
Tre aerei, uno rosso, uno azzurro e uno verde, partono dalla base con il pieno di carburante.
Fase 2 (spostamenti):
Giunti a quota 250 Km. ognuno di essi ha consumato ¼ della propria riserva. Ciascuno, ha quindi ancora disponibile ¾ del proprio serbatoio.
Fase 3 (rifornimenti):
L’aereo rosso travasa ¼ del proprio carburante nel serbatoio dell’aereo azzurro e un altro ¼ in quello dell’aereo verde. Al termine delle operazioni, avremo quindi che a quota 250 Km. ci sono 3 aerei, due con i serbatoi pieni ed uno con ¼ di carburante.
Fase 4 (spostamenti):
L’aereo rosso torna alla base utilizzando tutta la sua riserva residua. Gli aerei azzurro e verde avanzano fino a quota 500 Km. consumando ¼ dei rispettivi serbatoi.
Fase 5 (rifornimenti):
L’aereo rosso, a quota 0 Km., riempie completamente il suo serbatoio. A quota 500 Km. l’aereo azzurro riversa ¼ del proprio carburante in quello dell’aereo verde. Pertanto, riempie completamente il serbatoio dell’aereo verde e resta con ½ di carburante.
Fase 6 (spostamenti):
L’aereo rosso, pieno di carburante, è pronto alla base ma non parte.
L’aereo azzurro torna indietro fino al Km. 250 rimanendo con ¼ di carburante.
L’aereo verde vola verso l’obiettivo, giungendo a quota 750 con ¾ di carburante disponibile.
Fase 7 (spostamenti):
L’aereo rosso è ancora fermo alla base, pronto al decollo.
L’aereo azzurro consuma la sua residua riserva di carburante e arriva alla base.
L’aereo verde giunge sull’obiettivo e, compiuta la missione, si ritrova con ½ serbatoio disponibile.
Fase 8 (rifornimenti):
Solo l’aereo azzurro ha necessità di fare il pieno. Pertanto, fotografando adesso la situazione avremo: l’aereo verde, pieno a metà, posizionato a quota 1000 Km; gli aerei azzurro e rosso, pieni di carburante pronti al decollo dalla base.
Fase 9 (spostamenti):
L’aereo verde torna indietro fino a quota 750 Km., rimanendo con ¼ di serbatoio
L’aereo rosso decolla e raggiunge quota 250 Km. rimanendo con ¾ di serbatoio.
L’aereo azzurro resta fermo alla base.
Fase 10 (spostamenti):
L’aereo verde continua il suo viaggio di ritorno raggiungendo quota 500 Km. e rimanendo senza carburante.
L’aereo rosso giunge anch’esso a quota 500 Km. con ancora una riserva di ½ serbatoio.
L’aereo azzurro attende alla base.
Fase 11 (rifornimenti):
L’aereo rosso riversa ¼ del suo carburante nel serbatoio dell’aereo verde. Entrambi a questo punto hanno il serbatoio pieno per ¼ e possono percorrere altri 250 Km.
Fase 12 (spostamenti):
Gli aerei rosso e verde tornano indietro a quota 250 Km. consumando tutta la loro riserva di carburante.
L’aereo azzurro parte dalla base e raggiunge quota 250 Km. restando con il serbatoio pieno per ¾.
Fase 13 (rifornimenti):
L’aereo azzurro riversa ¼ del proprio carburante nel serbatoio dell’aereo rosso e ¼ nel serbatoio dell’aereo verde. A questo punto i 3 aerei hanno la medesima quantità di riserva disponibile (1/4) e il medesimo tragitto da percorrere (ultimi 250 Km.).
Fase 14 (arrivo):
Consumando ciascuno la propria riserva di carburante, i 3 aerei riescono a percorrere gli ultimi 250 Km. e rientrare contemporaneamente alla base.

Al termine della missione, saranno stati utilizzati soltanto 3 aerei che avranno consumato carburante necessario a percorrere 5000 Km. complessivi.

X (Caltagirone) 3 ae rei

Come primo passo determiniamo la distanza alla quale effettuare lo scambio di carburante tra gli aerei che partono dalla base nell’ipotesi che un aereo debba rifornire due aerei cedendo loro una quantità di carburante sufficiente a riempirgli il serbatoio e che gliene rimanga una quantità tale da permettergli il ritorno alla base.
Indichiamo con
– d la distanza alla quale avviene lo scambio;
– c il consumo di carburante per chilometro.
La quantità di carburante contenuta nel serbatoio quando gli aerei partono dalla base è 1000c .
Alla distanza d gli aerei hanno consumato una quantità di carburante pari a dc ; la quantità di carburante che hanno nel serbatoio è 1000c-dc=(1000-d)c . Se un aereo fa il pieno agli altri due verserà in ciascuno dei loro serbatoi litri dc di carburante, mentre rimarrà con (1000-d)c-2dc=(1000-3d)c litri di carburante. Bisogna imporre che la quantità di carburante che rimane sia positiva cioè (1000-3d)c da cui si ricava che 1000-3d>0 –> d<1000/3 Km .
D’altra parte si deve imporre che il carburante rimasto sia sufficiente a far tornare l’aereo alla base cioè (1000-3d)c>=dc .
Imponendo che la quantità rimasta sia quella strettamente sufficiente a farlo tornare alla base si ha (1000-3d)c=dc –> 1000-3d=d ovvero 4d=1000 –>d=250Km .
Dunque se lo scambio avviene alla distanza d=250Km il rifornitore ha il carburante sufficiente per tornare alla base e gli altri due avranno il pieno.

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