Keith Devlin, I Problemi del Millennio ,

Longanesi & C., Milano, 2005, € 17,50

Parigi… cent’anni dopo. Il 24 maggio del 2000, in una sala del Collège de France gremita di esponenti della stampa mondiale viene dato un annuncio clamoroso: chiunque riuscirà, senza limite di tempo alcuno, a risolvere uno dei sette problemi esposti nel corso di quella stessa conferenza vincerà la colossale cifra di un milione di dollari(!!!) messa in palio da un americano, un certo Landon Clay. Sette milioni dunque, uno per ogni problema. Ma cosa sono esattamente questi problemi? E perché Landon Clay è disposto a pagare una tale somma per la loro soluzione? Ma soprattutto, essendo Clay americano, perché l’annuncio è stato dato a Parigi? Per trovare risposta a tutti questi quesiti occorre fare un salto nel tempo di… cent’anni…   Parigi, 8 agosto 1900 Durante il secondo Congresso internazionale di Matematica prende la parola il noto matematico tedesco David Hilbert. La parte più importante del suo discorso consiste nell’esposizione all’élite matematica presente di ventitré problemi irrisolti a quella data. Hilbert lancia così la sfida: risolvere quei problemi! Chiunque ne avesse risolto anche uno solo non avrebbe guadagnato niente dal punto di vista economico, ma avrebbe ottenuto gloria eterna in campo matematico, oltre a dare un concreto aiuto all’umanità tutta. La scelta di Hilbert non è mossa dal caso, ma da un’analisi ben ponderata dello scenario complessivo che caratterizza la matematica alle soglie del XX secolo; i ventitré problemi mostrano chiaramente in che direzione va la matematica e quali prospettive (ma anche quali limiti) esistono al principio del Novecento.   Sono dunque di carattere storico le motivazione che hanno indotto Landon Clay a scegliere quella sede. Esattamente un secolo dopo un annuncio destinato a cambiare il volto della matematica ne veniva fatto un altro, forse altrettanto significativo. Lo scopo di Clay è preciso: dare nuovo impulso alla matematica, una materia tanto importante quanto trascurata dalla maggior parte della gente, dalle istituzioni, dall’attenzione dei media. Come ha affermato lo stesso magnate, purtroppo i finanziamenti statali sono sempre troppo esigui e la matematica meriterebbe onore e considerazione diversi. Lo stesso Landon Clay non è un matematico, ma è appassionato della materia, ecco perché ha fondato il Clay Mathematics Institute, un’organizzazione atta a promuovere la ricerca in campo matematico e deputata alla gestione della sfida riguardante i sette problemi. Già… i sette problemi… in fondo sono  loro i veri protagonisti di questo libro, diviso appunto in sette capitoli, ciascuno dei quali dedicato a uno degli enigmi (oltre un piccolo capitolo di presentazione). Ogni capitolo ha un titolo suggestivo che riassume l’essenza del problema a cui è collegato. Ecco dunque come appare l’indice del libro:   0. La sfida è lanciata 1. La musica dei numeri primi L’ipotesi di Riemann 2. I campi di cui siamo fatti La teoria di Yang-Mills e l’ipotesi del gap di massa 3. Quando i computer falliscono Il problema P versus NP 4. Creare onde Le equazioni di Navier-Stokes 5. La matematica del comportamento continuo La congettura di Poincaré 6. Sapere quando un’equazione non può essere risolta La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer 7. Geometria senza figure La congettura di Hodge   Sono questi dunque i sette problemi, i “Problemi del Millennio”, proposti per la prima volta a pochi mesi dall’inizio del terzo Millennio. Interessante è osservare come uno di essi non sia nuovo a questo genere di sfide, parlo dell’ipotesi di Riemann, già presente nella lista dei ventitré problemi esposti da Hilbert. La congettura di Riemann è l’unico dei ventitré che abbia resistito a ogni tentativo di soluzione per tutto il XX secolo, mentre gli altri ventidue hanno tutti trovato risposta nel corso del Novecento, ultimo di essi il celeberrimo enigma di Fermat, risolto nel 1994 da Andrew Wiles. A differenza dei problemi di Hilbert, i “sette” non costituiscono un’indicazione significativa per sapere in che direzione va la matematica dei giorni nostri; rimangono tuttavia i sette quesiti legati al mondo della matematica più difficili tuttora irrisolti. La soluzione di ciascuno di essi avrebbe inoltre conseguenze strabilianti in diversi campi della scienza. Spiegare in due parole la portata di ogni problema sarebbe impresa ardua. Addirittura spiegare semplicemente il testo del quesito (dire qual è la domanda a cui si cerca risposta) risulta a volte impossibile ai non addetti ai lavori. In alcuni casi, solo poche persone al mondo sono in grado di capire appieno la richiesta che un problema ci pone. Il caso più emblematico è quello della congettura di Hodge… solo spiegarla (e quindi, da parte del lettore, capirla) richiede conoscenza eccelse di matematica… Volete un assaggio? Vi riporto un passo tratto dal settimo capitolo: “Si tratta di una questione altamente tecnica, nascosta nei recessi di una foresta di matematica avanzata altamente astratta, nota solo a pochi matematici di professione. Ha a che fare con oggetti talmente lontani dalla portata dell’intuito – anche per gli esperti – che non solo non esiste la possibilità di dire se la congettura abbia maggiori probabilità di risultare vera o falsa, ma a ben guardare non c’è nemmeno un reale consenso riguardo a ciò che essa effettivamente sostiene. Proprio non mi credete quando dico che è molto peggio degli altri sei problemi? E allora ecco a voi la congettura di Hodge: Ogni forma differenziale armonica (di un certo tipo) su una varietà algebrica proiettiva non singolare è una combinazione di classi di co-omologia di cicli algebrici Se c’è qualcuno che ha capito uno solo dei termini tecnici in questa frase, può ritenersi bravo.” Tuttavia non è il caso di preoccuparsi (per fortuna i problemi del Millennio non sono tutti così difficili) poiché il libro di Devlin, a dispetto di quanto si possa credere, è destinato a un pubblico profano. Ogni problema viene presentato in modo semplice ed intuitivo, corredato di cenni storici riguardanti il problema di per sé e la vita di colui che l’ha posto per la prima volta all’attenzione del mondo. Sporadicamente vi sono delle appendici ai capitoli in cui si spiega meglio qualche argomento trattato nelle pagine precedenti che potrebbe risultare di meno facile comprensione. Il problema è che i “sette enigmi” hanno in sé una difficoltà oggettiva, che a volte non può essere superata. Quindi non crucciatevi se qualche punto vi risulterà oscuro, è normale che sia così. Personalmente penso che l’autore abbia esposto ogni quesito nella maniera più facile ed accessibile che si potesse, ma bisogna tener conto che l’argomento è tale da non poter essere semplificato ulteriormente… non a caso ci sono sette milioni di dollari in palio! Invito caldamente a leggere questo libro anche coloro i quali non sono del tutto “neofiti” della materia, infatti quando prima ho parlato di “libro rivolto a un pubblico profano” intendevo tutti coloro che non hanno conoscenze matematiche tali da poter capire i Problemi del Millennio leggendo la loro formulazione originale: nei confronti di queste pietre miliari della matematica siamo tutti, chi più chi meno, dei neofiti.

Andrea Vitiello

Marcus du Sautoy, L’enigma dei numeri primi , Rizzoli, 2005

Se conoscete un matematico di professione, provate a chiedergli qual è, secondo lui, il più grande mistero della matematica… qual è, per intenderci, il problema insoluto che più affascina la comunità dei matematici. Con ogni probabilità vi sentirete rispondere: “La congettura di Riemann”.

Si tratta di un’ipotesi avanzata nel 1859 dal matematico tedesco Bernhard Riemann ma che non riuscì a dimostrare (o, come vedremo in seguito, a noi non è giunta traccia di alcuna dimostrazione). Sono tanti ed illustri i nomi di matematici che nel corso degli anni si sono avvicinati a questa congettura ma nessuno finora è stato in grado di dimostrarla né tantomeno di confutarla. Ma cosa dice esattamente questa ipotesi e perché è così importante agli occhi della comunità mondiale dei matematici? Essa riguarda un argomento che da sempre ha incuriosito gli uomini ed affonda le proprie radici in tempi lontani secoli e secoli nel passato: i numeri primi…

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,…

Eccoli scorrere in successione, in tutta la loro irregolarità! Ma siamo sicuri che il susseguirsi dei numeri primi sia del tutto irregolare? Che nessuna legge precisa determini l’apparire, qua e là tra i numeri naturali, dei numeri primi? Proprio questa è l’essenza della congettura di Riemann, che ipotizzò ordine e armonia nell’apparente caos della successione dei numeri primi. Già Gauss si era interessato all’argomento, introducendo una funzione (il “logaritmo integrale”), che, dato un numero naturale N, restituisce una stima dei numeri primi inferiori a N. Riemann estese una funzione utilizzata per la prima volta da Eulero, la funzione zeta, al campo dei numeri complessi. Risultava dunque possibile dare un valore alla funzione zeta in corrispondenza di qualunque numero complesso, in modo da poter disegnare il grafico di una funzione che coprisse tutto il piano complesso; il paesaggio così creato prende il nome di “paesaggio zeta”. Ovviamente i punti in cui la funzione si annulla risultano essere “al livello del mare” nel paesaggio zeta.

“Quello che Riemann aveva fatto era stato prendere ciascuno dei punti situati a livello del mare sulla mappa del mondo immaginario. Da ciascun punto aveva creato un’onda, una nota emessa da un qualche strumento matematico. Combinando tutte queste onde, ottenne un’orchestra che suonava la musica dei numeri primi. La coordinata nord-sud di ogni punto a livello del mare controllava la frequenza dell’onda, ovvero l’altezza della nota corrispondente. Al contrario, la coordinata est-ovest controllava, come aveva compreso Eulero, l’intensità alla quale ciascuna nota sarebbe stata suonata. Tanto maggiore era l’intensità della nota, quanto più grandi erano le fluttuazioni del suo grafico ondulato. A Riemann interessava capire se qualcuno degli zeri suonasse con un’intensità significativamente maggiore rispetto agli altri. Un tale zero avrebbe prodotto un’onda il cui grafico avrebbe oscillato più delle altre onde e quindi avrebbe avuto un ruolo maggiore nel conteggio dei numeri primi. Dopo tutto, sono le altezze di queste onde che controllano la differenza fra la stima di Gauss e il vero numero di numeri primi ”.

Il problema era dunque conoscere la distribuzione degli zeri della funzione zeta e vedere quanto a est nel paesaggio zeta si presentassero. Per vederci più chiaro, Riemann decise di calcolare alcuni dei punti a ‘livello del mare’ per vedere con precisione dove si trovassero.

“Quando cominciò ad analizzare l’esatta collocazione di questi punti, ebbe una grossa sorpresa. Invece di essere sparpagliati qua e là su tutta la mappa, di modo che alcune note sarebbero risultate più intense di altre, gli zeri che calcolava sembravano disporsi come per miracolo su una linea retta che attraversa il paesaggio nella direzione nord-sud. Era come se ogni punto situato a livello del mare avesse la stessa coordinata est-ovest, uguale a ½”.

Ovviamente, siccome la funzione zeta ha infiniti zeri, Riemann non poté calcolarli tutti. Anzi, ne calcolò solo una piccola quantità. Tuttavia si convinse di una cosa: tutti gli zeri della funzione zeta sarebbero caduti lungo la retta che aveva individuato… si trattava insomma di numeri complessi aventi tutti parte reale uguale a ½. Questa è dunque la congettura di Riemann. A ben guardare, se l’ipotesi fosse vera, avrebbe conseguenze strabilianti: riusciremmo finalmente a trovare la chiave di lettura dei numeri primi. Cosa avesse spinto Riemann a credere ciecamente in quell’idea è un mistero; tuttavia egli aveva l’abitudine di annotare ogni suo ragionamento su dei quaderni. Purtroppo però, nel 1866 Riemann si vide costretto ad abbandonare di tutta fretta la città di Gottinga per venire in Italia, senza portare con sé i quaderni. La governante, che nei giorni successivi trovò gli appunti, penso bene (!) di bruciare ciò che considerava solo “cartacce”. Solo una parte delle annotazioni di Riemann ci è pervenuta, ma ci sono voluti anni prima che i matematici ne potessero beneficiare, data la complessità delle idee che scaturivano copiose dalla mente di Riemann. Quasi tutti i più grandi nomi successivi della matematica si sono accostati al problema posto da Riemann, ma senza giungere ad alcuna soluzione. Hilbert, Landau, Hardy, Littlewood, Ramanujan, Siegel, Selberg, Erdős, Zagier sono solo una cerchia ristretta di tutti coloro che hanno tentato di dare risposta al più grande mistero della matematica. Nel 1900 Hilbert inserì l’ipotesi di Riemann nella sua lista di ventitré problemi per il XX secolo; di quei problemi, tutti hanno trovato soluzione nel corso del Novecento (persino l’Ultimo Teorema di Fermat)… solo il problema di Riemann è rimasto irrisolto. Oggi c’è un milione di dollari messo in palio dall’Istituto Clay per chi riesca a dimostrare (o eventualmente confutare) l’ipotesi di Riemann. Passi avanti, tuttavia, ne sono stati fatti e in diverse direzioni. Sono stati addirittura trovati dei nessi tra la congettura di Riemann e la fisica quantistica; questo è un chiaro esempio del potere che ha la matematica di unire tra loro mondi apparentemente lontani anni luce.

In questo libro , Marcus du Sautoy ci racconta con l’abilità del letterato, la precisione dello storico e le conoscenza tecniche di un matematico, la lunga storia dell’ipotesi di Riemann, dalle origini risalenti all’antica Grecia ai giorni nostri, con digressioni su argomenti di carattere non solo prettamente matematico. Il libro è indicato a tutti, data la sua chiarezza e semplicità, ma gli appassionati di matematica in particolar modo vi troveranno una fonte copiosa di spunti per approfondire tutto ciò che è matematico.

Andrea Vitiello

Tanti di noi consoceranno la storiella dello scimpanzé rinchiuso in uno stanzino d’osservazione. Appesa fuori dalla sua portata c’è una banana. Un ricercatore volendo testare l’abilità mentale dell’animale entrò nello stanzino per disporre qua e là alcuni cassettoni, supponendo che lo scimpanzé ne avrebbe fatto una catasta per raggiungere la banana. La scimmia osservò tranquilla il ricercatore e nel momento in cui egli passò proprio sotto la banana fece uno scatto e, saltandogli sulla schiena, agguantò al volo l’ambito frutto. La morale di questa storia è: problemi reali non hanno mai solo soluzioni previste in anticipo e il contesto di un problema è importante quanto il problema stesso.

pag. 18

Matemagica

giochi d’ingegno con la matematica

geometria e topologia per la scuola dell’obbligo
Gianni A. Sarcone, Marie-Jo Waeber

La meridiana, 2005

Il libro Matemagica si discosta dai classici libri di giochi matematici, nei quali bisogna risolvere enigmi e rompicapo con carta e penna. Gli autori propongono una serie di rompicapo, di loro invenzione, a volte semplici a volte impegnativi, che richiedono la manipolazione di oggetti reali: carta, cartone, cordicelle e altro. Gli autori non sono insegnanti di matematica ma designer di giochi ed esperti di comunicazione aziendale; attraverso il gioco, portano nell’ambito dell’insegnamento della matematica interessanti elementi di novità.

Gli autori chiamano il loro modo di fare matematica con il nome di "matematica metaforica", cioè una matematica che riunisce: gesto, tatto, visione, immaginazione, logica … L’osservazione e la manipolazione precedono l’apprendimento astratto e vanno utilizzate proprio in questa direzione.

Il segreto per realizzare esperienze di successo consiste nell’utilizzare le tre seguenti indicazioni:

– effetto sorpresa: presentare situazioni paradossali, soluzioni che ingannano il senso comune, o al contrario di una semplicità sconcertante;

– interessare: trattare argomenti ‘tangibili’;

– mantenere la tensione: dopo aver catturato l’attenzione bisogna essere in grado di mantenerla.

Nella letteratura i giochi d’ingegno o puzzle si classificano in:

– rompicapo di ricomposizione: si tratta di mettere insieme i pezzi dati;

– rompicapo a incastro: come per il precedente tipo si tratta mettere insieme i pezzi ma la composizione ottenuta si autosostiene;

– rompicapo di smontaggio: si tratta di smontare e quindi separare i pezzi che compongono il puzzle e poi rimontarli;

– rompicapo di districamento: si tratta di liberare un pezzo  che è incastrato nel puzzle senza distruggerlo;

– rompicapo di ordinamento: si devono riordinare i pezzi del puzzle  facendoli scorrere (gioco del 15, cubo di Rubik);

– sparizioni geometriche: una figura del rompicapo sparisce o riappare a seconda di come vengono disposti i pezzi;

– rompicapo insolubile: gioco che sembra si possa risolvere facilmente ma che invece non è risolvibile;

– rompicapo percettivo: si tratta principalmente di illusioni ottiche.

Il libro non è un’esposizione puramente teorica di giochi. Tutt’altro, dopo le prima pagine di introduzione, il lettore trova una serie di test più o meno semplici con i quali misurarsi e poi ben 25 giochi di apparizioni, scomparizioni e altro.

Il primo gioco, per esempio, è un gioco topologico: si deve forare una matita, far passare dal foro un cordicella, annodare la cordicella per chiuderla, fare un cappio intorno a un’asola di camicia come nella figura 16. E ora siete capaci di liberare la matita senza strappare la camicia?

Nel gioco 13 bisogna far sparire un quadrato. Ossia si deve tagliare il puzzle della figura 62 e ricomporre un quadrato senza utilizzare il pezzo indicato con la lettera X.

Nel puzzle della figura 79a si tratta di ridisporre i pezzi in modo che sparisca uno dei sacchi di banconote.

Antonio Bernardo

John Allen Paulos, Un matematico gioca in borsa,
Consigli e sconsigli per chi vuole diventare ricco con le buone azioni
Garzanti, 2004, pp224, € 14,00

All’inizio del 2000, quando i mercati finanziari erano in pieno boom, J. A. Paulos, matematico di professione, riceve una piccola somma del tutto inattesa, almeno così racconta nel suo libro. Il fatto che si trattasse di ‘soldi piovuti dal cielo’ rende quella somma particolarmente vulnerabile; così  Paulos decide di investirla in azioni di quella che sembrava "l’azienda numero uno nelle comunicazioni". Nel giro di poco tempo, con il crollo dei mercati finanziari, le azioni di quest’azienda si rivelano senza valore economico. Se Paulos avesse perso solo quei pochi soldi l’episodio sarebbe finito lì e probabilmente non avrebbe scritto un libro sull’argomento ma il desiderio di rifarsi da quella perdita lo trascina oltre il baratro del sano comportamento di investitore: man mano che le azioni perdono di valore continua a comprarne altre nella speranza che il titolo risalga. Quando uscirà da questo disastroso circolo vizioso sarà troppo tardi per i suoi risparmi. Per fortuna, riacquista la lucidità di osservatore matematico critico per scrivere un libro spassoso, semplice e acuto sui movimenti dei mercati finanziari e sul comportamento degli investitori.

La prima domanda che il lettore vorrebbe porre all’autore di libri di consigli finanziari è "se sei così in gamba, perché non sei ricco?" Paulos affronta nelle prime pagine questa questione: così come c’è differenza tra essere in gamba e essere ricchi, c’è differenza tra avere ragione e avere ragione nei confronti del mercato, in altre parole tra avere ragione in senso assoluto e avere ragione nei confronti degli altri.

In realtà il libro di Paulos non è un libro di consigli per gli acquisti ma una riflessione sul comportamento degli investitori attraverso situazioni più o meno paradossali descritte con la metodologia della Teoria dei Giochi.

Ecco un primo esempio:

I componenti di un gruppo devono scegliere simultaneamente un numero qualunque tra 0 e 100, il più possibile vicino all’80% del numero medio selezionato dal gruppo. Chi si avvicina maggiormente a quel numero vince 100 dollari. Qualcuno penserà che il numero medio scelto sarà 50 e quindi indicherà l’80% di 50, cioè 40. Chi ha fatto questo ragionamento penserà allora che il numero medio scelto sarà 40 e quindi indicherà l’80% di 40 cioè 32. Chi avrà fatto tutte e due i ragionamenti sceglierà l’80% di 32, cioè 25,6. Continuando questo ragionamento risulterà che il numero ottimale è 0, l’unico numero uguale all’80% di se stesso. 0 costituisce il cosiddetto equilibrio di Nash di questo gioco.

Vediamo cosa ha a che fare questo ‘gioco’ con i mercati finanziari. Gli investitori devono decidere il prezzo di acquisto delle azioni di un’azienda. Questo valore non è quello dell’azienda in assoluto ma quello che la maggior parte degli altri investitori attribuisce all’azienda. Inoltre, un investitore non deve acquistare al prezzo medio che, a suo giudizio, il gruppo degli investitori attribuirà alle azioni ma a un prezzo inferiore, per esempio all’80% di questo valore, in questo modo potrà sperare di guadagnare il 20%, quando le azioni raggiungeranno il prezzo medio stabilito dalla comunità degli investitori.

Un altro problema tipico dei mercati finanziari è quello delle conoscenze comuni, importante per capire il processo informativo che è alla base delle bolle speculative e dei crolli del mercato azionario. Affinché una determinata informazione diventi una ‘conoscenza comune’ non è sufficiente che tutti conoscano quella informazione ma è necessario anche che ognuno sappia che tutti gli altri conoscano l’informazione. E’ quest’ultima condizione che può provocare un crollo inaspettato. Ecco un esempio.

In uno sperduto villaggio vivono numerose coppie sposate, ogni donna viene a sapere subito se un marito tradisce la propria moglie tranne nel caso che sia il proprio marito a tradirla. Le regole ultrafemministe di questa comunità stabiliscono che se una donna sa con certezza che il proprio marito la tradisce deve ucciderlo immediatamente. Nel villaggio 20 mariti hanno tradito la propria moglie. Tutte le donne del villaggio sanno quindi che ci sono dei mariti che tradiscono ma nessuna sa del tradimento del proprio marito. Finché una mattina arriva la Madre che abita in un altro villaggio. Tutte riconoscono all’anziana Madre la sincerità, ossia la capacità di dire la verità. Cosa accade quando la Madre avverte tutte le donne che c’è almeno un fedifrago? Il villaggio trascorre altri 19 giorni tranquilli ma al ventesimo giorno venti donne uccidono i rispettivi mariti.

Per capire questo strano e apparentemente imprevedibile comportamento del gruppo si supponga che a tradire sia un solo uomo. Tutte le donne saprebbero che c’è un uomo che tradisce, tranne la moglie di quell’uomo; perciò quando la Madre afferma che c’è almeno un uomo che tradisce nessuna donna se ne meraviglierà ad eccezione della moglie tradita, l’unica che non sapeva dell’esistenza di un fedifrago, perciò quando torna a casa ammazza il marito. Se i fedifraghi sono due, il signor A e il signor B, tutte le donne sanno che esistono almeno due mariti che tradiscono, tranne la signora A che sa solo di B e la signora B che sa solo di A. Quando la Madre fa la sua affermazione pubblica nessuna donna se ne meraviglia. Ma dopo il primo giorno che non succede niente le due donne A e B si rendono conto che ci sono almeno due uomini che hanno tradito; la signora A conosce solo il signor B perciò il secondo giorno è certa anche il proprio marito la tradisce; analogamente la signora B deduce il tradimento del proprio marito. Il risultato è che il secondo giorno due uomini vengono ammazzati. Reiterando questo ragionamento al caso in cui ci siano 20 mariti infedeli si capisce perché solo al ventesimo giorno accade una tragedia. Per applicare questo esempio al mercato azionario è sufficiente sostituire la Madre con una commissione governativa il cui giudizio è ritenuto imparziale, il tradimento dei mariti con la falsificazione dei bilanci aziendali, il nervosismo delle mogli con quello degli investitori, l’uccisione dei mariti con la vendita delle azioni.

Torniamo ora a una situazione di mercato tranquillo. Quando un investitore si riterrà soddisfatto dei guadagni e uscirà dal gioco? Ecco ancora un esempio dalla teoria dei giochi.

Al gioco partecipano due giocatori, A e B; A riceve in regalo 100 dollari e deve offrire a B una qualsiasi parte della somma ricevuta. B ha soltanto il diritto di veto, può accettare o rifiutare. Se accetta, lui prende la somma che gli è stata concessa e l’altro giocatore prende il resto, se rifiuta la somma deve essere restituita e nessuno riceverà niente.

Razionalmente il giocatore B dovrebbe accettare qualunque somma gli venga offerta, perché se rifiuta non riceverebbe niente: poco è sempre meglio che niente. In base a questo ragionamento di B, il giocatore A potrebbe offrire delle somme molto piccole. In realtà, dagli esperimenti fatti, risulta che le offerte devono arrivare fino al 50% della somma data per essere accettate; se le donazioni vengono giudicate troppo basse subentrano principi di correttezza, equità, ira, vendetta che rendono in qualche modo irrazionale il comportamento.

Gli esempi riportati sono soltanto una piccola parte di quelli presenti nel libro.

Il libro non richiede conoscenze avanzate di matematica, a parte qualche elemento di calcolo delle probabilità, non è un vademecum per fare investimenti in borsa, ma una raccolta di riflessioni sul comportamento dei ‘giocatori di borsa’. Può interessare sia chi investe in borsa per diletto o per professione, sia chi si aspetta dalla matematica un modo razionale per osservare il comportamento sociale degli uomini.

Antonio Bernardo

B. D’Amore, Le basi filosofiche, pedagogiche, epistemologiche e concettuali della Didattica della Matematica , Pitagora Editrice, Bologna, 2003

Il prof. Bruno D’Amore in quest’opera raccoglie e presenta in modo organico i risultati di diversi anni di ricerca in didattica della matematica, in parte pubblicati in articoli apparsi su riviste specialistiche.
La didattica della matematica è una disciplina piuttosto giovane che risale, secondo l’autore del libro, a un quarto di secolo fa. Attualmente, è una disciplina vera e propria, che si insegna in quasi tutte le università del mondo. L’autore cerca di dimostrare la scientificità di questa disciplina mettendone in evidenza le basi epistemologiche oltre che pedagogiche, contrastando l’idea, dominante nel passato, secondo la quale insegnare è un’arte, frutto di doti personali che non si possono né imparare né trasmettere, con la conseguente conclusione che la ricerca didattica non può essere una scienza.
L’elemento che più caratterizza la nuova ricerca in didattica della matematica è l’attenzione al processo di apprendimento invece che ai temi della disciplina, quindi al soggetto che apprende invece che ai concetti stessi della matematica.
Cercando le basi filosofiche della didattica della matematica ci si imbatte necessariamente contro uno dei dilemmi di base: la contrapposizione tra realismo e pragmatismo.
Nelle teorie realiste il significato è una relazione convenzionale tra segni ed entità concrete o ideali che esistono indipendentemente dai segni linguistici. Applicando questa concezione alla matematica ne deriva una visione platonica degli oggetti matematici: gli enti matematici esistono indipendentemente dall’uomo.
Nelle teorie pragmatiche le espressioni linguistiche hanno significati diversi a seconda del contesto in cui si usano e quindi l’osservazione scientifica deve essere applicata al modo in cui si usano gli oggetti e non sugli oggetti stessi, che non hanno esistenza autonoma. Gli oggetti matematici sono simboli di unità culturali che si modificano continuamente nel tempo e che dipendo dai problemi che la matematica affronta in una data epoca storica e dei processi di risoluzione che essa utilizza.
Secondo le teorie realiste la matematica scopre gli oggetti matematici; nelle teorie pragmatiche invece  matematici usano certi oggetti in determinati contesti per pervenire alla soluzione di problemi.
L’autore ritiene che nel campo della Didattica della Matematica il punto di vista pragmatico sia più vicino al processo empirico di insegnamento/apprendimento.
In che modo esattamente le due teorie influenzano il fare didattica?  L’insegnante A (A come Ars ) si pone come divulgatore di idee, mette l’allievo al centro della propria attenzione ma come destinatario della trasmissione dell’immagine della matematica che egli ha. Il suo lavoro di ricerca è impegnato a migliorare l’immagine della matematica nell’allievo, nelle famiglie, negli altri insegnanti e nella società in genere. Il limite più evidente di questo modo di fare didattica sta nel ritenere che il passaggio o trasferimento (transfer cognitivo ) di nozioni dal docente al discente sia un processo automatico.
Se invece si effettuano prove empiriche, con opportuni strumenti sperimentali, sui risultati cognitivi ottenuti con attività didattiche di tipo A, si entra nel campo della epistemologia dell’apprendimento che caratterizza la didattica di tipo B.
Tra i vari spunti del libro segnalo l’idea dell’autore sulla classica distinzione tra le tre differenti tipologie di apprendimento della matematica:
– apprendimento concettuale: il concetto di retta, di circonferenza, …
– apprendimento di strategie: risolvere un problema, dimostrare un teorema, …
– apprendimento algoritmico: eseguire operazioni, risolvere un’equazione, …
D’Amore ritiene che questa ripartizione sia una "comodità adulta", pratica in fase di valutazione e non una vera e propria necessità culturale, didattica, epistemologica. L’operatività, il cosiddetto saper fare, investe contestualmente l’uso di concetti, strategie e attività algoritmiche.
Nell’ultima parte del libro, l’autore espone dei casi di studio particolarmente significativi. Alcuni sono dei casi classici, come l’effetto età del capitano (noti i dati della barca – colore, lunghezza, altezza – calcolare l’età del capitano), altri originali e sperimentati dallo stesso autore.

Il libro è particolarmente indicato per chi si occupa di didattica della matematica come attività di ricerca ma anche per chi vuole riflettere sui processi di insegnamento apprendimento della matematica.

Antonio Bernardo

Matemilano, percorsi matematici in città
a cura di M. Bertolini, M. Cazzola, M. Dedò, S. Di Sieno, E. Frigerio, D. Luminati, G. Poldi, M. Rampichini, I. Tamanini, G. M. Todesco, C. Turrini, Springer-Verlag, Milano, 2004

Il libro è in parte il catalogo della mostra Matemilano , ideata e realizzata dal Dipartimento di Matematica dell'Università degli Studi di Milano con la collaborazione del Dipartimento di Matematica dell'Università di Trento, allestita per la prima volta nell'autunno 2003 presso il Museo Nazionale della Scienza e della Tecnologia "Leonardo da Vinci" di Milano.
Il libro, tuttavia, non è un semplice catalogo illustrativo degli 'oggetti' presentati alla mostra ma una raccolta di brevi saggi, semplici da leggere, ricchi di illustrazioni ed esempi, su alcune applicazioni della matematica al mondo dell'esperienza quotidiana, dove per esperienza quotidiana si deve intendere anche una passeggiata in città per osservare, da un punto di vista matematico, palazzi, quadri, mosaici, fregi, tessuti, fibre ottiche, nodi, bolle di sapone, ….
I saggi si sviluppano intorno a quattro aree tematiche: topologia, massimi e minimi, visualizzazione, simmetria.
Uno dei temi più curiosi della topologia riguarda i nodi. Si prende una corda e si fa un nodo, qualunque esso sia, se i due estremi della corda rimangono liberi, si può sempre riuscire a sciogliere il nodo. Se invece dopo aver fatto il nodo si incollano in qualche modo gli estremi della corda in modo da non poterli più staccare ecco che i nodi cominciano ad assumere una certa personalità topologica. In altri termini, ogni nodo, anche se lo si modifica quanto si vuole, apparterrà a una categoria ben precisa. Se il nodo può essere sciolto si avrà un semplice cerchio, altrimenti si avrà un nodo "trifoglio" (in alto a destra nella prima immagine), un nodo Savoia (in alto a sinistra), ecc. Ma non si potrà mai trasformare un nodo trifoglio in un nodo Savoia. Un nodo scorsoio, invece, è un finto nodo perché può essere sciolto e trasformato in un cerchio. La topologia è quindi quella branca della matematica che ci permette di catalogare le figure geometriche, nel caso dei nodi le curve chiuse, in modo che modificandole quanto si vuole, senza tagliarle, rimangono sempre nella categoria alla quale appartengono.
Detta così, la questione dei nodi, sembrerebbe una banalità sulla quale non c'è molto altro da dire, eppure la questione è piuttosto complicata ed è ancora un problema matematico non risolto completamente.
La pianta della città di Milano introduce uno dei grandi temi della matematica, quello dei massimi e minimi . La cinta muraria delle antiche città di pianura ha una forma che richiama quella del cerchio. A un osservatore distratto potrebbe sembrare che si tratti di questioni puramente estetiche, invece la circonferenza è la figura geometrica che racchiude la massima superficie con un perimetro minimo. Una protezione circolare è quindi quella che permette di racchiudere la massima superficie minimizzando le mura da difendere.
Il problema, semplice nel caso di un terreno piano, è piuttosto complesso per una città delimitata da un fiume o a ridosso di una montagna.
Nel primo libro dell'Eneide, Virgilio riporta la leggenda della regina Didone. La regina, in fuga con il suo popolo, si rifugiò sulle coste settentrionali dell'Africa e chiese della terra per costruirvi una città. Il re del luogo le concesse tanta terra quanta ne potesse contenere una pelle di toro. Lo scherno si ritorse contro il re, poiché Didone fece tagliare la pelle in strisce sottilissime, con le quali formò una lunga fune che dispose a semicerchio lungo la riva del mare, fondò così la città di Cartagine.
Il libro è ricco di riferimenti ad applicazioni pratiche, anche inaspettate, della matematica: la trama di un tessuto, reti di fibre ottiche, investire con sicurezza i propri risparmi, come misurare la qualità della vita, vedere un nascituro a tutto tondo, ecc.
Il libro, e la mostra, rispondono in modo semplice, chiaro e con tanti esempi a una domanda banale alla quale non sempre si sa rispondere in modo non banale: dov'è la matematica? Leggendo il libro, visitando la mostra, si impara a vederla in casa propria, in città, nella vita di tutti i giorni.

Se non potete andare a Milano potete accontentarvi di una visita virtuale

http://matemilano.mat.unimi.it/presenta.htm

Antonio Bernardo