Determina l’intensità e il verso della corrente nel resistore da $2,0 Ω $ del circuito in figura.
Sono forniti i seguenti valori delle resistenze:
$R_1 = 1,0 Ω $
$R_2 = 2,0 Ω $
$R_3 = 3,0 Ω $
Mentre per i generatori si hanno i seguenti valori: $ ΔV_1 = 1,0 V$ , $ ΔV_2 = 4,0 V$
Risoluzione
Per risolvere il problema, poiché sono presenti due generatori di tensione, è necessario applicare le leggi di Kirchhoff.
Scegliamo quindi i versi di percorrenza delle maglie, e dei versi arbitrari per le correnti: se le correnti che otterremo alla fine saranno positive, il verso da noi scelto sarà giusto, altrimenti in verso della corrente sarà quello opposto.
Applichiamo la legge dei nodi, per cui la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti:
$ i_1 + i_2 = i_3 $
Applichiamo poi la legge delle maglie, per cui la somma delle differenza di potenziale che si incontrano percorrendo una maglia è uguale a zero. Per la prima maglia abbiamo:
$ – R_1 * i_1 + ΔV_1 – R_2 * i_3 = 0 $
$ – 1,0 * i_1 + 1,0 – 2,0 * i_3 = 0 $
$ – i_1 + 1 – 2 i_3 = 0 $
Per la seconda maglia si ha:
$ – R_3 * i_2 + ΔV_2 + ΔV_1 – R_2 * i_3 = 0 $
$ – 3,0 * i_2 + 4,0 + 1,0 – 2,0 * i_3 = 0 $
$ – 3 i_2 + 5 – 2 i_3 = 0 $
Mettiamo a sistema le tre equazioni:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 + i_2 = i_3 & \\ – i_1 + 1 – 2 i_3 = 0& \\ – 3 i_2 + 5 – 2 i_3 = 0& \end{array} \right. $$
Ricaviamo la corrente $i_1$ dalla seconda equazione:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 + i_2 = i_3 & \\ i_1 = 1 – 2 i_3 & \\ – 3 i_2 + 5 – 2 i_3 = 0& \end{array} \right. $$
Sostituiamo tale valore nella prima equazione:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} 1 – 3 i_3 + i_2 = 0 & \\ i_1 = 1 – 2 i_3 & \\ – 3 i_2 + 5 – 2 i_3 = 0& \end{array} \right. $$
Ora, dalla prima equazione ricaviamo $i_2$:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_2 = 3 i_3 -1 & \\ i_1 = 1 – 2 i_3 & \\ – 3 i_2 + 5 – 2 i_3 = 0& \end{array} \right. $$
Sostituiamo tale valore nella terza equazione, dove sarà possibile ottenere il valore della terza corrente:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_2 = 3 i_3 -1 & \\ i_1 = 1 – 2 i_3 & \\ – 9 i_3 +3 + 5 – 2 i_3 = 0 \to i_3 = \frac{8}{11} & \end{array} \right. $$
Sostituiamo il valore di $i_3$ trovato nella prima e nella seconda equazione:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_2 = 3 * \frac{8}{11} -1 = \frac{13}{11}& \\ i_1 = 1 – 2 * \frac{8}{11} = – \frac{5}{11} & \\ i_3 = \frac{8}{11} & \end{array} \right. $$
Abbiamo quindi i seguenti valori delle correnti:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_2 = \frac{13}{11}& \\ i_1 = – \frac{5}{11} & \\ i_3 = \frac{8}{11} & \end{array} \right. $$
La corrente richiesta dal problema è $i_3$ , che vale $8/(11) A = 0,73 A $ .
Il suo verso è rivolto da B ad A.