Formulario completo di matematica 1. Simboli 1.1 Simboli comuni 1.2 Insiemi numerici 1.3 Simboli insiemistici 1.4 Geometria 1.5 Logica 1.6 Funzioni particolari 1.7 Calcolo combinatorio 1.8 Analisi 1.9 Spazi funzionali 1.10 Algebra Lineare 1.11 Probabilità e statistica 1.12 Costanti matematiche 1.13 Alfabeto greco 1.14 Multipli e sottomultipli.

Scarica il primo capitolo del formulario: I simboli matematica http:/www.matematicamente.it/staticfiles/formulario/1-Simboli.pdf

Vedi anche la sezione di esercizi di matematica

Tutto sugli insiemi, tutte (o quasi) le formule che bisogna conoscere e che si possono incontrare: Generalità, Relazioni e operazioni, Funzione, Strutture algebriche.

https://www.matematicamente.it//staticfiles/formulario/2-insiemi.pdf

Formulario sugli insiemi numerici: Proprietà delle quattro operazioni, Numeri primi e divisibilità, Numeri primi da 1 a 10000, Massimo comune divisore e minimo comune multiplo, Frazioni e numeri razionali, Assiomatizzazione degli insiemi numerici, Valore assoluto, Funzione segno, Parte intera, Approssimazione, Fattoriale.

Formulario completo di geometria piana, tutte le formule e tutti i teoremi più importanti. Rettangolo, quadrato, parallelogramma, triangolo, rombo, deltoide, trapezio, poligoni regolari, circonferenza, cerchio, settore circolare, corona circolare, triangolo inscritto e circoscritto a un cerchio, poligono inscritto e circoscritto, tutte le definizioni e i teoremi di geometria piana.

5.1. Unità di misura del Sistema Internazionale (SI) – Grandezze fondamentali – Grandezze supplementari – 5.2. Multipli e sottomultipli del Sistema Internazionale – 5.3. Principali grandezze derivate – Meccanica – Elettromagnetismo – 5.4. Principali unità di misura che non appartengono al SI – 5.5. Intervalli di variabilità di alcune unità fondamentali – Lunghezze – Tempi – Masse – Temperature – 5.6. Costanti fisiche.

Formulario completo di geometria solida: parallelepipedo, cubo, prisma, piramide, tronco di piramide, poliedri regolari, cilindro, cono, tronco di cono, sfera, calotta sferica e segmento sferico a una base, settore sferico, zona sferica e segmento sferico a due basi, fuso sferico o spicchio sferico, cilindro a sezione obliqua, corona cilindrica, obelisco, cuneo, toro, prisma obliquo triangolare.

Definizione di proporzione, proprietà delle proporzioni, risolvere una proporzione, grandezze direttamente e inversamente proporzionali, problemi con le proporzioni, problemi del tre semplice e problemi del tre composto, percentuali, problemi con le percentuali, problemi con gli sconti, problemi di cambio di moneta.

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7.1 Definizione di potenza – 7.2 Proprietà delle potenze – 7.4 Proprietà delle radici – 7.5 Razionalizzazione del denominatore – 7.6 Radicali doppi

Coefficiente binomiale

Proprietà del coefficiente binomiale

I coefficienti binomiali rispettano le seguenti proprietà

In particolare, dall’ultima proprietà discende che

Coefficiente multinomiale

Dati $r+1$ numeri naturali, $n, k_1, k_2, ldots, k_r in mathbb{N}$, tali che $k_1 + k_2 + ldots + k_r = n$, si definisce coefficiente multinomiale

e comunque si scelgano i numeri naturali $n, k_1, k_2, ldots, k_r$ (purché $k_1 + k_2 + ldots + k_r = n$), risulta

Proprietà del coefficiente multinomiale

Fissato $n in mathbb{N}$, e detto $A_n subset mathbb{N}^r$ l’insieme di tutte le $r$-ple di naturali $(k_1, k_2, ldots, k_r)$ tali che $k_1 + k_2 + ldots + k_r = n$, risulta

Permutazioni semplici

Dato un insieme $X$ con $n$ elementi, si chiama permutazione ogni ordinamento dell’insieme $X$. Equivalentemente, dati $n$ oggetti distinti, il numero di permutazioni $P_n$ è il numero di tutti i possibili ordinamenti degli $n$ oggetti, e risulta

Esempio: in quanti modi diversi si possono disporre $10$ persone in fila? Risposta: $10!$

Permutazioni con ripetizione

Dati $n$ oggetti non tutti distinti fra di loro, un ordinamento di tali oggeti si chiama permutazione con ripetizione. Supponiamo di poter suddividere gli $n$ oggetti in $h$ tipi diversi (ovviamente $h le n$). Siano $n_i$ il numero di elementi di tipo $i$, per ogni $i=1, 2, ldots, h$, allora $n = n_1 + n_2 + ldots + n_h$. Indicando con $P_{n_1, n_2, ldots, n_h}^{**}$ il numero delle permutazioni con ripetizione, ovvero il numero di tutti i possibili ordinamenti degli $n$ oggetti, risulta

Esempio: Quanti sono i possibili anagrammi della parola matematica?

Si hanno in totale $10$ elementi, visto che la parola matematica è costituita da $10$ lettere. Tali lettere non sono tutte distinte, ma possono essere partizionate in $6$ tipi diversi

Per determinare il numero di tutti i possibili anagrammi della parola matematica basta calcolare le permutazioni con ripetizione

Combinazioni semplici

Dato un insieme $X$ con cardinalità $n$ (quindi contenente $n$ elementi distinti), ogni sottoinsieme di $X$ con $k$ elementi ($0 le k le n$) viene detto combinazione di $n$ oggetti di classe $k$, e si indica con $C_{n,k}$.

$C_{n,k}$ rappresenta il numero di tutti possibili modi con cui si possono scegliere $k$ elementi fra $n$ oggetti dati, e risulta

ed inoltre

Esempio: Quanti sono i possibili sottoinsiemi di un insieme $n$ elementi? I possibili sottoinsiemi possono essere l’insieme vuoto, gli insiemi con $1$ elemento, gli insiemi con $2$ elementi, etc. Quindi il numero di tutti i possibili sottoinsiemi è

Combinazioni con ripetizione

Dato un insieme $X$ di cardinalità $n$, ossia dati $n$ oggetti distinti, ogni raggruppamento di $k$ elementi di $X$, ammettendo anche ripetizioni di oggetti, viene detto combinazione con ripetizione di $n$ oggetti di classe $k$. Notare che $k$ può essere maggiore di $n$, e in ogni raggruppamento non conta l’ordine con cui vengono elencati gli elementi. Indicando con $C_{n,k}^{**}$ il numero di tutte le possibili combinazioni con ripetizione di $n$ oggetti di classe $k$, risulta

Esempio: Dato $X = {a, b, c, d}$, quante sono le possibili coppie formate da elementi di $X$, ammettendo anche ripetizioni, senza contare l’ordine con cui tali elementi sono elencati? Risposta: $C_{4,2} = ((4+2-1),(2)) = ((5),(2)) = 10$. E infatti tutte le coppie possibili sono

Esempio: In quanti modi si possono scegliere $5$ carte da un mazzo di $40$ con rimpiazzo? Risposta: $C_{40,5}^{**} = ((40 + 5 – 1),(5)) = ((44),(5))$

Disposizioni semplici

Dati $n$ oggetti, ogni ordinamento di $k$ oggetti ($0 le k le n)$ comunque scelti fra gli $n$ si chiama disposizione di $n$ oggetti di classe $k$. Notare che due disposizioni possono differire o per gli oggetti contenuti o per l’ordine degli oggetti. Il numero di tutte le possibili disposizioni di $n$ oggetti di classe $k$ si indica con $D_{n,k}$ e risulta

Esempio: Da un’urna contenente $90$ palline numerate, quante sono le possibili sequenze di $5$ numeri che si possono ottenere estraendo, senza rimpiazzo, cinque palline? Risposta: $D_{90,5} = frac{90!}{85!}$

Disposizioni con ripetizione

Dati $n$ oggetti, ogni ordinamento di $k$ oggetti in cui sono ammesse anche ripetizioni (quindi $k$ può essere qualsiai) si chiama disposizione con ripetizione di $n$ oggetti di classe $k$. Indicando con $D_{n,k}^{**}$ il numero di tutte le possibili disposizioni con ripetizioni di $n$ oggetti di classe $k$, risulta

Esempio: Da un’urna contenente $90$ palline numerate, quante sono le possibili sequenze di $5$ numeri che si possono ottenere estraendo, con rimpiazzo, cinque palline? Risposta: $D_{90,5}^{**} = 90^5$

Esempio: quante sono le parole di $4$ lettere che si possono formare utilizzando le lettere ${a,b,c,d,e}$? Risposta: $D_{5,4}^{**} = 5^4$.

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Il capitolo 12 del Formulario di matematica, un formulario completo da stampare e consultare su tutti gli argomenti. In questo capitolo il calcolo letterale: 1. espressioni letterali – 2. Prodotti notevoli – 3. Scomposizione in fattori – raccoglimento a fattor comune totale, raccoglimento parziale, quadrato di binomio, cubo di binomio, differenza di quadrati, differenza di cubi, somma di cubi, differenza di potenze di uguale esponente,trinomio caratterestico.

Principi di equivalenza

Primo principio di equivalenza: data un’equazione, aggiungendo ad entrambi i membri uno stesso numero od una stessa espressione contenente l’incognita si ottiene un’equazione equivalente, a patto che, nel caso di aggiunta di un’espressione dipendente da un’incognita, non vengano ristrette le condizioni di esistenza.

Conseguenze dirette del primo principio di equivalenza sono la regola del trasporto e la regola di cancellazione.

Regola del trasporto: data un’equazione, trasportando un termine da un membro all’altro e cambiandolo di segno si ottiene un’equazione equivalente.

Regola di cancellazione: data un’equazione, termini uguali presenti in entrambi i membri possono essere cancellati, ottenendo un’equazione equivalente.

Secondo principio di equivalenza: data un’equazione, moltiplicando ambo i membri per un numero diverso da zero, o per un’espressione contenente l’incognita che non si annulli qualunque sia il valore dell’incognita stessa, e che non restringa le condizioni di esistenza, si ottiene un’equazione equivalente.

Conseguenze dirette del secondo principio di equivalenza sono la regola di divisione per un fattore comune diverso da zero e la regola del cambiamento di segno.

Regola della divisione per un fattore comune diverso da zero: data un’equazione in cui tutti i termini hanno un fattore comune diverso da zero, dividendo per tale numero si ottiene un’equazione equivalente.

Regola del cambiamento di segno: data un’equazione, cambiando segno a tutti i termini di entrambi i membri si ottiene un’equazione equivalente.

Equazioni di primo grado

Un’equazione di primo grado in forma normale si scrive come

 
La soluzione dipende dai valori delle costanti $a$ e $b$:

1° caso: se $a = 0$ e $b \ne 0$ l’equazione non ha soluzione e si dice impossibile

2° caso: se $a = b = 0$ allora l’equazione ha infinite soluzioni, in particolare è soddisfatta per ogni $x \in \mathbb{R}$ ($\mathbb{C}$), e si dice indeterminata

3° caso: se $a \ne 0$ allora l’equazione si dice determinata ed ha una e una sola soluzione, che vale $x = -\frac{b}{a}$

Un’equazione di secondo grado (i coefficienti si intendono reali) può presentarsi sotto tre forme: pura, spuria, completa. In tutti e tre i casi il coefficiente di grado massimo, indicato con $a$, deve essere diverso da zero. Le soluzioni dell’equazione si chiamano radici.

Equazione pura: un’equazione pura di secondo grado è della forma $a x^2 + c = 0$.

1° caso: se $a$ e $c$ sono concordi l’equazione ha due soluzioni complesse coniugate, che valgono $x_1 = – i \sqrt{\frac{c}{a}}$, $x_2 = i \sqrt{\frac{c}{a}}$

Es: $x^2+4=0\Rightarrow x_{1,2}=\pm2i$

2° caso: se $c = 0$ l’equazione ha due soluzioni coincidenti, entrambre nulle, $x_1 = x_2 = 0$

3° caso: se $a$ e $c$ sono discordi l’equazione ha due soluzioni reali distinte, che valgono $x_1 = – \sqrt{-\frac{c}{a}}$ e $x_2 = \sqrt{-\frac{c}{a}}$

Es: $4x^2-9=0\Rightarrow x^2=9/4\Rightarrow x_{1,2}=\pm 3/2$

Equazione spuria: un’equazione spuria di secondo grado è della forma $a x^2 + bx = 0$.

Raccogliendo $x$ l’equazione si scrive come $x (ax + b) = 0$, e da qui si nota che le due soluzioni (reali) sono $x_1 = 0$ e $x_2 = – \frac{b}{a}$.

Es: $3x^2-5x=0\Rightarrow x(3x-5)=0\Rightarrow x_1=0;x=5/3$

Equazione completa: un’equazione completa di secondo grado si scrive come $a x^2 + bx + c = 0$. La formula risolutiva è

Un’equazione di quarto grado in forma normale si scrive come

 
con $a \ne 0$, altrimenti il grado dell’equazione sarebbe inferiore a $4$.

1° caso: se $e = 0$ si può raccogliere a fattor comune $x$, ottenendo $x (a x^3 + b x^2 + c x + d) = 0$, pertanto una soluzione è $x = 0$, le altre tre si trovano risolvendo l’equazione di terzo grado $a x^3 + b x^2 + cx + d = 0$.

2° caso: se $e \ne 0$ allora $x = 0$ non è soluzione dell’equazione. Operando il cambio di variabile $x = y – \frac{b}{4a}$ l’equazione diventa

 
Svolgendo i calcoli si riconduce l’equazione a questa forma

 
Ponendo $A = \frac{c}{2a} – \frac{3b^2}{16 a^2}$, $B = \frac{bc}{2 a^2} – \frac{d}{a} – \frac{b^3}{8 a^3}$, $C = \frac{3 b^4}{256 a^4} – \frac{b^2 c}{16 a^3} + \frac{db}{4 a^2} – \frac{c}{a}$, l’equazione si riscrive nella forma

Equazioni fratte

La forma generale di un’equazione fratta è

 
L’insieme di definizione di tale equazione è $D = \{x \in \mathbb{R}: b(x) \ne 0, d(x) \ne 0\}$ (supponendo che $a(x), b(x), c(x), d(x)$ siano definiti su tutto $\mathbb{R}$, se così non fosse andrebbero aggiunti ulteriori vincoli, all’insieme $D$, che garantiscono la loro esistenza). Moltiplicando ambo i membri per $b(x) d(x)$ si ottiene

 
La soluzione dell’equazione fratta iniziale è data dall’insieme di tutte le $x$ appartenenti a $D$ tali che $a(x) d(x) = b(x) c(x)$.

Esempio: risolvere $\frac{x+1}{3x+6} = \frac{2}{x-1}$

$D = \{x \in \mathbb{R}: x \ne -2, x \ne 1\}$

Moltiplicando ambo i membri per $(3x+6)(x-1)$ si ottiene l’equazione

$x^2 – 1 = 6x + 12 \implies x^2 – 6x -13 = 0 \implies x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 + 13}$

Entrambe sono diverse da $-2$ e $1$, quindi le soluzioni dell’equazione fratta sono

Equazioni irrazionali

 
Dato $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, un’equazione irrazionale si scrive come

 
1° caso: se $n$ è dispari, allora l’insieme di definizione $D$ coincide con l’insieme in cui sono ben definite $f(x)$ e $g(x)$

2° caso: se $n$ è pari, allora l’insieme di definizione $D$ coincide con l’insieme delle $x \in \mathbb{R}$ tali per cui $f(x)$ e $g(x)$ risultano ben definite e inoltre $f(x), g(x) \ge 0$

Una volta determinato $D$, si elevano ambo i membri alla pontenza $n$-esima, ottenendo

 
La soluzione dell’equazione iniziale coincide con l’insieme delle $x$ appartenenti a $D$ tali che $f(x) = g^n(x)$.

Esempio: risolvere $\sqrt{2x+6} = x – 1$

L’insieme di definizione è $D = \{x \in \mathbb{R}: x \ge 1\}$. Elevando ambo i membri al quadrato si ottiene

 
Risulta $x_1 = -1$, $x_2 = 5$. Dato che $x_1 \notin D$, l’unica soluzione dell’equazione è $x = 5$.

Esempio: da $\frac{1}{2} \le 2$ e $5 \le 10$ segue $\frac{5}{2} \le 20$.

Una disequazione è una disuguaglianza fra due espressioni letterali per la quale si vuole stabilire quali valori dell’incognita rendono la disuaguaglianza vera. Una disequazione di primo grado si scrive, senza perdita di generalità, in uno dei seguenti due modi

con $a, b \in \mathbb{R}$. Se una disequazione si presenta con il segno di disuguaglianza $<$ o $\le$, basta moltiplicare per $-1$ per ricondursi ad una delle due forme precedenti.

Caso $ax + b \ge 0$

Data una disequazione di primo grado $ax + b \ge 0$, per determinare la soluzione si distinguono i seguenti casi

– se $a=0$ e $b \ge 0$ la disequazione è soddisfatta per ogni $x \in \mathbb{R}$

– se $a = 0$ e $b < 0$ non esiste $x \in \mathbb{R}$ per cui la disequazione sia soddisfatta

– se $a>0$ la disequazione è soddisfatta per $x \ge -\frac{b}{a}$

– se $a < 0$ la disequazione è soddisfatta per $x \le -\frac{b}{a}$

Esempio: la disequazione $-2x + 5 \ge 0$ è soddisfatta per $x \le \frac{5}{2}$

Caso $ax + b > 0$

Data una disequazione di primo grado $ax + b > 0$, per determinare la soluzione si distinguono i seguenti casi

– se $a=0$ e $b > 0$ la disequazione è soddisfatta per ogni $x \in \mathbb{R}$

– se $a = 0$ e $b \le 0$ non esiste $x \in \mathbb{R}$ per cui la disequazione sia soddisfatta

– se $a>0$ la disequazione è soddisfatta per $x > -\frac{b}{a}$

– se $a < 0$ la disequazione è soddisfatta per $x < -\frac{b}{a}$

Esempio: la disequazione $3x – 7 > 0$ è soddisfatta per $x > \frac{7}{3}$

Se $n$ è dispari, per risolvere la disequazione è sufficiente elevare ambo i membri alla potenza $n$-esima, e risolvere la nuova disequazione così ottenuta.

Esempio: risolvere la disequazione $\root{5}{6x+5} \le 10 – x$ è equivalente a risolvere la disequazione $6x + 5 \le (10 – x)^5$, e quella ottenuta non è più irrazionale, bensì polinomiale.

Nel seguito consideriamo i casi con $n$ pari.

Casi $\root{n}{f(x)} \ge g(x)$ e $\root{n}{f(x)} > g(x)$

Il procedimento risolutivo di una disequazione irrazionale del tipo $\root{n}{f(x)} \ge g(x)$, consiste nella risoluzione dei seguenti sistemi

$\{(f(x) \ge 0),(g(x) < 0):} \quad \vee \quad \{(g(x) \ge 0),(f(x) \ge g^n(x)):}$

Esempio: risolvere $\sqrt{2x+3} \ge x+1$

$\{(2x+3 \ge 0),(x+1<0):} \quad \vee \quad \{(x+1 \ge 0),(2x+3 \ge x^2 + 2x + 1):}$

È immediato verificare che il primo sistema è risolto per $-\frac{3}{2} \le x < -1$, mentre il secondo è risolto per $-1 \le x \le \sqrt{2}$, pertanto la soluzione della disequazione irrazionale è $-\frac{3}{2} \le x \le \sqrt{2}$.

Il procedimento risolutivo per disequazioni nella forma $\root{n}{f(x)} > g(x)$ è del tutto analogo al precedente, a parte il segno di disuguaglianza presente nella seconda equazione del secondo sistema:

$\{(f(x) \ge 0),(g(x) < 0):} \quad \vee \quad \{(g(x) > 0),(f(x) > g^n(x)):}$

Casi $\root{n}{f(x)} \le g(x)$ e $\root{n}{f(x)} < g(x)$

La risoluzione di una disequazione irrazionale del tipo $\root{n}{f(x)} \le g(x)$ equivale alla risoluzione del seguente sistema:

$\{(f(x) \ge 0),(g(x) \ge 0),(f(x) \le g^n(x)):}$

Esempio: risolvere la disequazione $\sqrt{3x+6} \le x-3$, è equivalente a risolvere questo sistema

$\{(3x+6 \ge 0),(x – 3 \ge 0),(3x+6 \le x^2 – 6x + 9):} = \{(x \ge -2),(x \ge 3),(x^2 – 9x +3 \ge 0):}$

Dalle prime due condizioni si nota che deve risultare $x \ge 3$. La terza disequazione è verificata per $x \le \frac{9 – \sqrt{69}}{2} \quad \vee \quad x \ge \frac{9 + \sqrt{69}}{2}$, quindi la disequazione irrazionale iniziale è soddisfatta per $x \ge \frac{9 + \sqrt{69}}{2}$.

Il procedimento risolutivo per disequazioni del tipo $\root{n}{f(x)} < g(x)$ è analogo al precedente, con alcune piccole modifiche alle condizioni del sistema da studiare:

$\{(f(x) \ge 0),(g(x) > 0),(f(x) < g^n(x)):}$

Dati $a \in \mathbb{R}^{+} \setminus \{1\}$ e $b \in \mathbb{R}$, una disequazione esponenziale in forma elementare si può esprimere in uno dei quattro modi seguenti

Caso $a^x \ge b$

Per la risoluzione di una disequazione in questa forma si distinguono i seguenti casi:

– se $b \le 0$ la disequazione è verificata per ogni $x \in \mathbb{R}$

– se $b > 0$ e $0 < a < 1$ la disequazione è verificata per $x \le \log_{a}(b)$

– se $b > 0$ e $a > 1$ la disequazione è verificata per $x \ge \log_{a}(b)$

Esempio: la disequazione $(\frac{1}{2})^x \ge 5$ è verificata per $x \le \log_{\frac{1}{2}}(5)$

Caso $a^x > b$

Per la risoluzione di una disequazione in questa forma si distinguono i seguenti casi:

– se $b \le 0$ la disequazione è verificata per ogni $x \in \mathbb{R}$

– se $b > 0$ e $0 < a < 1$ la disequazione è verificata per $x < \log_{a}(b)$

– se $b > 0$ e $a > 1$ la disequazione è verificata per $x >\log_{a}(b)$

Esempio: la disequazione $3^x > 9$ è verificata per $x > \log_{3}(9)$, cioè per $x > 2$, dal momento che $\log_{3}(9) = 2$.

Caso $a^x \le b$

Per la risoluzione di una disequazione in questa forma si distinguono i seguenti casi:

– se $b \le 0$ non esiste $x \in \mathbb{R}$ per cui la disequazione sia verificata

– se $b > 0$ e $0 < a < 1$ la disequazione è verificata per $x \ge \log_{a}(b)$

– se $b > 0$ e $a > 1$ la disequazione è verificata per $x \le \log_{a}(b)$

Esempio: la disequazione $(\frac{1}{3})^x \le 7$ è verificata per $x \ge \log_{\frac{1}{3}}(7)$

Caso $a^x < b$

Per la risoluzione di una disequazione in questa forma si distinguono i seguenti casi:

– se $b \le 0$ non esiste $x \in \mathbb{R}$ per cui la disequazione sa verificata

– se $b > 0$ e $0 < a < 1$ la disequazione è verificata per $x > \log_{a}(b)$

– se $b > 0$ e $a > 1$ la disequazione è verificata per $x < \log_{a}(b)$

Esempio: la disequazione $6^x < 3$ è verificata per $x < \log_{6}(3)$

Riconduzione a disequazioni esponenziali in forma normale

Nei seguenti esempi vengono illustrati alcuni casi particolari di disequazioni esponenziali che possono essere riportati, mediante alcuni passaggi algebrici, alla forma elementare.

1) Risolvere $(\frac{1}{2})^{x+9} > 4$. Posto $t = x+9$ ci si riconduce ad una disequazione esponenziale in forma elementare, del tipo $(\frac{1}{2})^t > 4$. Pertanto la soluzione è

$t < \log_{\frac{1}{2}}(4) \implies t < -2 \implies x+9 < -2 \implies x < -11$

2) Risolvere $(\frac{1}{3})^{2x} \ge 3$. Ponendo $t = 2x$ ci si riconduce ad una disequazione in forma elementare del tipo $(\frac{1}{3})^t \ge 3$, la cui soluzione è

$t \le \log_{\frac{1}{3}}(3) \implies t \le 1 \implies 2x \le 1 \implies x \le \frac{1}{2}$

3) Risolvere $3^{2x} – 5 \cdot 3^x + 6 \ge 0$. Posto $t = 3^x$, e osservando che $t^2 = 3^{2x}$, la disequazione precedente diventa

$t^2 – 5t + 6 \ge 0$

la cui soluzione è $t \le 2 \quad \vee \quad t \ge 3$. Ricordando la sostituzione $t = 3^x$, si deduce che la soluzione della disequazione esponenziale è $3^x \le 2 \quad \vee \quad 3^x \ge 3$, ossia

$x \le \log_{3}(2) \quad \vee \quad x \ge 1$

Definizione: un’ellisse è il luogo dei punti del piano per cui è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Equazione canonica: l’equazione di un’ellisse con centro nell’origine e asse focale parallelo ad uno degli assi cartesiani è $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (dove $a,b > 0$). Se $a > b$ l’asse focale è parallelo all’asse $x$, se invece $a < b$ l’asse focale è parallelo all’asse $y$.

Notare che se $a = b$ si ottiene l’equazione di una circonferenza con centro nell’origine e raggio $a$.

Equazione dell’ellisse traslata: l’equazione cartesiana di un’ellisse con asse focale parallelo ad uno degli assi cartesiani e centro in $(x_0, y_0)$ è $\frac{(x – x_0)^2}{a^2} + \frac{(y – y_0)^2}{b^2} = 1$.

Equazione parametrica: dato un’ellisse con equazione cartesiana $\frac{(x – x_0)^2}{a^2} + \frac{(y – y_0)^2}{b^2} = 1$, la sua equazione parametrica è

Vertici: dato un’ellisse di equazione $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, le coordinate dei vertici sono

Asse focale: si dice asse focale il segmento contenente i due fuochi dell’ellisse. Se $a > b$ il segmento $A_1 A_2$ è l’asse focale mentre $B_1 B_2$ è l’asse minore, se invece $a < b$ il segmento $B_1 B_2$ è l’asse focale e $A_1 A_2$ è l’asse minore. Quindi se $a > b$ la lunghezza dell’asse focale è $2a$, se $a < b$ la lunghezza dell’asse focale è $2b$.

Fuochi: data un’ellisse di equazione $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, posto $c = \sqrt{|a^2 – b^2|}$, le coordinate dei fuochi sono

– $F_1 = (c, 0)$ e $F_2 = (-c, 0)$ se $a > b$

– $F_1 = (0, c)$ e $F_2 = (0, -c)$ se $a < b$

Eccentricità: data un’ellisse di equazione $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$, e posto $c = \sqrt{|a^2 – b^2|}$

– se $a > b$ l’eccentricità vale $e = \frac{c}{a}$

– se $a < b$ l’eccentricità vale $e = \frac{c}{b}$

Comunque si scelgano $a,b > 0$, con $a \ne b$, risulta $0 < e < 1$. Se $a = b$, ossia nel caso di una circonferenza, risulta $e = 0$.

Intersezione di un’ellisse con una retta: dato un’ellisse di equazione $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ e una retta di equazione $y = mx + q$:

– se $a^4 m^2 q^2 – a^2 (q^2 – b^2) (b^2 + a^2 m^2) < 0$ la retta è esterna all’ellisse, e non ci sono intersezioni

– se $a^4 m^2 q^2 – a^2 (q^2 – b^2) (b^2 + a^2 m^2) = 0$ la retta è tangente all’ellisse, e le coordinate del punto di tangenza sono date dalla soluzione del sistema

$\{(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1),(y = mx + q):}$

– se $a^4 m^2 q^2 – a^2 (q^2 – b^2) (b^2 + a^2 m^2) > 0$ la retta è secante, e le coordinate dei due punti di intersezione sono dati dalle soluzioni del sistema

$\{(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1),(y = mx + q):}$

Nel caso di una retta parallela all’asse $y$ di equazione $x = x_0$:

– se $|x_0| > a$ la retta è esterna e non ha punti di intersezione con l’ellisse

– se $x_0 = -a$ la retta è tangente e il punto di tangenza ha coordinate $(-a,0)$

– se $x_0 = a$ la retta è tangente e il punto di tangenza ha coordinate $(a,0)$

– se $-a < x_0 < a$ la retta è secante e interseca l’ellisse nei due punti $(x_0, \pm b \sqrt{1 – \frac{x_0^2}{a^2}})$

Ellisse passante per due punti: dati due punti $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ non simmetrici rispetto agli assi o all’origine, l’equazione dell’ellisse con centro in $(0,0)$ e asse focale parallelo ad uno degli assi cartesiano è $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, dove $a, b$ sono la soluzione del sistema

$\{(\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1),(\frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} = 1):}$

Ellisse di cui si conosce un fuoco e un vertice: l’equazione di un’ellisse che ha un fuoco in $(c, 0)$ e un vertice in $(a,0)$ è $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 – c^2} = 1$.

L’equazione di un’ellisse con un fuoco in $(0,c)$ e vertice in $(a, 0)$ è $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 + c^2} = 1$

L’equazione di un’ellisse con un fuoco in $(0,c)$ e vertice in $(0, b)$ è $\frac{x^2}{b^2 – c^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

L’equazione di un’ellisse con un fuoco in $(c,0)$ e vertice in $(0, b)$ è $\frac{x^2}{b^2 + c^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

– Se $ad – bc \ne 0$ l’equazione precedente rappresenta un’iperbole equilatera con centro di simmetria in $(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c})$ e asintoti di equazione $x = -\frac{d}{c}$ e $y = \frac{a}{c}$.

Segmento: dati due punti (distinti) $A = (x_1, y_1)$ e $B = (x_2, y_2)$, l’equazione parametrica del segmento $AB$ è

Traslazioni nel piano

Siano $xOy$ e $X O’ Y$ due riferimenti cartesiani paralleli ed equiversi, e siano $(x_0, y_0)$ le coordinate di $O’$ rispetto a $O$, allora le coordinate dei due riferimenti sono legate dalle equazioni

 
Esempio: sia $2x + 3y – 5 = 0$ l’equazione di una retta $r$ riferita al sistema cartesiano $x O y$, $O = (0,0)$. Scrivere l’equazione della retta $r$ rispetto al sistema cartesiano $X O’ Y$ centrato in $(1, 3)$.

Risulta

 
Sostituendo tali valori nell’equazione della retta $r$ si trova

 
che è l’equazione di $r$ rispetto al nuovo sistema $X O’ Y$.

Esempio: data la parabola di equazione $y = 3x^2 – 5x + 6$, scrivere l’equazione della parabola simmetrica rispetto alla retta $y = 2$.

Per prima cosa si considera un nuovo riferimento cartesiano $X O’ Y$ centrato in $(0, 2)$, quindi

 
L’equazione della parabola rispetto al nuovo sistema è $Y + 2 = 3 X^2 – 5 X + 6$, ovvero $Y = 3 X^2 – 5 X + 4$. Chiedere la simmetrica rispetto alla retta $y = 2$ equivale a chiedere la simmetrica rispetto alla retta $Y = 0$, e l’equazione di tale parabola rispetto al nuovo sistema è banalmente

 
Ricordando che

 
sostituendo nella precedente equazione si trova

 
che è l’equazione della parabola simmetrica a $y = 3x^2 – 5x + 6$ rispetto alla retta $y = 2$.

Rotazioni nel piano

Sia $x O y$ un riferimento cartesiano ortogonale, $O = (0,0)$, e sia $X O Y$ un nuovo riferimento ottenuto come rotazione antioraria di un angolo $\theta$ attorno ad $O$ di $x O y$. Le coordinate dei due riferimenti sono legate dalle seguenti equazioni

 
Esempio: scrivere l’equazione dell’ellisse con asse focale appartenente alla retta $y = x$ di lunghezza $6$, asse minore appartenente alla retta $y = -x$ di lungezza $4$, centrato in $(0,0)$.

Si consideri come nuovo riferimento cartesiano $X O Y$ quello ottenuto ruotando il riferimento canonico in senso orario di un angolo pari a $\frac{\pi}{4}$. In tal modo gli assi dell’ellisse appartengono agli assi del nuovo riferimento, e l’equazione dell’ellisse rispetto a $X O Y$ è banalmente

 
Ricordando le relazioni della rotazione in questione

Le coordinate polari sono un sistema di coordinate nel piano determinato da un punto $O$, detto polo, e da una semiretta avente origine in $O$ detta asse polare. Un generico punto $P$ del piano è univocamente determinato da due parametri

1) la distanza dal polo, cioè la lunghezza del segmento $PO$, indicata con $
ho$

2) la misura in radianti dell’angolo, indicata con $ heta$, che l’asse polare forma con la retta $OP$, partendo da $O$ e spostandosi in senso antiorario.

Da questo si deduce che $
ho in mathbb{R}^+$ e $ heta in [0, 2 pi)$ (o comunque in ogni altro intervallo $[a, b)$ tale che $b – a = 2 pi$).

Spirale 

Una spirale è una curva che si avvolge attorno ad un punto fisso, detto polo della spirale.

Spirale archimedea

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Videolezione: Esercizio sulla circonferenza

Coordinate sferiche

Sfera

Ellissoide

 

 
Equazione cartesiana: dati $a, b, c in mathbb{R}^+$, l’equazione cartesiana dell’ellissoide standard è

$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2}  +frac{z^2}{c^2} = 1$

 

Se $a = b$ o $b = c$ o $a = c$ l’ellissoide viene detto sferoide, se invece $a = b = c$ l’equazione precedente identifica una sfera con centro in $(0,0,0)$ e raggio $a$.

 

Volume: il volume di un ellissoide con equazione $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} + frac{z^2}{c^2} = 1$ è $"Volume" = frac{4}{3} pi abc$.

 

Paraboloide

I due luoghi geometrici trattati nel seguito sono detti paraboloidi perché le loro sezione verticali sono parabole.

Paraboloide ellittico

Equazione cartesiana: l’equazione cartesiana di un paraboloide ellittico è $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} + 2z = 0$

 

Un tale paraboloide si chiama ellittico perché le sue sezioni orizzontali sono ellissi.

Paraboloide iperbolico

Equazione cartesiana: l’equazione cartesiana di un paraboloide ellittico è $frac{x^2}{a^2} – frac{y^2}{y^2} + 2z = 0$

 

Un tale paraboloide si dice iperbolico perché le sue sezioni orizzontali sono iperboli.

 

Triangolo rettangolo

Ponendo, per semplicità notazionale: $ar{AB} = c qquad ar{AC} = b qquad ar{BC} = a$ $A hat{C} B = gamma qquad A hat{B} C = eta$ valgono le seguenti relazioni

Teorema della corda

Sia $R$ il raggio della circonferenza, e sia $alpha$ l’ampiezza dell’angolo alla circonferenza sotteso dalla corda $AB$, allora la lunghezza di $AB$ è $ar{AB} = 2 R sin(alpha)$

Triangolo qualsiasi

Poniamo, per semplicità notazionale $ar{AB} = c qquad ar{AC} = b qquad ar{BC} = a$ $C hat{A} B = alpha qquad A hat{B} C = eta qquad A hat{C} B = gamma$ valgono le seguenti formule

Area del triangolo: $"Area" = frac{1}{2} ab sin(gamma) = frac{1}{2} bc sin(alpha) = frac{1}{2} ac sin(eta)$

Teorema dei seni: il rapporto fra la lunghezza di un lato e il seno dell’angolo ad esso opposto è costante, cioè

$frac{a}{sin(alpha)} = frac{b}{sin(eta)} = frac{c}{sin(gamma)}$

 

Teorema del coseno (o di Carnot): in ogni triangolo valgono le seguenti relazioni

 

$a^2 = b^2 + c^2 – 2 bc cos(alpha)$

 

$b^2 = a^2 + c^2 – 2 ac cos(eta)$

 

$c^2 = a^2 + b^2 – 2 ab cos(gamma)$

 

Teorema delle proiezioni: in ogni triangolo valgono le seguenti relazioni

 

$a = b cos(gamma) + c cos(eta)$

 

$b = a cos(gamma) + c cos(alpha)$

 

$c = a cos(eta) + b cos(alpha)$

 

Formule di Briggs: chiamando con $p = frac{a+b+c}{2}$ il semiperimetro, in ogni triangolo valgono le seguenti formule di Briggs

 

$sin(frac{alpha}{2}) = sqrt{frac{(p-b)(p-c)}{bc}}$	$cos(frac{alpha}{2}) = sqrt{frac{p (p-a)}{bc}}$
$sin(frac{eta}{2}) = sqrt{frac{(p-a)(p-c)}{ac}}$	$cos(frac{eta}{2}) = sqrt{frac{p (p-b)}{ac}}$
$sin(frac{gamma}{2}) = sqrt{frac{(p-a)(p-b)}{ab}}$	$cos(frac{gamma}{2}) = sqrt{frac{p (p-c)}{ab}}$

 

Raggio del cerchio inscritto: in ogni triangolo, detta $A$ l’area e $p$ il semiperimetro, il raggio del cerchio inscritto vale

 

$"raggio del cerchio inscritto" = frac{A}{p} = (p – a) "tg"(frac{alpha}{2}) = (p-b) "tg"(frac{eta}{2}) = (p-c) "tg"(frac{gamma}{2})$

 

Raggio del cerchio circoscritto: in ogni triangolo di area $A$ il raggio del cerchio circoscritto vale

 

$"raggio del cerchio circoscritto" = frac{a}{2 sin(alpha)} = frac{b}{2 sin(eta)} = frac{c}{2 sin(gamma)} = frac{abc}{4 A}$

 

Raggio della circonferenza exinscritta tangente, rispettivamente, ai lati di misura $a$, $b$, $c$:

 

$r_a = frac{A}{p – a} qquad r_b = frac{A}{p – b} qquad r_c = frac{A}{p – c}$

 

dove $A$ indica l’area del triangolo.

 

Lunghezza della mediana relativa, rispettivamente, ai lati di misura $a$, $b$, $c$:

 

$m_a = frac{1}{2} sqrt{2 b^2 + 2 c^2 – a^2} qquad m_b = frac{1}{2} sqrt{2 a^2 + 2 c^2 – b^2} qquad m_c = frac{1}{2} = frac{1}{2} sqrt{2 a^2 + 2 b^2 – c^2}$

 

Lunghezza della bisettrice relativa, rispettivamente, agli angoli di ampiezza $alpha$, $eta$, $gamma$:

 

$b_{alpha} = frac{2 bc cos(frac{alpha}{2})}{b + c} qquad b_{eta} = frac{2 ac cos(frac{eta}{2})}{a + c} qquad b_{gamma} = frac{2 ab cos(frac{gamma}{2})}{a + b}$

 

Le funzioni iperboliche (seno iperbolico, coseno iperbolico, tangente iperbolica, cotangente iperbolica, secante iperbolica, cosecante iperbolica) sono definite nel modo seguente

Proprietà dei limiti

Tavola dei limiti notevoli

Razionali

$lim_{x o pm infty} frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ldots + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + ldots + b_0} = {(+infty, " se " n > m " e " frac{a_n}{b_m} > 0),(-infty, " se " n > m " e " frac{a_n}{b_m} < 0),(frac{a_n}{b_m}, " se " n = m),(0, " se " n < m):}$

Esponenziali e logaritmici

Link utili

http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_dei_limiti_notevoli

http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Limiti/Indice_limiti.htm

Esercizi svolti sui limiti

Appunti di analisi

Studio di funzione

Definizione

Definizione di primitiva

Definizione