Risolvere il seguente sistema di disequazioni esponenziali:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
7^x · \sqrt[x]{49} : \sqrt[3]{(\frac{1}{7})^{-2x-5}} > 0 &\\
\sqrt[3]{1 – 3 · 2^x · (2^x – 1)} – 2^x + 1 > 0 &
\end{array}\right.
$$
Svolgimento
Risolviamo la prima disequazione:
$$ 7^x · \sqrt[x]{49} : \sqrt[3]{ \left(\frac{1}{7} \right)^{-2x-5}} – 1 > 0 $$
Trasformiamo tutto in potenze di 7:
$$ 7^x · \sqrt[x]{7^2} : \sqrt[3]{(7^{-1})^{-2x-5}} – 1 > 0 $$
$$ 7^x · (7^2)^{\frac{1}{x}} : \sqrt[3]{7^{2x+5}} – 1 > 0 $$
$$ 7^x · 7^{\frac{2}{x}} : \sqrt[3]{7^{2x+5}} – 1 > 0 $$
$$ 7^x · 7^{\frac{2}{x}} : 7^{(2x+5) · \frac{1}{3}} – 1 > 0 $$
$$ 7^x · 7^{\frac{2}{x}} : 7^{ \frac{2x+5}{3}} – 1 > 0 $$
$$ 7^{ x + \frac{2}{x} – \frac{2x+5}{3}} > 1 $$
$$ 7^{ \frac{3x^2 + 6 – 2x^2 – 5x}{3x}} > 1 $$
$$ 7^{\frac{3x^2 + 6 – 2x^2 – 5x}{3x}} > 7^0 $$
$$ \frac{3x^2 + 6 – 2x^2 – 5x}{3x} > 0 $$
$$ \frac{ x^2 – 5x + 6}{3x} > 0 $$
Poniamo numeratore e denominatore maggiori di zero:
$ N > 0 $
$ x^2 – 5x + 6 > 0 $
Passiamo all’equazione associata:
$ x^2 – 5x + 6 = 0 $
Risolviamo con la formula $x = frac(-b ± sqrt( b^2 – 4ac))(2a) $
$ x = frac(-(-5) ± sqrt((-5)^2 – 4*6 ))(2) = frac( 5 ± sqrt(25 – 24))(2) = frac(5 ± 1)(2) $
$ x_1 = frac(5 + 1)(2) = 3 , x_2 = frac(5 – 1)(2) = 2 $
Poiché la disequazione è maggiore di zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici:
$ x < 2 ∨ x > 3 $
$ D > 0 to 3x > 0 to x > 0 $
Studiamo il segno fra numeratore e denominatore:
Prendiamo gli intervalli positivi:
$ 0 < x < 2 ∨ x > 3 $
Passiamo alla seconda disequazione:
$$ \sqrt[3]{ 1 – 3 · 2^x · (2^x – 1)} – 2^x + 1 > 0 $$
Per semplificare i calcoli, facciamo un cambio di incognita, e poniamo $ 2^x = y $:
$$ \sqrt[3]{ 1 – 3 · y · ( y – 1)} – y + 1 > 0 $$
$$ \sqrt[3]{ 1 – 3 · y · ( y – 1)} > y – 1 $$
$$ \sqrt[3]{ 1 – 3 y^2 + 3y } > y – 1 $$
Eleviamo tutto al cubo:
$$ \left( \sqrt[3]{ 1 – 3y^2 + 3y } \right)^3 > (y – 1)^3 $$
$$ 1 – 3y^2 + 3y > y^3 – 1 – 3y^2 + 3y $$
$$ 1 – 3y^2 + 3y – y^3 + 1 + 3y^2 – 3y > 0 $$
$$ – y^3 + 2 > 0 $$
$$ y^3 – 2 < 0 → y^3 < 2 $$
Abbiamo quindi che:
$ (2^x)^3 < 2 $
$ 2^(3x) < 2 to 3x < 1 to x < 1/3 $
Torniamo al sistema:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
0 < x < 2 ∨ x > 3 &\\
x < \frac{1}{3} &
\end{array}\right.
$$
Determiniamo le soluzioni:
$ 0 < x < 1/3 $