Verifica se la funzione $ f : Q → Q $ definita da $f(x)=3x-1$ è iniettiva, suriettiva, biiettiva.
Determina, se esiste, l’espressione analitica della funzione inversa $f^(-1) (x) $ .
Data la funzione $g(x)=2x$ determina le espressioni analitiche delle seguenti funzioni composte: $f(g(x))$; $g(f(x))$; $g(f^(-1) (x)) $; $f(f(x))$; $g(g(x))$.
Risoluzione
Una funzione è iniettiva quando ad elementi distinti corrispondono immagini distinte; la funzione$ f : Q → Q $ definita da $f(x)=3x-1$ è, quindi, iniettiva.
La funzione è anche suriettiva, poiché il suo codominio corrisponde all’insieme di arrivo Q. Quindi, essendo sia iniettiva che suriettiva, è anche biiettiva.
Essendo biiettiva, la funzione è sicuramente invertibile. Calcoliamo quindi l’equazione della funzione inversa.
$ f(x) = 3x – 1$
$y = 3x – 1 to 3x = y + 1 to x = frac(y + 1)(3) $
$ f(y) = frac(y + 1)(3) to f^(-1) (x) = frac(x + 1)(3) $
Calcoliamo ora le funzioni composte:
- $f(g(x))$ Sostituiamo alla variabile indipendente di f(x) la funzione g(x):
$y = 3x – 1 to y = 3 * g(x) – 1 $
$ y = 3 * 2x – 1 to y = 6x – 1$
- $g(f(x)) $ Allo stesso modo, sostituiamo alla variabile indipendente di g(x) la funzione f(x):
$y = 2x to y = 2 * f(x) $
$ y = 2 * (3x – 1) to y = 6x – 2$
- $g(f^(-1) (x)) $ In questo caso, dovremmo sostituire la funzione inversa di f(x) alla x di g(x):
$y = 2x to y = 2 * f^(-1) (x) $
$ y = 2 * frac(x + 1)(3) to y = frac(2x + 2)(3) $
- $f(f(x))$ Sostituiamo alla x di f(x) la funzione stessa f(x):
$y = 3x – 1 to y = 3 * f(x) -1 $
$ y = 3 * (3x – 1) to y = 9x – 4$
- $g(g(x))$ Operiamo allo stesso modo della funzione composta precedente:
$y = 2x to y = 2 * g(x) $
$ y = 2 * 2x to y = 4x $