Per quale valore di k l’equazione 8x^2-(k-1)x+k-7=0

a. ha una soluzione uguale a 1/2

b. la somma delle soluzioni è 9

c. le due soluzioni sono coincidenti

d. le due soluzioni sono opposte: x_1=-x_2

e. le due soluzioni sono reciproche: 1/x_1=x_2

f. la somma dei reciproci delle soluzione è uguale a 4: 1/x_1+1/x_2=4

g. la somma dei quadrati delle soluzioni è uguale a -2: x_1^2+x_2^2=-2

h. l’equazione ha soluzioni reali

i. la somma dei cubi delle radici è 1.

J. La somma di una radice con il doppio dell’altra sia 2.

Svolgimento

L’equazione è 8x^2-(k-1)x+k-7=0

La somma delle soluzioni x_1+x_2=-B/A=(k-1)/8

Il prodotto delle soluzioni è x_1*x_2=C/A=(k-7)/8

a. Una soluzione sia 1/2

Si sostituisce 1/2 alla x

8*(1/2)^2-(k-1)*1/2+k-7=0

8*1/4-1/2*(k-1)+k-7=0

2-(k-1)/2+k-7

m.c.m. su tutta l’equazione è 2

4-k+1+2k-14=0

k-9=0

k=9

Per k=9 l’equazione ha come soluzione 1/2

b. la somma delle soluzioni è 9

x_1+x_2=-B/A=9

=(k-1)/8=9

k-1=72

k=72+1=73

c. le due soluzioni sono coincidenti

Delta=0

(k-1)^2-4*8*(k-7)=0

k^2-2k+1-32k+224=0

k^2-34k+225=0

applicando la formula ridotta

k_1,2 =17+-sqrt(17^2-225)

k_1,2 =17+-sqrt(64)

k_1=19, k_2=25

d. le due soluzioni sono opposte: x_1=-x_2

La somma è nulla

S=0\rightarrow (k-1)/8=8\rightarrow k=1

e. le due soluzioni sono reciproche: 1/x_1=x_2

x_1=1/x_2\rightarrow x_1*x_2=1\rightarrow P=1\rightarrow (k-7)/8=1\rightarrow k-7=8\rightarrow k=15

f. la somma dei reciproci delle soluzione è uguale a 4: 1/x_1+1/x_2=4

1/x_1+1/x_2=4

(x_1+x_2)/(x_1*x_2)=4

S/P=4

(k-1)/8:(k-7)/8=4

(k-1)/(k-7)=4

k-1=4(k-7)

k-1=4k-28

-3k=-27

k=9

g. la somma dei quadrati delle soluzioni è uguale a -2: x_1^2+x_2^2=-2

x_1^2+x_2^2=-2

(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=-2

S^2-2P=-2

[(k-1)/8]^2-2*(k-7)/8=-2

(k-1)^2/64-2(k-7)/8+2=0

m.c.m.=64

(k-1)^2-16(k-7)+128=0

k^2-2k+1-16k+112+128=0

k^2-18k+141=0

k_1,2=9+-sqrt(81-141)

impossibile, nessuna soluzione

h. l’equazione ha soluzioni reali

\Delta>0\rightarrow (k-1)^2-4*8*(k-7)>0

k^2-2k+1-32k+224>0

k^2-34k+225>0

k_1,2=17+-sqrt(289-225)=17+-8

x<9 \vv k>25

i. la somma dei cubi delle radici è 1

x_1^3+x_2^3=1

tenendo conto che (x_1+x_2)^3=x_1^3+x_2^3+3x_1^2x_2+3x_1x_2^2=x_1^3+x_2^3+3x_1x_2(x_1+x_2)

si ha che x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)

quindi

S^3-3*P*S=1

((k-1)/8)^3-3(k-7)/8*(k-1)/8=1

(k^2-3k+3k^2-1)/8^3-3(k-7)(k-1)/8^2-1=0

m.c.m.=8^3

ecc.

J. La somma di una radice con il doppio dell’altra sia 2

\{(x_1+2x_2=2),(x_1+x_2=(k-1)/8):}

\{(x_1=2-2x_2),((2-2x_2)+x_2=(k-1)/8):}

risolvendo l’ultima equazione si ha

-x_2=(k-1)/8-2

-x_2=(k-1-16)/8

x_2=(17-k)/8

sostituendo nella prima equazione

x_1=2-2*(17-k)/8=(8-17+k)/4=(k-9)/4

x_2=(17-k)/8

da cui, ricordando che

$x_1*x_2=(k-7)/8

si ha

(k-9)/4*(17-k)/8=(k-7)/8

(k-9)(17-k)=4(k-7)

17k-k^2-153+9k=4k-28

ecc.

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