Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

L’amministratore di un piccolo condominio deve installare un nuovo serbatoio per il gasolio da riscaldamento. Non essendo soddisfatto dei modelli esistenti in commercio, ti incarica di progettarne uno che risponda alle esigenze del condominio.

Allo scopo di darti le necessarie informazioni, l’amministratore ti fornisce il disegno in figura 1, aggiungendo le seguenti indicazioni:

• la lunghezza L del serbatoio deve essere pari a otto metri;
• la larghezza l del serbatoio deve essere pari a due metri;
• l’altezza h del serbatoio deve essere pari a un metro;
• il profilo laterale (figura 2) deve avere un punto angoloso alla sommità, per evitare l’accumulo di ghiaccio durante i mesi invernali, con un angolo \(\theta \ge 10°\);
• la capacità del serbatoio deve essere pari ad almeno $13 m^3$, in modo da garantire al condominio il riscaldamento per tutto l’inverno effettuando solo due rifornimenti di gasolio;
• al centro della parete laterale del serbatoio, lungo l’asse di simmetria (segmento AB in figura 2) deve essere installato un indicatore graduato che riporti la percentuale di riempimento V del volume del serbatoio in corrispondenza del livello z raggiunto in altezza dal gasolio.

1. Considerando come origine degli assi cartesiani il punto A in figura 2, individua tra le seguenti famiglie di funzioni quella che meglio può descrivere il profilo laterale del serbatoio per \( x \in [-1, 1], k \mbox{intero positivo} \), motivando opportunamente la tua scelta: \[ f(x) = (1-|x|)^{\frac{1}{k}} \] \[ f(x) = -6|x|^3+9kx^2-4|x|+1 \] \[f(x) = \cos\Big( \frac{\pi}{2}x^k\Big) \]
2. Determina il valore di k che consente di soddisfare i requisiti richiesti relativamente all’angolo \(\theta\) e al volume del serbatoio.
3. Al fine di realizzare l’indicatore graduato, determina l’espressione della funzione $V(z)$ che associa al livello z del gasolio (in metri) la percentuale di riempimento V del volume da riportare sull’indicatore stesso.
   Quando consegni il tuo progetto, l’amministratore obietta che essendo il serbatoio alto un metro, il valore z del livello di gasolio, espresso in centimetri, deve corrispondere alla percentuale di riempimento: cioè, ad esempio, se il gasolio raggiunge un livello z pari a 50 cm vuol dire che il serbatoio è pieno al 50%; invece il tuo indicatore riporta, in corrispondenza del livello 50 cm, una percentuale di riempimento 59,7%.
4. Ilustra gli argomenti che puoi usare per spiegare all’amministratore che il suo ragionamento è sbagliato; mostra anche qual è, in termini assoluti, il massimo errore che si commette usando il livello z come indicatore della percentuale di riempimento, come da lui suggerito, e qual è il valore di z in corrispondenza del quale esso si verifica.

PROBLEMA 2

Nella figura 1 è rappresentato il grafico Γ della funzione continua \( f: [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} \), derivabile in \( ]0, +\infty) \), e sono indicate le coordinate di alcuni suoi punti.

È noto che Γ è tangente all’asse y in A, che B ed E sono un punto di massimo e uno di minimo, che C è un punto di flesso con tangente di equazione $2x + y – 8 = 0$.

Nel punto la retta tangente ha equazione $x+2y-5=0$ per \(x \ge 8\) il grafico consiste in una semiretta passante per il punto G. Si sa inoltre che l’area della regione delimitata dall’arco ABCD, dall’asse x e dall’asse y vale 11, mentre l’area della regione delimitata dall’arco DEF e dall’asse x vale 1.

1. In base alle informazioni disponibili, rappresenta indicativamente i grafici delle funzioni \[ y = f'(x) \] \[ F(x) = \int_0^x f(t)\, dt \]
   Quali sono i valori di $f'(3)$ e $f'(5)$? Motiva la tua risposta.
2. Rappresenta, indicativamente, i grafici delle seguenti funzioni: \[y = |f'(x)| \] \[ y=|f(x)|’ \] \[ y = \frac{1}{f(x)} \] specificando l’insieme di definizione di ciascuna di esse.
3. Determina i valori medi di $y = f(x)$ e di $y = |f(x)|$ nell’intervallo \([0,8]\), il valore medio di $y = f'(x)$ nell’intervallo \([1,7]\) e il valore medio di $y = F(x)$ nell’intervallo \([9,10]\).
4. Scrivi le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione $F(x)$ nei suoi punti di ascisse 0 e 8, motivando le risposte.

QUESTIONARIO

1. E’ noto che \[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi} \] Stabilire se il numero reale u, tale che \[ \int_{-\infty}^{u} e^{-x^2}\, dx = 1 \] è positivo oppure negativo. Determinare inoltre i valori dei seguenti integrali, motivando le risposte: \[ A = \int_{-u}^{u} x^7e^{-x^2}\, dx, \,\,\,\, B = \int_{-u}^{u} e^{-x^2}\, dx, \,\,\,\, C = \int_{-u}^{u} e^{-5x^2}\, dx\]
2. Data una parabola di equazione \[ y=1-ax^2 \mbox{, con } a \gt 0 \] si vogliono inscrivere dei rettangoli, con un lato sull’asse x, nel segmento parabolico delimitato dall’asse x. Determinare a in modo tale che il rettangolo di area massima sia anche il rettangolo di perimetro massimo.
3. Un recipiente sferico con raggio interno r è riempito con un liquido fino all’altezza h. Utilizzando il calcolo integrale, dimostrare che il volume del liquido è dato da: \[ V = \pi \cdot \Big(rh^2 – \frac{h^3}{3}\Big) \]
4. Un test è costituito da 10 domande a risposta multipla, con 4 possibili risposte di cui solo una è esatta. Per superare il test occorre rispondere esattamente almeno a 8 domande. Qual è la probabilità di superare il test rispondendo a caso alle domande?
5. Una sfera, il cui centro è il punto \(K(-2; -1; 2)\), è tangente al piano \(\Pi\) avente equazione $2x-2y+z-9=0$. Qual è il punto di tangenza? Qual è il raggio della sfera?
6. Si stabilisca se la seguente affermazione `e vera o falsa, giustificando la risposta:
   “Esiste un polinomio \(P(x)\)tale che \(|P(x)-\cos(x)| \le 10^{-3}, \forall x \in \mathit{R}\)”
7. Una pedina è collocata nella casella in basso a sinistra di una scacchiera, come in figura. Ad ogni mossa, la pedina può essere spostata o nella casella alla sua destra o nella casella sopra di essa. Scelto casualmente un percorso di 14 mosse che porti la pedina nella casella d’angolo opposta A, qual è la probabilità che essa passi per la casella indicata con B?
8. Data una funzione $f(x)$ definita in R, $f(x) = e^x(2x+x^2)$, individuare la primitiva di $f(x)$ il cui grafico passa per \((1, 2e)\).
9. Date le rette: \[ \begin{cases} x = t \\ y = 2t \\ z = t \end{cases} \] \[ \begin{cases} x+y+z-3 = 0 \\ 2x – y = 0 \end{cases} \] e il punto \(P(1; 0;−2)\) determinare l’equazione del piano passante per P e parallelo alle due rette.
10. Sia f la funzione così definita nell’intervallo \( ]1, +\infty[ \): \[ f(x) = \int_{e}^{x^2} \frac{t}{\ln t}\, dt \] Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f nel suo punto di ascissa \(\sqrt{e}\).

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Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

La funzione \(G: \mathfrak{R} \rightarrow \mathfrak{R} \) è così definita: \[ G(x) = \int_0^{2x} e^t \sin^2(t)\, dt \] svolgi le richieste che seguono.

1. Discuti campo di esistenza, continuità e derivabilità della funzione $G(x)$. Individua gli intervalli di positività/negatività e le eventuali intersezioni con gli assi cartesiani.
2. Determina l’esistenza degli asintoti della funzione $G(x)$, motivando opportunamente la risposta.
3. Individua i punti stazionari della funzione $G(x)$, riconoscendone la tipologia, e i punti di flesso. Disegna quindi il grafico della funzione, motivando le scelte fatte.
4. Studia l’andamento dei coefficienti angolari delle rette tangenti alla funzione $G(x)$ nei suoi punti di flesso a tangente obliqua, determinando in particolare se tali rette formano un fascio di rette parallele.

PROBLEMA 2

Sia \(\Gamma\) il grafico della funzione \[ f(x) = \frac{1}{1+k \cdot e^{-x}} \,\,\,\,\, k \in \mathit{R}, k \gt 0 \] definita sull’insieme \(\mathbb{R}\) dei numeri reali.

1. Relativamente al grafico \(\Gamma\), mostra come variano le coordinate del suo punto di flesso $P$ in funzione del parametro $k$ e verifica che in tale punto la pendenza del grafico è indipendente da $k$.
2. Dopo aver verificato che la funzione \(p(x) = \log(1+k\cdot e^{-x})+x\) è una primitiva di $f$, determina l’area della regione piana compresa tra \(\Gamma\), l’asse $y$, l’asse $x$ e la retta di equazione \(x = \log(\alpha)\). Che valore deve assumere \(\alpha\) perché tale area sia uguale a 1?
3. Dimostra che \[ g(x) = \log\Big(\frac{kx}{1-x}\Big) \] è la funzione inversa di $f$ e tracciane il grafico. Prova inoltre che la suddetta funzione $g$ è crescente in tutto il suo dominio e che il grafico della funzione $h$, definita come \[ h(x) = f(x)+g(x) \] interseca l’asse $x$ in un unico punto.
4. Considerata, per \(x \in \mathbb{R} \), la funzione \[ F(x) = \int_0^x f(t)\, dt \] determina le equazioni dei suoi asintoti e traccia il grafico di $F(x)$.

QUESTIONARIO

1. Tre circonferenze di raggio 1 sono tangenti esternamente una all’altra. Qual è l’area della regione interna che esse delimitano?
2. In un’urna ci sono 20 biglie, ognuna delle quali è rossa o nera. Stabilire quante sono quelle nere, sapendo che estraendo 2 biglie senza riporre la prima estratta, la probabilità di estrarre almeno una biglia nera è 27/38.
3. Dato un cilindro equilatero e la sfera ad esso circoscritta, qual è la probabilità che un punto interno alla sfera cada all’interno del cilindro?
4. Un solido ha per base la regione R del piano cartesiano compresa tra il grafico della funzione: \[ f(x) = \frac{1}{x^2+1} \] e l’asse delle x nell’intervallo [0, 3]; le sue sezioni ottenute su piani perpendicolari all’asse x sono tutti triangoli isosceli di altezza $kx$, con \( k \in \mathbb{R} \). Determinare $k$ in modo che il volume del solido sia pari a 2.
5. Il grafico di un polinomio di 3° grado è tangente all’asse $d$ nell’origine e interseca nuovamente l’asse in un punto di ascissa positiva. L’ascissa e l’ordinata del punto di massimo relativo sono tra loro uguali e diverse da 0. Determinare l’area della regione piana limitata che è compresa tra l’asse $x$ e il grafico del polinomio, sapendo che anche tale area coincide  numericamente con il valore comune all’ascissa e all’ordinata nel punto di massimo.
6. Il grafico in figura è quello della derivata prima $f'(x)$ di una funzione $f(x)$ continua in \(\mathbb{R}\). Il grafico riportato è simmetrico rispetto all’origine ed ha come asintoti le  rette di equazione $x=0$ e $5x+2y=0$
   Descrivere le principali caratteristiche relative all’andamento della funzione $f(x)$ e tracciarne, indicativamente, un possibile grafico. Tracciare inoltre il grafico della funzione $f”(x)$
7. Sono date le funzioni \(f(x) = e^{3-x}\) e \( g(x) = e^{2x} \). Determinare l’area della regione limitata racchiusa dall’asse $x$ e dai grafici di $f$ e di $g$.
8. Un giocatore di basket si esercita ai tiri liberi. Normalmente ha una quota di canestri dell’80%. Con quale probabilità va a canestro esattamente due volte su tre tiri?
   Individua un evento E per il quale valga: \[ P(E) = \begin{pmatrix} 50 \\ 50 \end{pmatrix} \cdot 0.8^{40} \cdot 0.2^{10} \]
9. Dati i punti (4, 14, 17), (16, 11, 14), (16, 2, 23):
   a) si dimostri che il triangolo ABC è isoscele e rettangolo;
   b) quali sono le coordinate del punto D tale che ABCD sia un quadrato?
10. Si considerino nello spazio il punto (1, 2, −1) ed il piano \(\alpha\) di equazione \( x-2y+z+4=0 \).
    a) Verificare che \(P \in \alpha\);
    b) determinare le equazioni delle superfici sferiche di raggio 6 che sono tangenti ad \(\alpha\) in $P$.

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Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

La funzione \( f: \mathfrak{R} \rightarrow \mathfrak{R} \) è così definita: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x} && \mbox{per } x \ne 0 \\ 1 && \mbox{per } x = 0 \end{cases} \]

1. Prova che $f$ è una funzione pari e che essa è derivabile in $x = 0$. Dimostra inoltre che la funzione $f$ ha un massimo assoluto in $x = 0$.
2. Traccia, in uno stesso diagramma, i grafici indicativi delle tre funzioni \[ y=f(x) \,\,\,\,\,\, y=\frac{1}{x}\,\,\,\,\\,\, y = -\frac{1}{x} \] e mostra che il grafico di $f$ è tangente agli altri due in infiniti punti. È vero che tali punti di tangenza sono anche massimi o minimi relativi della funzione f ?
3. Data \(\mathfrak{R}_0\) la regione piana di area finita delimitata dal grafico di $f$, dall’asse $x$ e dall’asse $y$ , si indica con $V_0$ il volume del solido generato ruotando \(\mathfrak{R}_0 \) intorno all’asse $y$ . Si indica inoltre con \(\mathfrak{R}_n\) la regione piana delimitata dal grafico di $f$ e dal tratto dell’asse $x$ compreso tra \( n\pi  \) e \((n+1)\pi\), qualsiasi sia \(n \in \mathbb{N}\), e con $V_n$ il volume del rispettivo solido di rotazione. Dimostra che risulta: \[ V_0 = V_n = 4\pi \]
4. Sia definita la funzione: \[ F(x) = \int_0^x f(t)\, dt \]
   Tenuto conto del fatto che \[ \lim_{x \rightarrow \infty} F(x) = \frac{\pi}{2} \] traccia un grafico indicativo dell’andamento della funzione $F$, individuandone, in particolare, le ascisse
   dei punti di massimo e di minimo. N.B. La primitiva della funzione $f$ non è esprimibile tramite le usuali funzioni analitiche.

PROBLEMA 2

Nella figura 1 è rappresentato il grafico \(\Gamma\) della funzione continua \( f: [0, +∞) \rightarrow \mathbb{R} \), derivabile in \(]0, +∞)\), e sono indicate le coordinate di alcuni suoi punti.

È noto che \(\Gamma\) è tangente all’asse $y$ in $A$, che $B$ ed $E$ sono un punto di massimo e uno di minimo, che $C$ è un punto di flesso con tangente di equazione $2x + y − 8 = 0$.

Nel punto $D$ la retta tangente ha equazione $x + 2y − 5 = 0$ e per \( x \ge 8\) il grafico consiste in una semiretta passante per il punto $G$. Si sa inoltre che l’area della regione delimitata dall’arco $ABCD$, dall’asse $x$ e dall’asse $y$ vale 11, mentre l’area della regione delimitata dall’arco $DEF$ e dall’asse $x$ vale 1.

1. In base alle informazioni disponibili, rappresenta indicativamente i grafici delle funzioni \[ y = f'(x) \] \[ F(x) = \int_0^x f(t)\, dt \]
   Quali sono i valori di $f'(3)$) e $f'(5)$? Motiva la tua risposta.
2. Rappresenta, indicativamente, i grafici delle seguenti funzioni: \[ y = |f'(x)| \] \[ y = |f(x)|’ \] \[ y = \frac{1}{f(x)} \] specificando l’insieme di definizione di ciascuna di esse.
3. Determina i valori medi di $ y = f(x)$ e di  $y = |f(x )|$ nell’intervallo \([0,8]\), il valore medio di $y= f'(x)$ nell’intervallo \([1,7]\) e il valore medio di $y = F(x)$ nell’intervallo \([9,10]\).
4. Scrivi le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione $F(x)$ nei suoi punti di ascisse 0 e 8, motivando le risposte.

QUESTIONARIO

1. E’ noto che \[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi} \] Stabilire se il numero reale $u$, tale che \[ \int_{-\infty}^{u} e^{-x^2}\, dx = 1\]
   è positivo oppure negativo. Determinare inoltre i valori dei seguenti integrali, motivando le risposte: \[A = \int_{-u}^{u} x^7 e^{-x^2}\, dx \,\,\,\, B=\int_{-u}^{u} x^7 e^{-x^2}\, dx \,\,\,\,  C =\int_{-u}^{u} x^7 e^{-x^2}\, dx \]
2. Data una parabola di equazione \[ y = 1 -ax^2, \mbox{con } a \gt 0\] si vogliono inscrivere dei rettangoli, con un lato sull’asse $x$, nel segmento parabolico delimitato dall’asse x.  Determinare $a$ in modo tale che il rettangolo di area massima sia anche il rettangolo di perimetro massimo.
3. Un recipiente sferico con raggio interno $r$ è riempito con un liquido fino all’altezza $h$. Utilizzando il calcolo integrale, dimostrare che il volume del liquido è dato da: \( V = \pi \cdot \Big( rh^2 – \frac{h^3}{3} \Big) \)
4. Un test è costituito da 10 domande a risposta multipla, con 4 possibili risposte di cui solo una è esatta. Per superare il test occorre rispondere esattamente almeno a 8 domande. Qual è la probabilità di superare il test rispondendo a caso alle domande?
5. Si stabilisca se la seguente affermazione è vera o falsa, giustificando la risposta: “Esiste un polinomio $P(x)$ tale che \( |P(x)-\cos(x)| \le 10^{-3}, \forall x \in \mathit{R} \)”
6. Calcolare il valore del limite: \[ \lim_{x \rightarrow 6} \frac{6-\sqrt{5x+6}}{x^2-8x+12} \] senza adoperare la regola de l’Hôpital.
7. Data una funzione $f(x)$ definita in R,  \( f(x) = e^x (2x+x^2) \), individuare la primitiva di $f(x)$ il cui grafico passa per  \((1 , 2e)\) .
8. Sia $f$ la funzione così definita nell’intervallo \( ]1,+\infty[\): \[ f(x) = \int_{e}^{x^2} \frac{t}{\ln t}\, dt \]
   Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f nel suo punto di ascissa \( \sqrt{e}\).

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PROBLEMA 1

Sei l’amministratore di un condominio che ha deliberato di dotarsi di una sala per le riunioni condominiali, sfruttando uno spazio comune già disponibile, da coprire e attrezzare. La superficie individuata è rappresentata in figura 1:

La superficie viene chiusa con pareti laterali alte 3,60 metri e con un tetto piano e orizzontale. Uno dei condomini ti fa presente la necessità di prevedere un impianto di aerazione nella sala, in quanto la mancanza di un adeguato ricambio d’aria in locali chiusi può provocare una serie di disturbi fisici, a causa dell’accumulo di $CO_2$ (anidride carbonica o diossido di carbonio). Di norma si considera come valore limite della concentrazione di $CO_2$ lo 0,15%: su 1 milione di particelle d’aria il massimo numero di molecole di $CO_2$ deve essere dunque 1500. Nella scelta dell’impianto di aerazione un parametro fondamentale è la potenza in kilowatt, che dipende dal volume dell’ambiente in cui esso viene utilizzato.

Nella scelta dell’impianto di aerazione un parametro fondamentale è la potenza in kilowatt, che dipende dal volume dell’ambiente in cui esso viene utilizzato.

La seguente scheda tecnica, fornita dal produttore, fa riferimento alle comuni esigenze di utilizzo:

1. In base ai dati disponibili e alla scheda tecnica, stima la potenza in kilowatt necessaria, giustificando la tua scelta.
   In occasione di una riunione di condominio, un rilevatore di $CO_2$ installato nella sala indica una concentrazione dello 0,3%; i condomini chiedono quindi di accendere l’impianto di aerazione, in modo che all’ora di inizio della riunione la concentrazione sia stata ridotta allo 0,15%. Il sistema di aerazione immette nella sala \( 20 \frac{m^3}{\mbox{minuto}} \) di aria fresca contenente lo 0,1% di $CO_2$ .
2. Approssimando il volume della sala a $130 m^3$ , ricava l’equazione differenziale che descrive l’andamento della concentrazione $c(t)$ in funzione del tempo $t$ (espresso in minuti). Verifica inoltre che la funzione \( c(t) = k \cdot e^{\frac{2}{13}t} + h \) è una soluzione di tale equazione differenziale.
3. Determina i valori da assegnare alle costanti $k$ e $h$ in modo che la funzione $c(t)$ rappresenti l’andamento della concentrazione di $CO_2$ a partire dall’istante $t = 0$ di accensione dell’aeratore. Stabilisci quindi quanto tempo prima dell’inizio della riunione esso deve essere acceso, per soddisfare la richiesta dei condomini.
4. L’impianto è in funzione da 10 minuti, quando i 50 partecipanti alla riunione accedono alla sala. Considerando che l’impianto rimane acceso anche durante la riunione e che un essere  umano mediamente espira 8 litri/minuto di aria contenente il 4% di $CO_2$ (fonte: OSHA, Occupational Safety and Health Administration) , descrivi in termini qualitativi come  cambierà l’andamento di $c(t)$ dopo l’ingresso dei condomini nella sala, giustificando la tua risposta.

PROBLEMA 2

Fissato \(k \in \mathfrak{R}\), la funzione \(g_k : \mathfrak{R} \rightarrow \mathfrak{R}\) è così definita: \(g_k(x) = e^{-k\cdot x^2}\).

Si indica con \(\Gamma_k \) il suo grafico, in un riferimento cartesiano $Oxy$.

1. Descrivi, a seconda delle possibili scelte di \(k \in \mathfrak{R} \) , l’andamento della funzione $g_k$ .
2. Determina per quali \(k \in  \mathfrak{R}\) il grafico \(\Gamma_k\) possiede punti di flesso e dimostra che, in tali casi, le ordinate dei punti di flesso non dipendono dal valore di $k$ e che le rette tangenti nei punti di flesso, qualunque sia $k$, passano tutte per il punto \(\Big(0, \frac{2}{\sqrt{e}} \Big)\). Assumi nel seguito \(k \gt 0\) . Sia $S_k$ la regione di piano compresa tra l’asse $x$ e \(\Gamma_k\).
3. Prova che esiste un unico rettangolo $R_k$ di area massima, tra quelli inscritti in $S_k$ e aventi un lato sull’asse $x$, e che tale rettangolo ha tra i suoi vertici i punti di flesso di \(\Gamma_k\). È possibile scegliere $k$ inmodo che tale rettangolo $R_k$ sia un quadrato?
4. Posto \[ G(t) = 2\pi \int_0^t x \cdot e^{-x^2}\, dx \] determina il valore di \[ \lim_{t \rightarrow +\infty} G(t) \] e interpreta il risultato in termini geometrici.

QUESTIONARIO

1. Si consideri questa equazione differenziale: \(y” + 2y’ + 2y = x\). Quale delle seguenti funzioni ne è una soluzione? Si giustifichi la risposta \[ \begin{matrix} a)\,\, y = e^{-x} (\sin x + \cos x) + x  && b) \,\, y = 2e^{-x} + x \\ c)\,\, y = e^{-x} (\sin x + \cos x) + \frac{1}{2} (x-1) && d)\,\, y=e^{-2x} + x \end{matrix} \]
2. Data la funzione cosi definita in \(\mathfrak{R}\): \[ f(x) = x \cdot e^{-|x^3-1|} \] determinarne minimi, massimi ed eventuali asintoti.
3. Determinare la velocità di variazione dello spigolo di un cubo, sapendo che il volume del cubo è pari a \(0.1 m^3\) e sta diminuendo alla velocità di \(1200 \frac{m^3}{\mbox{sec}}\)
4. Posto, per \( n \in N, \,\, A_n = \int_0^1 x^n e^x\, dx \), stabilire il valore di $A_1$ e dimostrare che, per ogni \(n \gt 0 \) si ha \(A_n = e -nA_{n-1}\).
5. I lati di un triangolo ABC misurano: $AB= 5 cm, BC = 6 cm, CA = 5 cm$. Preso a caso un punto P all’interno del triangolo, qual è la probabilità che P sia più vicino al vertice B che al vertice A?
6. I punti (3; 4; 1), (6; 3; 2), (3; 0; 3), (0; 1; 2) sono vertici di un quadrilatero ABCD. Si dimostri che tale quadrilatero è un parallelogramma e si controlli se esso è un rettangolo.
7. Determinare la distanza tra il punto P(2,1,1) e la retta: \[ \begin{cases} x+y = z+1 \\ z=-y+1 \end{cases} \]
8. Supponiamo che l’intervallo di tempo $t$ (in anni) tra due cadute di fulmini in un’area di $100 m^2$ sia dato da una variabile casuale continua con funzione di ripartizione: \[ P(t\le z) = \int_0^z 0.01 \cdot e^{-0.01s}\, ds \]
   a) Si calcoli la probabilità che, in tale area, i prossimi due fulmini cadano entro non più di 200 anni l’uno dall’altro.
   b) Si determini qual è il minimo numero di anni z, tale che sia almeno del 95% la probabilità che i prossimi due fulmini cadano in tale area entro non più di z anni l’uno dall’altro.
9. Una curva “a spirale” inizia nel punto A, come indicato in figura, ed è formata congiungendo un numero infinito di semicirconferenze di diametri sempre più piccoli. Il diametro $d_1$ della prima semicirconferenza è di $80 cm$. Il diametro $d_2$ della seconda è pari ai $3/5$ di $d_1$ . Il diametro $d_3$ della seconda è pari ai $3/5$ di $d_2$ , e così via: \(d_{n+1} = \frac{3}{5}d_n \) per ogni $n$.
   Con lo sviluppo della curva, gli estremi delle varie semicirconferenze tendono al cosiddetto “occhio” E della spirale (ossia l’unico punto contenuto in tutti i vari diametri). Qual è la distanza (in linea retta) tra il punto A e il punto E? E qual è la lunghezza del cammino che va da A a E, percorrendo l’intera curva?
10. Si stabilisca il valore del limite: \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2-73\cdot \cos^3\Big(4x+\frac{\pi}{11}\Big)}{5x-\sin^2\Big(x-\frac{\pi}{7}\Big)} \] motivando adeguatamente la risposta.

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Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

Sei addetto alla gestione di una macchina utensile in cui è presente un contenitore di olio lubrificante avente la forma di un cono circolare retto col vertice rivolto verso il basso. Il raggio di  base $r$ del cono è 4 cm mentre l’altezza $h$ è 12 cm. In tale contenitore, inizialmente vuoto, viene versato automaticamente dell’olio cm 3 lubrificante alla velocità di \(12 \pi \frac{\mbox{cm}^2}{s} \). Devi assicurarti che il processo avvenga correttamente, senza produrre traboccamenti di olio.

1. Determina l’espressione della funzione $h(t)$, che rappresenta il livello $h$ (in cm) raggiunto dall’olio all’istante $t$ (in secondi) e la velocità con la quale cresce il livello dell’olio durante il riempimento del contenitore.
2. Al fine di programmare il processo di versamento da parte della macchina utensile, determina il tempo $t$ necessario perché il contenitore sia riempito fino al 75% della sua altezza.
3. Devi realizzare un indicatore graduato, da porre lungo l’apotema del cono, che indichi il volume $V$ di olio presente nel recipiente in corrispondenza del livello raggiunto dall’olio $l_A$, misurato all’apotema. Individua l’espressione della funzione $V(l_A)$ da utilizzare per realizzare tale indicatore graduato.
4. A causa di un cambiamento nell’utilizzo della macchina, ti viene richiesto di progettare un nuovo e più capiente recipiente conico, avente apotema uguale a quello del contenitore  attualmente in uso. Determina i valori di $h$ e di $r$ in corrispondenza dei quali il volume del cono è massimo e verifica, a parità di flusso di olio in ingresso e di tempo di riempimento $t_R$ , a quale livello di riempimento si arriva. È ancora pari al 75% dell’altezza?

PROBLEMA 2

La funzione \(f : \mathfrak{R} \rightarrow \mathfrak{R} \) è così definita: \[ f(x) = \sin(x) – x \cdot \cos(x) \]

1. Dimostra che è una funzione dispari, che per \( x \in ]0, \pi ] \),  si ha \( f(x) \gt 0 \) e che esiste un solo valore \( x_0 \in ]0, 2\pi] \) tale che \( f(x_0) = 0 \). Traccia inoltre il grafico  della funzione per \( x \in [0, 5\pi] \).
2. Determina il valore dell’integrale definito: \[ \int_0^\frac{\pi}{2} f(x)\, dx \] e, sapendo che risulta: \[ \int_0^\frac{\pi}{2} f^2(x)\, dx = \frac{\pi^3}{48} – \frac{\pi}{8}\] prova che  risulta verificata la disequazione: \[ \pi^3 + 18\pi \lt 96 \]anche non conoscendo il valore di \(\pi\).
3. Verifica che, qualsiasi \( n \in \mathbb{N} \), risulta: \[ \int_0^{(2n+1)\pi} f(x)\, dx = 4 \] \[ \int_0^{2n\pi} f(x)\, dx = 0 \]
4. Dimostra che i massimi della funzione \( f^2(x) \) giacciono su una parabola e i minimi su una retta, e scrivi l’equazione della parabola e della retta.

QUESTIONARIO

1. Calcolare il limite: \[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\cos(x)-1)}{\ln (\cos^2(x))} \]
2. In media, il 4% dei passeggeri dei tram di una città non paga il biglietto. Qual è la probabilità che ci sia almeno un passeggero senza biglietto in un tram con 40 persone? Se il numero di persone raddoppia, la probabilità raddoppia?
3. Determinare il parametro reale $a$ in modo che i grafici di $y = x^2$ e di $y = -x^ 2+4x – a$ , risultino tangenti e stabilire le coordinate del punto di tangenza.
4. Dati i punti A(2, 4, −8) e B(−2, 4, −4), determinare l’equazione della superficie sferica di diametro AB e l’equazione del piano tangente alla sfera e passante per A.
5. Un’azienda produce, in due capannoni vicini, scatole da imballaggio. Nel primo capannone si producono 600 scatole al giorno delle quali il 3% difettose, mentre nel secondo capannone se ne producono 400 con il 2% di pezzi difettosi. La produzione viene immagazzinata in un unico capannone dove, nel corso di un controllo casuale sulla produzione di una giornata, si trova una scatola difettosa. Qual è la probabilità che la scatola provenga dal secondo capannone?
6. In un semicerchio di raggio $r = 10$ è inscritto un triangolo in modo che due vertici si trovino sulla semicirconferenza e il terzo vertice si trovi nel centro del cerchio. Qual è l’area massima che può assumere tale triangolo?
7. Calcolare, se esiste, il limite della seguente successione esplicitando il procedimento seguito: \[ \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( 1+ \frac{3}{n} \Big)^{-n} \]
8. Data la funzione \(f(x) = -x^4 + 2x^2 + 8 \) , sia $g$ la retta passante per i punti A(0,8) e B(2,0). Si calcoli l’area della regione trattegiata indicata in figura.
9. Dati i punti (−2, 0, 1), (1, 1, 2), (0, −1, −2), (1, 1, 0), determinare l’equazione del piano \(\alpha\) passante per i punti A, B, C e l’equazione della retta passante per D e perpendicolare al piano \(\alpha\).
10. Si consideri, nel piano cartesiano, la regione limitata $R$ , contenuta nel primo quadrante, compresa tra l’asse $y$ ed i grafici di $y = 2^x$ e $y = x^2$ . Si determinino i volumi dei solidi che si ottengono ruotando attorno all’asse $x$ e all’asse $y$.

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Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

Problema 1

Un artigiano vuole realizzare contenitori da viaggio per scarpe e ipotizza contenitori con una base piana e un’altezza variabile sagomata che si adatti alla forma della scarpa.

L’artigiano procede alla progettazione del profilo e stabilisce che tali contenitori debbano essere a base rettangolare di dimensioni 20 cm per 30 cm e che l’altezza, procedendo in senso longitudinale da 0 a 30 cm, segua l’andamento così descritto: ad un estremo, corrispondente alla punta della scarpa, l’altezza è 4 cm, a 10 cm da questo estremo la sagoma flette e l’altezza raggiunge 8 cm, a 20 cm dall’estremo l’altezza raggiunge 12 cm, mentre all’altro estremo l’altezza è zero.

Prima di procedere alla produzione di un prototipo, l’artigiano vuole essere sicuro del suo progetto. Pensa che occorra una competenza in matematica per avere la certezza che il contenitore realizzato in base al profilo da lui progettato possa contenere vari tipi di scarpe. Ti chiede quindi di procedere alla modellizzazione del profilo del prototipo:

1. Scelto un riferimento cartesiano Oxy in cui l’unità di misura corrisponda a un decimetro, individua, tra le seguenti funzioni, quella che possa meglio corrispondere al profilo descritto, e giustifica la risposta: \[ \begin{matrix} y = e^{(ax^2+bx+c)} + (x+d)^2 && a,b,c,d \in \mathit{R}, x \in [0,3] \\ y=\frac{\sin^2(ax+b)+\cos^2 (ax+b)}{cx+d} && a,b,c,d \in \mathit{R}, x \in [0,3] \\ y = ax^3+bx^2+cx + d && a,b,c,d \in \mathit{R}, x \in [0,3] \end{matrix} \]
2. dopo aver scelto la funzione che meglio rappresenta il profilo determina i valori dei parametri $a, b, c, e d$ in base alle dimensioni definite dall’artigiano;
3. studia la funzione che hai individuato e rappresentala graficamente nel riferimento cartesiano Oxy; verifica se il contenitore possa essere adoperato con una scarpa alta 14 cm.
   L’artigiano decide di valutare anche le condizioni di vendita del prodotto. Il costo di produzione è pari a 5 € per ogni contenitore, più un costo fisso mensile di 500 €; in base alla sua conoscenza del mercato, ritiene di poter vendere ciascun contenitore a 15 € e immagina che aumentando sempre più il numero di contenitori prodotti in un mese il rapporto ricavo/costo possa crescere indefinitamente;
4. mostra che ciò non è vero e per illustrare all’artigiano il risultato matematico disegna l’andamento del rapporto ricavo/costo al crescere del numero di contenitori prodotti in un mese.

Problema 2

Il tuo liceo, nell’ambito dell’alternanza scuola lavoro, ha organizzato per gli studenti del quinto anno un’attività presso lo stabilimento ICE ON DEMAND sito nella tua regione. All’arrivo siete stati divisi in vari gruppi. Il tuo, dopo aver visitato lo stabilimento e i laboratori, partecipa ad una riunione legata ai processi di produzione.
Un cliente ha richiesto una fornitura di blocchi di ghiaccio a forma di prisma retto a base quadrata di volume 10 dm 3 , che abbiano il minimo scambio termico con l’ambiente esterno, in modo da resistere più a lungo possibile prima di liquefarsi.
Al tuo gruppo viene richiesto di determinare le caratteristiche geometriche dei blocchi da produrre, sapendo che gli scambi termici tra questi e l’ambiente avvengono attraverso la superficie dei blocchi stessi.

1. Studia la funzione che rappresenta la superficie del parallelepipedo in funzione del lato b della base quadrata e rappresentala graficamente;
2. determina il valore di b che consente di minimizzare lo scambio termico e il corrispondente valore dell’altezza h, e commenta il risultato trovato.
   Il blocco di ghiaccio al termine del processo produttivo si trova alla temperatura di -18°C, uniformemente distribuita al suo interno. Esso viene posto su un nastro trasportatore che lo porta a un camion frigorifero, attraversando per due minuti un ambiente che viene mantenuto alla temperatura di 10°C; esso pertanto tende a riscaldarsi, con velocità progressivamente decrescente, in funzione della differenza di temperatura rispetto all’ambiente;
3. scegli una delle seguenti funzioni per modellizzare il processo di riscaldamento prima della liquefazione ($T_a$ = temperatura ambiente, $T_g$ = temperatura iniziale del ghiaccio, $T(t)$ =  temperatura del ghiaccio all’istante $t$, dove $t$ = tempo trascorso dall’inizio del riscaldamento, in minuti): \[ \begin{matrix} T(t) = (T_g – T_a) e^{-Kt} \\ T(t) = (T_a – T_g) (1-e^{-Kt}) + T_g \\ T(t) = (T_a – T_g) e^{-Kt} – T_a \end{matrix} \] e determina il valore che deve avere il parametro $K$, che dipende anche dai processi produttivi, perché il
   blocco di ghiaccio non inizi a fondere durante il percorso verso il camion frigorifero.
   L’azienda solitamente adopera, per contenere l’acqua necessaria a produrre un singolo blocco di ghiaccio, un recipiente avente la forma di un tronco di cono, con raggio della base minore eguale a 1 dm, raggio della base maggiore eguale a 1,5 dm, e altezza eguale a 2 dm;
4. sapendo che nel passaggio da acqua a ghiaccio il volume aumenta del 9,05%, stabilisci se il suddetto recipiente è in grado di contenere l’acqua necessaria a produrre il blocco richiesto e, in tal caso, a quale altezza dal fondo del recipiente arriverà l’acqua.

Questionario

1. Lanciando una coppia di dadi cinque volte qual è la probabilità che si ottenga un punteggio totale maggiore di sette almeno due volte?
2. Considerata la parabola di equazione $y = 4 – x^2$ , determina le equazioni delle rette tangenti alla parabola nel punto di ascissa 2 e nel suo simmetrico rispetto all’asse di simmetria  della parabola.
3. Determinare un’espressione analitica della retta perpendicolare nel punto [1,1,1] al piano di equazione $2x-3y+z=0$.
4. Data la funzione \[ f(x) = \begin{cases} x^3  && 0 \le x \le 2 \\x^2-kx+h && 2 \lt x \le 4 \end{cases} \] Determinare i parametri $h$ e $k$ in modo che $f(x)$ sia derivabile in tutto l’intervallo  [0; 4].
5. Determinare l’equazione dell’asintoto obliquo del grafico della funzione: \[ f(x) = \frac{x}{2^{\frac{1}{x}}+1} \]
6. Risolvere la seguente equazione: \[ 6 \begin{pmatrix} x \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2 \\ 5 \end{pmatrix} \]
7. Data la funzione \( f(x) = \frac{1}{2} x^2 \ln(x) – \frac{1}{4}x^2 \), dopo aver determinato il campo di esistenza ricerca l’eventuale asintoto verticale.
8. Determina, utilizzando la definizione, la derivata prima della seguente funzione: \( y = \sin 2x \) e generalizza il risultato per \( y = \sin nx \) con \( n \in \mathbb{N} \).
9. Un oggetto viene lanciato verso l’alto; supponendo che $h(t) = 40t-2t^2$ sia la legge oraria del suo moto espressa in metri, determina la funzione velocità e la quota massima raggiunta dall’oggetto.
10. Analizza il grafico della funzione \( y = \frac{|x-2|}{x-2} \cdot \ln (x-1) \) e studiare i punti di discontinuità.

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Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda ai 5 quesiti del questionario.

Problema 1

Le centraline di controllo del Po a Pontelagoscuro (FE) registrano il valore della portata dell’acqua, ovvero il volume d’acqua che attraversa una sezione trasversale del fiume nell’unità di tempo. Come responsabile della sicurezza della navigazione fluviale in quel tratto del Po, devi valutare quando consentire la navigazione stessa, in considerazione delle condizioni atmosferiche e del livello dell’acqua. Nel corso dell’anno le portate medie del Po (a Pontelagoscuro) sono di circa 34 milioni di $m^3$ al giorno in regime di magra, 130 milioni di $m^3$ al giorno in regime normale con un’oscillazione del 10% e 840 milioni di m3 al giorno in regime di piena (fonte deltadelpo.net).
Durante un periodo di alcuni giorni di piogge intense, dalle rilevazioni registrate risulta che:

• nei primi due giorni dall’inizio delle misurazioni il valore della portata dell’acqua si è alzato dal valore di regime normale di 130 milioni di $m^3$ al giorno fino al valore massimo di 950 milioni di $m^3$ al giorno;
• nei giorni successivi la portata si è ridotta, tornando verso il valore di regime normale, inizialmente più velocemente e poi più lentamente.

1. Indicando con t il tempo, misurato in giorni, fissa un adeguato sistema di riferimento cartesiano in cui rappresentare il grafico dell’andamento della portata. Verifica se una delle seguenti funzioni può essere usata come modello per descrivere tale andamento, tenendo conto dei valori rilevati e del punto di massimo, giustificando con opportune argomentazioni sia la scelta che l’esclusione. \[ \begin{matrix} f(t) = a \cdot \cos (b\cdot t) + c \\ g(t) = a \cdot e^{-\frac{t^2}{b}} + c\\ h(t) = a \cdot t \cdot e^{1-b\cdot t} + c \\ a, b, c \in \mathfrak{R} \end{matrix} \]
2. Individuata la funzione, determina i parametri in modo che siano verificate le condizioni sopra descritte per la portata e tracciane il grafico;
3. Studia la variazione della portata nel tempo e valuta dopo quanti giorni tale variazione raggiunge il suo minimo. Inoltre, dovendo prevedere quando autorizzare la ripresa della navigazione in condizioni di sicurezza, valuta, analiticamente o per via grafica, dopo quanti giorni la portata rientra nel limite di oscillazione del valore di regime normale;
4. Nel tempo trascorso tra l’inizio del fenomeno e il rientro nei limiti normali, qual è il volume di acqua che ha superato il valore di regime normale?

Problema 2

Il grafico G in figura 1 rappresenta una funzione del tipo: \[ f(x) = x^k \cdot e^{(k-x)} \,\,\,\, , \,\,\,\, x \in \mathit{R}, k \gt 1\]

1. determina il valore del parametro $k$ affinché la $f(x)$ sia rappresentata dal grafico, motivando la tua risposta. Calcola inoltre le coordinate dei punti di flesso, le equazioni degli eventuali asintoti e le equazioni delle rette tangenti a G nei punti di flesso;
2. considera un triangolo avente i vertici, rispettivamente, nell’origine, nel punto della funzione di ascissa $a$, e nel punto $P$ sua proiezione sull’asse $x$. Determina il valore \(a \ge 0 \) per cui la  sua area sia massima;
3. calcola l’area della regione piana delimitata da G e dall’asse x nell’intervallo [0,2] e determina il valore dell’errore percentuale che si verifica nel calcolo di tale area se nell’intervallo [0,2]  si adotta, per approssimare , una funzione razionale di 3° grado della forma \[ r(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \,\,\,\, , \,\,\,\, x \in \mathit{R}, a, b, c, d \in \mathit{R} \] con \[ r(0) = f(0), r(2) = f(2) = 4, r'(0) = 0, r'(2) = 0 \];
4. dimostra che, dette A e B le intersezioni tra le tangenti a G nei punti di flesso e l’asse $x$, C e D le proiezioni dei punti di flesso sull’asse x, si ha: \[ \overline{AB} = 2\overline{CD} \] per qualsiasi \(k \in N, k \gt 1 \).

Quesiti

1. Determinare il volume del solido generato dalla rotazione attorno alla retta di equazione $y = 3$ della regione di piano delimitata dalla curva di equazione $ y = x^3 − 3x + 3$ e dalla  retta stessa;
2. Verificare che la funzione: \[ f(x) = \frac{1}{3^{\frac{1}{x}}+1} \] ha una discontinuità di prima specie (“a salto”), mentre la funzione: \[  f(x) = \frac{x}{3^{\frac{1}{x}}+1} \] ha una discontinuità di terza specie (“eliminabile”);
3. Durante il picco massimo di un’epidemia di influenza il 15% della popolazione è a casa ammalato:
   a) qual è la probabilità che in una classe di 20 alunni ce ne siano più di due assenti per l’influenza?
   b) descrivere le operazioni da compiere per verificare che, se l’intera scuola ha 500 alunni, la probabilità che ce ne siano più di 50 influenzati è maggiore del 99%.
4. Utilizzando il differenziale calcola di quanto aumenta il volume di un cono retto avente raggio di base 2 m e altezza 4 m quando il raggio di base aumenta di 2 cm.
5. Considerata la parabola di equazione \(y = 4 – x^2\) , nel primo quadrante ciascuna tangente alla parabola delimita con gli assi coordinati un triangolo. Determinare il punto di tangenza  in modo che l’area di tale triangolo sia minima.
6. Determinare la soluzione particolare della equazione differenziale \(y’ – x = xy\) , verificante la condizione iniziale \(y(0) = 2 \).
7. Calcolare il valor medio della funzione \[ f(x) = \begin{cases} x-1 && 1 \le x \le 3 \\ e^{x-3} + 1 && 3 \lt x \lt 6 \end{cases} \]nell’intervallo [1, 6] e determinare il valore della $x$ in cui la funzione assume il valore medio.
8. Una sfera ha il raggio che aumenta al passare del tempo secondo una data funzione $r(t)$.
   Calcolare il raggio della sfera nell’istante in cui la velocità di crescita della superficie sferica e la velocità di crescita del raggio sono numericamente uguali.
9. In un riferimento cartesiano nello spazio Oxyz, data la retta r di equazioni: \[ \begin{cases} x = 2t +1 \\ y = 1 + t \\ z = kt \end{cases} \] e il piano P di equazione: \[ x +2y -z + 2 = 0 \] determinare per quale valore di $k$ la retta $r$ e il piano P sono paralleli, e la distanza tra di essi.
10. Scrivere l’equazione della circonferenza C che ha il centro sull’asse y ed è tangente al grafico $G_f$ di $f(x) = x^3 − 3x^2$ nel suo punto di flesso.

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