Problemi elementari sull’iperbole

Esempio 1: Si trovino la lunghezza dei semiassi, l’eccentricità, le coordinate dei fuochi e dei vertici e le equazioni degli asintoti dell’iperbole di equazione \(H: 50x^2-25y^2-80x+150y-393=0\)

In primo luogo adoperiamo il metodo di completamento dei quadrati, in modo tale da avere l’equazione dell’iperbole scritta chiaramente nella forma d’iperbole traslata:

\(50\Big(x^2-\frac{8}{5}x\Big)-25(y^2-6y)-393=0\)

\(50\Big(x^2-\frac{8}{5}+\frac{16}{25}\Big)-25(y^2-6y+9)-393-32+225=0\)

\(50\Big(x-\frac{4}{5}\Big)^2-25(y-3)^2-200=0\)

\(2\Big(x-\frac{4}{5}\Big)^2-(y-3)^2=8\)

\(H: \frac{\Big(x-\frac{4}{5}\Big)^2}{4}-\frac{(y-3)^2}{8}=1\)

Il centro della nostra iperbole è allora il punto \(O’\Big(\frac{4}{5}, 3\Big)\), essa ha i fuochi sull’asse ?, ? vale \(\sqrt{4}=2\) e \(b=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). Dal fatto che l’iperbole è disposta orizzontalmente, ricaviamo che l’asse trasverso è lungo \(2a=4\), mentre quello non trasverso misura \(2b=4\sqrt{2}\); la distanza focale è invece \(2c=2\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt{4+8}=2\sqrt{12}=4\sqrt{3}\), e dunque i fuochi distano esattamente \(2\sqrt{3}\) dal centro dell’iperbole, il primo verso sinistra e il secondo verso destra. Risulta perciò \(F_{1,2}\Big(\frac{4}{5}\pm 2\sqrt{3}, 3\Big)\). Similmente i vertici disteranno \(\pm a\) verso destra e verso sinistra dal centro dell’iperbole, cosicché \(A_{1,2}\Big(\frac{4}{5}\pm 2, 3\Big)\Rightarrow A_1\Big(-\frac{6}{5}, 3\Big), A_2\Big(\frac{14}{5}, 3\Big)\).

Gli asintoti sono quelle rette passanti per ?′ di coefficienti angolari \(\pm b/a\): essi si calcolano allora nel modo seguente, usando la formula della retta per un punto

\(y=3\pm\sqrt{2}\Big(x-\frac{4}{5}\Big)\)

Completiamo l’esercizio trovando il valore dell’eccentricità dell’iperbole ?. Poiché ? è sempre uguale, indipendentemente dall’orientazione dell’iperbole, al rapporto tra la distanza focale e l’asse trasverso, in questo caso abbiamo \(e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}\).

Esempio 2: Trovare l’equazione dell’iperbole i cui asintoti sono le rette \(y=-9\) e \(x=\frac{8}{3}\), sapendo che essa passa per il punto ?(?,?).

Poiché gli asintoti dell’iperbole in esame sono due rette parallele agli assi coordinati, stiamo trattando il caso di un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti traslata, o come anche la si chiama, di una funzione omografica. La sua equazione generale ha la forma

\[y=\frac{ax+b}{cx+d}\]

con le dovute note restrizioni sui coefficienti. Le tre informazioni date si scrivono subito nella forma di sistema, ricordando che gli asintoti di una funzione omografica sono le rette \(y=-\frac{d}{c}\) e \(x=\frac{a}{c}\):

\(\begin{cases}-\frac{d}{c}=-9\\\frac{a}{c}=\frac{8}{3}\\1=\frac{a+b}{c+d}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}d=9c\\a=\frac{8c}{3}\\a+b=c+d\end{cases}\Rightarrow\)

\(\Rightarrow\begin{cases}d=9c\\a=\frac{8c}{3}\\b=c+9c-\frac{8c}{3}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}d=9c\\a=\frac{8c}{3}\\b=\frac{22c}{3}\end{cases}\)

Con queste relazioni, l’equazione generale si riscrive nella forma

\(y=\frac{\frac{8c}{3}+\frac{22c}{3}}{cx+9c}=\frac{8x+22}{3x+27}\)

L’ultima semplificazione è lecita dal momento che \(c\ne 0\) per ipotesi; siamo così giunti alla soluzione.

Problemi sulle intersezioni tra un’iperbole e una retta

Esempio 3: Determina la posizione reciproca dell’iperbole \(H: x^2-y^2+2\sqrt{2}(2y-x)-10=0\) e della retta \(r: y=2x+4\) , calcolando anche le coordinate degli eventuali punti d’intersezione. Sono tutti sullo stesso ramo dell’iperbole?

In questo caso non è necessario scrivere l’equazione dell’iperbole in maniera tale che si evidenzi la sua natura d’iperbole traslata, in quanto per la risoluzione dell’esercizio ci basta l’equazione nella forma data. Mettiamo a sistema le due equazioni e sostituiamo il valore di ? dato dalla seconda all’interno della prima, così da ottenere

\(\begin{cases}x^2-y^2+2\sqrt{2}(2y-x)-10=0\\y=2x+4\end{cases}\Rightarrow\)

\(\Rightarrow x^2-(2x+4)^2+2\sqrt{2}(4x+8-x)-10=0\)

\(x^2-4x^2-16-16x+2\sqrt{2}(3x+8)-10=0\)

\(-3x^2-26-16x+6\sqrt{2}x+16\sqrt{2}=0\)

Risolvendo tale equazione di secondo grado per ? otteniamo facilmente le ascisse dei punti d’intersezione:

\(x_1=\sqrt{2}-\frac{10}{3}\,\,\,\,,\,\,\,\,x_2=\sqrt{2}-2\)

Essi sono dunque due, e la retta ? risulta essere secante all’iperbole ?. Troviamone anche le ordinate, semplicemente sostituendo i valori delle ascisse calcolati nell’equazione della retta:

\(y_1=2\sqrt{2}-\frac{8}{3}\,\,\,\,\,,\,\,\,\,y_2=2\sqrt{2}\)

Non ci resta che determinare se i due punti trovati \(P_1\Big(\sqrt{2}-\frac{10}{3}, 2\sqrt{2}-\frac{8}{3}\Big)\) e \(P_2\Big(\sqrt{2}-2, 2\sqrt{2}\Big)\) appartengono o meno allo stesso ramo dell’iperbole ?. A questo proposito basta calcolare i coefficienti angolari degli asintoti della curva: se la pendenza della retta ? risulterà compresa tra i due valori che troveremo, allora i punti d’intersezione staranno su rami diversi dell’iperbole, altrimenti varrà il contrario.

Poiché le pendenze degli asintoti sono \(\pm b/a\), se utilizzassimo il metodo di completamento dei quadrati potremmo arrivare, dopo molti calcoli, alla soluzione. Un metodo più sbrigativo consisite nel ricordare che il rapporto tra i coefficienti di $x^2$ e $y^2$ è pari in valore assoluto al rapporto \(a^2/b^2\); dunque $m^2=|-1|=1$, e così \(m=\pm 1\). Poiché il coefficiente angolare di ? è 2, i due punti d’intersezione tra ? ed ? sono sullo stesso ramo di ?.

Consideriamo un’iperbole e una retta generiche ? ed ? di equazioni

\[H: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\,\,\,,\,\,\,r: y=mx+q\]

Vogliamo determinare sotto quali condizioni esse si intersecano, e in quanti punti. Inoltre, in questa scheda troveremo anche le relazioni che devono soddisfare i parametri ?,?,?,? affinché la retta ? sia tangente ad ?.

Metodo risolutivo: Cominciamo con l’intersecare ? ed ?, cioè col mettere le loro equazioni a sistema; poiché quella di ? esplicita il valore di ?, sostituiremo $mx+q$ alla ? della formula di ?

\[\begin{cases}\frac{x^”}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\y=mx+q\end{cases}\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}-\frac{m^2x^2+q^2+2mxq}{b^2}=1\]

Svolgendo i conti nell’ultima equazione ottenuta e ricordando che ? e ? sono entrambi diversi da 0, otterremo

\[b^2x^2-a^2m^2x^2–a^2q^2-2mqa^2x-a^2b^2=0\]

\[(b^2-a^2m^2)x^2+2(-mqa^2)x+(-a^2b^2-a^2q^2)=0\]

cioè un’equazione di secondo grado nell’incognita ?. Le soluzioni di questa equazione, se esistono, sono le ascisse dei punti d’intersezione tra ? ed ?: ne consegue che in nessun caso essi possono essere più di due. Calcoliamo il \(\Delta\) dell’equazione:

\[\Delta=m^2q^2a^4+(a^2b^2+a^2q^2)(b^2-a^2m^2)=\]

\[=m^2q^2a^4+a^2b^4-a^4b^2m^2+a^2b^2q^2-a^4m^2q^2=\]

\[=a^2b^4-a^4b^2m^2+a^2b^2q^2\]

Dunque \(\Delta=a^2b^2(b^2+q^2-a^2m^2)\). I primi due fattori di questo prodotto, essendo dei quadrati di numeri reali non nulli, sono necessariamente positivi; ne consegue che il segno di \(\Delta\) coincide con quello di \(\delta=b^2+q^2-a^2m^2\). Considereremo adesso diversi casi:

Caso 1: \(m=\pm b/a\)

In questo caso abbiamo naturalmente che \(\delta=b^2+q^2-a^2\frac{b^2}{a^2}=q^2\). Dunque \(\delta\) risulta maggiore di 0 per tutte le possibili scelte di ?, tranne che per ?=0: in tal caso infatti si ha \(\delta=0\). Notiamo però che se \(m=\pm a/b\), l’equazione di cui abbiamo calcolato il delta in realtà è al più di primo grado, e dunque ammette una sola soluzione se \(q\ne 0\), e nessuna soluzione se ?=0, poichè in quest’ultimo caso diviene $-a^2b^2=0$, la quale è sempre falsa viste le ipotesi fatte sui coefficienti ? e ?. Ciò ci porta alla seguente conclusione:

Osservazione 1: Tra tutte le rette appartenenti ad uno dei due fasci impropri di rette parallele a ciascun asintoto, solo questi ultimi non intersecano l’iperbole in alcun punto; tutte le altre rette hanno invece un solo punto d’intersezione con l’iperbole. Si può provare facilmente che questi non sono punti di tangenza, ovvero che l’iperbole viene attraversata da parte a parte da tali rette, che dunque sono secanti in un sol punto.

Caso 2: \(-b/a\lt m\lt b/a\)

La condizione su scritta equivale a dire che \(m^2\lt\frac{b^2}{a^2}\) ; se questo è il caso, allora certamente sarà pure vero che \(a^2m^2\lt b^2\), ovverosia \(b^2-a^2m^2\gt 0\). Si noti che la disuguaglianza è stretta; se a un numero strettamente positivo sommiamo un numero maggiore o uguale di 0, il risultato è ancora strettamente positivo. Dunque risulta

\[\delta=(b^2-a^2m^2)+q^2\gt 0\]

Il segno del delta in questo caso è indipendente dal valore di ?; in conclusione:

Osservazione 2: Ogni retta il cui coefficiente angolare è compreso tra quelli degli asintoti ha esattamente due intersezioni con l’iperbole, una appartenente a un ramo e l’altra appartenente all’altro, indipendentemente dal valore della sua intercetta.

Caso 3: \(m\lt-b/a \cup m\gt b/a\)

Di tutti quelli possibili, il caso 3 è certo il più complesso. Se infatti \(m^2\gt\frac{b^2}{a^2}\) , come subito segue dalla condizione in esame, allora al contrario di quanto visto nel caso 2 sarà \(b^2-a^2m^2\lt 0\), cosicché il valore di \(\delta\) dipenderà da quello di ?:

\[|q|\gt\sqrt{a^2m^2-b^2}\Rightarrow q^2\gt a^2m^2-b^2\Rightarrow\delta\gt 0\]

\[|q|=\sqrt{a^2m^2-b^2}\Rightarrow q^2=a^2m^2-b^2\Rightarrow\delta=0\]

\[|q|\lt\sqrt{a^2m^2-b^2}\Rightarrow q^2\lt a^2m^2-b^2\Rightarrow\delta\lt 0\]

Ecco allora che certi opportuni valori dell’intercetta consentono l’esistenza di due punti d’intersezione, stavolta appartenenti allo stesso ramo dell’iperbole, dal momento che il valore assoluto del coefficiente angolare troppo elevato non consente alla retta di passare per entrambi gli angoli di piano in cui è contenuta la curva. Altri valori di ?, troppo vicini allo 0, fanno in modo tale che la retta sia disgiunta dall’iperbole. Infine, due particolari intercette fanno intersecare la retta e l’iperbole in un sol punto; queste devono per forza corrispondere alle rette tangenti, perché in nessun altro caso l’intersezione avveniva in maniera tangenziale e pure ci è noto dalla geometria elementare che le tangenti devono esistere. Concludendo:

Osservazione 3: Le rette la cui pendenza è maggiore in valore assoluto rispetto a quella degli asintoti possono essere disgiunte dal grafico di un’iperbole, ad esso tangenti in un sol punto, o ad esso secanti in due punti appartenenti allo stesso ramo.

Osservazione 4: I risultati ottenuti in questa scheda per un’iperbole riferita ai propri assi con i fuochi appartenenti all’asse delle ascisse si estendono immediatamente ad ogni altro tipo d’iperbole studiato: nessuna delle considerazioni fatte dipende infatti dal sistema di coordinate adottato.

Esercizio proposto

Studia la posizione della retta $2x+3y-4 rispetto all’iperbole \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\).

Guarda la soluzione sul sito delle videolezioni.

Iperbole equilatera riferita ai propri assi

Definizione 1: Si chiama iperbole equilatera una qualsiasi iperbole i cui semiassi trasverso e non trasverso hanno la stessa misura.

Osservazione 1: Consideriamo un’iperbole equilatera riferita ai propri assi, avente per esempio i fuochi appartenenti all’asse delle ascisse. Visto che in questo caso in virtù della definizione 1 è ?=?, la sua equazione sarà

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1\Rightarrow x^2-y^2=a^2\]

Osservazione 2: Dal momento che la semidistanza focale si calcola come \(c=\sqrt{a^2+b^2}\), in questo caso risulta \(c=\sqrt{2a^2}=\sqrt{2}a\), indipendentemente dal fatto che i vertici siano disposti orizzontalmente o verticalmente. L’eccentricità, calcolandosi come ?/? o ?/? nei due casi, in questo caso vale sempre \(e=c/a=\sqrt{2}\).

Osservazione 3: Sempre nel caso di cui si parla nell’osservazione 1, calcoliamo le equazioni degli asintoti; poiché esse sono normalmente \(y=\pm\frac{b}{a}x\), in questo caso abbiamo \(y=\pm x\), visto che ?=?. Gli asintoti coincidono dunque con le bisettrici dei quadranti, e sono per questo tra loro ortogonali. Nel caso in cui l’iperbole equilatera sia traslata, risulteranno traslati anche gli asintoti e quindi la loro perpendicolarità sarà mantenuta.

Osservazione 4: Non è normalmente in uso la terminologia “ellisse equilatera” perché se nell’equazione dell’ellisse poniamo ?=?, quel che otteniamo è semplicemente una circonferenza. Si potrebbe dire, in termini imprecisi e descrittivi, che l’iperbole equilatera sia l’equivalente iperbolico di una circonferenza, la quale invece è ellittica.

Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

Osservazione 5: Come già visto nell’osservazione 3, gli asintoti di un’iperbole equilatera sono ortogonali, proprio come gli assi coordinati. Viene allora naturale domandarsi come si modificherebbe l’equazione dell’iperbole qualora, operando una rotazione di 45° in verso orario o antiorario, si portassero gli asintoti dell’iperbole a coincidere con gli assi ? ed ?.

Metodo per ricavare l’equazione: Visto che l’iperbole è equilatera, la distanza focale è \(2\sqrt{2}a\); ciò significa che ciascuno dei fuochi, che adesso si vengono a trovare su una delle bisettrici dei quadranti, diciamo su quella del primo e del terzo, disterà dall’origine \(\sqrt{2}a\). I fuochi avranno dunque coordinate \(F_1(-a, a), F_2(a, a)\). Possiamo ora procedere come al solito per ricavare l’equazione:

\[|PF_1-PF_2|=2a\Rightarrow (PF_1-PF_2)^2=4a^2\]

\[\Big(\sqrt{(x+a)^2+(y+a)^2}-\sqrt{(x-a)^2+(y-a)^2}\Big)^2=4a^2\]
Svolgendo i conti avremo

\[x^2+a^2+2ax+y^2+a^2+2ay+x^2+a^2-2ax+y^2+a^2-2ay-4a^2=\]

\[=2\sqrt{[(x+a)^2+(y+a)^2][(x-a)^2+(y-a)^2]}\]

\[2x^2+2y^2=2\sqrt{[(x+a)^2+(y+a)^2][(x-a)^2+(y-a)^2]}\]
Da cui, elevando nuovamente al quadrato per eliminare la radice quadrata,

\[(x^2+y^2)^2=[(x^2+2a^2+y^2)+(2ax+2ay)][(x^2+2a^2+y^2)-(2ax+2ay)]\]

\[x^4+y^4+2x^2y^2=(x^2+2a^2+y^2)^2-(2ax+2ay)^2\]

\[x^4+y^4+2x^2y^2=x^4+4a^4+y^4+4a^2x^2+4a^2y^4+2x^2y^2-4a^2x^2-4a^2y^2-8a^2xy\]

\[8a^2xy=4a^4\Rightarrow xy=\frac{a^2}{2}\Rightarrow xy=k\]
L’ultima equazione essendo stata ottenuta indicando con ? il numero positivo \(a^2/2\).

L’equazione ottenuta \(H: xy=k\) è quella ricercata dell’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti.

Osservazione 6: Qualora avessimo scelto di posizionare i fuochi sull’altra bisettrice dei quadranti, ovvero se avessimo effettuato una rotazione di 45° nel verso opposto, avremmo ottenuto la medesima equazione, ma con \(k\lt 0\).

Osservazione 7: Come si vede dai grafici, l’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti è una funzione, senza bisogno di restringerla a uno solo dei suoi rami. Essa è definita per ogni \(x\ne 0\), ed assume come valori tutti i numeri reali con l’esclusione di ?=0.

Funzione omografica

Definizione 2: Si chiama funzione omografica la funzione di equazione

\[y=\frac{ax+b}{cx+d}\]

nella quale i coefficienti ?,?,?,? sono scelti in modo tale che \(c\ne 0\) e \(ad\ne bc\).

Osservazione 8: Le richieste fatte nella definizione 2 riguardo i possibili valori assumibili dai coefficienti ?,?,?,? sono dovute alla volontà di non banalizzare la definizione. Se infatti fosse ?=0, avremmo

\[y=\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}\]

che è l’equazione di una retta. Se invece risultasse ??=??, allora visto che \(c\ne 0\) potremmo dire \(b=ad/c\) e, sostituendo, ottenere

\[y=\frac{ax+\frac{ad}{c}}{cx+d}=\frac{cax+ad}{c(cx+d)}=\frac{a(cx+d)}{c(cx+d)}=\frac{a}{c}\]

e quindi la funzione si ridurrebbe alla retta orizzontale \(y=a/c\). Si noti che, poiché certamente ? e ? non sono contemporaneamente 0, la semplificazione finale ha ragione di essere per ogni ?.

Osservazione 9: Vogliamo mostrare che una funzione omografica consiste in un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti traslata in modo tale che il suo centro sia il punto \(O’\Big(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c}\Big)\). Per fare ciò ci limiteremo a prendere l’equazione della funzione omografica come da definizione e a traslarla in direzione inversa, mostrando che otteniamo così un’equazione del tipo \(XY=k\). Sia

\[\begin{cases}X=x+\frac{d}{c}\\Y=y-\frac{a}{c}\end{cases}\]

Sostituendo i valori di ? e ? nella funzione omografica, abbiamo

\[Y+\frac{a}{c}=\frac{a\Big(X-\frac{d}{c}\Big)+b}{c\Big(X-\frac{d}{c}\Big)+d}\]

e dunque, svolgendo i calcoli,

\[Y=\frac{aX-\frac{ad}{c}+b}{cX-d+d}-\frac{a}{c}\Rightarrow Y=\frac{aX-\frac{ad}{c}+b}{cX}-\frac{a}{c}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow Y=\frac{aX-\frac{ad}{c}+b-aX}{cX}\]

Da cui, infine

\[Y=\frac{-\frac{ad}{c}+b}{cX}\Rightarrow XY=-\frac{ad}{c^2}+\frac{b}{c}\Rightarrow XY=k\]

avendo posto naturalmente \(k=\frac{bc-ad}{c^2}\). Questo valore di ?, grazie alle limitazioni richieste per ?,?,?,? nella definizione 2, è sensato e non nullo, dunque l’equazione ottenuta è proprio quella di un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti.

Osservazione 10: Come si vede dal grafico e dai conti fatti nell’osservazione 9, la funzione omografica è dunque un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti traslata nel punto \(O’\Big(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c}\Big)\). Come tale iperbole, anch’essa è una funzione. Dal momento però che i suoi asintoti sono le rette \(x=-\frac{d}{c}\) e \(y=\frac{a}{c}\) , la funzione omografica è definita ovunque tranne che in \(-\frac{d}{c}\) ed assume tutti i valori reali tranne \(\frac{a}{c}\) .

Iperbole traslata ed equazione generale dell’iperbole

Equazione dell’iperbole traslata: Consideriamo un’iperbole riferita ai propri assi, per esempio con i fuochi sull’asse delle ascisse. Se operiamo una traslazione del sistema di coordinate che porti gli assi ? ed ? in ?′ ed ?′ e, di conseguenza, il punto ? nel punto ?′(?0,?0), anche l’iperbole risulterà traslata. Avremo ottenuto così un’iperbole traslata, o come anche si suole chiamarla, riferita a rette parallele ai suoi assi.

Se l’equazione dell’iperbole originaria era \(H: x^2/a^2-y^2/b^2=1\)  , l’iperbole traslata ?′ si potrà scrivere come

\[\begin{equation}H’:\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1\label{eq1}\end{equation}\]

Svolgendo i semplici conti algebrici che figurano nell’equazione precedente, otterremo poi

\[b^2(x-x_0)^2-a^2(y-y_0)^2-a^2b^2=0\]

\[b^2(x^2+x^2_0-2xx_0)-a^2(y^2+y^2_0-2yy_0)-a^2b^2=0\]

\[b^2x^2-a^2y^2-2b^2x_0x+2a^2y_0y+b^2x^2_0-a^2y^2_0-a^2b^2=0\]

Questa equazione può essere scritta più semplicemente nella forma

\[\begin{equation}mx^2+ny^2+px+qy+r=0\label{eq2}\end{equation}\]

avendo cura di fare le seguenti posizioni:

\[m=b^2\,\,,\,\,n=-a^2\,\,,\,\,p=-2b^2x_0\,\,,\,\,q=2a^2y_0\]

\[r=b^2x^2_0-a^2y^2_0-a^2b^2\]

Osservazione 1: In realtà perché l’equazione (\(\ref{eq1}\)) possa essere scritta nella forma (\(\ref{eq2}\)) non è necessario fare esattamente le posizioni appena citate, ma è sufficiente che i numeri ?,?,… siano proporzionali ai valori \(b^2, -a^2, \ldots\) secondo un qualsiasi numero reale ? costante e non nullo. In particolare, ? non deve per forza essere positivo, se il ? scelto è negativo; un’uguale considerazione vale per ?.

Osservazione 2: Poiché abbiamo visto che l’equazione di qualunque iperbole traslata può scriversi nella forma (\(\ref{eq2}\)), è logico domandarsi se qualsiasi equazione fatta come la (\(\ref{eq2}\)) possa rappresentare un’iperbole. Già sappiamo che la risposta è negativa, in quanto per opportuni valori dei coefficienti ci è noto che l’equazione (\(\ref{eq2}\)) può rappresentare un’ellisse. Inoltre, anche non conoscendo questa informazione sull’ellisse, possiamo fare questa semplice considerazione: non esiste valore reale ? tale che \(-ka^2\) e \(kb^2\) abbiano lo stesso segno, dunque ? ed ? devono quanto meno essere discordi, cioè avere segno opposto, affinché la (\(\ref{eq2}\)) rappresenti un’iperbole.

Equazione generale dell’iperbole: In questo paragrafo estenderemo i ragionamenti fatti nell’ osservazione 2, col fine di scoprire quali condizioni deve soddisfare la (\(\ref{eq2}\)) per essere l’equazione di un’iperbole: giungeremo così all’equazione generale.

Iniziamo con il riscrivere la (\(\ref{eq2}\)) nel modo seguente:

\[mx^2+ny^2+px+qy+r=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow m\Big(x^2+\frac{p}{m}x\Big)+n\Big(y^2+\frac{q}{n}y\Big)+r=0\]

Questo è lecito perché se ?=0 oppure ?=0 di certo l’equazione, non essendo più di secondo grado in una delle due variabili, non può rappresentare un’iperbole: i casi suddetti vanno perciò scartati. Poiché dall’osservazione 2 segue che ? ed ? devono essere discordi, essi si possono senz’altro prendere il primo positivo ed il secondo negativo cambiando in modo opportuno i segni dell’equazione. Ciò ci porta a dire che gli unici casi d’interesse sono quelli in cui \(m\gt 0\) ed \(n\lt 0\) .

Le somme in parentesi somigliano a dei quadrati di binomio, e lo diventano a patto di aggiungervi i termini \(\frac{p^2}{4m^2}\) e \(\frac{q^2}{4n^2}\) ; adoperando questo metodo, detto del completamento dei quadrati, potremo scrivere

\[m\Big(x^2+\frac{p}{m}x+\frac{p^2}{4m^2}\Big)-\frac{p^2}{2m}+n\Big(y^2+\frac{q}{n}y+\frac{q^2}{4n^2}\Big)-\frac{q^2}{4n}+r=0\]

\[m\Big(x+\frac{p}{2m}\Big)^2+n\Big(y+\frac{q}{2n}\Big)^2+r-\frac{p^2}{4m}-\frac{q^2}{4n}=0\]

Indicata poi con ? la somma algebrica \(\frac{p^2}{4m}+\frac{q^2}{4n}-r\), otterremo infine

\[\begin{equation}\frac{\Big(x+\frac{p}{2m}\Big)^2}{1/m}-\frac{\Big(y+\frac{q}{2n}\Big)^2}{-1/n}=s\label{eq3}\end{equation}\]

Se \(s\gt 0\), allora l’equazione (\(\ref{eq3}\)) può essere riscritta nella forma seguente, che è quella di un’iperbole traslata con i fuochi giacenti su una parallela all’asse ?, centro \(O’\Big(-\frac{p}{2m}, -\frac{q}{2n}\Big)\), con \(a=\sqrt{\frac{s}{m}}\) e \(b=\sqrt{-\frac{s}{n}}\):

\[\frac{\Big(x+\frac{p}{2m}\Big)^2}{s/m}-\frac{\Big(y+\frac{q}{2n}\Big)^2}{s/n}=1\]

Se invece ?=0, allora la (\(\ref{eq3}\)) diviene

\[\frac{\Big(x+\frac{p}{2m}\Big)^2}{1/m}=\frac{\Big(y+\frac{q}{2n}\Big)^2}{-1/n}\Rightarrow y+\frac{q}{2n}=\pm\sqrt{-\frac{m}{n}}\Big(x+\frac{p}{2m}\Big)\]

Ciò significa che l’iperbole degenera in due rette passanti per il suo centro \(O’\Big(-\frac{p}{2m}, \frac{q}{2n}\Big)\) aventi coefficienti angolari \(\pm\sqrt{-m/n}\) . Ricordando le definizioni di ? e ? date nel caso \(s\gt 0\), però, scopriamo che \(\pm\sqrt{-m/n}=\pm b/a\), col che le due rette sono gli asintoti dell’iperbole: ciò si riassume dicendo che in questo caso l’iperbole è degenere nei suoi asintoti.

Se infine abbiamo \(s\lt 0\), similmente a quanto visto nel caso 1 la (\(\ref{eq3}\)) diventa

\[-\frac{\Big(x+\frac{p}{2m}\Big)^2}{-s/m}+\frac{\Big(y+\frac{q}{2n}\Big)^2}{s/n}=1\]

ovverosia, posti \(a=\sqrt{-\frac{s}{m}}\) e \(b=\sqrt{\frac{s}{n}}\) e avendo cura di cambiare i segni all’equazione,

\[\frac{\Big(x+\frac{p}{2m}\Big)^2}{a^2}-\frac{\Big(y+\frac{q}{2n}\Big)^2}{b^2}=-1\]

Questa è l’equazione di un’iperbole traslata i cui fuochi sono disposti verticalmente.

Da questo ragionamento deduciamo che l’equazione \(mx^2+ny^2+px+qy+r=0\) è l’equazione generale di un’iperbole se e solo se ? ed ? sono discordi, cioè \(mn\lt 0\), e inoltre \(\frac{p^2}{4m}+\frac{q^2}{4n}\ne r\).

Osservazione 3: Ogni qual volta abbiamo posto ? e ? pari a certe radici quadrate, ci siamo sempre accertati di prendere i loro radicandi in maniera tale da risultare positivi. Ciò può essere facilmente verificato, ricordando che nel nostro caso il numero ? è sempre negativo.

Altro materiale di supporto

Videolezione sull’iperbole equilatera

Esercizi proposti

1. Calcola l’equazione dell’iperbole equilatera, riferita agli asintoti, che stacca sulla retta di equazione $ y=2x+1 $ una corda che misura \(\frac{7}{2}\sqrt{5}\)
2. Determina l’equazione dell’iperbole equilatera, riferita agli asintoti, tangente alla retta di equazione $ y=5x-10 $

Trovi uno spunto per le soluzioni nel forum di Matematicamente.it.

Nel corso di tutta questa scheda considereremo due generiche iperboli $ H_O $ ed $ H_V $

\[H_O:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\,\,\,\,\text{e}\,\,\,\,H_V:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\]

I fuochi della prima appartengono all’asse ?, mentre quelli della seconda giacciono sull’asse ?. Esse consentono di considerare al contempo tutte le iperboli riferite ai propri assi possibili. Quando non ci saranno differenze, parleremo genericamente dell’iperbole ?.

Asintoti di un’iperbole

Osservazione 1: Consideriamo il rettangolo con i lati paralleli agli assi coordinati i cui assi di simmetria siano i semiassi trasverso e non trasverso di ?. In virtù della relazione \(c^2=a^2+b^2\), che vale indipendentemente dall’orientazione dell’iperbole, risulta chiaro che le diagonali di detto rettangolo sono lunghe tanto quanto la distanza focale. Poiché esse passano per l’origine del sistema di coordinate, le rette cui appartengono hanno equazione del tipo \(y=mx\), e passano l’una per (?,?) e l’altra per (?,−?), che sono due vertici consecutivi del rettangolo. Ciò porta a dire che le equazioni di tali rette sono

\[\begin{equation}y=\pm\frac{b}{a}x\label{eq1}\end{equation}\]

Definizione 1: Asintoti.

Si chiamano asintoti di un’iperbole ? le rette date dalle equazioni (\(\ref{eq1}\)).

Osservazione 2: Per delimitare ulteriormente la parte di piano nella quale è contenuto il grafico di un’iperbole ?, faremo adesso vedere che esso è tutto contenuto in due dei quattro angoli in cui i suoi asintoti dividono il piano. Nel caso di $H_O$, essi saranno gli angoli contenenti l’asse ?; nel caso di $H_V$ naturalmente varrà il viceversa.

Consideriamo a questo scopo una retta $y=mx$ passante per l’origine degli assi coordinati, e intersechiamola con $H_O$. Avremo così

\[\begin{cases}y=mx\\\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\end{cases}\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}-\frac{m^2x^2}{b^2}=1\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{x^2}{b^2}\Big(\frac{b^2}{a^2}-m^2\Big)=1\Rightarrow x=\pm\frac{b}{\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-m^2}}\]

Da questa scrittura risulta chiaro che se la radice quadrata esiste ed è distinta da 0, cioè

\[m^2\lt\frac{b^2}{a^2}\Rightarrow-\frac{b}{a}\lt m\lt\frac{b}{a}\]

allora l’iperbole s’interseca in due punti con la retta $y=mx$, uno per ogni ramo. Qualora invece risultasse \(|m|\ge\frac{b}{a}\) , non ci potrebbe essere alcuna intersezione; dunque l’iperbole non occupa alcun punto della parte di piano spazzata dalle rette i cui coefficienti angolari sono, in valore assoluto, maggiori di quelli degli asintoti, che sono \(m=\pm\frac{b}{a}\) . Il grafico dell’iperbole è quindi, come volevasi, tutto compreso tra le rette \(y=\pm\frac{b}{a}x\).

Osservazione 3: Dall’osservazione 2 discende in particolare il fatto che un’iperbole non ha alcun punto d’intersezione con i suoi asintoti.

Osservazione 4: Quanto detto nell’osservazione 3 si può precisare ulteriormente, in modo tale da giungere alla seguente proprietà fondamentale: il grafico di un’iperbole si avvicina indefinitamente agli asintoti man mano che il generico punto della curva si allontana dall’origine.

Per provarlo consideriamo ancora l’equazione (\(\ref{eq2}\)), questa volta per un punto generico ? appartenente a uno qualsiasi dei quattro quadranti, e modifichiamola nel modo seguente:

\[y=\pm b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}\Rightarrow y=\pm\frac{b}{a}x\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}\]

È chiaro che al crescere di ?, cioè all’allontanarsi di ? dall’origine, il rapporto \(a^2/x^2\) si avvicina sempre più a zero; ciò porta il radicando, e dunque la radice, ad assumere valori indefinitamente vicini a 1. Più tale radice è simile a 1, più l’ordinata del punto ? è vicina a \(\pm\frac{b}{a}x\), che è l’ordinata del punto dell’asintoto avente la medesima ascissa di ?. Questo prova che, come volevamo, all’aumentare di ? i grafici dell’iperbole e dei suoi asintoti si avvicinano indefinitamente ma, come segue dall’osservazione 3, essi non si intersecano mai.

Eccentricità dell’iperbole

Definizione 2: Eccentricità.

Si definisce eccentricità ? di un’iperbole il rapporto tra la distanza focale e l’asse trasverso.

Osservazione 5: Nel caso di un’iperbole i cui fuochi appartengono all’asse delle ?, essendo l’asse trasverso lungo 2?, l’eccentricità si calcola come ?=?/?. Nell’altro caso risulta naturalmente ?=?/?. Poiché per entrambe le iperboli è sempre vero che la distanza focale è maggiore dell’asse trasverso, necessariamente è verificata le disuguaglianza \(e\ge 1\).

Osservazione 6: L’eccentricità è un parametro numerico che misura la “apertura” di un’iperbole. Nel caso limite ?=1 risulta che la distanza focale è uguale all’asse trasverso; poiché essi sono rispettivamente ipotenusa e cateto di un triangolo rettangolo il cui altro cateto è l’asse non trasverso, per il teorema di Pitagora segue che in questo caso la lunghezza dell’asse non trasverso è nulla. L’iperbole risulta dunque “appiattita” sull’asse cui appartengono i suoi fuochi, e consiste in null’altro che le due semirette di detto asse avente come origini i vertici dell’iperbole.

Se osserviamo poi cosa accade allorché ? assume valori sempre più grandi, cioè come si suole dire ? tende a infinito, ci accorgiamo che ciò significa, supposti fissi i vertici, che i rami dell’iperbole divengono sempre più rettilinei. Al limite, l’iperbole si riduce alle due rette parallele all’asse non trasverso passanti per i suoi vertici.

In entrambi i casi su considerati si dice che l’iperbole è degenere.

Altro materiale di supporto

Videolezione sulla iperbole

Esercizio proposto

Scritta l’equazione dell’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria, avente per asse focale l’asse x, eccentricità \(e=\sqrt{\frac{3}{2}}\) e passante per il punto \(P\Big(3;\frac{\sqrt{2}}{2}\Big)\). Determinare le equazioni delle due circonferenze aventi centro sull’asse y, tangenti agli asintoti dell’iperbole e aventi raggio (\sqrt{6}\).

Trovi la soluzione nel forum di Matematicamente.it.

Nel corso di tutta questa scheda considereremo due generiche iperboli $ H_O $ ed $ H_V $

\[ H_O: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \,\,\,\, \text{ e } \,\,\,\, H_O: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \]

I fuochi della prima appartengono all’asse ?, mentre quelli della seconda giacciono sull’asse ?. Esse consentono di considerare al contempo tutte le iperboli riferite ai propri assi possibili. Quando non ci saranno differenze, parleremo genericamente dell’iperbole ?.

Assi di simmetria, vertici e fuochi di un’iperbole

Osservazione 1: Consideriamo i punti \( A_1(-a, 0), A_2(a, 0), B_1(0, b) \) e \( B_2(0, -b) \). Risulta evidente, operando una semplice sostituzione nelle equazioni, che i primi due di essi appartengono ad $ H_O $ ma non ad $ H_V $, mentre per i secondi di essi vale il contrario. Si vede inoltre facilmente che essi sono le uniche intersezioni delle iperboli con gli assi coordinati. Infatti se nell’equazione di $ H_O $ poniamo ?=0, abbiamo

\[\frac{x^2}{a^2}=1\Rightarrow x=\pm a\]

Se invece poniamo ?=0, l’equazione diventa \( – \frac{y^2}{b^2}=1 \), senza soluzioni dal momento che il termine a sinistra è negativo o nullo, mentre quello a destra è strettamente positivo. Un ragionamento speculare può essere svolto per  $ H_V $.

Definizione 1: Vertici di un’iperbole.

Si dice vertice di un’iperbole ciascuna delle sue intersezioni con gli assi coordinati. Dunque per un’iperbole con i fuochi sull’asse ? come $ H_O $ i vertici sono $ A_1 $ e $ A_2 $, mentre per le iperboli come $ H_V $ essi sono $ B_1 $ e $ B_2 $.

Osservazione 2: Supponiamo che il punto $ P(x_P, y_P) $ appartenga ad ?. Allora è chiaro che anche i punti $ Q(x_P, -y_P), R(-x_P, y_P) $ e $ S(-x_P, -y_P) $ appartengono ad ?, poiché

\[\frac{x^2_P}{a^2}-\frac{y^2_P}{b^2}=1\Rightarrow\frac{(\pm x_P)^2}{a^2}-\frac{(\pm y_P)^2}{b^2}=1\]

Questo dimostra che l’iperbole ?, indipendentemente dai valori assunti da ? e ?, risulta simmetrica rispetto agli assi coordinati. Ciò consente di dare la seguente definizione:

Definizione 2: Asse trasverso e asse non trasverso.

Si chiama asse trasverso di un’iperbole $ H_O $ il segmento $ A_1A_2 $ avente i vertici come estremi, sul prolungamento del quale giacciono i fuochi; è detto invece asse non trasverso il segmento $ B_1B_2 $. Per un’iperbole $ H_V $ le due definizioni sono invertite.

Osservazione 3: Le coordinate dei fuochi dipendono, come sappiamo, dal valore ?. Poiché è noto come questo si ricava a partire da ? e ?, che figurano nell’equazione di ?, possiamo dire senz’altro che

\[\text{per }H_O\Rightarrow F_1(-\sqrt{a^2+b^2},0),F_2(\sqrt{a^2+b^2},0)\]

\[\text{per }H_V\Rightarrow F_1(0,-\sqrt{a^2+b^2}),F_2(0,\sqrt{a^2+b^2})\]

Illimitatezza di un’iperbole

Osservazione 4: Vogliamo dimostrare che il grafico dell’iperbole è illimitato, ovvero che esistono punti appartenenti a tale grafico a distanza comunque grande dall’origine degli assi. A questo proposito consideriamo un punto ?(?,?) appartenente all’iperbole $ H_O $ e contenuto nel primo quadrante. Per esso varrà la relazione

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow y=b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}\]

La radice quadrata può essere calcolata se e solo se \( x^2/a^2-1\ge 0 \) , il che equivale a dire \(x^2\ge a^2\), ovvero \(|x|\gt a\). Ciò significa che possiamo scegliere ? comunque grande, purché maggiore di ?, e troveremo un valore di ? ad esso corrispondente tale che \(P\in H_O\). Questo prova che il grafico dell’iperbole è illimitato, e incidentalmente anche che esso è tutto esterno alla fascia di piano compresa tra le rette \(x=-a\) e \(x=a\). Da questa osservazione risulta pure che il grafico dell’iperbole non è connesso come quello dell’ellisse o della parabola, cioè che non è composto tutto da un solo “pezzo”, poiché esiste in due parti di piano disgiunte. Dunque ha senso dare la seguente definizione:

Definizione 3: Ramo d’iperbole.

Si chiama ramo ciascuna delle due parti disconnesse in cui risulta diviso il grafico di un’iperbole per mezzo della retta cui appartiene il suo asse non trasverso.

Osservazione 5: Si osservi che un’iperbole, così come anche un’ellisse e una circonferenza, in generale non è una funzione: infatti ad alcuni valori di ? corrispondono più valori differenti di ?, tipicamente simmetrici. Se però ci limitiamo ad osservare uno dei due rami di un’iperbole i cui fuochi sono disposti verticalmente, esso costituisce il grafico di una funzione.

Altro materiale di questo sito sull’iperbole

Formulario sull’iperbole

Esercizio sull’iperbole equilatera (dal forum)

Definizione di iperbole

Definizione 1: Definizione di iperbole come luogo geometrico.

Si chiama iperbole il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi distinti, detti fuochi.

Osservazione 1: Perché il luogo geometrico sia non vuoto, è necessario che la costante che indica la differenza delle distanze dai fuochi $ F_1 $ ed $ F_2 $ di un punto ? appartenente all’ iperbole sia minore della lunghezza del segmento $ F_1F_2 $, detta distanza focale. Infatti, qualunque sia il punto ? del piano, per la disuguaglianza triangolare deve risultare

\[ |PF_1-PF_2| \le F_1F_2 \]

nella quale l’uguaglianza vale solo nel caso in cui i tre punti sono allineati.

Osservazione 2: La differenza tra le lunghezze dei due segmenti \( PF_1 \) e \(PF_2 \)deve essere presa in valore assoluto perché, a priori, non sappiamo quale dei due segmenti è più lungo. Ogni iperbole è infatti composta sia di punti ? tali che \( PF_1 \gt PF_2 \) sia di punti ? tali che \( PF_1 \lt PF_2 \).

Osservazione 3: La definizione di iperbole 1 esclude sin dal principio l’eventualità che i fuochi siano coincidenti. In quel caso infatti dovendosi sempre avere \( |PF_1-PF_2| \le F_1F_2 \) e risultando anche \( F_1F_2 = 0 \), avremmo che l’iperbole sarebbe costituita da tutti e soli quei punti tali che \( PF_1=PF_2 \). Dal momento però che i fuochi sono coincidenti, questa relazione è verificata da tutti i punti del piano: ne risulta che il luogo geometrico non rappresenta più ciò che ci eravamo preposti di definire.

Equazione dell’iperbole riferita ai propri assi

Metodo per ricavare l’equazione: Per trovare l’equazione dell’iperbole mettiamoci in primo luogo nel caso semplice in cui i fuochi sono posti sull’asse ? e sono equidistanti dall’origine. Se allora diciamo \( F_1F_2 = 2c \), le coordinate dei fuochi saranno \( F_1(-c, 0) \) ed \( F_2(c, 0) \). Detto adesso ? un qualsiasi punto del piano di coordinate ?(?,?), e fissato un numero \( a \lt c \), per la definizione 1 ? apparterrà all’iperbole ? se e solo se

\[ |PF_1-PF_2| = 2a \]

\[ \Big| \sqrt{(x_P-x_{F_1})^2+(y_P-y_{F_1})^2}-\sqrt{(x_P-x_{F_2})^2+(y_p-y_{F_2})^2} \Big| = 2a \]

\[ \Big| \sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2} \Big| = 2a \]

Elevando tutto al quadrato, il valore assoluto scompare è otteniamo

\[ \Big(\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\Big)^2 = 4a^2 \]

\[ (x+c)^2+y^2+(x-c)^2+y^2-2\sqrt{[(x+c)^2+y^2][(x-c)^2+y^2]}=4a^2 \]

\[ 2x^2+2c^2+2y^2-2\sqrt{[(x+c)^2+y^2][(x-c)^2+y^2]}=4a^2 \]

\[ x^2+c^2+y^2-\sqrt{[(x+c)^2+y^2][(x-c)^2+y^2]}=2a^2 \]

Isolando la radice ed elevando nuovamente al quadrato, avremo poi

\[ -\sqrt{[(x+c)^2+y^2][(x-c)^2+y^2]}=2a^2-x^2-y^2-c^2 \]

\[ (x^2+c^2+2xc+y^2)(x^2+c^2-2xc+y^2)= \]

\[=4a^4+x^4+y^4+c^4-4a^2x^2-4a^2y^2-4a^2c^2+2x^2y^2+2x^2c^2+2y^2c^2\]

\[x^4+c^4+y^4+2x^2c^2+2x^2y^2+2c^2y^2-4x^2c^2= \]

\[ =4a^4+x^4+y^4+c^4-4a^2x^2-4a^2y^2-4a^2c^2+2x^2y^2+2x^2c^2+2y^2c^2 \]

Dalla quale, semplificando,

\[ 4a^4-4a^2x^2-4a^2y^2-4a^2c^2+4x^2c^2=0 \]

\[ a^4-a^2x^2-a^2y^2-a^2c^2+x^2c^2=0 \]

\[ x^2(c^2-a^2)-a^2y^2=a^2c^2-a^4 \]

Ricordando infine che \( c^2-a^2\gt 0 \), possiamo porre \( b^2=c^2-a^2 \) ed avere così

\[ b^2x^2-a^2y^2=b^2a^2 \]

\[ \begin{equation} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \label{eq1} \end{equation} \]

La (\(\ref{eq1}\)) è detta equazione canonica dell’iperbole riferita ai propri assi; mentre il numero ? è la metà della differenza delle distanze di ogni punto dai due fuochi, il numero \( b=\sqrt{c^2-a^2} \) ha un significato geometrico che si capisce meglio studiando le proprietà delle iperboli.

Osservazione 4: Nel caso in cui i fuochi \( F_1 \) ed \( F_2 \) siano presi ancora equidistanti dall’origine, ma situati sull’asse delle ordinate, per semplicità porremo \( |PF_1-PF_2=2b| \). A questo punto, seguendo passaggi molto simili a quelli precedenti e ponendo sempre \( c^2=a^2+b^2 \), otterremo l’equazione

\[ \begin{equation}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\label{eq2}\end{equation} \]

con la differenza che mentre nella (\(\ref{eq1}\)) risultava \( c \gt a \), nella (\(\ref{eq2}\)) vale invece \( c \gt b \). Il segno meno scaturisce dall’ultimo passaggio che ha consentito di ottenere la (\(\ref{eq1}\)): com’è chiaro questa inversione di coordinate lascia il termine in $ x^2 $ negativo e quello in $ y^2 $ positivo; la (\(\ref{eq2}\)) viene allora ottenuta semplicemente cambiando i segni a tutta l’equazione. È chiaro infine che in questo caso le coordinate dei fuochi sono \( F_1(0, -c) \) ed \( F_2(0, c) \).

Osservazione 5: Il segno meno inizialmente presente all’interno del valore assoluto viene trasformato in un segno più dalle successive due elevazioni al quadrato. Ciò significa che, a partire dalla seconda elevazione e fino all’ultimo passaggio, i calcoli effettuati sono formalmente identici a quelli svolti per ricavare l’equazione dell’ellisse. Il risultato ottenuto è diverso solo in virtù dell’osservazione 1, che ci consente di adoperare la disuguaglianza triangolare nel “verso opposto”.

Altro materiale di supporto

Videolezione sull’iperbole

Esercizio proposto

Determinare l’equazione dell’iperbole passante per il punto $ A(3, 2) $ avente per asintoti le rette \( y=\pm2x \)

Soluzione

Consulta anche il formulario sull’iperbole.

Se hai dubbi o domande sull’argomento chiedi pure nella sezione geometria e algebra lineare del nostro forum!

Esempi di problemi sul fascio di parabole

Esempio 1: Trovare il fascio avente fissati punti base.

Siano dati i punti \( A\Big(\frac{1}{2}, 1\Big) \) e \( B(-1, 3) \): il problema che ci proponiamo di risolvere è trovare quel fascio di parabole che li ammette come punti base. Come sappiamo, le parabole che fanno parte di detto fascio sono tutte e sole quelle che passano sia per ? che per ?; una tale parabola avrà generalmente equazione \( y=ax^2+bx+c \), con i coefficienti ?,?,? presi in maniera tale da consentire il passaggio per ? e ?. Impostiamo perciò

\( \begin{cases} 1=a\Big(\frac{1}{2}\Big)^2+b\Big(\frac{1}{2}\Big)+c \\ 3=a(-1)^2+b(-1)+c \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 1=\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c \\ 3=a-b+c \end{cases} \)

Il sistema ottenuto è in tre incognite, ma ha solo due equazioni: non può quindi essere completamente determinato. Questo fatto non ci sorprende: se il sistema fosse stato tale da consentirci di trovare un’unica terna ?,?,? allora sarebbe esistita solo una parabola per ? e ?, e sappiamo che non è vero. Dalle due equazioni date troviamo ? e ? in funzione di ?

\( \begin{cases} a=\frac{10}{3}-2c \\ b=\frac{1}{3}-c \end{cases} \Rightarrow y=\Big(\frac{10}{3}-2c\Big)x^2+\Big(\frac{1}{3}-c\Big)x+c \)

Per ogni valore di ?, l’equazione ottenuta è quella d’una parabola, possibilmente degenere, passante per ? e ?. Sostituendo due valori qualsiasi di ? otteniamo due parabole che possono assumere il ruolo di generatrici del nostro fascio:

\( c=\frac{2}{3} \Rightarrow y=2x^2-\frac{x}{3}+\frac{2}{3} \)

\( c=\frac{8}{3} \Rightarrow y=-2x^2-\frac{7}{3}x+\frac{8}{3} \)

Combinandole con il parametro ? abbiamo infine il risultato:

\( \Phi: y-2x^2+\frac{x}{3}-\frac{2}{3}+k\Big(y+2x^2+\frac{7}{3}x-\frac{8}{3}\Big)=0 \)

Esempio 2: Trovare il fascio avente fissati punto base e retta tangente.

Vogliamo adesso trovare l’equazione del fascio di parabole tangenti nell’origine alla retta ? di equazione \( y=\frac{5}{2}x \). In primo luogo notiamo che il problema è risolubile, poiché il punto di tangenza ? appartiene a ?; se invece ? non fosse stato un punto di ?, nessuna parabola avrebbe potuto esservi ivi tangente.

Notiamo prima di tutto che, non essendo ? una retta parallela all’asse ?, essa non può essere secante in un sol punto a nessuna parabola del tipo \( y=ax^2+bx+c \), per quanto generica. Quindi la condizione di tangenza si riduce a quella d’intersezione in un sol punto, per esprimere la quale imporremo \( \Delta = 0 \) nell’equazione risolutrice del sistema

\( \begin{cases} y=ax^2+bx+c \\ y=\frac{5}{2}x \end{cases} \Rightarrow \frac{5}{2}x-ax^2-bx-c=0  \Rightarrow \)

\( \Rightarrow \Big(\frac{5}{2}-b\Big)^2-4ac=0 \)

Il fatto poi che tale tangenza avvenga proprio nell’origine si riduce all’appartenenza di ? alla parabola. Dunque l’equazione appena ottenuta va messa a sistema con la

\( 0=a(0)^2+b(0)+c \Rightarrow c=0 \)

ottenendo

\( \begin{cases} c=0 \\ \Big(\frac{5}{2}-b\Big)^2-4ac=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} c=0 \\ \Big(\frac{5}{2}-b\Big)^2=0 \end{cases}  \Rightarrow \begin{cases} b=\frac{5}{2} \\ c=0 \end{cases} \)

Col che la generica parabola tangente nell’origine a ? avrà equazione \( y=ax^2+\frac{5}{2}x \). Se in tale equazione sostituiamo due valori qualsiasi, ma non nulli, di ?, otteniamo due parabole disponibili per il ruolo di generatrici del nostro sistema. Sostituendo ad esempio \( a=\pm 1 \), abbiamo

\( y=x^2+\frac{5}{2}x \,\,\,\, , \,\,\,\, y=-x^2+\frac{5}{2}x \Rightarrow \)

\( \Rightarrow \Phi: y-x^2-\frac{5}{2}x+k\Big(y+x^2-\frac{5}{2}x\Big)=0 \)

Esempio 3: Trovare il luogo dei vertici delle parabole di un fascio dato.

In questo esempio ci proponiamo di trovare l’equazione della curva composta da tutti e soli quei punti che sono vertici di qualche parabola appartenente ad un dato fascio \( \Phi \). Alle volte esercizi del genere sono riferiti al fuoco anziché al vertice, ma il metodo risolutivo è essenzialmente analogo.

Prendiamo ad esempio il fascio \( \Phi \) ottenuto come risultato dall’esempio precedente, e riscriviamolo in modo da evidenziare i coefficienti dei termini con la ?:

\( \Phi: y=\Big(\frac{1-k}{1+k}\Big)x^2+\frac{5}{2}x \)

Come sappiamo, il vertice di una parabola con asse verticale è \( V\Big(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\Big) \); dunque la generica parabola di \( \Phi \) avrà vertice

\( V\Big(-\frac{5/2}{2\Big(\frac{1-k}{1+k}\Big)}, -\frac{(5/2)^2}{4\Big(\frac{1-k}{1+k}\Big)}\Big) \Rightarrow V\Big(-\frac{5(1+k)}{4(1-k)}, -\frac{25(1+k)}{16(1-k)}\Big) \)

Se conveniamo di chiamare ? la prima e ? la seconda coordinata del vertice, ciò si scrive

\( x=-\frac{5(1+k)}{4(1-k)} \,\,\,\, , \,\,\,\, y=-\frac{25(1+k)}{16(1-k)} \)

Di qui in avanti il nostro obbiettivo è riuscire a scrivere un’equazione che non contenga la ?, ma solo la ? e la ?: questo sarà il luogo geometrico richiesto. Normalmente ciò si può ottenere risolvendo per ? una delle due equazioni e sostituendo il valore ottenuto nell’altra; qui ci limiteremo a notare che, calcolando il rapporto ?/?,

\( \frac{y}{x}=\frac{25/16}{5/4}=\frac{5}{4} \Rightarrow y=\frac{5}{4}x \)

Cosicché il luogo geometrico ricercato è una retta.

I fasci di parabole si dividono in tipi diversi a seconda dei coefficienti delle parabole generatrici. Quando di qui in avanti parleremo di \( \Delta \), ci riferiremo a quello dell’equazione

\[ \begin{equation} (a_1-a_2)x^2+(b_1-b_2)x+(c_1-c_2)=0 \label{eq1} \end{equation} \]

ottenuta per ?=−1 dall’equazione del fascio

\[ \begin{equation} \Phi: (k+1)y=(a_1+ka_2)x^2+(b_1+kb_2)x+(c_1+kc_2) \label{eq2} \end{equation} \]

Nelle immagini, le parabole in nero sono le generatrici del fascio, mentre quelle in grigio tratteggiato sono altre parabole appartenenti al fascio \( \Phi \).

Tipo 1: \( a_\ \ne a_2, \Delta \gt 0 \)

Se $a_1 $ ed $ a_2 $ sono distinti, l’equazione (\(\ref{eq1}\)) non si riduce ad una di primo grado; il fatto poi che sia \(\Delta \gt 0 \) assicura l’esistenza di due punti base, che nell’immagine abbiamo indicato con ? e ?. Siccome l’equazione (\(\ref{eq1}\)) si ottiene per ?=−1, essa è una particolare parabola

del fascio, che però degenera in due rette: esse sono le rette \( x=x_A \) e \( x=x_B \), in rosso nel grafico. Per \( k = -a_1/a_2 \), l’equazione del fascio (\(\ref{eq2}\)) si riduce a quella di una retta, ovvero a una parabola degenere; poiché deve passare per i punti base, si tratta della retta blu ??. Si noti che non può mai capitare il caso che \( -a_1/a_2=-1 \), perchè per ipotesi è \(a_1 \ne a_2 \).

Tipo 2: \( a_1 \ne a_2, \Delta = 0 \).

Questo caso è molto simile al precedente, ma differisce da esso per il fatto che, essendo \( \Delta = 0 \), l’equazione (\(\ref{eq1}\)) ha un solo risultato: ciò implica l’esistenza di un unico punto base ? e che la parabola che prima degenerava in due rette verticali si riduce alla retta \( x=x_T \).

Poiché, come prima, non può risultare \( -a_1/a_2=-1 \), la retta blu e quella rossa non sono coincidenti; visto che la retta rossa è verticale, quella blu dunque non può esserlo. Essendo la retta blu una parabola del fascio, essa interseca tutte le altre nel solo punto ?; non essendo poi verticale, essa non è secante in un sol punto alle parabole, ma tangente a tutte esse. Ciò dimostra anche che tutte le parabole sono tra loro tangenti in ?.

Tipo 3: \( a_1 \ne a_2 , \Delta \lt 0 \).

L’equazione (\(\ref{eq1}\)) in questo caso è di secondo grado, ma non ha soluzioni reali: ciò implica l’inesistenza di punti base, e dunque tutte le parabole sono tra loro disgiunte. La parabola degenere che si ottiene per \( k = -a_1/a_2 \), ovvero la retta blu del grafico, è anch’essa tale da non intersecare alcuna delle parabole del fascio. Si noti altresì che essa è l’unica retta del piano con tale proprietà.

Tipo 4: \( a_1 = a_2, b_1 \ne b_2 \)

Adesso l’equazione (\(\ref{eq1}\)) non è più di primo secondo grado, ma di primo: dunque essa avrà sempre una e una sola soluzione, ovvero l’ascissa dell’unico punto base ?. Come anche nel caso 2, la retta rossa \( x = x_A \) è una parabola degenere del fascio, ottenuta come al solito ponendo ?=−1. Da questo tipo di fascio in avanti non esistono più le parabole degeneri che indicavamo in blu, poiché l’uguaglianza $ a_1 = a_2 $ implica che \( -a_1/a_2 = -1 \), e perciò esse coincidono con le rette rosse.

È poi facile vedere che, qualora esistessero due parametri ℎ e ? tali che le parabole ad essi corrispondenti fossero tangenti in ?, allora una loro combinazione lineare particolare darebbe come risultato la loro comune retta tangente, che sarebbe ancora una parabola del fascio. Siccome tale retta non esiste, possiamo concludere che le parabole di questo tipo di fascio sono tutte secanti in ?.

Tipo 5: \( a_1 = a_2, b_1 = b_2 \)

Analizziamo in ultimo il caso in cui i coefficienti delle $ x^2 $ e delle ? delle parabole generatrici sono tra loro uguali; si ricordi che in questo caso si ha certamente \( c_1 \ne c_2 \), altrimenti \( \Pi_1 \) e \( \Pi_2 \) sarebbero la stessa parabola, contro l’ipotesi fatta in definizione 1. Se sostituiamo tali informazioni nell’equazione (\(\ref{eq2}\)) del fascio, abbiamo

\[ \Phi: y=\frac{a_1+ka_1}{k+1}x^2+\frac{b_1+kb_1}{k+1}x+\frac{c_1+kc_2}{k+1} \Rightarrow y=a_1x^2+b_1x+\frac{c_1+kc_2}{k+1} \]

Dunque tutte le parabole del fascio sono tra loro congruenti, e i loro grafici sono tutti traslati verticalmente l’uno rispetto all’altro. Ciò implica, in primo luogo, che essi non si intersecano, e quindi non esistono punti base; inoltre tutte le parabole condividono lo stesso asse di simmetria, corrispondente alla retta viola ? indicata in figura.

Vale la pena evidenziare che in questo caso l’equazione (\(\ref{eq1}\)) diventa impossibile, e quindi non esistono parabole degeneri; in particolare la retta ? non è una parabola degenere del fascio, ma è sia il luogo dei vertici che quello dei fuochi di tutte le parabole.

Esercizio proposto

Sia dato il fascio di parabole di equazione \((m+1)x^2-4(m+1)x-(m+1)y+4+5m=0 \):

1. Studiare il fascio;
2. Determina la parabola cui appartiene il punto A(3; -3);
3. Determina la parabola che intercetta sull’asse x un segmento lungo 6;
4. Determina la parabola che tange la retta \(2x-y-3=0\);
5. Determina la parabola che forma nel 1° quadrante un triangolo mistilineo di area \(\frac{8}{3}\).

Confronta la tua soluzione con quella (parziale) data nel forum di Matematicamente.

Elementi di un fascio di parabole

Definizione 1: Definizione di fascio di parabole

Si considerino due parabole non coincidenti \( \Pi_1 \) e \( \Pi_2 \) entrambe con asse verticale, le cui equazioni siano rispettivamente \( y=a_1x^2+b_1x+c_1 \) e \( y=a_2x^2+b_2x+c_2 \) . Si chiama fascio di parabole di prima generatrice \( \Gamma_1 \) e seconda generatrice \( \Gamma_2 \) la combinazione lineare

\[ \begin{equation} \Phi: y-a_1x^2-b_1x-c_1+ k( y-a_2x^2-b_2x-c_2)=0 \label{eq1} \end{equation} \]

con ? parametro reale.

Osservazione 1: Se nell’equazione (\(\ref{eq1}\)) del fascio svolgiamo i calcoli e mettiamo in evidenza possiamo ottenere, qualora sia \( k \ne -1 \),

\[ \begin{equation} \Phi: y=\frac{a_1+ka_2}{k+1}x^2+\frac{b_1+kb_2}{k+1}x+\frac{c_1+kc_2}{k+1} \label{eq2} \end{equation} \]

Questa maniera di scrivere l’equazione del fascio \( \Phi \) sottolinea come, al variare di \( k \in \mathbb{R}, k \ne -1 \), esso descriva una famiglia infinita di parabole, la cui equazione canonica è la (\(\ref{eq2}\)).

Osservazione 2: Se nell’equazione (\(\ref{eq1}\)) del fascio si sostituisce ?=0, quella che si ottiene è una parabola particolare, la prima generatrice \( \Gamma_1 \). Non esiste invece valore di ? tale da far ottenere la seconda generatrice \( \Gamma_2 \): in verità si dice, anche se a questo punto del corso di studi non si è nelle condizioni di capire bene il perché, che \( \Gamma_2 \) si ottiene per \( k = \infty \). Ad ogni buon conto i ruoli delle due generatrici non sono simmetrici, il che giustifica i nomi con cui vengono distinte.

Osservazione 3: Proviamo a prendere due qualsiasi parabole di \( \Phi \) e a intersecarle. Otterremo così, fissati due parametri reali ? e ℎ distinti da −1 e diversi tra loro, il sistema

\[ \begin{cases} \Pi_K \\ \Pi_H \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=\frac{a_1+ka_2}{k+1}x^2+\frac{b_1+kb_2}{k+1}x+\frac{c_1+kc_2}{k+1} \\ y=\frac{a_1+ha_2}{h+1}x^2+\frac{b_1+hb_2}{h+1}x+\frac{c_1+hc_2}{h+1} \end{cases} \]

Sottraendo la seconda equazione dalla prima, otteniamo che una delle equazioni a nostra scelta può essere sostituita dalla

\[ \Big(\frac{a+ka_2}{k+1}-\frac{a_1+ha_2}{h+1} \Big)x^2+\Big(\frac{b+kb_2}{k+1}-\frac{b_1+hb_2}{h+1} \Big)x+\Big(\frac{c+kc_2}{k+1}-\frac{c_1+hc_2}{h+1} \Big) = 0 \]

nella quale non compare più l’incognita ?. Svolgendo i conti in parentesi, si ha infine

\[ \begin{equation} (a_1-a_2)x^2+(b_1-b_2)x+(c_1-c_2) \label{eq3} \end{equation} \]

ossia un’equazione di secondo grado in ? nella quale non compaiono più i parametri ℎ e ?.

Le soluzioni di tale equazione, che possono essere due, una o nessuna a seconda del valore di \( \Delta \), costituiscono le ascisse dei punti d’intersezione delle parabole \( \Pi_K \) e \( \Pi_H \), ma non dipendono né da ?, nè da ℎ. Ciò significa che, se ci sono delle soluzioni, tutte le parabole del fascio si intersecano in tutti e soli quei punti, mentre se non ci sono soluzioni tutte le parabole del fascio sono tra loro disgiunte.

Definizione 2: Definizione di punti base

Si chiamano punti base di un fascio di parabole \( \Phi \) i punti d’intersezione comuni a tutte le parabole del fascio. Essi possono essere in numero di 0, 1 o 2.

Osservazione 4: In virtù dell’osservazione 3, la definizione di punti base è lecita, in quanto tutte le parabole del fascio si intersecano negli stessi punti. Poiché tali punti si possono trovare intersecando due qualsiasi delle parabole del fascio, essi sono anche i punti d’intersezione delle generatrici \( \Pi_1 \) e \( \Pi_2 \).

Definizione 3: Definizione di parabola degenere

Si chiama parabola degenere qualsiasi curva descritta da un dato fascio di parabole la cui equazione non possa essere scritta nella forma \( y=ax^2+bx+c \).

Osservazione 5: Se ad esempio nella (\(\ref{eq1}\)) sostituiamo ?=−1, quel che otteniamo è una equazione di secondo grado nell’incognita ?, che è una parabola degenere; lo stesso si verifica sostituendo \( k = -a_1/a_2 \) nella (\(\ref{eq2}\)), ottenendo però un’equazione di primo grado. Nel primo caso si dice che la parabola degenera in una coppia di rette, le quali possono essere coincidenti; nel secondo caso la parabola degenere invece è una sola retta.

Esempi di determinazione degli elementi di un fascio di parabole

Esempio 1: Si trovino le generatrici, i punti base e le eventuali parabole degeneri del fascio di equazione \( \Phi: y=\frac{2+k}{k+1}x^2+\frac{8-3k}{2+2k}x-3 \).

Prima di tutto troviamo le generatrici \( \Pi_1 \) e \( \Pi_2 \); per riuscirci occorre mettere ? in evidenza nell’equazione del fascio, dopo aver svolto il minimo comune multiplo:

\( y-\frac{2+k}{k+1}x^2-\frac{8-3k}{2+2k}x+3=0 \)

\( \frac{2ky+2y-4x^2-2kx^2-8x+3kx+6+6k}{2k+2}=0 \Rightarrow k(2y-2x^2+3x+6)=4x^2+8x-2y-6 \)

\( k\Big(y-x^2+\frac{3}{2}x+3 \Big)+(y-2x^2-4x+3)=0 \)

Sostituendo ?=0 otteniamo l’equazione della prima generatrice, \( \Pi_1: y=2x^2+4x-3 \); il fattore di ?, per contro, è l’equazione della seconda generatrice: \( \Pi_2: y=x^2-\frac{3}{2}x-3 \).

In virtù dell’osservazione 4, i punti base si possono trovare semplicemente intersecando le equazioni di \( \Pi_1 \) e \( \Pi_2 \). Procedendo in questo modo si ha

\(\begin{cases} y=2x^2+4x-3 \\ y=x^2-\frac{3}{2}x-3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2+\frac{11}{2}x=0 \\ y=-7x-3 \end{cases} \Rightarrow \)

\( \Rightarrow \begin{cases} x=0 & , & x=-\frac{11}{2} \\ y=-3 & , & y=\frac{71}{2} \end{cases} \)

cosicché i punti base sono ?(0,−3) e \( B\Big(-\frac{11}{2},\frac{71}{2} \Big) \). Seguendo poi il ragionamento esposto nel corso dell’osservazione 5, troviamo infine le equazioni delle parabole degeneri; esse corrispondono ai valori di ? pari a −1 e a \( -a_1/a_2 \), che in questo caso fa −2. Sostituendo avremo

\( k=-1 \Rightarrow -\Big(y-x^2+\frac{3}{2}x+3 \Big)+(y-2x^2-4x+3)=0 \Rightarrow \)

\( \Rightarrow x^2+\frac{11}{2}x=0 \)

\( k=-2 \Rightarrow -2\Big(y-x^2+\frac{3}{2}x+3 \Big)+(y-2x^2-4x+3)=0 \Rightarrow \)

\( \Rightarrow y+7x+3=0 \)

La prima equazione corrisponde a due rette verticali di equazioni ?=0, \(x=-\frac{11}{2}\) , mentre la seconda è l’equazione di una retta. Ci sono dunque due parabole degeneri: la prima è la coppia di rette parallele, la seconda è la terza retta.

Osservazione 6: Al lettore non sarà sfuggito che le equazioni delle parabole degeneri dell’ esercizio precedente sono le stesse che abbiamo intersecato nel secondo passaggio volto ad ottenere i punti base. Ciò non costituisce un caso fortuito, ma è un’eventualità che si presenta per ogni fascio di parabole.

Altro materiale di supporto

Esercizio proposto

Dato il fascio di parabole \( y=ax^2+(1-4a)x-(1-4a) \) determinare: 1) i punti base del fascio; 2) il luogo dei vertici delle diverse parabole del fascio; 3) le tangenti alle parabole del fascio nei punti base dello stesso. Dal risultato ottenuto cosa si può dedurre?

Soluzione nella videolezione sul sito delle lezioni

Sei in difficoltà con l’esercizio? Chiedi aiuto nella sezione “Geometria e algebra lineare” del forum di Matematicamente!

Definizioni

Definizione 1: Definizione di retta esterna

Una retta si dice esterna a una parabola data se esse non hanno punti in comune.

Definizione 2: Definizione di retta tangente

Una retta si dice tangente a una parabola data se esse hanno uno e un solo punto in comune e la retta si trova tutta in una sola delle due parti in cui la parabola divide il piano. Il punto comune è detto di tangenza.

Definizione 3: Definizione di retta secante

Una retta si dice secante a una parabola data se essa ha punti da entrambe le parti in cui la parabola divide il piano. I punti in comune tra la retta e la parabola sono generalmente detti d’intersezione.

Osservazione 1: Nell’immagine superiore la retta ? è esterna, e infatti non ha punti in comune con la parabola; la retta ? è tangente, visto che ha solo il punto ? in comune con la parabola e giace tutta dalla stessa parte di piano. Le rette ? e ? sono invece secanti, in quanto esse hanno punti tanto al di sopra, quanto al di sotto del grafico della parabola. Si noti che mentre ? ha due punti ? e ?′ in comune con la parabola, ? ne ha uno solo, ?. Questa eventualità è nuova, e non poteva verificarsi con le circonferenze.

Osservazione 2: Troviamo quali condizioni deve soddisfare il coefficiente angolare di una retta ? passante per un punto di una data parabola per essere secante ad essa in un sol punto. Per comodità fisseremo la parabola \( \Pi \) con asse verticale, e dal momento che le proprietà d’intersezione non dipendono dalla posizione nel piano delle curve, potremo prendere \( \Pi: y=ax^2 \): tutte le parabole possono infatti ridursi a una scrittura del genere tramite una semplice traslazione. Detto \( P(\overline{x},a\overline{x}^2) \) il punto della parabola per cui passa la retta, risulterà \( r: y-a\overline{x}^2=m(x-\overline{x}) \). Le sue intersezioni con \( \Pi \) saranno allora

\[ \begin{cases} r \\ \Pi \end{cases} \Rightarrow\begin{cases} y-a\overline{x}^2=m(x-\overline{x}) \\ y=ax^2 \end{cases} \Rightarrow ax^2-a\overline{x}^2=m(x-\overline{x})  \]

Quest’ultima equazione si riscrive come \(a(x+\overline{x})(x-\overline{x})=m(x-\overline{x}) \), che si risolve di certo per \( x_1=\overline{x} \), soluzione questa corrispondente al punto ?; resta poi \( a(x+\overline{x})=m \), da cui risulta che la seconda soluzione è \( x_2=\frac{m}{a}-\overline{x} \). Ma noi vogliamo che esista un’unica soluzione, quindi dovrà essere \( x_1=x_2 \Rightarrow \frac{m}{a}-\overline{x}=\overline{x} \Rightarrow m=2a\overline{x} \).

Da questi calcoli risulta che esiste un’unica retta del tipo \( y=mx+q \) che interseca \( \Pi \) in un sol punto, quella corrispondente al coefficiente angolare ? trovato. Poiché ci aspettavamo di trovare almeno la retta tangente e abbiamo trovato una sola retta, quella trovata dev’essere per forza la tangente in ?. Dunque se una retta secante in un sol punto la parabola esiste, essa non si scrive come \( y=mx+q \). Poiché solo le rette parallele all’asse delle ordinate non sono di questo tipo, e poiché certamente dal fatto che Π è una funzione segue che queste rette intersecano la parabola in un sol punto, possiamo dedurre che le rette secanti in un sol punto la parabola sono tutte e sole le parallele all’asse ?.

Esempi di determinazione della retta tangente

Esempio 1: Si trovino, se esistono, le tangenti alla parabola \( \Pi: y=2x^2+3x-5 \) passanti per il punto ?(?,?).

Poiché il punto ?, come facilmente si verifica per via algebrica o grafica, giace nella parte di piano esterna rispetto alla parabola, la situazione richiesta dal problema è la stessa che è rappresentata nella figura seguente:

Ci aspettiamo perciò di trovare due rette tangenti. Per risolvere il problema, costruiamo prima di tutto il fascio proprio di rette di centro ?, che ha equazione \( \Phi: y=m(x-2) \); intersechiamo adesso tale fascio con la parabola e troviamo i valori di ? tali che esista una sola soluzione:

\( \begin{cases} y=m(x-2) \\ y=2x^2+3x-5 \end{cases} \Rightarrow 2x^2+3x-5=mx-2m \Rightarrow \)

\( \Rightarrow 2x^2+(3-m)x+(2m-5)=0 \)

\( \Delta=0 \Rightarrow (3-m)^2-4\cdot 2 \cdot(2m-5)=0 \Rightarrow m^2-22m+49=0 \)

Da cui otteniamo le soluzioni \( m = 11\pm6\sqrt{2} \). Questi sono i coefficienti angolari delle due rette tangenti cercate, ed il problema è risolto.

Esempio 2: Si trovino, se esistono, le tangenti alla parabola \( \Pi: y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6} \) passanti per il punto ?(−?,?).

Questa volta risulta che il punto ? appartiene alla parabola: infatti si può calcolare che \( \frac{(-1)^2}{2}-\frac{1}{3}(-1)+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3+2+1}{6}=1 \). Allora la situazione qui esemplificata è simile a quella riportata in figura

e ci aspettiamo perciò l’esistenza di una sola retta tangente. Per trovarla procediamo come nell’esempio 1: scriviamo in primo luogo l’equazione del fascio proprio di rette per ?

\( \Phi: y-1=m(x+1) \Rightarrow y=mx+m+1 \)

quindi la intersechiamo con la parabola \( \Pi \), imponendo poi che la soluzione sia unica:

\( \begin{cases}y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6} \\ y=mx+m+1 \end{cases} \Rightarrow mx+m+1=\frac{3x^2-2x+1}{6} \Rightarrow \)

\( \Rightarrow 3x^2-2x(1+3m)-(6m+5)=0 \)

\( \Delta/4=0 \Rightarrow (1+3m)^2+3(6m+5)=0 \Rightarrow 9m^2+24m+16=0 \Rightarrow (3m+4)^2=0 \)

Com’è noto, quest’ultima equazione ha la sola soluzione \( m=-\frac{4}{3} \) , che è il coefficiente angolare dell’unica retta tangente a \( \Pi \) passante per ?; ciò risolve il problema.

Osservazione 3: Nei casi dei due esempi precedenti risulta che esistono due tangenti a una parabola passanti per un punto esterno, mentre ne esiste una sola passante per un punto appartenente alla parabola (il secondo di questi fatti seguiva già dall’osservazione 2). Ciò non è dovuto ai particolari esempi prescelti, ma è vero in senso generale.

Esempi di problemi sulla parabola

Esempio 1: Trovare il vertice, il fuoco, la retta direttrice e l’asse di simmetria della parabola di equazione \( y=\frac{1}{4}x^2+x+2 \) .

Per risolvere questo problema basta solo applicare le formule note riguardo le parabole; in particolare in questo caso, visto che la parabola è della forma \( y=ax^2+bx+c \), servono quelle relative alle parabole con asse di simmetria parallelo all’asse ?. Dunque diremo prima di tutto che \( \Delta=b^2-4ac=1-4\cdot\frac{1}{4}\cdot 2=1-2=-1 \), e poi calcoleremo

\( F\Big(-\frac{b}{2a}, \frac{1-\Delta}{4a} \Big) \Rightarrow F\Big(-\frac{1}{2/4}, \frac{1+1}{4/4} \Big) \Rightarrow F(-2, 2) \)

\(V\Big(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a} \Big) \Rightarrow V(-2, 1) \)

\( \text{direttrice: } y=-\frac{1+\Delta}{4a}=0 \,\,\,\, , \,\,\,\, \text{asse: } x=-\frac{b}{2a}=-2\)

Esempio 2: Trovare l’equazione della parabola avente fuoco \( F\Big(1, \frac{3}{4}\Big) \) e direttrice \( x=-1 \).

Dal momento che la direttrice è una retta parallela all’asse delle ?, l’asse di simmetria della parabola cercata sarà parallelo all’asse delle ascisse; poiché inoltre ? non appartiene a ?, il problema ammette una soluzione non degenere. Ricordando che in questo caso risulta

\(F\Big(\frac{1-\Delta}{4a}, -\frac{b}{2a}\Big)\,\,\, , \,\,\, d: x=-\frac{1+\Delta}{4a} \)

abbiamo subito tre equazioni da mettere a sistema:

\( \begin{cases} \frac{1-\Delta}{4a}=1 \\ -\frac{b}{2a}=\frac{3}{4} \\ -\frac{1+\Delta}{4a}=-1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 1-\Delta=4a \\ -2b=3a \\ 1+\Delta=4a \end{cases}\)

Dal confronto della prima e della terza ricaviamo immediatamente che \( a = \frac{1}{4} \) e \( \Delta = 0 \). Quindi dalla seconda scriveremo che \( b=-\frac{3}{2}a=-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{4}=-\frac{3}{8} \), e siccome \( \Delta=b^2-4ac\), concluderemo che \( 0 = \Delta=b^2-4ac=\frac{9}{64}-4\cdot\frac{1}{4}\cdot c \Rightarrow c=\frac{9}{64} \). L’equazione ricercata è allora \( \Pi: y=\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{8}x+\frac{9}{64} \).

Esempio 3: Trovare l’equazione della parabola avente fuoco \( F(7,1) \) e vertice \( V\Big(7, \frac{1}{2}\Big) \).

È noto che una delle proprietà dell’asse di simmetria di una parabola è di passare sia per il suo vertice che per il suo fuoco. Calcolando la retta ?? otterremo perciò facilmente che l’asse di simmetria è $ x=7 $, una retta parallela all’asse ?; ciò significa che la parabola avrà forma \( \Pi: y=ax^2+bx+c \), e non ci resta che trovarne i tre parametri. Mettiamo a sistema le informazioni note, come nel caso dell’esempio 2:

\( \begin{cases}x_F=x_V=7 \\ y_F=1 \\ y_V=\frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -\frac{b}{2a}=7 \\ \frac{1-\Delta}{4a} = 1 \\ -\frac{\Delta}{4a}=\frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=-14a \\ 1-\Delta=4a \\ \Delta=-2a \end{cases} \)

Dalla seconda e dalla terza equazione ricaviamo che \( a=\frac{1}{2}, \Delta=-1 \). Ciò sostituito nella prima equazione ci dice che ?=−7, e dall’equazione del \( \Delta \) ricaviamo ?:

\( \Delta = b^2-4ac \Rightarrow c=\frac{b^2-\Delta}{4a}=\frac{49+1}{2}=25 \Rightarrow \Pi: y=\frac{x^2}{2}-7x+25 \)

Esempio 4: Trovare una parabola che passa per tre punti fissati ?,?,?.

La risoluzione di questo problema non è tanto semplice come nel caso della circonferenza per tre punti, ma occorre invece distinguere più casi. In primo luogo, se ?,? e ? fossero allineati, certamente non vi sarebbe alcuna parabola che li attraversa tutti e tre: dunque prima di tutto bisogna calcolare l’equazione della retta ??, e sincerarsi che ? non le appartenga, poiché solo in questo caso il problema può avere soluzione.

Supponiamo ora che due dei punti dati, per fissare le idee diremo ? e ?, abbiano la stessa ascissa. Poiché una parabola con asse parallelo alle ordinate è una funzione di ?, di sicuro non apparterranno al suo grafico due punti verticalmente allineati come ? e ?; dunque se una parabola per ?, ? e ? esiste, in questo caso sarà con asse orizzontale. Similmente se due dei punti, diciamo ? e ?, condividono l’ordinata, non esisterà alcuna parabola con asse orizzontale che passa per ?, ? e ?  contemporaneamente, ma potrebbe esisterne una con asse parallelo alle ordinate. Ne consegue che se i punti ?, ? e ? sono i vertici di un triangolo rettangolo con i cateti paralleli agli assi coordinati, il che significa che una coppia di punti ha la stessa ascissa e una coppia di punti ha la stessa ordinata, non esisteranno parabole per ?, ?, ? nè ad asse verticale, nè ad asse orizzontale; neanche in questo caso il problema ha soluzione.

Se però ?, ?, ? non sono allineati e hanno coordinate tutte distinte, esistono esattamente due diverse parabole che li attraversano tutti e tre: una ad asse verticale e una ad asse orizzontale.

Esempio 5: Trovare le equazioni della parabole passanti per ?(?,?), ?(−?,?) e ?(?,?).

Come discusso nell’esempio 4, per prima cosa controlleremo che i tre punti non giacciano tutti sulla stessa retta. Dal momento che la retta ?? ha equazione $ y = 3 $, certamente ? non le appartiene, e quindi i tre punti non sono allineati. Però è anche evidente che ? e ? hanno la stessa ordinata, e quindi di certo non esiste alcuna parabola ad asse orizzontale che sia soluzione del nostro problema: la parabola avrà forma \( \Pi: y=ax^2+bx+c \).

Per trovare i tre parametri ?,?,? non resta che scrivere e risolvere il sistema costituito dalle condizioni di appartenenza di ?,? e ? a \( \Pi \):

\( \begin{cases} 3=c \\ 3=a(-2)^2+b(-2)+c \\ 6=a+b+c \end{cases} \Rightarrow\begin{cases} c=3 \\4a-2b+c=3 \\ a+b=6-c \end{cases} \Rightarrow \)

\( \Rightarrow\begin{cases} c=3 \\ 2a=b \\ a+b=3 \end{cases} \Rightarrow\begin{cases} a=1 \\ b=2 \\ c=3 \end{cases} \)

Cosicché \( \Pi: y=x^2+2x+3 \).

Altro materiale di supporto

Videolezioni di geometria analitica

Definizione di parabola

Definizione 1: Definizione di parabola

Siano fissati una retta ? e un punto ?. Si chiama parabola di retta direttrice ? e fuoco ? il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da ? e da ?.

Definizione 2: Vertice di una parabola

Data una parabola \( \Pi \) di direttrice ? e fuoco ?, si chiama vertice della parabola il punto ? ad essa appartenente che si trova a minima distanza dalla retta direttrice e dal fuoco.

Definizione 3: Asse di simmetria di una parabola

Data una parabola \( \Pi \) di direttrice ? e fuoco ?, si chiama asse di simmetria della parabola la retta ? perpendicolare alla direttrice e passante per il fuoco (e dunque inevitabilmente anche per il vertice).

Osservazione 1: Se vale la relazione \( F \in d \), cioè se il Fuoco appartiene alla direttrice, allora il luogo geometrico è banalmente la retta perpendicolare a ? passante per ?. Si suole dire che questa retta è una parabola degenere. In questo caso naturalmente il vertice, dovendosi trovare a distanza minima dal fuoco e potendovi coincidere, è ?=?; inoltre l’asse di simmetria della parabola coincide con la stessa parabola degenere.

Osservazione 2: L’asse di simmetria è così chiamato, com’è semplice immaginare, perché il grafico della parabola risulta simmetrico rispetto ad esso. Ciò significa che se un punto ? appartiene alla parabola \( \Pi \), allora anche il suo riflesso ?′ rispetto alla retta ? appartiene a \( \Pi \). D’altra parte, essendo $ d _|_ a $, la distanza tra ? e la retta direttrice è identica a quella tra ?′ e la retta direttrice; inoltre, visto che \( F \in a \), necessariamente ??=?′?. Allora

\[ \text{dist}(P’, d) = \text{dist}(P, d) = PF = P’F \]

col che le distanze di ?′ dalla retta direttrice e dal fuoco sono uguali, e \( P’ \in \Pi \).

Equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse ?

Metodo per ricavare l’equazione: Concentriamoci per il momento su di una parabola non degenere il cui asse di simmetria sia parallelo all’asse delle ordinate; ciò, in virtù della definizione 3, implica che la direttrice è una retta parallela all’asse delle ascisse, cioè che essa è \( d: y = y_d\) , con $y_d$ un fissato numero reale. Il fuoco sia invece il punto \( F(x_F, y_F) \).

Se adesso un generico punto ?(?,?) appartiene alla parabola, dovrà risultare ????(?,?)=??; esplicitando questa affermazione in formule, avremo

\[ |y-y_d|=\sqrt{(x-x_F)^2+(y-y_F)^2} \]

Calcolando i quadrati di entrambi i membri di questa equazione e isolando l’incognita ? al primo membro otterremo quindi

\[ (y-y_d)^2=(x-x_F)^2+(y-y_F)^2 \]

\[ y^2+y^2_d-2yy_d=x^2+x^2_F-2xx_F+y^2+y^2_F-2yy_F \]

\[ 2yy_F-2yy_d=x^2+x^2_F-2xx_F-y^2_d+y^2_F \]

\[ 2y(y_F-y_d)=x^2-2xx_F+(x^2_F+y^2_F-y^2_d) \]

Se la parabola non è degenere, per l’osservazione 1 ? non appartene a ?; ne consegue che \( y_F \ne y_d \), e quindi si possono dividere ambo i membri dell’ultima equazione per il valore non nullo \( 2(y_F-y_d) \), ottenendo

\[ \begin{equation} y=\frac{1}{2(y_F-y_d)}x^2-\frac{x_F}{y_F-y_d}x+\frac{(x^2_F+y^2_F-y^2_d)}{2(y_F-y_d)} \label{eq1} \end{equation} \]

La (\(\ref{eq1}\)) è la generica equazione di una parabola non degenere con asse parallelo all’asse ?. Più semplicemente, essa si scriverà come \( y=ax^2+bx+c \) una volta fatte le posizioni

\[ a=\frac{1}{2(y_F-y_d)} \,\,\,\, , \,\,\,\, b=-\frac{x_F}{y_F-y_d} \,\,\,\,\ , \,\,\,\, c=\frac{(x^2_F+y^2_F-y^2_d)}{2(y_F-y_d)} \]

Osservazione 3: Notiamo subito che, per il modo in cui è definito, \( a \ne 0 \). D’altro canto, se risultasse ?=0 l’equazione (\(\ref{eq1}\)) diventerebbe di primo grado, e finirebbe dunque come sappiamo col rappresentare una retta.

Osservazione 4: Il fatto che l’asse di simmetria sia parallelo all’asse ? e che esso passi per il fuoco ci dice che l’equazione dell’asse è \( x = x_F \). Scritta in funzione dei parametri ?,?,? che definiscono la parabola, essa diventa \( x=-\frac{b}{2a} \); è infatti facile vedere che

\[ -\frac{b}{2a}=-\Big(-\frac{x_F}{y_F-y_d}\Big):\Big(\frac{2}{2((y_F-y_d)}\Big)=\frac{x_F}{y_F-y_d}(y_F-y_d)=x_F \]

Osservazione 5: È possibile scrivere l’equazione della retta direttrice in funzione di ?,?,?. Essa risulta essere \( y =-\frac{1+b^2+4ac}{4a} \), o come anche si suole scrivere \( y = -\frac{1+\Delta}{4a} \), avendo posto come al solito \( \Delta = b^2-4ac \). Infatti

\[ -\frac{1+\Delta}{4a} = -\frac{1+b^2-4ac}{4a}=-\frac{1}{4a}-a\Big(-\frac{b}{2a}\Big)^2+c = \]

\[ = \frac{y_d-y_F}{2}-\frac{x^2_F}{2(y_F-y_d)}+\frac{(x^2_F+y^2_F-y^2_d)}{2(y_F-y_d)}=\frac{y_d-y_F}{2}+\frac{y^2_F-y^2_d}{2(y_F-y_d)}=\frac{y_F+y_d}{2}+\frac{y_d-y_F}{2}=y_d \]

Osservazione 6: L’ordinata del fuoco può essere trovata come \( y_F=\frac{1-\Delta}{4a} \), poichè grazie all’osservazione 5 possiamo scrivere direttamente, senza tanti calcoli,

\[ \frac{1-\Delta}{4a}=\frac{2}{4a}-\frac{1+\Delta}{4a}=\frac{1}{2a}+y_d=(y_F-y_d)+y_d=y_F \]

Osservazione 7: L’ordinata del vertice si trova con la seguente considerazione: poiché il fuoco e il vertice appartengono entrambi all’asse di simmetria, il quale è perpendicolare alla direttrice, che è a sua volta parallela all’asse ?, le distanze del vertice dal fuoco e dalla direttrice si trovano semplicemente sottraendo tra loro le ordinate. Siccome però il vertice appartiene alla parabola, le due distanze devono essere uguali, e perciò

\[ y_V-y_d = y_F-y_V \Rightarrow y_V=\frac{(y_F-y_d)}{2}=\frac{1}{2}\Big(\frac{1-\Delta}{4a}-\frac{1+\Delta}{4a}\Big)=-\frac{\Delta}{4a} \]

Osservazione 8: Riassumiamo qui tutto quanto trovato nel corso di questo paragrafo, e confrontiamolo con il grafico di una parabola con asse parallelo all’asse ?:

\[ \Pi: y=ax^2+bx+c\,\,\,\,\, ,\,\,\,\,\,  a \ne 0 \]

\[ F\Big(-\frac{b}{2a}, \frac{1-\Delta}{4a}\Big) \,\,\, , \,\,\, V\Big(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\Big) \,\,\, , \,\,\, \text{direttrice: } y=-\frac{1+\Delta}{4a} \,\,\, , \,\,\, \text{asse: } x=-\frac{b}{2a} \]

Equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse ?

Osservazione 9: Vogliamo adesso interessarci del caso di una parabola avente l’asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse. Come il lettore non stenterà a credere, tanto il metodo che consente di ricavare l’equazione della parabola a partire dalla definizione, tanto i risultati ottenuti riguardo gli elementi della parabola sono del tutto simmetrici a quelli del caso in cui l’asse di simmetria è parallelo all’asse delle ordinate. Ci limiteremo quindi ad elencarli:

\[ \Pi: x=ay^2+by+c\,\,\,\,\, ,\,\,\,\,\,  a \ne 0 \]

\[ F\Big(\frac{1-\Delta}{4a},-\frac{b}{2a} \Big) \,\,\, , \,\,\, V\Big(-\frac{\Delta}{4a},-\frac{b}{2a} \Big) \,\,\, , \,\,\, \text{direttrice: } x=-\frac{1+\Delta}{4a} \,\,\, , \,\,\, \text{asse: } y=-\frac{b}{2a} \]

Osservazione 10: L’unica sostanziale differenza tra i due casi osservati è che, mentre nel primo caso l’equazione ottenuta era quella di una funzione di ?, nel secondo caso ciò non è vero: una parabola con asse parallelo all’asse delle ? non è una funzione. Infatti, com’è facile vedere dal grafico, per ogni valore di \( x \gt x_V \) ci sono due differenti valori di ? che gli corrispondono, uno al di sopra e uno al di sotto dell’asse di simmetria. Quando, per applicazioni più avanzate, si adopera una parabola di questo tipo, ci si riferisce solitamente alla funzione costituita dal suo solo ramo superiore.

Altro materiale di supporto

Videolezione sulla parabola

Intersezioni tra una retta e un’ellisse

Esempio 1: Trovare le tangenti all’ellisse di equazione $ 9x^2+y^2-18x-10y=-25 $ condotte dai punti \( A(4, 5), B\Big(\frac{3}{2}, 5-\frac{3\sqrt{3}}{2}\Big) \) e \( C(1, 6) \).

Per risolvere questo problema seguiremo lo stesso procedimento per ciascun punto, ma otterremo tre risultati diversi. Ciò è dovuto al fatto che i tre punti si trovano in posizioni differenti del piano rispetto all’ellisse: il punto ? è esterno, ? è interno e ? appartiene all’ellisse stessa. Il procedimento è il seguente: dopo aver considerato il fascio proprio di rette centrato nel punto desiderato, intersecheremo la generica retta del fascio con l’ellisse e porremo uguale a zero il discriminante della risolvente. In tal modo, avendo imposto la condizione di tangenza, troveremo solo quei valori di ? corrispondenti alle eventuali rette tangenti.

Il fascio proprio di rette passante per il punto ? ha equazione

\( \Phi_A: y = 5 + m(x-4) \)

Intersecando tale equazione con l’equazione dell’ellisse e ponendo \( \Delta = 0 \) nella risolvente,

\( \begin{cases} \Phi_A \\ E \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=5+m(x-4) \\ 9x^2+y^2-18x-10y+25=0 \end{cases} \)

\( 9x^2+25+m^2(x^2+16-8x)+10m(x-4)-18x-50-10mx+40m+25=0 \)

\( (9+m^2)x^2-2(9+4m^2)x+16m^2=0 \)

\( \Delta=0 \Rightarrow (9+4m^2)^2-16m^2(9+m^2)=0 \Rightarrow 81-72m^2=0 \)

\( m^2=\frac{81}{72} = \frac{9}{8} \Rightarrow m=\pm\frac{3}{2\sqrt{2}} \)

Questa serie di calcoli ci rende due valori di ? cui corrispondono le rette del fascio

\( y=5\pm\frac{3}{2\sqrt{2}}(x-4) \)

le quali sono le due tangenti all’ellisse ? condotte dal punto ?; il fatto che ce ne siano due conferma quanto dicevamo riguardo la posizione di ? rispetto a ?.

Ripetendo lo stesso procedimento per il punto ? otterremo invece, dopo calcoli simili,

\( \Phi_B: y=5-\frac{3\sqrt{3}}{2}+m\Big(x-\frac{3}{2}\Big) \)

\( (m^2+9)x^2-3(m^2+\sqrt{3}m+6)x+\frac{9}{2}\Big(\frac{m^2}{2}+\sqrt{3}m+\frac{3}{2}\Big) = 0 \)

\( \Delta = 0 \Rightarrow 27(m^2-2\sqrt{3}m+3)=0 \Rightarrow m=\sqrt{3} \)

e dunque esiste una sola tangente ad ? condotta da ?, il che conferma il fatto che ? effettivamente appartiene all’ellisse: essa è la retta di equazione .

Provando ancora lo stesso procedimento per il punto ?, otterremo invece

\( \Phi_C: y=6+m(x-1) \)

\( (9+m^2)x^2+2(-m^2+m-9)x+(m^2-2m+1)=0 \)

\( \Delta=m^2+8 \gt 0 \)

Non potendo porsi \( \Delta = 0 \), non è possibile che esista una retta tangente all’ellisse passante per ?: ciò è chiaro segnale che tale punto è contenuto all’interno dell’ellisse, e quindi ogni retta che lo attraversi interseca l’ellisse in esattamente due punti.

Esempio 2: Verificare che la retta \( r:y=\frac{x}{3}-1 \) è secante all’ellisse di equazione \( E: x^2+4y^2 \), e determinarne i punti d’intersezione.

Per risolvere questo genere di problema non occorre far altro che intersecare ? ed ?:

\( \begin{cases}y=\frac{x}{3}-1 \\ x^2+4y^2=16 \end{cases} \Rightarrow\begin{cases}y=\frac{x}{3}-1 \\ \frac{13x^2}{9}-\frac{8x}{3}-12=0 \end{cases} \Rightarrow \)

\( \Rightarrow \begin{cases} x=\frac{6}{13}(2\pm\sqrt{43}) \\ y=\frac{1}{13}(-9\pm2\sqrt{43}) \end{cases} \)

Ciò prova che i punti \( A\Big( \frac{6}{13}(2+\sqrt{43}), \frac{1}{13}(2\sqrt{43}-9) \Big) \) e \( B\Big(\frac{6}{13}(2-\sqrt{43}), \frac{-1}{13}(2\sqrt{43}+9) \Big) \) costituiscono l’intersezione della retta e dell’ellisse; siccome esse si intersecano in due punti, deduciamo che la retta ? è secante all’ellisse ?.

Intersezioni tra due ellissi

Esempio 3: Determinare i punti d’intersezione delle due ellissi di equazioni \( E_1: 4x^2+9y^2-16x-18y-11=0 \) e \( E_2: 4x^2+y^2-32x-2y+61=0 \).

Per risolvere questo esercizio dobbiamo solo risolvere un sistema, così come nell’esempio 2; qui c’è la difficoltà aggiuntiva che il sistema è di quarto grado, e dunque la sua risolvente sarà in generale un polinomio di quarto grado, per il quale non conosciamo una formula risolutiva semplice se non in casi molto speciali. Poniamo dunque

\( \begin{cases} 4x^2+9y^2-16x-18y-11=0 \\ 4x^2+y^2-32x-2y+61=0 \end{cases} \)

Il primo passaggio da fare consiste nel moltiplicare entrambe le equazioni per i reciproci dei coefficienti di $ y^2 $, in modo tale che le equazioni risultanti presentino coefficiente pari a 1 per quel monomio:

\( \begin{cases} \frac{4x^2}{9}+y^2-\frac{16}{9}-2y-\frac{11}{9}=0 \\ 4x^2+y^2-32x-2y+61=0 \end{cases} \)

Nella seconda equazione non è stato necessario modificare nulla poiché 1 coincide con il suo reciproco. Sottraiamo adesso le due equazioni membro a membro, e sostituiamo il risultato a una delle due equazioni, per esempio alla seconda:

\( \begin{cases} \Big(4-\frac{4}{9} \Big)x^2+\Big(\frac{16}{9}-32\Big)x+\Big(61+\frac{11}{9}\Big)=0 \\ 4x^2+9y^2-16x-18y-11=0 \end{cases} \Rightarrow \)

\( \Rightarrow \begin{cases} 2x^2-17x+35=0 \\ 4x^2+9y^2-16x-18y-11=0 \end{cases}  \)

Notiamo che abbiamo del tutto eliminato ? da un’equazione; essa può allora essere risolta per ?, il che ci consente di ottenere i valori seguenti:

\( x_1=\frac{7}{2}\,\,\,\,\ , \,\,\,\,\, x_2=5 \)

Se adesso andiamo a sostituire uno alla volta i due valori ottenuti per ? nella seconda equazione e la risolviamo rispetto a ?, otteniamo il risultato cercato:

\( y^2-2y-2=0 \Rightarrow y=1\pm\sqrt{3} \)

\( y^2-2y+1=0 \Rightarrow y=1 \)

In tal modo abbiamo provato che esistono tre punti di intersezione tra le due ellissi date: essi sono \( A\Big(\frac{7}{2}, 1-\sqrt{3}\Big), B\Big(\frac{7}{2}, 1+\sqrt{3}\Big) \) e \( C(5, 1) \).

Osservazione 1: Il caso analizzato nell’esempio 3, nel quale siamo giunti rapidamente alla soluzione, era in realtà molto speciale; rappresentando graficamente le ellissi ci saremmo infatti accorti che il centro della seconda giace sul semiasse maggiore della prima, il che genera particolari simmetrie che rendono il sistema facile da risolvere. Infatti, in linea di principio, quando abbiamo sottratto le due equazioni membro a membro sarebbe dovuto sparire solo il termine $ y^2 $. La sparizione aggiuntiva del termine ?, dovuta alla particolare disposizione delle curve, ci ha consentito di trovare velocemente la soluzione del sistema.

Altro materiale di supporto

Videolezioni di esercizi di geometria analitica

Osservazione 1: Nella sua forma più generale tra quelle studiate, l’equazione di un’ellisse è \( mx^2 + ny^2 + px + qy + r = 0 \), ovvero un’equazione di secondo grado nelle incognite ? ed ?, priva del termine rettangolare ??. Il problema di trovare le intersezioni tra un’ellisse e una generica retta coincide con quello di risolvere il sistema

\[ \begin{cases} mx^2+ny^2+px + qy + r = 0 \\ ax + by + c = 0 \end{cases} \]

Esso può essere trattato in maniera standard esplicitando per ? o per ? l’equazione della retta e sostituendo il valore ottenuto nell’equazione dell’ellisse: il risultato è un’equazione al più di secondo grado contenente l’altra incognita, che può essere risolta facilmente. Dunque le intersezioni tra una retta e un’ellisse sono tante quante le soluzioni di un’equazione di secondo grado: nessuna, una o due. Nel primo caso la retta è detta esterna, nel secondo tangente e nel terzo secante l’ellisse.

Osservazione 2: Intersecare tra loro due ellissi $ E_1 $ ed $ E_2 $ richiede la risoluzione del sistema

\[ \begin{cases} m_1x^2 +n_1y^2 + p_1x + q_1y + r_1 = 0 \\ m_2x^2 +n_2y^2 + p_2x + q_2y + r_2 = 0 \end{cases} \]

Dal momento che certamente sia $ n_1 $ che $ n_2 $ sono diversi da 0, potremo riscriverlo così

\[ \frac{m_1}{n_1} x^2 + y^2 + \frac{p_1}{n_1} x + \frac{q_1}{n_1} y + \frac{r_1}{n_1} = 0 \\ \frac{m_2}{n_2} x^2 + y^2 + \frac{p_2}{n_2} x + \frac{q_2}{n_2} y + \frac{r_2}{n_2} = 0\]

Da cui, sottraendo membro a membro, ricaveremo, con le ovvie posizioni,

\[ \begin{cases} \Big(\frac{q_2}{n_2}-\frac{q_1}{n_1} \Big) y = \Big(\frac{m_1}{n_1}-\frac{m_2}{n_2} \Big) x^2 + \Big( \frac{p_1}{n_1}-\frac{p_2}{n_2} \Big) x + \Big( \frac{r_1}{n_1}-\frac{r_2}{n_2} \Big) \\ E_1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \tilde{q}y = \tilde{m} x^2 + \tilde{p}x + \tilde{r} \\ E_1 \end{cases} \]

Se adesso \( \tilde{q} = 0 \), ovvero se \( \frac{q_2}{n_2} = \frac{q_1}{n_1} \)  , la prima equazione è di secondo grado nella ? e può essere risolta. Ad ogni valore di ? corrisponderanno nessuno, uno o due valori della ? dopo aver effettuato la sostituzione in $ E_1 $: ne consegue che le soluzioni possono essere in qualsiasi numero compreso tra 0 e 4, e possono essere tutte determinate facilmente.

Se invece \( \tilde{q} \ne 0 \), la prima equazione può essere esplicitata per ? scrivendo

\[ \begin{equation} y = \frac{\tilde{m}}{\tilde{q}} x^2 + \frac{\tilde{p}}{\tilde{q}} x + \frac{\tilde{r}}{\tilde{q}}  \label{eq1} \end{equation} \]

e sostituendo questa scrittura di ? nella \( E_1 \) otteniamo un’equazione di quarto grado nella ?. Anche in questo caso la quantità di soluzioni è la stessa, ma poiché il metodo per trovare le radici di un’equazione di quarto grado è molto complesso, generalmente esse vengono determinate solo in casi semplici con il metodo di Ruffini.

In quest’immagine vediamo tutti i possibili casi d’intersezione tra due ellissi:

\[ \alpha \cap \gamma = \alpha \cap \delta = \varnothing \,\,\,\,\,\, (0 \text{ punti}) \]

\[ \beta \cap \gamma = \{F\}  \,\,\,\,\,\, (1 \text{ punto}) \]

\[ \beta \cap \delta = \{D, E\}  \,\,\,\,\,\, (2 \text{ punti}) \]

\[ \alpha \cap \beta = \{A, B, C\} \,\,\,\,\,\, (3 \text{ punti}) \]

\[ \delta \cap \gamma = \{G, H, J, K\} \,\,\,\,\,\, (4 \text{ punti}) \]

Osservazione 3: Dal momento che una circonferenza può essere vista come un’ellisse di eccentricità nulla, il problema di intersecare una circonferenza con un’ellisse è identico a quello consistente nell’intersecare due ellissi, che è stato trattato nell’osservazione 2.

Osservazione 4: Intersecare una parabola con un’ellisse è un problema che abbiamo tutto sommato già analizzato: nel corso dell’osservazione 2, abbiamo a un certo punto calcolato l’intersezione dell’equazione (\(\ref{eq1}\)), che è quella di una parabola, con $ E_1 $, che appartiene a un’ ellisse. Dunque una parabola ed un’ellisse possono avere qualsiasi numero di intersezioni compreso tra 0 e 4, ma queste sono tipicamente difficili da calcolare, se non in casi molto simmetrici.

Rette tangente a un’ellisse

Teorema 1: Gli angoli formati da una retta ? tangente a un’ellisse ? con le congiungenti il punto di tangenza ? con i fuochi $ F_1 $ ed $ F_2 $ sono uguali.

Dimostrazione: La proprietà che vogliamo dimostrare non dipende dal particolare sistema di coordinate adottato. Dati dunque un’ellisse ? e una retta ? ad essa tangente in un punto ?, consideriamo il sistema di coordinate avente ? come origine e asse ? parallelo alla retta cui appartengono i fuochi. Così, visto che l’ellisse e la retta passano per l’origine e i termini noti delle loro equazioni devono essere nulli, avremo

\[ E: mx^2+ny^2+px+qy=0\,\,\,\, , \,\,\,\, t: y = \alpha x \]

Il centro dell’ellisse è \( O’\Big(-\frac{p}{2m},-\frac{q}{2n} \Big) \), e dunque poniamo \( x_0 = -p/2m, y_0 = -q/2n \), cosicché l’equazione di ? diventa

\[ E: mx^2+ny^2-2mx_0x-2ny_0y = 0 \]

La retta ? deve essere tangente all’ellisse, quindi il \( \Delta \) dell’equazione caratteristica relativa alla loro intersezione deve essere nullo. Ciò ci consente di calcolare \(\alpha\):

\[ mx^2+n\alpha^2x^2-2mx_0x-2ny_0\alpha x = 0 \Rightarrow \]

\[ \Rightarrow \Delta=(2mx_0 + 2ny_0\alpha)^2 = 0 \]

\[ \alpha = -\frac{2mx_0}{2ny_0} = -\frac{mx_0}{ny_0} \]

Le coordinate dei fuochi saranno semplicemente \( F_{1,2}(x_0 \pm c, y_0) \), quindi sarà facile trovare le loro distanze da ?, ovvero dall’origine, e dalla retta ?:

\[ F_1T = \sqrt{(x_0-c)^2+y^2_0} \,\,\,\, , \,\,\,\,  F_2T = \sqrt{(x_0+c)^2+y^2_0} \]

\[ F_1T = \frac{|y_0-\alpha(x_0-c)|}{\sqrt{\alpha^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{\alpha^2+1}} \Big| y_0 + \frac{mx_0}{ny_0} (x_0-c) \Big| \]

\[ F_2T = \frac{|y_0-\alpha(x_0+c)|}{\sqrt{\alpha^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{\alpha^2+1}} \Big| y_0 + \frac{mx_0}{ny_0} (x_0+c)\Big| \]

Per le ultime due uguaglianze abbiamo adoperato la formula per la distanza da un punto da una retta in forma esplicita. Troviamo infine il valore di $ c^2 $: poiché in questo caso $ c^2 = a^2 – b^2 $, per le formule già note riguardo l’ellisse traslata scriveremo

\[ c^2 = \Big( \frac{p^2}{4m}+\frac{q^2}{4n}\Big) \Big(\frac{1}{m}-\frac{1}{n} \Big) = \frac{n-m}{nm} (mx^2_0+ny^2_0) \]

Veniamo adesso alla dimostrazione vera e propria del teorema: i due angoli di cui si parla nell’enunciato saranno uguali allorché i due triangoli cui essi appartengono risulteranno simili. Poiché essi sono rettangoli, per provare la similitudine basta mostrare che due coppie di lati sono in proporzione. Il teorema sarà perciò provato se varrà

\[ F_1T : F_2T = F_1t : F_2t \]

In base ai calcoli già svolti, tale proporzione equivale all’equazione seguente

\[ \frac{\sqrt{(x_0-c)^2+y^2_0}}{\sqrt{(x_0+c)^2+y^2_0}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{\alpha^2+1}}\Big|y_0+\frac{mx_0}{ny_0}(x_0-c)\Big|}{\frac{1}{\sqrt{\alpha^2+1}}\Big|y_0+\frac{mx_0}{ny_0}(x_0+c)\Big|} \Rightarrow\]

\[ \Rightarrow \frac{(x_0-c)^2+y^2_0}{(x_0+c)^2+y^2_0} = \frac{\Big(y_0+\frac{mx_0}{ny_0}(x_0-c)\Big)^2}{\Big(y_0+\frac{mx_0}{ny_0}(x_0+c)\Big)^2}\]

Il secondo passaggio è stato ottenuto semplificando i coefficienti del secondo membro ed elevando poi tutto al quadrato. Svolgendo il prodotto incrociato e tutte le moltiplicazioni presenti, si arriva facilmente a

\[ y^2_0n^2-y^2_0mn+x^2_0mn-c^2mn-x^2_0m^2 = 0 \]

la quale risulta verificata identicamente allorché in essa si sostituisce il valore di $c^2$ che abbiamo calcolato in precedenza.

Esempi di problemi elementari sull’ellisse

Esempio 1: Trovare l’equazione dell’ellisse riferita ai propri assi avente semiasse maggiore lungo \( \frac{3}{2} \) e semiasse minore lungo \( \frac{3}{4} \).

Dal momento che l’ellisse richiesta è riferita ai propri assi, essa in generale avrà equazione

\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

indipendentemente che i suoi fuochi siano situati sull’asse ? o sull’asse ?. Nel primo dei due casi, il semiasse maggiore sarà \( a = \frac{3}{2} \), mentre nell’altro caso avremo \( b = \frac{3}{2} \) per lo stesso motivo. Ne segue che esistono due diverse ellissi soluzione del problema: esse sono

\( \frac{x^2}{\Big(\frac{3}{2} \Big)^2} + \frac{y^2}{\Big(\frac{3}{4}\Big)^2} = 1 \Rightarrow 4x^2+16y^2 = 9 \)

\( \frac{x^2}{\Big(\frac{3}{4} \Big)^2} + \frac{y^2}{\Big(\frac{3}{2}\Big)^2} = 1 \Rightarrow 16x^2+4y^2 = 9 \)

Esempio 2: Trovare le lunghezze degli assi, la distanza focale, l’eccentricità e le coordinate dei vertici e dei fuochi dell’ellisse ? di equazione $ 20x^2+45y^2-8x-36y = 712 $.

In primo luogo, occorre verificare che l’equazione data rappresenti davvero un’ellisse. Le condizioni che devono essere soddisfatte a questo proposito sono

\[ mn \gt 0 \,\,\,\, , \,\,\,\, \frac{p^2}{4m} + \frac{q^2}{4n} \gt r \]

dove i coefficienti che appaiono sono quelli dell’equazione generale per un’ellisse traslata \(mx^2+ny^2+px+qy+r=0 \). Poiché nel nostro caso risulta ?=20, ?=45, ?=−8,

?=−36, ?=−712, le due disequazioni sono facilmente verificate, e dunque ? è una ellisse. Conviene adesso adoperare il metodo di completamento dei quadrati per scrivere l’equazione in modo più accessibile:

\( 20 \Big(x^2 -\frac{2}{5}x \Big) + 45 \Big(y^2-\frac{4}{5}y \Big) = 712 \)

\( 20 \Big(x^2 -\frac{2}{5}x +\frac{1}{25}\Big) + 45 \Big(y^2-\frac{4}{5}y + \frac{4}{25}\Big) = 712 +\frac{4}{5}+\frac{36}{5} \)

\( 20 \Big(x-\frac{1}{5}\Big)^2+45\Big(y-\frac{2}{5}\Big)^2 = 720 \)

Tale equazione ci dice che il centro dell’ellisse è il punto \( C\Big(\frac{1}{5}, \frac{2}{5} \Big) \), e che i semiassi maggiore e minore sono lunghi rispettivamente ?=6 e ?=4; ne consegue che gli assi misurano 12 e 8. Poiché \( a \gt b \), questa ellisse ha i fuochi situati su una parallela all’asse delle ascisse: ciò significa che \( c = \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{36-16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \), e che i fuochi hanno coordinate \( F_{1,2}\Big(\frac{1}{5}\pm 2\sqrt{5},\frac{2}{5} \Big) \); inoltre la distanza focale è \( 2c = 4\sqrt{5} \). Calcoliamo ora l’eccentricità: dal momento che essa è il rapporto tra la distanza focale e l’asse maggiore, nel nostro caso avremo

\( e = \frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{5}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.74 \)

Per trovare infine le coordinate dei vertici, possiamo adoperare due diversi metodi: il primo consiste nel trovare le rette parallele agli assi coordinati passanti per il centro e intersecarle con l’equazione di ?, in maniera tale da ottenere i vertici come da definizione; il secondo, ben più semplice, richiede solo di osservare che i vertici distano dal centro (a destra e a sinistra e in alto e in basso) esattamente della lunghezza di un semiasse (maggiore o minore). Dunque

\( A_{1,2}\Big(\frac{1}{5} \pm 6, \frac{2}{5} \Big) \Rightarrow A_1\Big(-\frac{29}{5}, \frac{2}{5} \Big) \,\,\,\, , \,\,\,\, A_2\Big(\frac{31}{5}, \frac{2}{5} \Big) \)

\( B_{1,2}\Big(\frac{1}{5}, \frac{2}{5} \pm 4 \Big) \Rightarrow B_1\Big(\frac{1}{5}, -\frac{18}{5} \Big) \,\,\,\, , \,\,\,\, B_2\Big(\frac{1}{5}, \frac{22}{5} \Big) \)

Esempio 3: Determinare l’equazione dell’ellisse i cui fuochi sono i punti \( F_1\Big( 1, \frac{3}{5} \Big) \) e \( F_2\Big(1, \frac{7}{5} \Big) \) tale che la somma delle distanze di ognuno dei suoi punti dai fuochi valga ?.

In quanto i fuochi si trovano entrambi sulla retta verticale ?=1, l’ellisse della qual stiamo parlando è traslata, e ha \( b \gt a \). Cominciamo col trovarne il centro ?: essendo esso il punto medio del segmento i cui estremi sono i fuochi, avremo

\( C\Big(\frac{1+1}{2}, \frac{\frac{3}{5}+\frac{7}{5}}{2} \Big) \Rightarrow C(1, 1) \)

Inoltre la distanza focale è \( 2c = F_1F_2 = \frac{7}{5}-\frac{3}{5}=\frac{4}{5} \) , da cui segue subito ?=25 . Poiché per la definizione stessa di ellisse con asse maggiore parallelo all’asse delle ? vale che la somma delle distanze di un generico punto dai fuochi è 2?, nel nostro caso risulta \( 2b = 2 \rightarrow b = 1 \). Questo, assieme al risultato precedente, consente di dire che

\( a = \sqrt{b^2-a^2} = \sqrt{1-\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5} \)

Disponiamo adesso di tutti i dati necessari per scrivere l’equazione dell’ellisse:

\( E: \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_o)^2}{b^2}=1 \Rightarrow E: \frac{5(x-1)^2}{21}+(y-1)^2 = 1 \)

Volendo, possiamo svolgere i calcoli e finire con lo scrivere l’equazione dell’ellisse in forma generale:

\( E: 5x^2+21y^2-10x-42y+5 = 0 \)

Esempio 4: Trovare l’equazione dell’unica ellisse riferita ai propri assi passante per i punti \( P(\sqrt{3}, \sqrt{3}) \) e \( Q\Big(2\sqrt{2}, \frac{2\sqrt{3}}{3} \Big) \).

L’equazione di un’ellisse del tipo richiesto si scrive come \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\). Come si vede, essa ha due parametri da determinare, e quindi tutto ciò che ci occorre sono due condizioni indipendenti; il passaggio dell’ellisse per i punti ? e ? consente quindi di risolvere il problema. Risolviamo il seguente sistema:

\( \begin{cases}\frac{3}{a^2}+\frac{3}{b^2}=1 \\ \frac{8}{a^2}+\frac{4}{3b^2} = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3\alpha + 3\beta = 1 \\ 8\alpha + \frac{4}{3}\beta = 1 \end{cases} \Rightarrow\begin{cases} \alpha = \frac{1}{12} \\ \beta = \frac{1}{4} \end{cases} \Rightarrow\begin{cases} a = \sqrt{12} \\ b = 2 \end{cases} \)

Nel secondo passaggio abbiamo posto \( \alpha = \frac{1}{a^2} \) e \( \beta = \frac{1}{b^2} \) per agevolare la risoluzione. L’ellisse ricercata è perciò \( E: \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1 \).

Osservazione 1: Se nell’esempio 4 la richiesta non fosse stata esplicitamente quella di trovare un’ellisse riferita ai propri assi, il problema sarebbe stato indeterminato. Infatti, come segue chiaramente dal fatto che l’equazione generale di un’ellisse ha 5 parametri, una generica ellisse è unicamente determinata da non meno di 4 suoi punti.

Ellisse traslata ed equazione generale dell’ellisse

Equazione dell’ellisse traslata: Consideriamo un’ellisse riferita ai propri assi, per esempio con i fuochi sull’asse delle ascisse. Se operiamo una traslazione del sistema di coordinate che porti gli assi ? ed ? in ?′ ed ?′ e, di conseguenza, il punto ? nel punto $ O'(x_0, y_0) $, anche l’ellisse risulterà traslata. Avremo ottenuto così un’ellisse traslata, o come anche si suole chiamarla, riferita a rette parallele ai suoi assi.

Se l’equazione dell’ellisse originaria era \( E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \), l’ellisse traslata ?′ si potrà scrivere come

\[ \begin{equation} E’: \frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1 \label{eq1} \end{equation} \]

Svolgendo i semplici conti algebrici che figurano nell’equazione precedente, otterremo poi

\[ b^2(x-x_0)^2+a^2(y-y_0)^2-a^2b^2 = 0 \]

\[ b^2(x^2+x^2_0-2xx_0) + a^2(y^2+y^2_0 -2yy_0)-a^2b^2 = 0 \]

\[ b^2x^2+a^2y^2-2b^2x_0x-2a^2y_0y+b^2x^2_0+a^2y^2_0-a^2b^2=0 \]

Questa equazione può essere scritta più semplicemente nella forma

\[ \begin{equation} mx^2+ny^2+px+qy+r = 0 \label{eq2} \end{equation} \]

avendo cura di fare le seguenti posizioni:

\[ m = b^2\,\, , \,\, n=a^2\,\, , \,\, p=-2b^2x_0\,\, , \,\, q=-2a^2y_0\,\, ,\,\, r=b^2x^2_0+a^2y^2_0-a^2b^2 \]

Osservazione 1: In realtà perché l’equazione (\(\ref{eq1}\)) possa essere scritta nella forma (\(\ref{eq2}\)) non è necessario fare esattamente le posizioni appena citate, ma è sufficiente che i numeri ?,?,… siano proporzionali ai valori \( b_2, a_2, \ldots \) secondo un qualsiasi numero reale ? costante e non nullo. In particolare, ? ed ? non devono per forza essere positivi, se il ? scelto è negativo.

Osservazione 2: Poiché abbiamo visto che l’equazione di qualunque ellisse traslata può scriversi nella forma (\(\ref{eq2}\)), è logico domandarsi se qualsiasi equazione fatta come la (\(\ref{eq2}\)) possa rappresentare un’ellisse. La risposta è in generale negativa, come risulta da una semplice considerazione: non esiste valore reale ? tale che \( ka^2 \) e \( kb^2 \) siano uno positivo e l’altro negativo, dunque ? ed ? devono quanto meno essere concordi, cioè avere lo stesso segno, affinché la (\(\ref{eq2}\)) rappresenti un’ellisse.

Equazione generale dell’ellisse: In questo paragrafo estenderemo i ragionamenti fatti nell’ osservazione 2, col fine di scoprire quali condizioni deve soddisfare la (\(\ref{eq2}\)) al fine di essere l’equazione di un’ellisse: giungeremo così all’equazione generale.

Iniziamo con il riscrivere la (\(\ref{eq2}\)) nel modo seguente:

\[ mx^2+ny^2+px+qy+r=0 \Rightarrow m\Big( x^2 + \frac{p}{m}x \Big) + n\Big(y^2 + \frac{q}{n}y \Big) + r = 0 \]

Questo è lecito perché se ?=0 oppure ?=0 di certo l’equazione, non essendo più di secondo grado in una delle due variabili, non può rappresentare un’ellisse: i casi suddetti vanno perciò scartati. Poiché dall’osservazione 2 segue che ? ed ? devono essere concordi, essi si possono senz’altro prendere entrambi positivi cambiando in modo opportuno i segni dell’equazione. Ciò ci porta a dire che gli unici casi d’interesse sono quelli in cui \( m \gt 0 \) ed \( n \gt 0 \).

Le somme in parentesi somigliano a dei quadrati di binomio, e lo diventano a patto di aggiungervi i termini  \( \frac{p^2}{4m^2} \) e \( \frac{q^2}{4n^2} \) ; adoperando questo metodo, detto del completamento dei quadrati, potremo scrivere

\[ m\Big( x^2+\frac{p}{m}x+\frac{p^2}{4m^2} \Big) – \frac{p^2}{4m} + n \Big( y^2+\frac{q}{n}y+\frac{q^2}{4n^2} \Big) – \frac{q^2}{4n} + r = 0\]

\[ m \Big( x + \frac{p}{2m} \Big)^2 + n \Big( y + \frac{q}{2n} \Big)^2 + r – \frac{p^2}{4m} – \frac{q^2}{4n} = 0 \]

Indicata poi con ? la somma algebrica \( \frac{p^2}{4m} + \frac{q^2}{4n} – r \), otterremo infine

\[ \begin{equation} \frac{\Big( x + \frac{p}{2m} \Big)^2}{\frac{1}{n}} + \frac{\Big(y+\frac{q}{2n} \Big)^2}{\frac{1}{n}} = s \label{eq3} \end{equation} \]

Se \( s \gt 0 \), allora l’equazione (\(\ref{eq3}\)) può essere riscritta nella forma seguente, che è quella di un’ellisse traslata di centro \( O’\Big(-\frac{p}{2m}, -\frac{q}{2n}\Big) \), con \( a = \sqrt{\frac{s}{m}} \) e \( b = \sqrt{\frac{s}{n}}\):

\[ \frac{\Big(x+\frac{p}{2m} \Big)^2}{\frac{s}{m}} + \frac{\Big(y+\frac{q}{2n} \Big)^2}{\frac{s}{n}} = 1 \]

Se invece ?=0, allora la (\(\ref{eq3}\)) è soddisfatta solo dal punto \( \Big( -\frac{p}{2m}, – \frac{q}{2n} \Big) \), che è il centro dell’ ellisse ottenuta nel caso precedente; si dice quindi che tale punto è un’ellisse degenere nel suo centro. Se infine è \( s \lt 0 \), Si nota subito che la (\(\ref{eq3}\)) non ha soluzioni perché le quantità a destra e a sinistra del segno di uguaglianza non possono mai avere lo stesso segno.

Da questo ragionamento deduciamo che l’equazione \(mx^2+ny^2+px+qy+r=0 \) è l’equazione generale di un’ellisse se e solo se ? ed ? sono concordi, cioè \( mn \gt 0 \), e inoltre \( \frac{p^2}{4m}+\frac{q^2}{4n} \gt r \).

Esempi

Esempio 1: Si provi che l’equazione $ 9x^2+4y^2-12x-12y-23=0 $ rappresenta una ellisse; si trovino quindi le coordinate del centro e dei fuochi.

In questo caso abbiamo ?=9,?=4,?=−12,?=−12,?=−23. Dal momento che \( mn = 36 \gt 0 \), i primi due coefficienti sono concordi, e la prima condizione è rispettata; inoltre essi sono positivi, e non c’è quindi bisogno di cambiare i segni di tutta l’equazione. Per la seconda condizione dovremmo avere

\[ \frac{p^2}{4m} + \frac{q^2}{4n} \gt r \]

ma questa è certo rispettata dal momento che la prima quantità è positiva, mentre l’altra è negativa: non c’è quindi neanche bisogno di svolgere sul serio il semplice calcolo.

Onde ricavare adesso le coordinate del centro e dei fuochi, abbiamo bisogno di scrivere l’equazione data nella forma (\(\ref{eq1}\)). Adoperiamo a questo proposito il già visto metodo di completamento dei quadrati:

\( 9x^2+4y^2-12x-12y-23=0 \Rightarrow 9\Big(x^2-\frac{12}{9}x \Big)+4\Big(y^2-\frac{12}{4}y \Big)-23=0 \)

\( 9\Big(x^2-\frac{4}{3}x \Big) + 4(y^2-3y) -23 = 0 \)

\( 9\Big(x^2-\frac{4}{3}+\frac{4}{9} \Big) – 4 + 4 \Big(y^2-3y+\frac{9}{4} \Big) – 9 – 23 = 0 \)

\( 9\Big(x-\frac{2}{3} \Big)^2 + 4 \Big(y-\frac{4}{2} \Big)^2 = 36 \)

Dalla quale infine avremo

\( \frac{\Big(x-\frac{2}{3} \Big)^2}{4} + \frac{\Big(y-\frac{3}{2} \Big)^2}{9} = 1 \)

Questa è l’equazione di un’ellisse traslata di centro \(\Big(\frac{2}{3}, \frac{3}{2} \Big)\); resta effettivamente verificato che vale \( O’\Big(-\frac{p}{2m}, -\frac{q}{2n} \Big)\). Abbiamo inoltre che ?=2 e ?=3, col che dal fatto che \( b \gt a \) segue che i vertici dell’ellisse sono disposti sulla retta parallela all’asse delle ? passante per O’, ovvero quella di equazione \( x = \frac{2}{3} \).

Per trovare le coordinate dei fuochi non ci resta che calcolare ?, che in questo caso è \( c= \sqrt{b^2-a^2}=\sqrt{9-4} = \sqrt{5} \). I fuochi saranno allora \( F_1\Big( \frac{2}{3}, \frac{3}{2}-\sqrt{5} \Big)  \) e \( F_2\Big( \frac{2}{3}, \frac{3}{2}+\sqrt{5} \Big)  \).

Proprietà dell’ellisse

Assi di simmetria, vertici e fuochi di un’ellisse

Nel corso di tutta questa scheda considereremo un’ellisse ? di equazione \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \). Di volta in volta, a seconda che risulti \( a \gt b \) o \( b \gt a \), I fuochi di ? apparterranno all’asse ? o all’asse ?.

Osservazione 1: Consideriamo i punti \( A_1(-a, 0), A_2(a, 0), B_1(0, b), B_2(0, -b) \). Risulta subito evidente, operando una semplice sostituzione nell’equazione, che tutti e quattro i suddetti punti appartengono all’ellisse ?; si vede pure facilmente che essi sono le uniche intersezioni dell’ellisse con gli assi coordinati.

Definizione 1: Vertici di un’ellisse.

Si dice vertice di un’ellisse ciascuno dei quattro punti $ A_1, A_2, B_1, B_2 $, ovvero ciascuna delle intersezioni della curva ? con gli assi coordinati.

Osservazione 2: Supponiamo che il punto $ P(x_P, y_P) $ appartenga ad ?. Allora è chiaro che anche i punti $ Q(x_P, -y_P), R(-x_P, y_P) $ e $ S(-x_P, -y_P) $ appartengono ad ?, poiché

\[ \frac{x^2_P}{a^2} + \frac{y^2_P}{b^2}  = 1 \Rightarrow \frac{(\pm x_P)^2)}{a^2} + \frac{(\pm y_P)^2}{b^2} = 1 \]

Questo dimostra che l’ellisse ?, indipendentemente dai valori assunti da ? e ?, risulta simmetrica rispetto agli assi coordinati. Ciò consente di dare la seguente definizione:

Definizione 2: Asse maggiore e asse minore

Si chiama asse maggiore di un’ellisse quello dei due segmenti $ A_1A_2 $ e $ B_1B_2 $ sul quale giacciono i fuochi; è detto invece asse minore di un’ellisse l’altro dei due detti segmenti.

Osservazione 3: In base alla definizione 2, l’asse maggiore di un’ellisse con i fuochi disposti orizzontalmente è $ A_1A_2 $, mentre quello minore è $ B_1B_2 $. Si noti che le lunghezze di detti segmenti sono rispettivamente $ 2a $ e $ 2b $, e che per un’ellisse con i fuochi appartenenti all’asse delle ascisse vale $ a \gt b $. Dunque l’asse maggiore è effettivamente più lungo di quello minore, e ciò ne spiega i nomi.

Osservazione 4: Nel caso di un’ellisse con i fuochi appartenenti all’asse delle ordinate, vale un ragionamento del tutto simmetrico rispetto a quello fatto nell’osservazione 3. Dunque l’asse maggiore sarà quello verticale, $ B_1B_2 $, mentre quello minore sarà $ A_1A_2 $.

Osservazione 5: Consideriamo un’ellisse con i fuochi appartenenti all’asse delle ?, e in particolare facciamo riferimento all’immagine precedente. Il triangolo rettangolo $ B_1OF_2 $ è tale che i cateti $B_1O $ e $ OF_2 $ siano lunghi rispettivamente ? e ?; poiché in quest’ellisse vale \( b = \sqrt{a^2-c^2} \), possiamo dedurre che $ B_1F_2 = a $. In un’ellisse orientata verticalmente, vale lo stesso risultato, ma naturalmente abbiamo che l’ipotenusa è lunga ?.

Osservazione 6: Le coordinate dei fuochi dipendono, come sappiamo, dal valore ?. Poiché è noto come questo si ricava a partire da ? e ?, che figurano nell’equazione di ?, possiamo dire senz’altro che

\[ a \gt b \Rightarrow F_1( -\sqrt{a^2-b^2}, 0 ), \,\,\,\, F_2(\sqrt{a^2-b^2}, 0) \]

Limitatezza ed eccentricità

Osservazione 7: Vogliamo dimostrare che il grafico dell’ellisse è tutto contenuto all’interno del rettangolo tratteggiato nella figura precedente, ovvero quello formato dalle parallele agli assi coordinati condotte per i vertici dell’ellisse. Ciò significherà che l’ellisse è limitata, ovvero che il suo grafico non si estende infinitamente nel piano come quello della parabola o della retta.

Prendiamo a questo proposito un qualsiasi punto $ P(x_P, y_P) $ esterno al rettangolo; ciò implica che le coordinate di ? devono verificare almeno una delle due condizioni seguenti:

\[ |x_P| \gt a \,\,\, \text{ o } \,\,\, |y_P| \gt b \]

Il punto ? non può appartenere all’ellisse. Infatti se così fosse dovrebbe risultare

\[ \frac{x^2_P}{a^2}+\frac{y^2_P}{b^2} = 1 \Rightarrow x^2_P = a^2\Big( 1 – \frac{y^2_P}{b^2} \Big) \,\,\, \text{ e } \,\,\, y^2_P = b^2\Big( 1 – \frac{x^2_P}{a^2} \Big) \]

ma se \( |x_P| \gt a \), allora dalla seconda \( y^2_P \) dovrebbe essere negativo e ciò è assurdo; se poi fosse invece \( |y_P| \gt b \), dalla prima \( x^2_P \) dovrebbe essere negativo è questo è ancora assurdo.

Ne deduciamo che un punto ? esterno al rettangolo non appartiene all’ellisse, e quindi che l’ellisse stessa è limitata.

Definizione 3: Eccentricità

Si definisce eccentricità ? di un’ellisse il rapporto tra la distanza focale e l’asse maggiore.

Osservazione 8: Nel caso di un’ellisse i cui fuochi appartengono all’asse delle ?, essendo l’asse maggiore lungo 2?, l’eccentricità si calcola come ?=?/?. Nell’altro caso risulta naturalmente ?=?/?. Poiché per entrambe le ellissi è sempre vero che la distanza focale è minore dell’asse maggiore, necessariamente sono verificate le disuguaglianze \( 0 \le e \le 1 \).

Osservazione 9: L’eccentricità è un parametro numerico che misura lo “schiacciamento” di un’ellisse, ovvero quanto essa differisce da una circonferenza. Nel caso limite ?=0, indipendentemente da quale sia l’ellisse di cui stiamo parlando, dovremo avere ?=0: ciò implica che i fuochi coincidono, e dunque che l’ellisse è in realtà una circonferenza.

Qualora invece dovesse risultare ?=1, allora l’asse maggiore sarebbe uguale alla distanza focale, ed essendo l’asse minore la radice della differenza dei loro quadrati, esso avrebbe lunghezza pari a 0: l’ellisse si riduce così ad un segmento, coincidente con l’asse maggiore.

Sia nel caso ?=0 che in quello ?=1 si suole dire che l’ellisse è degenere.

Altro materiale di supporto

Videolezione sull’ellisse

Definizione di ellisse

Definizione 1: Definizione di ellisse come luogo geometrico

Si chiama ellisse il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi.

Osservazione 1: Perché il luogo geometrico sia non vuoto, è necessario che la costante che indica la somma delle distanze dai fuochi \( F_1 \) ed \( F_2 \) di un punto ? appartenente all’ellisse sia maggiore della lunghezza del segmento \(F_1F_2\), detta distanza focale. Infatti, qualunque sia il punto ? del piano, per la disuguaglianza triangolare deve risultare

\( PF_1 + PF_2 \ge F_1F_2 \)

nella quale l’uguaglianza vale se e solo se ? appartiene al segmento \( F_1F_2 \).

Definizione 2: Ellisse del giardiniere

Esiste un modo facile per costruire fisicamente un’ellisse; tale metodo ha anche il pregio di illustrare chiaramente in maniera visiva il significato della definizione 1. Si immagini di fissare sul terreno due punti \( F_1 \) ed \( F_2 \), per esempio utilizzando dei paletti, e di legare le due estremità di una fune a detti punti; la fune deve risultare di lunghezza maggiore rispetto alla distanza tra \( F_1 \) ed \( F_2 \).

Con un terzo paletto ? si tenda adesso la corda: si vedrà che il punto ? non è fisso, ma può essere spostato in vari posti avendo sempre cura di tenere la corda tesa. Se si fa in modo che ? occupi tutte le posizioni possibili, esso traccerà sul terreno una linea curva che racchiude \( F_1 \) ed \( F_2 \): tale forma geometrica è l’ellisse. Infatti comunque si prenda un punto appartenente a detta curva è chiaro che la somma delle sue distanze da \( F_1 \) ed \( F_2 \) è uguale alla lunghezza della fune, quindi costante per ogni punto.

Tale costruzione è denominata “ellisse del giardiniere” poiché essa consente, con mezzi di fortuna, di tracciare nel terreno aiuole di forma perfettamente ellittica.

Osservazione 2: La definizione 1 non esclude l’eventualità che i fuochi siano coincidenti. In quel caso l’osservazione 1 è superflua, poiché qualunque numero reale positivo si scelga come costante per la somma, esso risulterà certamente maggiore di \( F_1F_2 = 0 \). In questo caso il luogo geometrico si riduce a una circonferenza, visto che esso è composto da quei punti tali che il doppio della distanza da un punto fisso sia costante; è facile verificare questa tesi anche adoperando il metodo di cui alla definizione 2.

Ne risulta che la circonferenza non è che una particolare ellisse.

Equazione dell’ellisse riferita ai propri assi

Metodo per ricavare l’equazione: Per trovare l’equazione dell’ellisse mettiamoci in primo luogo nel caso semplice in cui i fuochi sono posti sull’asse ? e sono equidistanti dall’origine. Se allora diciamo \( F_1F_2 = 2c \), le coordinate dei fuochi saranno \( F_1(-c, 0), F_2(c, 0) \). Detto adesso ? un qualsiasi punto del piano di coordinate ?(?,?), e fissato un numero \( a \gt c \), per la definizione 1 ? apparterrà all’ellisse ? se e solo se

\[ PF_1 + PF_2 = 2a \]

\[ \sqrt{(x_P-x_{F_1})^2+(y_P-y_{F_1})^2} + \sqrt{(x_P-d_{F_2})^2+(y_P-y_{F_2})^2} = 2a \]

\[ \sqrt{(x+c)^2+y^2} + \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a \]

Elevando tutto al quadrato, otterremo

\( (x+c)^2+y^2+(x-c)^2+y^2+2\sqrt{[(x+c)^2+y^2][(x-c)^2+y^2]}=4a^2 \)

\( 2x^2+2c^2+2y^2+2\sqrt{[(x+c)^2+y^2][(x-c)^2+y^2]} = 4a^2 \)

\( x^2+c^2+y^2+\sqrt{[(x+c)^2+y^2][(x-c)^2+y^2]} = 2a^2 \)

Isolando la radice ed elevando nuovamente al quadrato, avremo poi

\( \sqrt{[(x+c)^2+y^2][(x-c)^2+y^2]} = 2a^2-x^2-y^2-c^2 \)

\( (x^2+c^2+2xc+y^2) (x^2+c^2-2xc+y^2) = \)

\( = 4a^4+x^4+y^4+c^4-4a^2x^2-4a^2y^2-4a^2c^2+2x^2y^2+2x^2c^2+2y^2c^2 \)

\( x^4+c^4+y^4+2x^2c^2+2x^2y^2+2c^2y^2-4x^2c^2 = \)

\( = 4a^4+x^4+y^4+c^4-4a^2x^2-4a^2y^2-4a^2c^2+2x^2y^2+2x^2y^2+2x^2c^2+2y^2c^2 \)

Dalla quale, semplificando,

\( 4a^4-4a^2x^2-4a^2y^2-4a^2c^2+4x^2c^2 = 0 \)

\( a^4-a^2x^2-a^2y^2-a^2c^2+x^2c^2 = 0 \)

\( x^2(c^2-a^2)-a^2y^2 = a^2c^2 -a^4 \)

Ricordando infine che \( a^2-c^2 \gt 0 \), possiamo porre \( b^2 = a^2-c^2 \) ed avere così

\[ -b^2x^2-a^2y^2=-b^2a^2 \]

\[ \begin{equation} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 \label{eq1} \end{equation} \]

La (\(\ref{eq1}\)) è detta equazione canonica dell’ellisse riferita ai propri assi; mentre il numero ? è la metà della somma delle distanze di ogni punto dai due fuochi, il numero \( b = \sqrt{a^2-c^2} \) ha un significato geometrico che si capisce meglio studiando le proprietà dell’ellisse.

Osservazione 3: Nel caso in cui i fuochi \( F_1 \) ed \( F_2 \) siano presi ancora equidistanti dall’origine, ma situati sull’asse delle ordinate, per semplicità porremo \( PF_1+PF_2 = 2b \). In questo modo, posto poi \( a = \sqrt{b^2-c^2} \) , otterremo la stessa equazione di prima

\[ \begin{equation} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \label{eq2} \end{equation} \]

con la differenza che mentre nella (\(\ref{eq1}\)) risultava \( a \gt b \), nella (\(\ref{eq2}\)) vale invece \( b \gt a \). È chiaro infine che in questo caso le coordinate dei fuochi sono \( F_1(0, -c) \) \(F_2(0, c) \).

Esempi di problemi sul fascio di circonferenze

Esempio 1: Trovare gli elementi fondamentali di un fascio di circonferenze

Dato il fascio \( \Phi: ky^2+y^2+kx^2+x^2-ky+\frac{x}{20}-\frac{21}{20}-kx+\frac{y}{20} = 0 \), vogliamo trovare le equazioni delle generatrici \( \Gamma_1 \) e \( \Gamma_2 \), quelle dell’asse radicale e della retta dei centri ed anche le coordinate dei punti base. Un esercizio del genere si risolve in maniera standard; in primo luogo bisogna separare da una parte e dall’altra dell’uguale i termini con e senza il parametro ?, quindi metterlo in evidenza tra quelli che ce l’hanno:

\( ky^2+kx^2-ky-kx = -y^2-x^2-\frac{x}{20}-\frac{y}{20}+\frac{21}{20} \)

\( k(y^2+x^2-y-x) = -\Big(x^2+y^2+\frac{x}{20}+\frac{y}{20}-\frac{21}{20} \Big) \)

\( k(y^2+x^2-y-x) = \Big(x^2+y^2+\frac{x}{20}+\frac{y}{20}-\frac{21}{20} \Big) \)

Otteniamo così l’equazione del fascio scritta come combinazione di due circonferenze con il parametro ?. Esse sono le generatrici del fascio: se impostiamo ?=0 otteniamo la prima generatrice \( \Gamma_1 \), mentre l’altra e la seconda generatrice \( \Gamma_2 \). Dunque

\( \Gamma_1: x^2+y^2+\frac{x}{20}+\frac{y}{20}-\frac{21}{20} = 0\,\,\,\, , \,\,\,\, \Gamma_2: x^2+y^2-x-y=0 \)

L’asse radicale si può trovare sempre imponendo ?=−1. In questo caso i calcoli ci danno

\( -(x^2+y^2-x-y)+\Big( x^2+y^2+\frac{x}{20}+\frac{y}{20}-\frac{21}{20} \Big) = 0 \Rightarrow \frac{x}{20} + \frac{y}{20} – \frac{21}{20} + x + y = 0 \)

\( r: x+y-1 = 0 \)

Con l’asse radicale e le generatrici è facile trovare i punti base; in questo caso calcoleremo l’intersezione di ? e \( \Gamma_2 \), poiché la sua equazione è più semplice di quella di \( \Gamma_2 \). Così

\( \begin{cases} r \\ \Gamma_2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=1-x \\ x^2+(1-x)^2-x-(1-x)=0 \end{cases} \Rightarrow \)

\( \Rightarrow \begin{cases} y=1-x \\ 2x^2-2x=0 \end{cases} \Rightarrow\begin{cases} y=1-x \\ x=0, x=1 \end{cases} \Rightarrow  \)

Esistono perciò due punti base: il punto ?(0,1) e il punto ?(1,0). Per calcolare adesso la retta dei centri si può procedere in più modi diversi: potremmo ad esempio trovare prima i centri di \( \Gamma_1 \) e \( \Gamma_2 \), quindi considerare l’unica retta che passa per l’uno e l’altro punto; oppure potremmo sfruttare la nostra conoscenza del fatto che la retta dei centri è ortogonale all’asse radicale e passa per il punto medio di ??. Seguendo questo secondo metodo avremo

\( M = \frac{A+B}{2} \Rightarrow M\Big( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\Big) \,\,\,\, , \,\,\,\, m = -\frac{1}{m_r} = -\frac{1}{-1} = 1 \)

cosicché la retta dei centri è l’unica retta di coefficiente angolare ?=1 passante per ?:

\( y – y_M = m(x-x_M) \Rightarrow y=\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2} \Rightarrow y = x \)

Esempio 2: Trovare il fascio avente dei punti base assegnati

Fissati i due punti ?(0,2) e ?(−12,0), siamo interessati a trovare il fascio di circonferenze avente ? e ? come punti base. Cominciamo dal considerare che, per appartenere al nostro fascio, una generica circonferenza \( \Gamma: x^2+y^2+\alpha x + \beta y + \gamma = 0 \) dovrà certamente passare per ? e ?, quindi soddisfare

\( \begin{cases} 4+2\beta+\gamma = 0 \\ \frac{1}{4}-\frac{\alpha}{2}+\gamma = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \alpha = 2\gamma + \frac{1}{2} \\ \beta = -\frac{\gamma}{2} – 2 \end{cases} \)

Per tale motivo \( \Gamma \) dovrà essere scritta come \( x^2+y^2+\Big( 2\gamma + \frac{1}{2} \Big)x+\Big(-\frac{\gamma}{2}-2 \Big)y + \gamma = 0 \); al variare di \( \gamma \in \mathbb{R} \), questa equazione descrive tutte e sole le circonferenze appartenenti al nostro fascio: per scrivere l’equazione di \( \Phi \) basta perciò scegliere due qualsiasi di queste circonferenze e considerarle come generatrici del fascio. Ecco allora che, presi due valori a caso di \( \gamma \) come ad esempio \( \gamma = 0, \gamma = 1 \), avremo

\( \Phi: x^2+y^2+\frac{x}{2}-2y+k\Big( x^2+y^2+\frac{5}{2}x-\frac{5}{2}y+1 \Big) = 0 \)

che è una delle possibili equazioni del nostro fascio.

Esempio 3: Trovare il fascio avente fissati punto base e retta tangente

Supponiamo adesso di avere la retta \( r: y = \frac{x+1}{2} \) e il punto ?(1,1) ad essa appartenente; quel che vogliamo fare è trovare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta ? nel punto ?. Dalle nostre conoscenze teoriche sui fasci di circonferenze sappiamo che la retta ? dovrà necessariamente essere l’asse radicale del fascio, e il punto ? ne sarà l’unico punto base. È dunque facile calcolare la retta dei centri, poiché essa è l’unica retta per ? che sia perpendicolare a ?:

\( y-y_T = -\frac{1}{m_r}(x-x_T) \Rightarrow y=1-\frac{1}{\frac{1}{2}}(x-1) = 1-2(x-1) = 3 – 2x \)

La retta dei centri del fascio è quindi \(y=3-2x \). Chiamiamo $ C_1 $ e $ C_2 $ due punti a caso di tale retta; considerando le circonferenze di raggi \( C_1T \) e \( C_2T \) e centri rispettivamente $ C_1 $ e $ C_2 $ avremo a disposizione due generatrici per il nostro fascio. Per facilitare i calcoli conviene prendere \( x_1 = 0, x_2 = 2 \); queste scelte ci consentono di ottenere

\( C_1(0,3)\,\,\, , \,\,\, C_2(2,-1) \Rightarrow C_1T = \sqrt{(-1)^2+2^2} = \sqrt{5}\,\,\, , \,\,\, C_2T=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5} \)

\( \Gamma_1: (x-0)^2+(y-3)^2=5 \Rightarrow x^2+y^2-6y+4 = 0 \)

\( \Gamma_2: (x-2)^2 + (y+1)^2 = 5 \Rightarrow x^2+y^2-4x+2y = 0 \)

Con queste due generatrici, l’equazione del fascio \( \Phi \) sarà semplicemente

\( \Phi: x^2+y^2-6y+4+k(x^2+y^2-4x+2y) = 0 \)

Elementi di un fascio di circonferenze

Definizione 1: Definizione di fascio di circonferenze

Si considerino due circonferenze non concentriche \( \Gamma_1 \) e \( \Gamma_2 \) di equazioni rispettivamente \( x^2+y^2+\alpha_1x+\beta_1x+\gamma_1 = 0 \) e \( x^2+y^2+\alpha_2x+\beta_2x+\gamma_2 = 0 \). Si chiama fascio di circonferenze di prima generatrice \( \Gamma_1 \) e seconda generatrice \( \Gamma_2 \) la combinazione lineare

\[ \begin{equation} \Phi: x^2+y^2+\alpha_1x+\beta_1y+\gamma_1+\\ +k(x^2+y^2+\alpha_2x+\beta_2y+\gamma_2) = 0 \label{eq1} \end{equation} \]

con ? parametro reale.

Osservazione 1: Se nell’equazione (\(\ref{eq1}\)) del fascio svolgiamo i calcoli e mettiamo in evidenza possiamo ottenere, qualora sia \( k \ne -1 \),

\[ \begin{equation} \Phi: x^2+y^2+\Big( \frac{\alpha_1+k\alpha_2}{k+1} \Big)x+\Big( \frac{\beta_1+k\beta_2}{k+1} \Big)y+ \\ + \Big( \frac{\gamma_1+k\gamma_2}{k+1} \Big) = 0 \label{eq2} \end{equation} \]

Questa maniera di scrivere l’equazione del fascio \( \Phi \) sottolinea come, al variare di \( k \in \mathbb{R}, k \ne -1 \), esso descriva una famiglia infinita di circonferenze, la cui equazione canonica è appunto la (\(\ref{eq2}\)).

Osservazione 2: Se nell’equazione (\(\ref{eq1}\)) del fascio si sostituisce ?=0, quella che si ottiene è una circonferenza particolare, la prima generatrice \(\Gamma_1\). Non esiste invece valore di ? tale da far ottenere la seconda generatrice \(\Gamma_2\): in verità si dice, anche se a questo punto del corso di studi non si è nelle condizioni di capire bene il perché, che \(\Gamma_2\) si ottiene per \( k = \infty \). Ad ogni buon conto i ruoli delle due generatrici non sono simmetrici, il che giustifica i nomi con cui vengono distinte.

Definizione 2: Definizione di asse radicale

Si definisce asse radicale di un fascio di circonferenze \( \Phi \) la retta che si ottiene sostituendo nella sua equazione il valore ?=−1. L’equazione dell’asse radicale ? è dunque

\[ \begin{equation} r: (\alpha_1-\alpha_2)x+(\beta_1-\beta_2)y+(\gamma_1-\gamma_2) = 0 \label{eq3} \end{equation} \]

Osservazione 3: Anche l’asse radicale ?, che è una retta, si può considerare una particolare circonferenza: esso può infatti essere visto come una circonferenza degenere di raggio infinito. Si può notare infatti che, se nell’equazione (\(\ref{eq2}\)) sostituiamo valori di ? sempre più vicini a 1, i raggi delle circonferenze propriamente dette ottenute sono via via più grandi. Questa osservazione ci consente di dire che tutte le curve descritte dal fascio \( \Phi \) sono, in qualche modo, delle circonferenze.

Osservazione 4: Proviamo a prendere due qualsiasi circonferenze di \( \Phi \) e a intersecarle. Otterremo così, fissati due parametri reali ? e ℎ distinti da −1 e diversi tra loro, il sistema

\[ \begin{cases}\Gamma_K \\ \Gamma_H \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2+y^2+\Big(\frac{\alpha_1+k\alpha_2}{k+1}\Big)x+\Big(\frac{\beta_1+k\beta_2}{k+1}\Big)y+\Big(\frac{\gamma_1+k\gamma_2}{k+1}\Big) = 0 \\ x^2+y^2+\Big(\frac{\alpha_1+h\alpha_2}{h+1}\Big)x+\Big(\frac{\beta_1+h\beta_2}{h+1}\Big)y+\Big(\frac{\gamma_1+h\gamma_2}{h+1}\Big) = 0 \end{cases} \]

Sottraendo la seconda equazione dalla prima, otteniamo che una delle equazioni a nostra scelta può essere sostituita dalla più semplice

\[ \Big(\frac{\alpha_1+k\alpha_2}{k+1}-\frac{\alpha_1+h\alpha_2}{h+1}\Big)x + \Big(\frac{\beta_1+k\beta_2}{k+1}-\frac{\beta_1+h\beta_2}{h+1}\Big)y + \Big(\frac{\gamma_1+k\gamma_2}{k+1}-\frac{\gamma_1+h\gamma_2}{h+1}\Big) = 0 \]

la quale, svolgendo i conti in parentesi, si riduce infine alla

\[ (\alpha_1-\alpha_2)x+(\beta_1-\beta_2)y+(\gamma_1-\gamma_2) = 0 \]

che è proprio l’equazione (\(\ref{eq3}\)) dell’asse radicale. Si noti anche che l’equazione ottenuta non dipende da nessuno dei due parametri ℎ e ?. Quindi abbiamo scoperto queste equivalenze tra sistemi:

\[ \begin{equation}\begin{cases} r \\ \Gamma_H \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \Gamma_K \\ \Gamma_H \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \Gamma_K \\ r \end{cases}\label{eq4} \end{equation} \]

La prima equivalenza ci dice che le intersezioni tra \( \Gamma_K \) e \( \Gamma_H \) non dipendono da ?, la seconda che esse non dipendono neanche da ℎ; ne deduciamo che tutte le circonferenze del fascio si intersecano negli stessi punti, che in virtù delle equivalenze (\(\ref{eq4}\)) appartengono anche all’asse radicale.

Definizione 3: Definizione di punti base

Si chiamano punti base di un fascio di circonferenze \( \Gamma \) i punti d’intersezione comuni a tutte le circonferenze del fascio. Essi possono essere in numero di 0, 1 o 2.

Osservazione 5: In virtù dell’osservazione 4, la definizione di punti base è lecita, in quanto tutte le circonferenze del fascio si intersecano negli stessi punti. Poiché tali punti si possono trovare anche intersecando l’asse radicale con una qualsiasi delle circonferenze del fascio, i punti base non possono essere più di 2. Essi saranno 0, 1 o 2 a seconda che le generatrici \( \Gamma_1 \) e \( \Gamma_2 \) siano disgiunte, tangenti o secanti.

Osservazione 6: Dall’equazione del fascio (\(\ref{eq2}\)) possiamo ricavare le coordinate del centro di una generica circonferenza appartenente al fascio. Esse saranno, come sappiamo,

\[ C\Big(-\frac{\alpha}{2},-\frac{\beta}{2} \Big) \Rightarrow C\Big( -\Big(\frac{\alpha_1+k\alpha_2}{2k+2}\Big), -\Big( \frac{\beta_1+k\beta_2}{2k+2} \Big) \Big) \]

ovvero \( x = -\Big( \frac{\alpha_1+k\alpha_2}{2k+2} \Big), y = – \Big( \frac{\beta_1+k\beta_2}{2k+2} \Big) \). Se risolviamo la prima delle due equazioni per ? e sostituiamo il valore ottenuto nella seconda avremo, dopo qualche calcolo,

\[ \begin{equation} k=-\frac{2x+\alpha_1}{2x+\alpha_2} \Rightarrow (\beta_1-\beta_2)x-(\alpha_1-\alpha_2)y+\frac{\beta_1\alpha_2-\beta_2\alpha_1}{2} = 0 \label{eq5} \end{equation} \]

Cosicché, indipendentemente da quale sia il valore di ?, le coordinate del centro della circonferenza del fascio ad esso relativa soddisfano l’equazione ottenuta alla fine del conto precedente, che è quella di una retta. Ciò prova che i centri di tutte le circonferenze del fascio appartengono a una stessa retta.

Definizione 4: Definizione di retta dei centri

Si chiama retta dei centri di un fascio \( \Phi \) la retta cui appartengono i centri di tutte le circonferenze del fascio.

Osservazione 7: La retta dei centri di un fascio di circonferenze è sempre perpendicolare al suo asse radicale. Se infatti calcoliamo i coefficienti angolari delle rette le cui equazioni sono (\(\ref{eq3}\)) e (\(\ref{eq5}\)), abbiamo

\[ m_1 = -\Big( \frac{\alpha_1-\alpha_2}{\beta_1-\beta_2} \Big)\,\,\,,\,\,\, m_2 = \frac{\beta_1-\beta_2}{\alpha_1-\alpha_2} \Rightarrow m_1m_2 = -1 \]

che è giustappunto la condizione di ortogonalità tra due rette. Inoltre, già sappiamo dalla geometria elementare che se due circonferenze i cui centri giacciono su una stessa retta si intersecano in due punti, questi sono simmetrici rispetto alla retta dei centri. Questo fatto, unitamente alla relazione di perpendicolarità appena dimostrata e alle osservazioni precedenti, prova che la retta dei centri è l’asse del segmento i cui estremi sono i punti base. Nella condizione limite in cui il punto base è uno solo, questo sarà naturalmente il punto d’intersezione tra la retta dei centri e l’asse radicale.

Osservazione 8: Tutte le osservazioni 1 – 7 e le definizioni 1 – 4 sono rappresentate nelle due seguenti immagini; la prima di esse mostra la situazione con due punti base ? e ?,

la seconda invece quella con un solo punto base ?.

L’asse radicale è sempre rappresentato in rosso, mentre la retta dei centri appare in blu. Le due circonferenze generatrici del fascio sono tracciate in nero, e la terza rappresentata in grigio tratteggiato è una circonferenza qualsiasi appartenente al fascio. Si noti in particolare come, nel secondo caso, l’asse radicale sia tangente a tutte le circonferenze del fascio nel punto base ?.

Definizioni

Definizione 1: Definizione di circonferenze esterne

Due circonferenze si dicono esterne se la somma dei loro raggi è strettamente minore della distanza tra i loro centri. In formule, \( OA + O’A’ \lt OO’ \). Due circonferenze in tale posizione non hanno punti in comune.

Definizione 2: Definizione di circonferenze tangenti esternamente

Due circonferenze si dicono tangenti esternamente se la somma dei loro raggi è uguale alla distanza tra i loro centri. In formule, \( OT + O’T = OO’ \). Due circonferenze in tale posizione hanno un solo punto in comune, detto di tangenza.

Definizione 3: Definizione di circonferenze secanti

Due circonferenze si dicono secanti se la distanza dei loro centri è, al contempo, minore della somma e maggiore della differenza in valore assoluto dei loro raggi. In formule

\[ |OA – O’A’| \lt OO’ \lt OA + O’A’ \]

Due circonferenze in tale posizione hanno due punti in comune, detti d’intersezione.

Definizione 4: Definizione di circonferenze tangenti internamente

Due circonferenze si dicono tangenti internamente se la differenza in valore assoluto dei loro raggi è uguale alla distanza tra i loro centri. In formule, \( | OT – O’T| = OO’ \). Due circonferenze in tale posizione hanno un solo punto in comune, detto di tangenza.

Definizione 5: Definizione di circonferenze interne

Due circonferenze si dicono interne se la differenza in valore assoluto dei loro raggi è maggiore della distanza tra i loro centri. In formule, \( |OT -O’T| \lt OO’ \). Due circonferenze in tale posizione non hanno punti in comune.

Definizione 6: Definizione di circonferenze concentriche e coincidenti

Due circonferenze si dicono concentriche se la distanza tra i loro centri è pari a 0. Se inoltre i due raggi hanno uguale misura, le circonferenze si dicono coincidenti. Due circonferenze concentriche non coincidenti non hanno punti in comune, al contrario due circonferenze coincidenti ne hanno infiniti.

Osservazione 1: Risulta chiaro tanto dalle definizioni quanto dalle immagini che le varie posizioni reciproche di due circonferenze sono, fissati i raggi, funzione solo della distanza tra i centri. Dal momento che tutte le possibili distanze vengono coperte dalle 6 definizioni date, non è possibile disegnare due circonferenze in alcun altra posizione distinta da quelle studiate.

Osservazione 2: In virtù delle definizioni 1 – 6 e dell’osservazione 1, per capire in quale posizione si trovino due circonferenze di cui è nota l’equazione, in forma canonica o meno, è sufficiente trovarne i raggi, i centri, la distanza tra questi ultimi e confrontare i risultati ottenuti con le disequazioni che definiscono le posizioni reciproche. In particolare, non è necessario trovare i punti d’intersezione.

Determinazione dei punti d’intersezione di due circonferenze

Metodo risolutivo: Come sempre si fa in geometria analitica, per trovare le intersezioni di due curve di cui siano note le equazioni non bisogna fare altro che mettere queste ultime a sistema. Nel caso di due circonferenze, occorrerà prima portare le equazioni in forma canonica, in quanto questa operazione facilita la successiva risoluzione del sistema.

Se per esempio dovessimo trovare le intersezioni delle circonferenze \( x^2+y^2+\alpha_1 x+\beta_1 y+\gamma_1 = 0 \) e \( x^2+y^2+\alpha_2 x +\beta_2 y + \gamma_2 = 0 \), che già sono evidentemente in forma canonica, dovremmo risolvere

\[ \begin{cases} x^2+y^2+\alpha_1 x+\beta_1 y+\gamma_1 = 0 \\ x^2+y^2+\alpha_2 x +\beta_2 y + \gamma_2 = 0 \end{cases} \]

Si potrebbe pensare che un metodo buono per risolvere questo sistema sia trovare la ? o la ? dalla prima equazione e sostituirla nella seconda, così da ottenere un’equazione nell’altra incognita; questo metodo però fallisce per vari motivi. In primo luogo, sia che scegliamo di risolverla per ? che per ?, la prima equazione (così come d’altra parte la seconda) è di secondo grado, e non ammette perciò in generale una sola soluzione. Al sostituire poi ciascuna di queste ultime nell’equazione rimanente, otterremmo delle equazioni difficili da risolvere perché di grado maggiore di 2.

Per questo motivo si applica invece sempre la strategia seguente: prima di tutto, con il metodo di sottrazione, si sostituisce una delle due equazioni, diciamo la seconda, con la differenza della prima e della seconda equazione. In questo modo otteniamo

\[ \begin{cases} x^2+y^2+\alpha_1 x+\beta_1 y+\gamma_1 = 0 \\ (x^2+y^2+\alpha_1 x+\beta_1 y+\gamma_1 = 0 ) – (x^2+y^2+\alpha_2 x +\beta_2 y + \gamma_2) = 0 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x^2+y^2+\alpha_1 x+\beta_1 y+\gamma_1 = 0 \\ (\alpha_1-\alpha_2)x+(\beta_1-\beta_2)y+(\gamma_1-\gamma_2) = 0 \end{cases} \]

Il problema adesso si è notevolmente semplificato, perché la seconda equazione è di primo grado. Potremo quindi risolverla agevolmente in una delle due incognite, diciamo ?, e sostituire il valore ottenuto, che è funzione di ?, nella prima equazione. Ciò ci restituirà un’equazione solo nella ? al più di secondo grado, che sappiamo risolvere; sostituendo i valori così ottenuti per la ? nella seconda equazione potremo ottenere anche quelli per la ?: essi costituiscono naturalmente ascisse e ordinate dei vari punti d’intersezione.

Osservazione 3: Il metodo risolutivo dimostra, tra l’altro, che due circonferenze non coincidenti hanno al più due punti d’intersezione. Infatti poiché l’equazione risolutiva nella ? è, come detto, al più di secondo grado, non potremo trovare mai più di due ascisse diverse. Si noti altresì che questo risultato non si poteva in generale ottenere seguendo il primo, erroneo, metodo risolutivo analizzato.

Esempi

Esempio 1: Si dimostri che le circonferenze \( \Gamma: x^2+y^2-\frac{15}{4}y-1 = 0 \) e \( x^2+y^2+\frac{23}{11}x-\frac{47}{11}y+\frac{12}{11}=0 \) sono secanti e se ne trovino i punti d’intersezione.

Prima di tutto determiniamo i centri e i raggi delle due circonferenze, usando le formule

\( C\Big(-\frac{\alpha}{2},-\frac{\beta}{2} \Big)\,\,\,\, r = \sqrt{\frac{\alpha^2+\beta^2}{4}-\gamma} \)

\( O\Big(0, \frac{15}{8} \Big)\,\,\,\, r_\Gamma = \sqrt{\frac{225}{64}+1} = \frac{17}{8} \approx 2.125 \)

\( O’\Big( -\frac{23}{22},\frac{47}{22} \Big) \,\,\,\, r_{\Gamma’} = \sqrt{\frac{529}{484}+\frac{2209}{484}-\frac{12}{11}} = \frac{\sqrt{1105}}{11\sqrt{2}} \approx 2.137 \)

Troviamo adesso la distanza tra i centri:

\( OO’ = \sqrt{\Big(\frac{23}{22} \Big)^2+\Big( \frac{15}{8}-\frac{47}{22}\Big)^2} = \frac{22\sqrt{17}}{88} \approx 1.077 \)

Se le circonferenze fossero secanti, in virtù della definizione 3 dovrebbe essere vero che \( |r_{\Gamma} – r_{\Gamma’}| \lt OO’ \lt r_{\Gamma}+r_{\Gamma’} \). Nel nostro caso le disequazioni scritte diventano

\( 0.012 = |2.125-2.137| \lt 1.077 \lt 2.125 + 2.137 = 4.262 \)

che sono verificate: dunque le circonferenze sono effettivamente secanti.

Per trovarne i punti d’intersezione applichiamo il metodo risolutivo. Risolviamo il sistema

\( \begin{cases} x^2+y^2-\frac{15}{4}y-1 = 0 \\ x^2+y^2+\frac{23}{11}x-\frac{47}{11}y+\frac{12}{11} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2+y^2-\frac{15}{4} -1 = 0 \\ \frac{23}{44}y – \frac{23}{11}x -\frac{23}{11} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2+y^2-\frac{15}{4}y-1=0 \\ y-4x-4=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}  y = 4x – 4 \\ x^2+(4x+4)^2-\frac{15}{4}(4x+4)-1=0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=4x-4 \\ x^2+x = 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=4 & , & y = 0 \\ x=0 & , & x = -1 \end{cases} \)

Col che i punti d’intersezione sono ?(0,4) e ?(−1,0).

Osservazione 4: Poiché il problema proposto nell’esempio 1 ci chiedeva anche di trovare i punti d’intersezione, non sarebbe stato realmente necessario dimostrare prima che \( \Gamma \) e \( \Gamma’ \) erano secanti. Infatti, esistendo due punti d’intersezione differenti, in base alle definizioni date le circonferenze potevano essere solo secanti. Ciò non sarebbe stato vero se per esempio avessimo trovato un solo punto d’intersezione: in questo caso non avremmo saputo distinguere tra i casi di circonferenze tangenti internamente ed esternamente.

Definizioni

Definizione 1: Definizione di retta esterna a una circonferenza

Una retta si dice esterna a una circonferenza data se esse non hanno punti in comune.

Definizione 2: Definizione di retta tangente a una circonferenza

Una retta si dice tangente a una circonferenza data se esse hanno uno e un solo punto in comune. Tale punto è detto di tangenza.

Definizione 3: Definizione di retta secante a una circonferenza

Una retta si dice secante a una circonferenza data se esse hanno esattamente due punti in comune. Tali punti sono generalmente detti d’intersezione.

Osservazione 1: L’immagine superiore mostra tre rette nelle tre diverse posizioni che esse possono assumere rispetto alla circonferenza fissata: per la precisione, la retta ? è secante, la ? è tangente e la ? è esterna. Sono pure evidenziati i punti ?, ? d’intersezione con la retta secante e il punto ? di tangenza.

Osservazione 2: Le definizioni 1, 2 e 3 descrivono tutte le differenti posizioni nelle quali possono trovarsi una retta e una circonferenza; infatti, non è possibile che esse abbiano tre o più punti d’intersezione. Date una retta e una circonferenza generiche

\[ x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0 \,\,\, , \,\,\, y = mx + q \]

per trovare i punti d’intersezione occorre metterle a sistema, e calcolare

\[ \begin{cases} x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma = 0 \\ y=mx+q \end{cases} \Rightarrow \]

\[ \Rightarrow (mx+q)^2 + x^2 + \alpha x + \beta(mx + q) + \gamma = 0\]

\[ (1+m^2)x^2 + (\alpha+m\beta+2mq)x+(\gamma+\beta q+q^2) = 0 \]

L’equazione in $ x $ da risolvere è di secondo grado, dunque ha al più due soluzioni, le quali corrispondono alle ascisse dei punti d’intersezione: essi possono essere perciò solo in numero di due, uno o zero. Queste tre eventualità corrispondono ordinatamente alle tre situazioni di retta secante, tangente e esterna.

Osservazione 3: Come evidenziato nel grafico, le distanze dal centro della circonferenza di una retta ad essa secante, tangente ed esterna sono rispettivamente minore, uguale e maggiore del raggio della circonferenza stessa.

Esempi di determinazione della retta tangente

Esempio 1: Si trovino le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza \( \Gamma \) di equazione \( x^2 + y^2 + 4x – 5y + 9 \) passanti per il punto \( A\Big( -\frac{3}{4}, \frac{5}{2} \Big) \).

La situazione presentata in questo esempio è la stessa che figura nell’immagine seguente:

Troviamo in primo luogo la posizione del punto ? rispetto alla circonferenza; per fare ciò prima di tutto troveremo il centro O e il raggio ?, quindi valuteremo la lunghezza di ?? e la confronteremo con il valore di ?.

\( O\Big(-\frac{\alpha}{2},-\frac{\beta}{2} \Big) \Rightarrow O\Big( -2, \frac{5}{2} \Big) \,\,\,\,\,\ r = \sqrt{\frac{\alpha^2}{4}+\frac{\beta^2}{4}-\gamma} = \sqrt{4+\frac{25}{4}-9} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \)

\( OA = \sqrt{\Big(-2+\frac{3}{4} \Big)^2+\Big( \frac{5}{2}-\frac{5}{2} \Big)^2} = \sqrt{\Big(-\frac{5}{4}\Big)^2} = \frac{5}{4} \)

\( \frac{5}{4} \gt 1 \rightarrow \frac{\sqrt{5}}{2} \gt 1 \rightarrow \frac{5}{2} \gt \sqrt{5} \rightarrow \frac{5}{4} \gt \frac{\sqrt{5}}{2} \Rightarrow OA \gt r \)

Poiché ?? è più lungo del raggio della circonferenza, ? giace al di fuori di essa e quindi esisteranno due diverse rette tangenti a \( \Gamma \) passanti per ?. Per trovarle, consideriamo il fascio proprio di rette centrato in ?, e intersechiamolo con \( \Gamma \):

\( \begin{cases} x^2+y^2+4x-5y+9 = 0 \\ y-\frac{5}{2} = m \Big(x + \frac{3}{4} \Big) \end{cases} \Rightarrow \)

\( \Rightarrow (m^2+1)x^2 + \Big(\frac{3m^2}{2}+4 \Big)x + \Big( \frac{9m^2}{16}+\frac{11}{4}\Big) = 0 \)

L’equazione a sinistra, ottenuta per semplice sostituzione di ?, dà le ascisse dei punti di intersezione di ogni singola retta tangente con \( \Gamma \). Poiché per la definizione 2 tale punto d’intersezione deve essere uno solo, l’equazione deve avere una sola soluzione; dunque il suo \( \Delta \) deve essere pari a 0.

\( 0 = \Delta = b^2-4ac = \Big( \frac{3m^2}{2} + 4 \Big)^2 – 4(m^2+1)\Big(\frac{9m^2}{16}+\frac{11}{4} \Big) = 5 – \frac{5m^2}{4} \)

Da cui \( m = \pm 2 \). Le rette tangenti si ottengono allora sostituendo nell’equazione del fascio i valori di ? trovati, avendo così $ y = 1 + 2x $ e $ y = 2x + 4 $.

Esempio 2: Si trovino le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza \( \Gamma \) di equazione \( x^2+y^2-4x-2\sqrt{2}y+2 \) passanti per il punto \( T(2+\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) \).

L’esempio in esame presenta la stessa situazione illustrata dall’immagine seguente:

Infatti, è facile verificare che il punto ? appartiene alla circonferenza \( \Gamma \), semplicemente sostituendone le coordinate alle incognite ? e ?:

\( (2+\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 – 4(2+\sqrt{2})-2\sqrt{2}(2\sqrt{2}) + 2 = 0 \)

\( 4 + 4\sqrt{2}+2 – 8 – 4 \sqrt{2} + 2 = 0 \Rightarrow 0 = 0 \)

Per sincerarcene avremmo anche potuto, come nell’esempio 1, trovare il centro e il raggio di \( \Gamma \), quindi valutare la distanza ??: in questo caso ci saremmo accorti che ??=?. Poiché in questo caso sappiamo che \( T \in \Gamma \), invece che risolvere il problema in maniera algebrica con il fascio di rette come si fa di solito, potremo adoperare una soluzione più geometrica. La retta tangente a \( \Gamma \) in ?, che da qui in avanti nomineremo ?, ha la proprietà di essere ortogonale alla retta passante per ? e ?; dunque per trovare ? calcoleremo in primo luogo la retta per ? e ?, quindi determineremo l’unica retta perpendicolare a questa passante per ?. Per far ciò ci occorre prima trovare ?, quindi

\( O\Big( -\frac{\alpha}{2}, -\frac{\beta}{2}\Big) \Rightarrow O(2, \sqrt{2}) \)

\( r_{OT}: \frac{x-2}{2+\sqrt{2}-2} = \frac{y-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-\sqrt{2}} \Rightarrow \frac{x-2}{\sqrt{2}} = \frac{y-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \Rightarrow y=x+\sqrt{2} – 2 \)

Infine calcoliamo ?:

\( t: (y-2\sqrt{2}) = -\frac{1}{m_{OT}}(x-2-\sqrt{2}) \Rightarrow y=2\sqrt{2}-x+2+\sqrt{2} \)

\( y = -x + 2 + 3 \sqrt{2} \)

Esempio 3: Si trovino le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza \( \Gamma \) di equazione \( 2x^2-3x+2y^2 = 0 \) passanti per il punto ?(?,?).

Notiamo prima di tutto che l’equazione della circonferenza non è in forma canonica; dividendo entrambi i membri per 2, avremo però

\( x^2 + y^2 -\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}y = 0 \)

che invece è in forma canonica. Adoperiamo l’equazione ottenuta per trovare il centro e il raggio della circonferenza come facciamo sempre:

\( O\Big(-\frac{\alpha}{2},-\frac{\beta}{2}\Big) \Rightarrow O\Big(\frac{3}{4},\frac{3}{4}\Big) \,\,\,\,\,\, r=\sqrt{\frac{\alpha^2}{4}+\frac{\beta^2}{4}-\gamma} = \sqrt{\frac{9}{16}+\frac{9}{16}-0} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \)

In questo caso, capiamo subito che l’esercizio è impossibile perché \( OA \lt r \).

\( OA = \sqrt{\Big(1-\frac{3}{4}\Big)^2+\Big( 1 – \frac{3}{4}\Big)^2} = \sqrt{2\Big(\frac{1}{4}\Big)^2} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \lt \frac{3\sqrt{2}}{4} = r \)

Questo significa che il punto ? è interno alla circonferenza, e per questo motivo non può esistere alcuna retta tangente a Γ passante per ?.