Nel circuito della figura si ha $ ∆V_1 = 12 V$ , $ ∆V_2 = 15 V$ , $ R_1 = 10 Ω$ , $ R_2 = 35 Ω$ e $ R_3 = 50 Ω$ .
Determina, in verso e valore, tutte le correnti presenti nel circuito.
Svolgimento
Il problema, dato che il circuito presenta due generatori di corrente, va risolte per mezzo delle leggi di kirchhoff.
Applichiamo per prima cosa la legge dei nodi, per cui la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti:
$ i_1 + i_2 = i_3$
Poi, avendo scelto un verso di percorrenza delle maglie, applichiamo la legge delle maglie, per cui la somma delle differenze di potenziale che si incontrano percorrendo una maglia è uguale a zero.
Per la maglia più piccola abbiamo:
$ ∆V_1 – R_1 * i_1 + R_2 * i_2 – ∆V_2 = 0 $
$ 12 – 10 * i_1 + 35 * i_2 – 15 = 0 $
$ – 10 * i_1 + 35 * i_2 – 3 = 0 $
Per la maglia più grande:
$ ∆V_2 – R_2 * i_2 – R_3 * i_3 = 0 $
$ 15 – 35 * i_2 – 50 * i_3 = 0 $
$ 3 – 7 * i_2 – 10 * i_3 = 0 $
Mettiamo a sistema le tre equazioni e risolviamo il sistema:
$$ \left\{\begin{array}{ll} i_1 + i_2 = i_3 & \\ – 10 i_1 + 35 i_2 – 3 = 0 & \\ 3 – 7 i_2 – 10 i_3 = 0 &\end{array} \right. $$
Ricaviamo dalla seconda equazione $ i_1$ :
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 + i_2 = i_3 & \\ i_1 = \frac{35 i_2 – 3}{10} & \\ 3 – 7 i_2 – 10 i_3 = 0& \end{array} \right. $$
Sostituiamo il valore trovato nella prima equazione:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{35 i_2 – 3}{10} + i_2 = i_3 & \\ i_1 = \frac{35 i_2 – 3}{10} & \\ 3 – 7 i_2 – 10 i_3 = 0& \end{array} \right. $$
Esplicitiamo quindi il valore di $i_3$ nella prima equazione:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{35 i_2 – 3 + 10 i_2}{10} = i_3& \\ i_1 = \frac{35 i_2 – 3}{10} & \\ 3 – 7 i_2 – 10 i_3 = 0& \end{array} \right. $$
Otteniamo quindi il seguente valore per $i_3$:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_3 = \frac{45 i_2 – 3 }{10} & \\ i_1 = \frac{35 i_2 – 3}{10} & \\ 3 – 7 i_2 – 10 i_3 = 0& \end{array} \right. $$
Procediamo sostituendo il valore di $i_3$ nella terza equazione:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_3 = \frac{45 i_2 – 3 }{10} & \\ i_1 = \frac{35 i_2 – 3}{10} & \\ 3 – 7 i_2 – 10 * \frac{45 i_2 – 3}{10} = 0 & \end{array} \right. $$
Dalla terza equazione, quindi, possiamo ricavare il valore della corrente $i_2$:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_3 = \frac{45 i_2 – 3 }{10} & \\ i_1 = \frac{35 i_2 – 3}{10} & \\ 3 – 7 i_2 – 45 i_2 + 3= 0 & \end{array} \right. $$
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_3 = \frac{45 i_2 – 3 }{10} & \\ i_1 = \frac{35 i_2 – 3}{10} & \\ – 52 i_2 + 6= 0 & \end{array} \right. $$
Esplicitiamo quindi il valore di $i_2$:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_3 = \frac{45 i_2 – 3 }{10} & \\ i_1 = \frac{35 i_2 – 3}{10} & \\ i_2 = \frac{6}{52} = \frac{3}{26} & \end{array} \right. $$
Sostituiamo tale valore nelle altre equazioni per trovare il valore di tutte le correnti:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_3 = \frac{45 * \frac{3}{26} – 3}{10} = 0,22 & \\ i_1 = \frac{35 * \frac{3}{26} – 3}{10} = 0,10 & \\ i_2 = \frac{3}{26} = 0.12& \end{array} \right. $$
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_3 = 0,22 & \\ i_1 = 0,10 & \\ i_2 = 0.12& \end{array} \right. $$
Poiché le correnti risultano tutte positive, possiamo affermare che il loro verso è proprio quello che noi avevamo scelto arbitrariamente all’inizio.