Per quale valore di $k$ l’equazione $8x^2-(k-1)x+k-7=0$

a. ha una soluzione uguale a $1/2$

b. la somma delle soluzioni è 9

c. le due soluzioni sono coincidenti

d. le due soluzioni sono opposte: $x_1=-x_2$

e. le due soluzioni sono reciproche: $1/x_1=x_2$

f. la somma dei reciproci delle soluzione è uguale a 4: $1/x_1+1/x_2=4$

g. la somma dei quadrati delle soluzioni è uguale a -2: $x_1^2+x_2^2=-2$

h. l’equazione ha soluzioni reali

i. la somma dei cubi delle radici è 1.

J. La somma di una radice con il doppio dell’altra sia 2.

Svolgimento

L’equazione è $8x^2-(k-1)x+k-7=0$

La somma delle soluzioni $x_1+x_2=-B/A=(k-1)/8$

Il prodotto delle soluzioni è $x_1*x_2=C/A=(k-7)/8$

a. Una soluzione sia $1/2$

Si sostituisce $1/2$ alla $x$

$8*(1/2)^2-(k-1)*1/2+k-7=0$

$8*1/4-1/2*(k-1)+k-7=0$

$2-(k-1)/2+k-7$

m.c.m. su tutta l’equazione è 2

$4-k+1+2k-14=0$

$k-9=0$

$k=9$

Per $k=9$ l’equazione ha come soluzione $1/2$

b. la somma delle soluzioni è 9

$x_1+x_2=-B/A=9$

$=(k-1)/8=9$

$k-1=72$

$k=72+1=73$

c. le due soluzioni sono coincidenti

Delta=0

$(k-1)^2-4*8*(k-7)=0$

$k^2-2k+1-32k+224=0$

$k^2-34k+225=0$

applicando la formula ridotta

$k_1,2 =17+-sqrt(17^2-225)$

$k_1,2 =17+-sqrt(64)$

$k_1=19, k_2=25$

d. le due soluzioni sono opposte: $x_1=-x_2$

La somma è nulla

$S=0\rightarrow (k-1)/8=8\rightarrow k=1$

e. le due soluzioni sono reciproche: $1/x_1=x_2$

$x_1=1/x_2\rightarrow x_1*x_2=1\rightarrow P=1\rightarrow (k-7)/8=1\rightarrow k-7=8\rightarrow k=15$

f. la somma dei reciproci delle soluzione è uguale a 4: $1/x_1+1/x_2=4$

$1/x_1+1/x_2=4$

$(x_1+x_2)/(x_1*x_2)=4$

$S/P=4$

$(k-1)/8:(k-7)/8=4$

$(k-1)/(k-7)=4$

$k-1=4(k-7)$

$k-1=4k-28$

$-3k=-27$

$k=9$

g. la somma dei quadrati delle soluzioni è uguale a -2: $x_1^2+x_2^2=-2$

$x_1^2+x_2^2=-2$

$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=-2$

$S^2-2P=-2$

$[(k-1)/8]^2-2*(k-7)/8=-2$

$(k-1)^2/64-2(k-7)/8+2=0$

m.c.m.=64

$(k-1)^2-16(k-7)+128=0$

$k^2-2k+1-16k+112+128=0$

$k^2-18k+141=0$

$k_1,2=9+-sqrt(81-141)$

impossibile, nessuna soluzione

h. l’equazione ha soluzioni reali

$\Delta>0\rightarrow (k-1)^2-4*8*(k-7)>0$

$k^2-2k+1-32k+224>0$

$k^2-34k+225>0$

$k_1,2=17+-sqrt(289-225)=17+-8$

$x<9 \vv k>25$

i. la somma dei cubi delle radici è 1

$x_1^3+x_2^3=1$

tenendo conto che $(x_1+x_2)^3=x_1^3+x_2^3+3x_1^2x_2+3x_1x_2^2=x_1^3+x_2^3+3x_1x_2(x_1+x_2)$

si ha che $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)$

quindi

$S^3-3*P*S=1$

$((k-1)/8)^3-3(k-7)/8*(k-1)/8=1$

$(k^2-3k+3k^2-1)/8^3-3(k-7)(k-1)/8^2-1=0$

m.c.m.=8^3

ecc.

J. La somma di una radice con il doppio dell’altra sia 2

$\{(x_1+2x_2=2),(x_1+x_2=(k-1)/8):}$

$\{(x_1=2-2x_2),((2-2x_2)+x_2=(k-1)/8):}$

risolvendo l’ultima equazione si ha

$-x_2=(k-1)/8-2$

$-x_2=(k-1-16)/8$

$x_2=(17-k)/8$

sostituendo nella prima equazione

$x_1=2-2*(17-k)/8=(8-17+k)/4=(k-9)/4$

$x_2=(17-k)/8$

da cui, ricordando che

$x_1*x_2=(k-7)/8

si ha

$(k-9)/4*(17-k)/8=(k-7)/8$

$(k-9)(17-k)=4(k-7)$

$17k-k^2-153+9k=4k-28$

ecc.

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