Una lampada è alimentata da un generatore di tensione da $15V$ , con una resistenza interna trascurabile….

Una lampada è alimentata da un generatore di tensione da $15V$ , con una resistenza interna trascurabile. La resistenza della lampada vale $ 10 Ω $. In un secondo momento, una seconda lampadina è inserita in serie alla prima, e l’intensità di corrente diminuisce fino al valore di $1,0 A$ .

Calcola l’intensità di corrente che attraversa la lampadina prima che venga inserita la seconda lampadina.
Quanto vale la resistenza della seconda lampadina?
Supponi che la seconda lampadina sia in parallelo invece che in serie. Quanto vale adesso l’intensità di corrente attraverso la prima lampada?

Svolgimento

Secondo i dati forniti dal problema, nel primo caso abbiamo:

$ ∆V_1 = 15V $

$R_1 = 10 Ω $

Dopo l’aggiunta della lampadina:

$ i_2 = 1,0 A $

Determiniamo l’intensità di corrente che attraversa la lampadina prima che venga inserita la seconda lampadina attraverso la prima legge di Ohm:

$ i_1 = frac(∆V_1)(R_1) = frac(15V)(10 Ω) = 1,5 A $

Per il secondo punto del problema, consideriamo che le due lampadine sono poste in serie, e che quindi la resistenza equivalente è data dalla somma delle due:

$ R_(eq) = R_1 + R_2 $

La differenza di potenziale nel secondo caso è data dalla formula:

$ ∆V_2 = i_2 * R_(eq) $

quindi:

$ ∆V_2 = i_2 * (R_1 + R_2) $

La differenza di potenziale nel secondo caso è uguale a quella nel primo caso, poiché il circuito è lo stesso. Ricaviamo quindi la seconda resistenza:

$ ∆V_2 = i_2 * R_1 + i_2 * R_2 $

$ R_2 = frac(∆V_2 – i_2 * R_1)(i_2) = frac(15V – 1,0 A * 10 Ω)(1,0 A) = 5 Ω $

Nel caso in cui la lampadina sia inserita in parallelo, abbiamo che la differenza di potenziale in questo terzo caso è uguale alle precedenti; per calcolare l’intensità di corrente che attraversa la prima lampadina basta, quindi, applicare la prima legge di Ohm:

$ i = frac(∆V)(R_1) = frac(15V)(10 Ω) = 1,5 A $

La resistenza equivalente di un circuito è data da $ R_(eq) = R_1 + frac(R_2 * R_3)(R_2 + R_3) + frac(R_4 * R_5)(R_4 + R_5)$ ….

La resistenza equivalente di un circuito è data da $ R_(eq) = R_1 + frac(R_2 * R_3)(R_2 + R_3) + frac(R_4 * R_5)(R_4 + R_5) $.

Supponi che i valori delle resistenze siano $R_1 = 200 Ω$ , $R_2 = 600 Ω$ , $R_3 = 400 Ω$ , $R_4 = R_5 = 120 Ω$ e la corrente totale valga $440mA$.

Disegna il circuito corrispondente.
Calcola il valore della differenza di potenziale del generatore presente nel circuito.

Svolgimento

La resistenza equivalente è data dalla somma di tre fattori, e in particolare da tre resistenze che chiamiamo $R_1$ , $R_(2,3)$ e $R_(4,5) $.

Poiché sono sommate in questo modo, dobbiamo supporre che le tre resistenze siano in serie:

resistenze_in_serie

Sappiamo poi che $ R_(2,3) = frac(R_2 * R_3)(R_2 + R_3) $ e $ R_(4,5) = frac(R_4 * R_5)(R_4 + R_5)$ .

Possiamo scrivere quindi che:

$ R_(2,3) = frac(R_2 * R_3)(R_2 + R_3) to frac(1)(R_(2,3)) = frac(1)(R_2) – frac(1)(R_3) = frac(R_2 + R_3)(R_2 * R_3) $

Allo stesso modo:

$ R_(4,5) = frac(R_4 * R_5)(R_4 + R_5) to frac(1)(R_(4,5)) = frac(1)(R_4) – frac(1)(R_5) = frac(R_4 + R_5)(R_4 * R_5) $

Queste due resistenze sono quindi in parallelo e possiamo rappresentarle nel seguente modo:

resistenze_in_parallelo

Per calcolare la differenza di potenziale del generatore, dobbiamo conoscere la resistenza equivalente del circuito; sostituiamo quindi i valori delle resistenze alla formula:

$ R_(eq) = R_1 + frac(R_2 * R_3)(R_2 + R_3) + frac(R_4 * R_5)(R_4 + R_5) $

$ R_(eq) = 200 Ω + frac(600 Ω * 400 Ω)(600 Ω + 400 Ω) + frac(120 Ω * 120 Ω)(120 Ω + 120 Ω) = $

$ 200 Ω + frac(240000 Ω)(1000 Ω ) + frac(14400 Ω)(240 Ω) = 500 Ω $

Applichiamo ora la prima legge di Ohm per trovare la differenza di potenziale:

$ ∆V = i * R_(eq) = 440 *10^(-3) A * 500 Ω = 220 V$

Ai capi della pila di un telefono cellulare c’è una differenza di potenziale di 3,7 V e la corrente erogata è di 0,80 A.

Ai capi della pila di un telefono cellulare c’è una differenza di potenziale di $3,7 V$ e la corrente erogata è di $0,80 A$. Determina:

La carica che fluisce nel cellulare in 45s.
La potenza sviluppata per effetto Joule.
L’energia dissipata per effetto Joule in 45s.

Svolgimento

Per determinare la carica che fluisce nel cellulare nell’intervallo di tempo indicato, partiamo dalla formula della definizione di differenza di potenziale come lavoro fratto carica:

$ ∆V = frac(L)(q) to q = frac(L)(∆V) $

Poiché conosciamo l’intervallo di tempo, esprimiamo il lavoro in funzione della potenza e del tempo:

$ P = frac(L)(t) to L = P * t $

Quindi:

$ q = frac(L)(∆V) = frac(P * t)(∆V) $

La potenza può essere espressa in funzione dell’intensità di corrente in questo modo:

$ P = i * ∆V $

La carica risulta quindi:

$ q = frac(P * t)(∆V) = frac(i * ∆V * t)(∆V) = i * t $

$ q = i * t = 0,80 A * 45 s = 36 C $

La potenza sviluppata per effetto Joule è data, come abbiamo detto precedentemente, dalla formula:

$ P = i * ∆V = 3,7 V * 0,80 A = 2,96 W ≅ 3,0 W $

Per trovare l’energia dissipata, dobbiamo determinare il lavoro che viene compiuto:

$ L = P * t = 2,96 W * 45 s = 133,2 J = 1,3 * 10^2 J $

Un pacemaker, dispositivo nelle persone cardiopatiche, è alimentato da batterie a lunga durata che erogano una corrente di $ 5,6 μA $ …

Un pacemaker, dispositivo nelle persone cardiopatiche, è alimentato da batterie a lunga durata che erogano una corrente di $ 5,6 μA $ . La carica totale che le batterie sono in grado di fornire durante tutto il loro funzionamento è di $ 1,5 * 10^(-3) C$ .

Dopo quanto tempo ci si aspetta che il dispositivo smetta di funzionare?

Svolgimento

Poiché conosciamo l’intensità di corrente che erogano le batterie, e abbiamo il valore della carica, possiamo ricavare il tempo della durata delle batterie a partire dalla definizione di corrente elettrica come rapporto fra la quantità di carica che attraversa una sezione del conduttore e l’intervallo di tempo impiegato:

$ i = frac(∆Q)(∆t) to ∆t = frac(∆Q)(i) $

$ ∆t = frac(∆Q)(i) = frac(1,5 * 10^3 C)(5,6 * 10^(-6) A) = 0,268 * 10^9 s $

Trasformiamo questo periodo i tempo in anni:

$ ∆t = 0,268 * 10^9 s = frac(0,268 * 10^9 s)(60 * 60* 24 * 365) = frac(0,268 * 10^9 s)(31536000) = 8,49 a $

Una batteria di forza elettromotrice $7,0V$ viene inserita in un circuito elettrico con un resistore

Una batteria di forza elettromotrice $7,0V$ viene inserita in un circuito elettrico con un resistore. Si misurano la corrente elettrica e la differenza di potenziale ai capi del resistore e si trovano i valori $ i = 90mA $ e $∆V = 6,0 V$ .

Quanto vale la resistenza interna della batteria?
Quanto vale la resistenza del resistore?

Svolgimento

La forza elettromotrice di un circuito è data dalla formula $ f_(em) = V + r*i $ .

Possiamo da qui ricavare la resistenza interna del circuito:

$ r = frac(f_(em) – V)(i)$

$ r = frac(f_(em) – V)(i) = frac(7,0 V – 6,0 V)(90 * 10^(-3) A) = 11,1 Ω $

Sappiamo poi che la differenza di potenziale in funzione della forza elettromotrice è data dalla formula:

$ ∆V = frac(R)(R + r) * f_(em) $

Ricaviamo dalla formula la resistenza del resistore:

$ ∆V * (R + r) = R * f_(em) to $

$ ∆V * R + ∆V * r = R * f_(em) to $

$ ∆V * R + ∆V * r – R * f_(em) = 0 to $

$ ( ∆V – f_(em) )* R + ∆V * r = 0 to $

$ ( ∆V – f_(em) )* R = – ∆V * r to $

$ R = – frac(∆V * r)(∆V – f_(em)) $

Quindi si ha:

$ R = frac(∆V * r)(f_(em) – ∆V) $

Troviamo il valore di R:

$ R = frac(∆V * r)(f_(em) – ∆V) = frac(6,0 V * 11,1 Ω)(7,0 V – 6,0 V) = 66,6 Ω = 67 Ω $

Ai capi di una batteria risulta una differenza di potenziale di $12,0 V$ se è misurata a circuito aperto….

Ai capi di una batteria risulta una differenza di potenziale di $12,0 V$ se è misurata a circuito aperto e $11,8 V$ se è misurata quando il circuito è chiuso su una resistenza $ R = 400 Ω$ .

Quanto vale la resistenza interna $r$ della pila?

Svolgimento

La forza elettromotrice di un circuito è data dalla formula $ f_(em) = V + r * i $.

Possiamo da qui ricavare la resistenza interna del circuito:

$ r = frac(f_(em) – V)(i) $

Calcoliamo l’intensità di corrente nel caso n cui il circuito è chiuso, e quindi circola corrente al suo interno:

$ i = frac(∆V)(R) = frac(11,8 V)(400 Ω) = 0,03 A $

Nel caso in cui il circuito è aperto, e quindi non circola corrente al suo interno, sappiamo che la forza elettromotrice è uguale alla differenza di potenziale.

Possiamo quindi determinare la resistenza interna del circuito:

$ r = frac(f_(em) – V)(i) = frac(12,0V – 11,8V)(0,03A) = 6,67 Ω $

Un kilowattora di energia costa in media 0,10 euro….

Un kilowattora di energia costa in media 0,10 euro. Decidi di sostituire una lampadina da 100W con una da 75W nella tua camera. La lampadina resta accesa circa 3,0 ore al giorno. A quanto ammonta il risparmio sulla bolletta dell’energia elettrica nell’arco di un mese?

Svolgimento

Calcoliamo, impostando una proporzione, il consumo della lampadina da $100W$ in un’ora:

$ 100 W : 1kW = x : 0,10 € $

$ 100 W : 1000W = x : 0,10 € $

$ x = frac(100W · 0,10 €)(1000 W) = 0,01 € $

In un giorno, sapendo che la lampadina rimarrà accesa per tre ore, si avrà un consumo pari a:

$ 0,01 € · 3 = 0,03 € $

Applichiamo lo stesso procedimento per la lampadina da $75W$ :

$ 75 W : 1kW = x : 0,10 € $

$ 75 W : 1000W = x : 0,10 € $

$ x = frac(75W · 0,10 €)(1000 W) = 0,0075 € $

In un giorno avremo:

$ 0,0075 € · 3 = 0,0225 € $

Calcoliamo ora i diversi consumi nell’arco di un mese, moltiplicando i valori ottenuti per un giorno per 30:

$ 0,03 € · 30 = 0,9 € $

$ 0,0225 € · 30 = 0,675 € $

Per determinare il risparmio ottenuto, sottraiamo i due valori:

$ r = 0,9 € – 0,675 € = 0,225 € $

Determina verso e intensità della corrente che attraversa la batteria da $12 V$ nel circuito della figura seguente:

risoluzione_circuito

Sono forniti i seguenti valori delle resistenze: $ R_1 = 16 Ω $, $ R_2 = 25 Ω $ , $ R_3 = 18 Ω $

E delle differenze di potenziale: $ ∆V_1 = 18 V $, $ ∆V_2 = 12 V $

Svolgimento

_{Per risolvere il circuito e determinare verso e intensità delle correnti dobbiamo ricorrere alle leggi di Kirchhoff, poiché abbiamo due generatori di tensione.}

_{Per prima cosa, scegliamo dei versi di percorrenza delle maglie e diamo alle correnti dei versi arbitrati: se poi la corrente sarà positiva il verso da noi scelto è quello giusto, altrimenti il verso giusto è il contrario.}

risoluzione_circuito

_{Applichiamo la legge dei nodi, per cui la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti che escono:}

$ i_2 + i_3 = i_1 $

Applichiamo poi per le due maglie scelte la legge delle maglie, per cui la somma algebrica delle differenze di potenziale che si incontrano percorrendo una maglia è uguale a zero.

Per la prima maglia abbiamo:

$ – R_2 * i_2 – ∆V_1 – R_2 * i_2 + ∆V_2 = 0 $

$ – 25 * i_2 – 18 – 16 * i_2 + 12 = 0 $

$ – 41 i_2 – 6 = 0 $

$ i_2 = – frac(6)(41) $

Per la seconda maglia:

$ – ∆V_2 + R_3 * i_3 = 0 $

$ – 12 + 18 * i_3 = 0 $

$ i_3 = frac(12)(18) = 2/3 $

Mettiamo a sistema le tre equazioni:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ i_2 = – \frac{6}{41} & \\ i_3 = \frac{2}{3} & \end{array} \right. $$

Possiamo ora determinare il valore della corrente che attraversa il generatore richiesto:

$ i_1 = 2/3 – 6/(41) = frac(82 – 18)(123) = frac(64)(123) = 0,52 A $

Dato che la corrente è positiva, possiamo affermare che il suo verso è proprio quello da A a B.

Qual è la potenza dissipata dal resistore da $40 Ω $ nel circuito di figura?

Quale potenza dissipa il resistore da $40 Ω $ nel circuito di figura?

circuito

Sono dati i seguenti valori delle resistenze e della tensione:

$ R_1 = 4,0 Ω $ $ R_2 = 40 Ω $

$ R_3 = 10 Ω $ $ ΔV = 18 V $

Risoluzione

_{Per determinare la potenza dissipata dal resistore da $40 Ω $ , dobbiamo determinare l’intensità della corrente che attraversa quel resistore.}

_{Cominciamo quindi semplificando il circuito e sommando le resistenza $ R_2$ e $ R_3$ che sono in parallelo:}

$ 1/R_(2,3) = 1/R_2 + 1/R_3 = frac(1)(40 Ω) + frac(1)(10 Ω) = frac(1)(8 Ω) $

$ R_(2,3) = 8 Ω $

circuito

_{Calcoliamo ora la resistenza equivalente del}_{circuito sommando le due resistenze rimaste,}_{che sono in serie:}

$ R_(eq) = R_1 + R_(2,3) = 4,0 Ω + 8 Ω = 12 Ω$

_{Possiamo ora determinare l’intensità della corrente}_{che attraversa l circuito, e quindi anche le resistenze $R_(2,3)$ e $R_1$.}

$ i = 1_1 + 1_(2,3) = frac(ΔV)(R_(eq)) = frac(18V)(12 Ω) = 1,5 A $

Possiamo calcolare la differenza di potenziale ai capi della resistenza _{$R_(2,3)$} , che corrisponde alla differenza di potenziale delle resistenze 2 e 3, poiché esse sono in parallelo:

$ ΔV_(2,3) = ΔV_2 = ΔV_3 = i_(2,3) * R_(2,3) = 1,5 A * 8 Ω = 12V$

Applicando la prima legge di Ohm, possiamo determinare la corrente che attraversa $R_2$ :

$ i_2 = frac(ΔV_2)(R_2) = frac(12V)(40Ω) = 0,3 A$

Per calcolare la potenza dissipata da questo resistore, applichiamo la formula $ P = i^2 * R$ :

$ P = i^2 * R = (0,3 A)^2 * 40Ω = 3,6 W$

Calcola la resistenza equivalente tra i punti A e B del circuito in figura:

Calcola la resistenza equivalente tra i punti A e B del circuito in figura:

Sono forniti i seguenti valori per le resistenze:

$ R_1 = 2,00 Ω $ $ R_4 = 2,00 Ω $ $ R_7 = 4,00 Ω $

$ R_2 = 6,00 Ω $ $ R_5 = 3,00 Ω $

$ R_3 = 1,00 Ω $ $ R_6 = 3,00 Ω $

Risoluzione

Per determinare la resistenza equivalente del circuito, cominciamo semplificando il circuito .

Sommiamo le resistenze 3,4,5 che sono in serie:

$ R_(3,4,5) = R_3 + R_4 + R_5 = 1,00 Ω + 2,00 Ω + 3,00 Ω = 6,00 Ω $

Ora sommiamo le resistenze e che sono in parallelo:

$ 1/R_(3,4,5,6) = 1/R_6 + 1/R_(3,4,5) = 1/( 3,00 Ω) + 1/(6,00 Ω) = 1/(2,00 Ω) $

$R_(3,4,5,6) = 2,00 Ω$

Poi, possiamo sommare le resistenze $R_2$ e $R_(3,4,5,6) $ che sono in serie:

$ R_(2,3,4,5,6) = R_2 + R_(3,4,5,6) = 6,00 Ω + 2,00 Ω = 8,00 Ω $

Sommiamo ora le resistenze $R_7$ e $R_(2,3,4,5,6) $ che sono in parallelo:

$ 1/R_(2,3,4,5,6,7) = 1/R_7 + 1/R_(2,3,4,5,6) = 1/( 4,00 Ω) + 1/(8,00 Ω) = 3/(8,00 Ω) $

$ R_(2,3,4,5,6,7) = 8/3 Ω $

Infine, determiniamo la resistenza equivalente sommando le ultime due resistenze che sono in serie:

$ R_(eq) = R_1 + R_(2,3,4,5,6,7) = 2 Ω + 8/3 Ω = (14)/3 Ω = 4,67 Ω $

Il circuito in figura contiene cinque resistori identici. La batteria da 45 V fornisce una potenza di 58 W al circuito. Calcola la resistenza di ciascun resistore.

Il circuito in figura contiene cinque resistori identici. La batteria da $45 V$ fornisce una potenza di $58 W$ al circuito. Calcola la resistenza di ciascun resistore.

circuito_elettrico

Risoluzione

Consideriamo che le resistenze presenti nel circuito sono tutte uguali, calcoliamo la resistenza equivalente semplificando il circuito:

Sommiamo le resistenze 3 e 4 che sono in serie:

$ R_(3,4) = R_3 + R_4 = R + R = 2R $

Ora sommiamo le resistenze $ R_2 $ , $ R_(3,4) $ e $ R_5 $ che sono in parallelo:

$ 1/R_(2,3,4,5) = 1/R_2 + 1/R_(3,4) + 1/R_5 = 1/R + 1/(2R) + 1/R = 5/(2R) $

$R_(2,3,4,5) = frac(2R)(5) $

Calcoliamo ora la resistenza equivalente del circuito:

$R_(eq) = R_1 + R_(2,3,4,5) = R + 2/5 R = frac(5+2)(5) R = 7/5 R$

Sapendo che la potenza dissipata è data dalla formula $ P = i * ΔV$ , possiamo ricavare con la formula inversa l’intensità di corrente che attraversa il circuito:

$ P = i * ΔV to i = frac(P)(ΔV) $

$ i = frac(P)(ΔV) = frac(58 W)(45 V) = 1,29 A$

Applicando la prima legge di Ohm, la differenza di potenziale può essere espressa come $ ΔV = R * i $ quindi la potenza sarà:

$ P = i * ΔV = i * R * i = i^2 * R $

Sostituiamo i valori numerici all’espressione e ricaviamo il valore delle singole resistenze:

$ P = i^2 * R to 58W = (1,29 A)^2 * 7/5 R $

$ R = frac(58 * 5)((1,29)^2 * 7) = 25 Ω $

Determina l’intensità e il verso della corrente nel resistore da $2,0 Ω $ del circuito in figura.

Determina l’intensità e il verso della corrente nel resistore da $2,0 Ω $ del circuito in figura.

Sono forniti i seguenti valori delle resistenze:

$R_1 = 1,0 Ω $

$R_2 = 2,0 Ω $

$R_3 = 3,0 Ω $

Mentre per i generatori si hanno i seguenti valori: $ ΔV_1 = 1,0 V$ , $ ΔV_2 = 4,0 V$

Risoluzione

Per risolvere il problema, poiché sono presenti due generatori di tensione, è necessario applicare le leggi di Kirchhoff.

Scegliamo quindi i versi di percorrenza delle maglie, e dei versi arbitrari per le correnti: se le correnti che otterremo alla fine saranno positive, il verso da noi scelto sarà giusto, altrimenti in verso della corrente sarà quello opposto.

Applichiamo la legge dei nodi, per cui la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti:

$ i_1 + i_2 = i_3 $

Applichiamo poi la legge delle maglie, per cui la somma delle differenza di potenziale che si incontrano percorrendo una maglia è uguale a zero. Per la prima maglia abbiamo:

$ – R_1 * i_1 + ΔV_1 – R_2 * i_3 = 0 $

$ – 1,0 * i_1 + 1,0 – 2,0 * i_3 = 0 $

$ – i_1 + 1 – 2 i_3 = 0 $

Per la seconda maglia si ha:

$ – R_3 * i_2 + ΔV_2 + ΔV_1 – R_2 * i_3 = 0 $

$ – 3,0 * i_2 + 4,0 + 1,0 – 2,0 * i_3 = 0 $

$ – 3 i_2 + 5 – 2 i_3 = 0 $

Mettiamo a sistema le tre equazioni:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 + i_2 = i_3 & \\ – i_1 + 1 – 2 i_3 = 0& \\ – 3 i_2 + 5 – 2 i_3 = 0& \end{array} \right. $$

Ricaviamo la corrente $i_1$ dalla seconda equazione:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 + i_2 = i_3 & \\ i_1 = 1 – 2 i_3 & \\ – 3 i_2 + 5 – 2 i_3 = 0& \end{array} \right. $$

Sostituiamo tale valore nella prima equazione:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} 1 – 3 i_3 + i_2 = 0 & \\ i_1 = 1 – 2 i_3 & \\ – 3 i_2 + 5 – 2 i_3 = 0& \end{array} \right. $$

Ora, dalla prima equazione ricaviamo $i_2$:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_2 = 3 i_3 -1 & \\ i_1 = 1 – 2 i_3 & \\ – 3 i_2 + 5 – 2 i_3 = 0& \end{array} \right. $$

Sostituiamo tale valore nella terza equazione, dove sarà possibile ottenere il valore della terza corrente:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_2 = 3 i_3 -1 & \\ i_1 = 1 – 2 i_3 & \\ – 9 i_3 +3 + 5 – 2 i_3 = 0 \to i_3 = \frac{8}{11} & \end{array} \right. $$

Sostituiamo il valore di $i_3$ trovato nella prima e nella seconda equazione:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_2 = 3 * \frac{8}{11} -1 = \frac{13}{11}& \\ i_1 = 1 – 2 * \frac{8}{11} = – \frac{5}{11} & \\ i_3 = \frac{8}{11} & \end{array} \right. $$

Abbiamo quindi i seguenti valori delle correnti:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_2 = \frac{13}{11}& \\ i_1 = – \frac{5}{11} & \\ i_3 = \frac{8}{11} & \end{array} \right. $$

La corrente richiesta dal problema è $i_3$ , che vale $8/(11) A = 0,73 A $ .

Il suo verso è rivolto da B ad A.

Determina verso e intensità delle correnti che attraversano i resistori $R_1$ e $R_2$ del circuito seguente:

Determina verso e intensità delle correnti che attraversano i resistori $R_1$ e $R_2$ del circuito seguente:

Sono dati i seguenti valori delle resistenze: $R_1 = 5,0 Ω $ , $R_2 = 2,0 Ω $ e delle tensioni: $ΔV_1 = 10,0 V $ , $ΔV_2 = 5,0 V $

Risoluzione

In questo caso, per risolvere il circuito, poiché abbiamo due generatori di tensione, dobbiamo applicare le leggi di Kirchhoff, ma dato che sono presenti solo due resistenze sarà sufficiente applicare solo la delle maglie, per cui la somma delle differenze di potenziale che si incontrano percorrendo una maglia è uguale a zero.

Cominciamo quindi, scegliendo un verso di percorrenza delle maglie e dando alle correnti dei versi arbitrari: se le correnti che otterremo alla fine saranno positive, il verso da noi scelto sarà giusto, altrimenti in verso della corrente sarà quello opposto.

Abbiamo per la prima maglia:

$ – R_1 * i_1 – R_2 * i_2 – ΔV_1 = 0 $

$ – 5,0 * i_1 – 2,0 * i_2 – 10,0 = 0 $

$ – 5 i_1 – 2 i_2 – 10 = 0 $

E per la seconda maglia:

$ R_2 * i_2 – ΔV_2 + ΔV_1 = 0 $

$ 2,0 * i_2 – 5,0 + 10,0 = 0 $

$ 2 i_2 + 5 = 0 $

Mettiamo a sistema le due equazioni:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
– 5 i_1 – 2 i_2 – 10 = 0&\\
2 i_2 + 5 = 0 &
\end{array}\right.
$$

Dalla seconda equazione possiamo ricavare direttamente il valore di $i_2$ e sostituirlo nella prima equazione:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
– 5 i_1 – 2 (-\frac{5}{2}) – 10 = 0&\\
i_2 = -\frac{5}{2}&
\end{array}\right.
$$

Si ottengono i seguenti valori delle correnti:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
i_1 = – 1 &\\
i_2 = -\frac{5}{2} &
\end{array}\right.
$$

Poiché i valori delle correnti sono negativi, possiamo affermare che i loro versi sono opposti rispetto a quelli che avevamo scelto inizialmente; quindi $i_1$ sarà diretta verso il basso, mentre $i_2$ sarà diretta verso l’alto .

La potenza dissipata da una stufetta elettrica è di 1,3 kW quando viene collegata alla rete elettrica domestica, che ha una tensione di 220V.

La potenza dissipata da una stufetta elettrica è di 1,3 kW quando viene collegata alla rete elettrica domestica, che ha una tensione di 220V.

Calcola l’intensità di corrente che passa attraverso il resistore all’interno della stufetta.
Calcola, inoltre, il calore fornito in 10 minuti.

Risoluzione

La potenza dissipata è data dalla formula $ P = i * ΔV$ . Da qui possiamo ricavare con la formula inversa il valore dell’intensità di corrente:

$ P = i * ΔV to i = frac(P)(ΔV) $

$i = frac(P)(ΔV) = frac(1,3 * 10^3 W)(220 V) = 5,9 A $

Per trovare poi il calore fornito in 10 minuti determiniamo il lavoro che viene compiuto:

$ P = frac(L)(t) to L = P * t $

$L = P * t = 1,3 * 10^3 W * 10 min = 1,3 * 10^3 W * 600 s = $

$ 7,8 * 10^5 J $

Il circuito in figura contiene un generatore che mantiene una differenza di potenziale di $80 V$ e cinque resistenze che valgono $ R_1 = 80 Ω $ , $ R_2 = R_4 = 10 Ω $ , $ R_3 = 20 Ω $ , $ R_5 = 40 Ω $. Risolvi il circuito.

Il circuito in figura contiene un generatore che mantiene una differenza di potenziale di $80 V$ e cinque resistenze che valgono $ R_1 = 80 Ω $ , $ R_2 = R_4 = 10 Ω $ , $ R_3 = 20 Ω $ , $ R_5 = 40 Ω $.

Risolvi il circuito.

circuito

Risoluzione

Per risolvere il circuito dobbiamo determinare il valore e il verso di tutte le correnti presenti e il valore delle tensioni ai capi di tutti i resistori.

Cominciamo a risolvere il circuito cercando di determinare la resistenza equivalente.

Per prima cosa, sommiamo le resistenze 2, 3, 4, che sono in serie:

$ R_(2,3,4) = R_2 + R_3 + R_4 = 10 Ω + 20 Ω + 10 Ω = 40 Ω $

risoluzione_di_un_circuito

Determiniamo ora la resistenza equivalente fra $R_(2,3,4) $ e $R_5 $ che sono in parallelo:

$ frac(1)(R_(2,3,4,5)) = frac(1)(R_(2,3,4)) + frac(1)(R_5) = $

$ frac(1)(40 Ω) + frac(1)(40 Ω) = frac(1)(20 Ω) $

Otteniamo quindi:

$ R_(2,3,4,5) = 20 Ω $

risoluzione_di_un_circuito

Possiamo ora determinare la resistenza equivalente

del circuito sommando le ultime due resistenze

rimaste, che sono in serie:

$ R_(eq) = R_1 + R_(2,3,4,5) = 80 Ω + 20 Ω = 100 Ω $

Avendo ore la resistenza equivalente possiamo determinare le intensità di correnti e le differenze di potenziale ai capi di ciascun resistore.

Determiniamo l’intensità di corrente generale del circuito, quella che attraversa $R_1 $ e $R_(2,3,4,5)$ con la prima legge di Ohm:

$ i = i_1 = frac(∆V)(R_(eq)) = frac(80 V)(100 Ω) = 0,80 A$

Poiché abbiamo l’intensità di corrente relativa a $R_1 $ , possiamo determinare la sia differenza di potenziale:

$ ∆V_1 = R_1 * i_1 = 80 Ω * 0,80 A = 64 V $

Conoscendo poi $R_(2,3,4,5) $, possiamo determinare la sua differenza di potenziale, poiché la corrente che l’attraversa è $i$:

$ ∆V_(2,3,4,5) = ∆V_(2,3,4) = ∆V_5 = R_(2,3,4,5) * i_1 = 20 Ω * 0,80 A = 16 V $

Ora possiamo determinare le intensità di corrente delle resistenze $ R_(2,3,4)$ e $R_5 $:

$ i_5 = frac(∆V_5)(R_5) = frac(16 V)(40 Ω) = 0,40 A $

$ i_(2,3,4) = frac(∆V_(2,3,4))(R_(2,3,4)) = frac(16 V)(40 Ω) = 0,40 A $

Poiché le resistenze $R_2$, $R_3$, $R_4$ sono in serie, la loro intensità di corrente è uguale e vale $0,40A$ .

Determiniamo ora le ultime differenze di potenziale:

$ ∆V_3 = R_3 * i_3 = 20 Ω * 0,40 A = 8,0 V $

$ ∆V_2 = R_2 * i_2 = 10 Ω * 0,40 A = 4,0 V $

$ ∆V_4 = R_4 * i_4 = 10 Ω * 0,40 A = 4,0 V $

Qual è la resistenza equivalente del circuito in figura?

risoluzione_circuito

Le resistenze hanno i seguenti valori:

$ R_1 = 20 Ω $ $ R_2 = 10 Ω $

$ R_3 = 60 Ω $ $ R_4 = 30 Ω $

La differenza di potenziale vale: $ ∆V = 6 V $

Risoluzione

Per determinare la resistenza equivalente del circuito, procediamo per gradi cercando di semplificare il circuito.

Per prima cosa, sommiamo le resistenze 3 e 4 che sono in parallelo:

$ frac(1)(R_(3,4)) = frac(1)(R_3) + frac(1)(R_4) = $

$ frac(1)(60 Ω) + frac(1)(60 Ω) = frac(1 + 2)(60 Ω) = frac(1)(20 Ω) $

$ to R_(3,4) = 20 Ω $

risoluzione_circuito

Ora sommiamo le resistenze $ R_2$ e $R_(3,4) $ e che sono in serie:

$ R_(2,3,4) = R_(3,4) + R_2 = 20 Ω + 10 Ω = 30 Ω $

Per trovare la resistenza equivalente del circuito basta determinare la resistenza equivalente fra le due rimaste, che sono in parallelo:

risoluzione_circuito

$ frac(1)(R_(eq)) = frac(1)(R_1) + frac(1)(R_(2,3,4)) = $

$ frac(1)(20 Ω) + frac(1)(30 Ω) = frac(3 + 2)(60 Ω) = frac(1)(12 Ω) $

$ to R_(eq) = 12 Ω $

Nel circuito della figura il generatore mantiene una differenza di potenziale di $28,0 V$ e le resistenze valgono $ R_1 = 300 Ω $ , $ R_2 = 200 Ω $ , $ R_3 = 240 Ω $ e $ R_4 = 480 Ω $ . Risolvi il circuito.

Nel circuito della figura il generatore mantiene una differenza di potenziale di $28,0 V$ e le resistenze valgono $ R_1 = 300 Ω $ , $ R_2 = 200 Ω $ , $ R_3 = 240 Ω $ e $ R_4 = 480 Ω $ . Risolvi il circuito.

risoluzione_di_un_circuito

Svolgimento

Per risolvere il circuito dobbiamo determinare il valore e il verso di tutte le correnti presenti e il valore delle tensioni ai capi di tutti i resistori.

Cominciamo a risolvere il circuito cercando di determinare la resistenza equivalente.

Per prima cosa, sommiamo le resistenze $R_1$ e $R_2$ (in parallelo) :

$ frac(1)(R_(1,2)) = frac(1)(R_1) + frac(1)(R_2) = $

$ frac(1)(300 Ω) + frac(1)(300 Ω) = frac(2 + 3)(600 Ω) = frac(5)(600 Ω) $

$ R_(1,2) = frac (600 Ω)(5) = 120 Ω $

Sommiamo poi le resistenze $R_3$ e $R_4$ (in parallelo):

$ frac(1)(R_(3,4)) = frac(1)(R_3) + frac(1)(R_4) = $

$ frac(1)(240 Ω) + frac(1)(480 Ω) = frac(2 + 1)(480 Ω) = frac(3)(480 Ω) $

$ R_(3,4) = frac (480 Ω)(3) = 160 Ω $

risoluzione_di_un_circuito

A questo punto, possiamo determinare la resistenza equivalente del circuito sommando le due rimaste, che sono in serie:

$ R_(eq) = R_(1,2) + R_(3,4) = 120 Ω + 160 Ω = 280 Ω $

Avendo la resistenza equivalente, possiamo determinare l’intensità di corrente che attraversa il circuito:

$ i = i_(1,2) = i_(3,4) = frac(∆V)(R_(eq)) = frac(28,0 V)(280 Ω) = 0,1 A $

Determiniamo ora la differenza di potenziale dei due resistori:

$ ∆V_(1,2) = ∆V_1 = ∆V_2 = R_(1,2) * i_(1,2) = 120 Ω * 0,1 A = 12 V $

$ ∆V_(3,4) = ∆V_3 = ∆V_4 = R_(3,4) * i_(3,4) = 160 Ω * 0,1 A = 16 V $

Avendo la differenza di potenziale delle singole resistenze, possiamo determinare l’intensità delle correnti che le attraversano:

$ i_1 = frac(∆V_1)(R_1) = frac(12 V)(300 Ω) = 0,04 A = 40,0 * 10^(-3) A = 40,0 mA $

$ i_2 = frac(∆V_2)(R_2) = frac(12 V)(200 Ω) = 0,06 A = 60,0 * 10^(-3) A = 60,0 mA $

$ i_3 = frac(∆V_3)(R_3) = frac(16 V)(240 Ω) = 0,0667 A = 66,7 * 10^(-3) A = 66,7 mA $

$ i_4 = frac(∆V_4)(R_4) = frac(16 V)(480 Ω) = 0,0333 A = 33,3 * 10^(-3) A = 33,3 mA $

Due resistori da $ 68 Ω $ ciascuno sono connessi in serie ad una batteria da $4,5 V$. Qual è la potenza totale dissipata?

Svolgimento

Se i resistori sono collegati in serie, la resistenza equivalente è data dalla somma delle singole resistenze. Troviamo quindi la resistenza equivalente:

$ R_(eq) = R_1 + R_2 = 68 Ω + 68 Ω = 136 Ω $

La potenza dissipata è la rapidità con cui l’energia elettrica è trasformata in energia interna del resistore, ed è data dalla formula $ P = R * i^2 $ . Per la prima legge di Ohm, però, possiamo esprimere l’intensità di corrente come $ i = frac(∆V)(R)$ . Di conseguenza, per la potenza si avrà:

$ P = R * i^2 = R * (frac(∆V)(R))^2 = R * frac(∆V^2)(R^2) = frac(∆V^2)(R) $

Possiamo quindi determinare la potenza:

$ P = frac(∆V^2)(R) = frac((4,5 V )^2)(136 Ω) = 0,15 W $

Nel circuito della figura si ha $ ∆V_1 = 10 V $ , $ ∆V_2 = 15 V $ ; le resistenze presenti sono: $ R_1 = 20 Ω $ , $ R_2 = 60 Ω $ , $ R_3 = 40 Ω $.

Determina il verso e il valore di tutte le correnti presenti nel circuito.

risoluzione_di_un_circuito

Risoluzione

Dato che siamo in presenza di due generatori di corrente, dobbiamo risolvere il circuito mediante le leggi di Kirchhoff, in particolare la legge delle maglie e la legge dei nodi.

Cominciamo stabilendo dei verdi di percorrenza delle maglie e diamo dei versi arbitrari alle correnti: se le correnti che otterremo saranno positive, il verso da noi scelto sarà quello giusto, altrimenti le correnti avranno verso opposto.

risoluzione_circuito

Applichiamo la legge dei nodi, per la quale la somma delle correnti uscenti da un nodo è uguale alla somma della correnti entranti; in particolare, nel nodo B si ha che:

$ i_2 + i_3 = i_1 $

Applichiamo poi per le due maglie scelte la legge delle maglie, per cui la somma algebrica delle differenze di potenziale che si incontrano percorrendo una maglia è uguale a zero:

$ R_1 * i_1 + R_2 * i_2 – ∆V_1 = 0 $

$ 20 * i_1 + 60 * i_2 – 10 = 0 $

$ 2 i_1 + 6 i_2 – 1 = 0 $

Abbiamo poi:

$ ∆V_2 – R_3 * i_3 – R_1 * i_1 = 0 $

$ -15 – 40 * i_3 – 20 * i_1 = 0 $

$ – 3 – 8 i_3 – 4 i_1 = 0 $

Mettiamo a sistema le tre equazioni:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ 2 i_1 + 6 i_2 – 1 = 0 & \\ – 3 – 8 i_3 – 4 i_1 = 0& \end{array} \right. $$

Risolviamo il sistema: cominciamo sostituendo nella seconda e nella terza equazione il valore di $i_1$ esplicitato nella prima:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ 2 (i_2 + i_3) + 6 i_2 – 1 = 0 & \\ – 3 – 8 i_3 – 4 (i_2 + i_3) = 0& \end{array} \right. $$

Svolgiamo i calcoli:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ 8 i_2 + 2 i_3 = 1 & \\ 12 i_3 + 4 i_2 = 3& \end{array} \right. $$

Dalla terza equazione, esplicitiamo $4 i_2$:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ 8 i_2 + 2 i_3 = 1 & \\ 4 i_2 = 3 – 12 i_3& \end{array} \right. $$

Sostituiamo tale valore di $4 i_2 $ nella seconda equazione:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ 2 (3 – 12 i_3) + 2 i_3 = 1 & \\ 4 i_2 = 3 – 12 i_3& \end{array} \right. $$

Svolgiamo i calcoli:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ 6 – 22 i_3 = 1 & \\ 4 i_2 = 3 – 12 i_3& \end{array} \right. $$

Dalla seconda equazione possiamo ricavare il valore di $i_3$:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ i_3 = \frac{5}{22} = 0,227 A & \\ 4 i_2 = 3 – 12 i_3& \end{array} \right. $$

Sostituiamo il valore di $i_3$ nella terza equazione:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ i_3 = 0,227 A & \\ i_2 = \frac{3 – 12 * 0,227}{4} = 0,06 A& \end{array} \right. $$

Infine sostituiamo i valori trovati anche nella prima equazione:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = 0,06 + 0,227 = 0,29 A& \\ i_3 = 0,227 A & \\ i_2 = 0,06 A& \end{array} \right. $$

Le tre correnti trovate hanno i seguenti valori:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = 0,29 A& \\ i_3 = 0,227 A & \\ i_2 = 0,06 A& \end{array} \right. $$

Poiché tutte le correnti hanno segno positivo, il verso di ognuna di esse corrisponde a quello scelto in partenza.

Il circuito nella figura è alimentato da un generatore che eroga una tensione di $24 V$ …

Il circuito nella figura è alimentato da un generatore che eroga una tensione di $24 V$ .

risoluzione_di_un_circuito

I valori delle resistenze presenti sono i seguenti:

$ R_1 = 6,0 Ω $

$ R_2 = 8,0 Ω $

$ R_3 = 12,0 Ω $

$ R_4 = 10,0 Ω $

Calcola le intensità di corrente che attraversano ogni resistore.

Risoluzione

Le resistenze $R_2$ , $ R_3 $ , $ R_4 $ poiché hanno le prime estremità connesse tre loro e anche i secondi estremi connessi tra loro, sono in parallelo. Cominciamo quindi determinando la lodo resistenza equivalente:

$ frac(1)(R_(2,3,4)) = frac(1)(R_2) + frac(1)(R_3)+ frac(1)(R_4) = $

$frac(1)(8,0 Ω) + frac(1)(12,0 Ω)+ frac(1)(10,0 Ω) = frac(0,308)(1 Ω) $

$ R_(2,3,4) = frac(1 Ω)(0,308) = 3,25 Ω $

Calcoliamo la resistenza equivalente del circuito sommando le due resistenze rimaste, che sono in serie:

$ R_(eq) = R_1 + R_(2,3,4) = 6,0 Ω + 3,25 Ω = 9,25 Ω $

risoluzione_di_un_circuito

Determiniamo ora l’intensità di corrente che attraversa il circuito, e quindi che attraversa le resistenze $R_1 $ e $ R_(2,3,4) $:

$ i = i_1 = i_(2,3,4) = frac(∆V)(R_(eq)) = frac(24 V)(9,25 Ω) = 2,59 A ≅ 2,6 A $

Poiché conosciamo l’intensità di corrente, possiamo calcolare la differenza di potenziale ai capi delle resistenze:

$ ∆V_1 = R_1 * i_1 = 6,0 Ω * 2,6 A = 15,6 V$

$ ∆V_(2,3,4) = ∆V_2 = ∆V_3 = ∆V_4 = R_(2,3,4) * i_(2,3,4) = 3,25 Ω * 2,6 A = 8,45 V$

Conoscendo le differenze di potenziale delle singole resistenze, possiamo calcolare l’intensità delle correnti che le attraversano:

$ i_2 = frac(∆V_2)(R_2) = frac(8,45 V)(8,0 Ω) = 1,056 A ≅ 1,1 A $

$ i_3 = frac(∆V_3)(R_3) = frac(8,45 V)(12,0 Ω) = 0,7 A $

$ i_4 = frac(∆V_4)(R_4) = frac(8,45 V)(10,0 Ω) = 0,84 A $

Nel circuito della figura, la resistenza $R_1$ vale $150 Ω $ ed è collegata in serie a una resistenza variabile $R_x$. Il generatore mantiene una differenza di potenziale di $220V$ .

circuito_elettrico

Per quale valore di $R_x$ l’intensità di corrente che attraversa il circuito è massima?
Quanto vale la massima intensità di corrente che può attraversare il circuito?

Risoluzione

Poiché le resistenza sono collegate in seria, la resistenza equivalente è data dalla somma delle singole resistenze, quindi:

$R_(eq) = R_1 + R_x = 150 Ω + R_x $

Possiamo ricavare l’intensità di corrente che attraversa il circuito attraverso la prima legge di Ohm:

$ i = frac(∆V)(R_(eq)) = frac(220 V)(150 Ω + R_x )$

Affinché l’intensità di corrente sia massima, il denominatore dell’espressione deve essere più piccolo possibile. Proprio perché il denominatore è costituito da $150 Ω + R_x$, il suo valore minimo è $150 Ω $ e si ha quando $R_x$ è uguale a zero.

Di conseguenza, il valore di $R_x$ per cui l’intensità di corrente che attraversa il circuito è massima è di $ 0 Ω $.

Per calcolare la massima intensità di corrente che può attraversare il circuito basta porre $ R_x = 0 $:

$ i_(max) = frac(220 V)(150 Ω ) = 1,47 A $

Due resistori sono collegati in parallelo in un circuito alimentato con una differenza di potenziale di $9,0 V$ . Il generatore eroga una corrente di intensità $0,12 A$.

Due resistori sono collegati in parallelo in un circuito alimentato con una differenza di potenziale di $9,0 V$ . Il generatore eroga una corrente di intensità $0,12 A$. Quanto vale la resistenza equivalente del circuito?

Risoluzione

Nel caso di resistenze collegato in parallelo, la resistenza equivalente si può trovare nel seguente modo:

$ frac(1)(R_(eq)) = frac(1)(R_1) + frac(1)(R_2) = frac(R_2 + R_1)(R_1 * R_2) $

$R_(eq) = frac(R_2 * R_1)(R_1 + R_2) $

Calcoliamo le singole resistenze lasciando come incognite le intensità di correnti:

$ R_1 = frac(∆V)(i_1) = frac(9,0 V)(i_1) $

$ R_2 = frac(∆V)(i_2) = frac(9,0 V)(i_2) $

Sostituiamo i valori trovato alla formula della resistenza equivalente:

$R_(eq) = frac(R_2 * R_1)(R_1 + R_2) = frac(frac(9,0 V)(i_2) * frac(9,0 V)(i_1))(frac(9,0 V)(i_1) + frac(9,0 V)(i_2)) = $

$ frac(frac(81 V)(i_2*i_1))(frac(9,0 V*i_2 + 9,0*i_1)(i_1*i_2)) = frac(frac(81 V)(i_2*i_1))(frac(9,0 V* (i_2 + i_1))(i_1*i_2)) = $

$ frac(81 V)(i_2*i_1) * frac(i_1*i_2)(9,0 V* (i_2 + i_1)) = frac(9,0 V)(i_2 + i_1) $

L’intensità di corrente che ci viene fornita dal problema, ed è l’intensità di corrente del circuito, è data dalla somma delle singole intensità di correnti delle resistenze; quindi abbiamo che

$ i_1 + i_2 = i = 0,12 A $

$ R_(eq) = frac(9,0 V)(0,12A) = 75 Ω $

In un circuito sono collegati in serie un generatore di tensione di $18,0 V$ e dieci resistori uguali. Viene misurata l’intensità di corrente, che risulta di $6,0 mA$.

Calcola la resistenza equivalente del circuito.
Calcola il valore della resistenza di ciascun resistore.

Svolgimento

Sapendo che i resistori collegati in serie hanno la stessa intensità di corrente, possiamo calcolare la resistenza equivalente del circuito utilizzando la prima legge di Ohm:

$ i = frac(∆V)(R_(eq)) to R_(eq) = frac(∆V)(i) $

$ R_(eq) = frac(∆V)(i) = frac(18,0 V)(6,0 * 10^(-3) A) = 3,0 * 10^3 Ω$

Per calcolare il valore di una singola resistenza, consideriamo che nel caso di collegamenti in serie la resistenza equivalente è data dalla somma di tutte le singole resistenza. In questo caso, abbiamo dieci resistenze tutte uguali; per trovarne una, quindi, basterà dividere la resistenza equivalente per dieci:

$ R = frac(R_(eq))(10) = frac(3,0 * 10^3 Ω)(10) = 3,0 * 10^2 Ω$

Un circuito contiene una batteria da $12,0 V$ e due resistori collegati in parallelo. Le loro resistenze sono rispettivamente uguali a $150 Ω$ e $ 300 Ω $

Un circuito contiene una batteria da $12,0 V$ e due resistori collegati in parallelo. Le loro resistenze sono rispettivamente uguali a $150 Ω$ e $ 300 Ω $ . Quanto vale l’intensità di corrente erogata dal generatore?

Svolgimento

In questo caso i resistori sono collegati in parallelo; la resistenza equivalente vale quindi:

$ frac(1)(R_(eq)) = frac(1)(R_1) + frac(1)(R_2) = frac(1)(150 Ω) + frac(1)(300 Ω) = $

$ frac(2 + 1)(300 Ω) = frac(3)(300 Ω) = frac(1)(100 Ω) $

$ R_(eq) = 100 Ω $

Poiché conosciamo la resistenza equivalente, possiamo determinare l’intensità di corrente con la prima legge di Ohm:

$ i = frac(∆V)(R_(eq)) = frac(12,0 V)(100 Ω) = 0,12 A = 12 * 10^(-3) A $

In un circuito sono inseriti, in serie, una batteria da 6,0V e tre resistori con resistenze rispettivamente uguali a $ 60 Ω$ , $ 80 Ω$ e $ 50 Ω$ . Quanto vale l’intensità di corrente?

Svolgimento

Poiché le tre resistenze sono poste in serie, la resistenza equivalente è data dalla somma delle tre singole resistenze:

$ R_(eq) = R_1 + R_2 + R_3 = 60 Ω + 80 Ω + 50 Ω = 190 Ω $

L’intensità di corrente è data dalla prima legge di Ohm:

$ i = frac(∆V)(R_(eq)) = frac(60 V)(190 Ω) = 0,32 A = 32 * 10^(-3) A $

Nel circuito della figura si ha $ ∆V_1 = 12 V$ , $ ∆V_2 = 15 V$ , $ R_1 = 10 Ω$ , $ R_2 = 35 Ω$ e $ R_3 = 50 Ω$ .

Determina, in verso e valore, tutte le correnti presenti nel circuito.

Svolgimento

Il problema, dato che il circuito presenta due generatori di corrente, va risolte per mezzo delle leggi di kirchhoff.

Applichiamo per prima cosa la legge dei nodi, per cui la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti:

$ i_1 + i_2 = i_3$

Poi, avendo scelto un verso di percorrenza delle maglie, applichiamo la legge delle maglie, per cui la somma delle differenze di potenziale che si incontrano percorrendo una maglia è uguale a zero.

Per la maglia più piccola abbiamo:

$ ∆V_1 – R_1 * i_1 + R_2 * i_2 – ∆V_2 = 0 $

$ 12 – 10 * i_1 + 35 * i_2 – 15 = 0 $

$ – 10 * i_1 + 35 * i_2 – 3 = 0 $

Per la maglia più grande:

$ ∆V_2 – R_2 * i_2 – R_3 * i_3 = 0 $

$ 15 – 35 * i_2 – 50 * i_3 = 0 $

$ 3 – 7 * i_2 – 10 * i_3 = 0 $

Mettiamo a sistema le tre equazioni e risolviamo il sistema:

$$ \left\{\begin{array}{ll} i_1 + i_2 = i_3 & \\ – 10 i_1 + 35 i_2 – 3 = 0 & \\ 3 – 7 i_2 – 10 i_3 = 0 &\end{array} \right. $$

Ricaviamo dalla seconda equazione $ i_1$ :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 + i_2 = i_3 & \\ i_1 = \frac{35 i_2 – 3}{10} & \\ 3 – 7 i_2 – 10 i_3 = 0& \end{array} \right. $$

Sostituiamo il valore trovato nella prima equazione:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{35 i_2 – 3}{10} + i_2 = i_3 & \\ i_1 = \frac{35 i_2 – 3}{10} & \\ 3 – 7 i_2 – 10 i_3 = 0& \end{array} \right. $$

Esplicitiamo quindi il valore di $i_3$ nella prima equazione:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{35 i_2 – 3 + 10 i_2}{10} = i_3& \\ i_1 = \frac{35 i_2 – 3}{10} & \\ 3 – 7 i_2 – 10 i_3 = 0& \end{array} \right. $$

Otteniamo quindi il seguente valore per $i_3$:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_3 = \frac{45 i_2 – 3 }{10} & \\ i_1 = \frac{35 i_2 – 3}{10} & \\ 3 – 7 i_2 – 10 i_3 = 0& \end{array} \right. $$

Procediamo sostituendo il valore di $i_3$ nella terza equazione:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_3 = \frac{45 i_2 – 3 }{10} & \\ i_1 = \frac{35 i_2 – 3}{10} & \\ 3 – 7 i_2 – 10 * \frac{45 i_2 – 3}{10} = 0 & \end{array} \right. $$

Dalla terza equazione, quindi, possiamo ricavare il valore della corrente $i_2$:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_3 = \frac{45 i_2 – 3 }{10} & \\ i_1 = \frac{35 i_2 – 3}{10} & \\ 3 – 7 i_2 – 45 i_2 + 3= 0 & \end{array} \right. $$

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_3 = \frac{45 i_2 – 3 }{10} & \\ i_1 = \frac{35 i_2 – 3}{10} & \\ – 52 i_2 + 6= 0 & \end{array} \right. $$

Esplicitiamo quindi il valore di $i_2$:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_3 = \frac{45 i_2 – 3 }{10} & \\ i_1 = \frac{35 i_2 – 3}{10} & \\ i_2 = \frac{6}{52} = \frac{3}{26} & \end{array} \right. $$

Sostituiamo tale valore nelle altre equazioni per trovare il valore di tutte le correnti:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_3 = \frac{45 * \frac{3}{26} – 3}{10} = 0,22 & \\ i_1 = \frac{35 * \frac{3}{26} – 3}{10} = 0,10 & \\ i_2 = \frac{3}{26} = 0.12& \end{array} \right. $$

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_3 = 0,22 & \\ i_1 = 0,10 & \\ i_2 = 0.12& \end{array} \right. $$

Poiché le correnti risultano tutte positive, possiamo affermare che il loro verso è proprio quello che noi avevamo scelto arbitrariamente all’inizio.

Prolunga la mediana $\bar{AM}$ di un triangolo $ABC$ di un segmento $\bar{MD}$ congruente a $\bar{AM}$, dimostra che $ABDC$ è un parallelogramma.

Svolgimento

Per dimostrare che un quadrilatero è un parallelogramma, si deve dimostrare che i suoi lati opposti siano congruenti.

Per farlo, prendiamo in considerazione i triangoli $ACM$ e $BMD$ ; essi hanno:

AMC ≅ BMD perché angoli opposti al vertice;

CM ≅ MB perché segmenti creati da una mediana;

AM ≅ MD per ipotesi.

Quindi, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruenti, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, $ACM$ e $BMD$ sono congruenti.

Possiamo quindi affermare che AC ≅ BD, perché lati opposti ad angoli congruenti.

Con un ragionamento analogo, dimostriamo che AB ≅ CD considerando i triangoli $AMB$ e $CMD$ ; essi hanno:

AMB ≅ CMD perché angoli opposti al vertice;
CM ≅ MB perché segmenti creati da una mediana;
AM ≅ MD per ipotesi.

Quindi, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruenti, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, $AMB$ e $CMD$ sono congruenti.

Possiamo quindi affermare che anche AB ≅ CD , perché lati opposti ad angoli congruenti.

Di conseguenza, il quadrilatero $ABCD$, avendo i lati opposti congruenti, è un parallelogramma.

In un triangolo rettangolo la somma dei due cateti è $34m$ e la loro differenza è $14m$ . Calcola l’area del triangolo.

Risoluzione

Poiché sappiamo che la somma dei due cateti è $34m$ e la loro differenza è $14m$ , possiamo impostare un sistema a due incognite, avendo indicato il cateto maggiore con $x$ e quello minore con $y$ :

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x + y = 34&\\
x – y = 14&
\end{array}\right.
$$

Risolviamo il sistema con l metodo della sottrazione:

$ x + y = 34 $

$ x – y = 14 $

$ 2x = 48 to x = (48)/2 = 24 m $

Sostituiamo questo valore alla prima equazione e troviamo l’altro cateto:

$ 24 + y = 34 $

$ y = 34 – 24 = 10 m $

Calcoliamo l’area del triangolo:

$ A = frac(C * c)(2) = frac(24 m * 10 m)(2) = $

$ = frac(240 m^2)(2) = 120 m^2 $

Un’azienda agricola vende il latte direttamente al consumatore attraverso due distributori automatici ….

Un’azienda agricola vende il latte direttamente al consumatore attraverso due distributori automatici; uno eroga mezzo litro di latte a $€ 0,60$ e l’altro un litro di latte a $€ 1,00$. Alla fine della giornata incassa $€ 172,00$ e vende $164 litri $ di latte. Quanti prelievi da mezzo litro e quanti da un litro sono stati fatti?

Svolgimento

Chiamiamo la quantità di prelievi da mezzo litro con $x$, mentre quelli da un litro con $y$.

Sappiamo che ogni prelievo da mezzo litro viene fatto pagare $€ 0,60$ , mentre quelli da un litro $€ 1,00 $, e che il totale degli incassi è di $€ 172,00$. Possiamo quindi impostare un’equazione in questo modo:

$ x * 0,60 + y * 1,00 = 172 $

Per comodità trasformiamo i decimali in frazioni:

$ x * frac(60)(100) + y * 1,00 = 172 $

$ 3/5 x + y = 172 $

Applichiamo lo stesso ragionamento considerando la quantità di litri: sapendo che con $x$ indichiamo la quantità da mezzo litro e con $y$ quella da un litro, e che a fine giornata sono stati venduti in totale $164 litri $, possiamo scrivere che:

$ x * 0,5 + y * 1 = 164 $

$ 1/2 x + y = 164 $

$ 3/5 x + y = 172 $

$ 1/2 x + y = 164 $

Mettiamo a sistema le due scritture e risolviamo con il metodo della sottrazione:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
\frac{3}{5} x + y = 172 &\\
\frac{1}{2} x + y = 164&
\end{array}\right.
$$

Cambiamo segno alla seconda equazione del sistema:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
\frac{3}{5} x + y = 172 &\\
– \frac{1}{2} x – y = – 164&
\end{array}\right.
$$

Sommiamo le due espressioni:

$ (3/5 – 1/2 ) x = 172 – 164 $

$ 1/(10) x = 8 to x = 80 $

Sostituiamo questo valore alla seconda equazione:

$ 1/2 * 80 + y = 164 $

$ 40 + y = 164 $

$ y = 164 – 40 = 124 $

Sappiamo quindi che sono stati fatti $80$ prelievi da mezzo litro e $124$ da un litro.

La superficie laterale del tronco di piramide si calcola con la formula $ S _l = frac((2p + 2p’)*a)(2)$ …..

La superficie laterale del tronco di piramide si calcola con la formula

$ S _l = frac((2p + 2p’)*a)(2)$

a) calcola la superficie laterale di una (UN TRONCO DI PIRAMIDE) piramide sapendo che il perimetro della base maggiore $2p=10,01cm$ , il perimetro della base minore $2p’=0,11cm$ , l’apotema è $a=101cm$.

b) calcola il perimetro di una delle due superfici di base sapendo che il perimetro di una superficie di base è $70cm$ , l’apotema è $37cm$ e la superficie laterale è $7000cm^2$ .

c) scrivi la formula generale per determinare $2p$ quando sono note le altre variabili.

Svolgimento (a)

Calcoliamo la superficie laterale del tronco di piramide utilizzando la formula

$ S _l = frac((2p + 2p’)*a)(2)$

$ S _l = frac((10,01 cm + 0,11 cm)*101 cm)(2) = frac(10,12 cm * 101 cm)(2) = $

$ frac(1022,12 cm^2)(2) = 511,06 cm^2 $

Svolgimento (b)

Dalla formula della superficie laterale ricaviamo la formula inversa per trovare il perimetro di una delle due basi:

$ S _l = frac((2p + 2p’)*a)(2)$

$ S _l = frac(2p*a + 2p’*a)(2)$

$ 2 S _l = 2p*a + 2p’*a $

$ 2 S _l – 2p*a – 2p’*a = 0 $

$ – 2p*a = 2p’*a – 2 S_l $

$ 2p = frac(2 S_l – 2p’*a)(a) $

Sostituiamo i dati che abbiamo:

$ 2p = frac(2 * 7000 cm^2 – 70 cm * 37 cm)(37 cm) = frac(14000 cm^2 – 2590 cm^2 )(37 cm) = $

$ frac( 11410 cm^2 )(37 cm) = 308,38 cm $

Svolgimento (c)

La formula generale per determinare $2p$ quando sono note le altre variabili è quella che abbiamo determinato in precedenza:

$ 2p = frac(2 S_l – 2p’*a)(a) $

$$ \left\{ \begin{array}{rl} \frac{x – 1}{4 – 5x} ≤ 0 &\\ 1 > \frac{x – 2}{5 + x} & \end{array}\right. $$

Risolvere il seguente sistema di disequazioni fratte:

$$ \left\{ \begin{array}{rl} \frac{x – 1}{4 – 5x} ≤ 0 &\\ 1 > \frac{x – 2}{5 + x} & \end{array}\right. $$

Svolgimento

Risolviamo la prima disequazione:

$ frac(x – 1)(4 -5x) ≤ 0 $

Studiamo il segno di numeratore e denominatore:

$ N ≥ 0 to x – 1 ≥ 0 to x ≥ 1 $

$ D > 0 to 4 – 5x > 0 to x < 4/5 $

Studiamo il segno:

studio_del_segno

$ S : x < 4/5 ∨ x ≥ 1 $

Passiamo all’altra disequazione:

$ 1 > frac(x – 2)(5 + x) $

_{Portiamo tutto al primo membro e calcoliamo il minimo comune multiplo:}

$ 1 – frac(x – 2)(5 + x) > 0 $

$ frac(5 + x – x + 2)(5 + x) > 0 $

$ frac(7)(5 + x) > 0 $

Studiamo il segno di numeratore e denominatore:

$ N > 0 to 7 > 0 ∀ x ∈ ℛ $

$ D > 0 to 5 + x > 0 to x > – 5 $

Poiché la disequazione è maggiore di zero, le soluzioni saranno:

$ S : x > – 5 $

Mettiamo a sistema le soluzioni ottenute:

$$ \left\{ \begin{array}{rl} x < \frac{4}{5} ∨ x ≥ 1 &\\ x > – 5 & \end{array}\right. $$

La soluzione finale è:

$ S : – 5 < x < 4/5 ∨ x ≥ 1 $

$$ \left\{ \begin{array}{rl} \frac{1}{3} (x – 9) < - 3 &\\ (x - 2)^2 > x (x – 4) & \end{array}\right. $$

Determinare l’insieme delle soluzioni del seguente sistema di disequazioni:

$$ \left\{ \begin{array}{rl} \frac{1}{3} (x – 9) < – 3 &\\ (x – 2)^2 > x (x – 4) & \end{array}\right. $$

Svolgimento

Cominciamo dalla prima disequazione:

$ 1/3(x – 9) < – 3 $

Portiamo tutto al primo membro e moltiplichiamo:

$ 1/3(x – 9) + 3 < 0 $

$ 1/3x – 3 + 3 < 0 $

$ 1/3x < 0 to x < 0 $

Passiamo alla seconda:

$ (x – 2)^2 > x (x – 4) $

$ (x – 2)^2 – x (x – 4) > 0 $

$ x^2 + 4 – 4x – (x^2 – 4x) > 0 $

$ x^2 + 4 – 4x – x^2 + 4x > 0 $

$ + 4 > 0 to ∀ x ∈ ℛ $

Mettiamo a sistema le soluzioni trovate:

$$ \left\{ \begin{array}{rl}x < 0 &\\ ∀ x ∈ ℜ & \end{array}\right. $$

La soluzione finale risulta quindi : $ S : x < 0 $

$ frac(x – 2)(x + 5) > 1 $

Risolvere la seguente disequazione fratta:

$ frac(x – 2)(x + 5) > 1 $

Svolgimento

Portiamo tutto al primo membro e calcoliamo il minimo comune multiplo:

$ frac(x – 2)(x + 5) – 1 > 0 $

$ frac(x – 2 – x – 5)(x + 5) > 0 $

$ frac(-7)(x + 5) > 0 $

Studiamo il segno di numeratore e denominatore:

$ N > 0 to – 7 > 0 $ Impossibile

$ D > 0 to x + 5 > 0 to x > – 5 $

Studiamo il segno:

studio_del_segno

poiché la disequazione è maggiore di zero, la soluzione sarà

$ S : x < – 5 $

$ frac((x^2 – 2)^2)(2) – frac((2x^2 – x – 3)^2)(4) + frac((x^2 + 1)^2)(2) < 7/4 (x^2 + 1) + x^3 $

Determina l’insieme delle soluzioni della seguente disequazione intera:

$ frac((x^2 – 2)^2)(2) – frac((2x^2 – x – 3)^2)(4) + frac((x^2 + 1)^2)(2) < 7/4 (x^2 + 1) + x^3 $

Svolgimento

Svolgiamo la moltiplicazione al secondo membro, poi calcoliamo il minimo comune multiplo:

$ frac((x^2 – 2)^2)(2) – frac((2x^2 – x – 3)^2)(4) + frac((x^2 + 1)^2)(2) < 7/4x^2 + 7/4 + x^3 $

$ frac((x^2 – 2)^2)(2) – frac((2x^2 – x – 3)^2)(4) + frac((x^2 + 1)^2)(2) – 7/4x^2 – 7/4 – x^3 < 0 $

$ frac( 2(x^2 – 2)^2 – (2x^2 – x – 3)^2 + 2 (x^2 + 1)^2 – 7x^2 – 7 – 4x^3)(4) < 0 $

Eliminiamo il denominatore:

$ 2(x^2 – 2)^2 – (2x^2 – x – 3)^2 + 2 (x^2 + 1)^2 – 7x^2 – 7 – 4x^3 < 0 $

Svolgiamo i quadrati:

$ 2(x^4 – 4x^2 + 4) – (4x^4 + x^2 + 9 – 12x^2 – 4x^3 + 6x) + 2(x^4 + 1 + 2x^2) – 7x^2 – 7 – 4x^3 < 0 $

$ 2x^4 – 8x^2 + 8 – 4x^4 – x^2 – 9 + 12x^2 + 4x^3 – 6x + 2x^4 + 2 + 4x^2 – 7x^2 – 7 – 4x^3 < 0 $

Semplifichiamo sommando i termini simili:

$ – 6x – 6 < 0 $

$ – 6x < 6 to -x < 1 to x > – 1 $

Determinare le soluzioni delle seguenti disequazioni di primo grado:

a) $ 3 x < 0 $

b) $ 1/2 – x > 1/2 $

c) $ – 1/2 (x + 3) < 1 $

d) $ 25 ≤ – 5x $

Svolgimento (a)

$ 3 x < 0 $

La risoluzione è immediata, e si ha:

$ x < 0 $

Svolgimento (b)

$ 1/2 – x > 1/2 $

Lasciamo la x al primo membro e portiamo a destra i termini noti:

$ – x > 1/2 – 1/2 $

$ – x > 0 $

Cambiamo segno e invertiamo il verso:

$ x < 0 $

Svolgimento (c)

$ – 1/2 (x + 3) < 1 $

Svolgiamo la moltiplicazione e calcoliamo il minimo comune multiplo:

$ – 1/2x – 3/2 < 1 $

$ frac(-x – 3)(2 ) < 2/2 $

Possiamo eliminare il denominatore:

$ -x – 3 < 2 $

$ -x < 2 + 3 $

$ -x < 5 $

Cambiamo segno e invertiamo il verso:

$ x > – 5 $

Svolgimento (d)

$ 25 ≤ – 5x $

Dividiamo entrambi i membri per 5:

$ 5 ≤ – x $

Invertiamo il verso della disequazione e cambiamo segno:

$ x ≤ -5 $

$ a (x – 1)^2 = a (a^2 + x^2 + 1) – 1$

Risolvere la seguente equazione parametrica e discutere il risultato in funzione dei valori assunti dal parametro a:

$ a (x – 1)^2 = a (a^2 + x^2 + 1) – 1$

Svolgimento

Svolgiamo i calcoli esplicitando il quadrato ed effettuando le moltiplicazioni:

$ a (x^2 + 1 – 2x) = a^3 + ax^2 + a – 1$

$ ax^2 + a – 2ax = a^3 + ax^2 + a – 1$

Portiamo tutto a primo membro:

$ ax^2 + a – 2ax – a^3 – ax^2 – a + 1 = 0$

$ – 2ax – a^3 + 1 = 0$

$ – 2ax = a^3 – 1 $

Determiniamo il valore di x dipendente dal parametro a:

$x = frac(a^3 – 1)(- 2a)$

Studiamo i casi in cui il denominatore si annulla:

$ – 2a = 0 to a = 0 $

Di conseguenza:

$ a = 0 to x = frac(0^3 – 1)(-2 * 0) = frac(-1)(0)$

L’equazione è impossibile;

$ a ≠ 0 to x = frac(a^3 – 1)(- 2a)$

$ [ frac(x – 3)(x + 2) – frac(x + 2)(x – 3) ] : frac(20x^2 – 5)(x^2 – x – 6) + frac(1)(2x) = frac(3)(4x^2 + 4x + 1) $

Determinare le soluzioni della seguente equazione frazionaria:

$ [ frac(x – 3)(x + 2) – frac(x + 2)(x – 3) ] : frac(20x^2 – 5)(x^2 – x – 6) + frac(1)(2x) = frac(3)(4x^2 + 4x + 1) $

Svolgimento

Scomponiamo in fattori i denominatori dove possibile:

$ [ frac(x – 3)(x + 2) – frac(x + 2)(x – 3) ] : frac(20x^2 – 5)((x + 2)(x – 3)) + frac(1)(2x) = frac(3)((2x + 1)^2) $

Determiniamo le condizioni di esistenza:

$ C.E.$

$ x + 2 ≠ 0 to x ≠ -2 $

$ x – 3 ≠ 0 to x ≠ 3 $

$ (2x + 1)^2 ≠ 0 to x ≠ – 1/2 $

Procediamo svolgendo le operazioni all’interno della parentesi quadra:

$ [ frac((x – 3)(x – 3) – (x + 2)(x + 2))((x + 2)(x – 3)) ] : frac(5 (4x^2 – 1))((x + 2)(x – 3)) + frac(1)(2x) = frac(3)((2x + 1)^2) $

$ [ frac((x – 3)^2 – (x + 2)^2)((x + 2)(x – 3)) ] : frac(5 (2x – 1)(2x + 1))((x + 2)(x – 3)) + frac(1)(2x) = frac(3)((2x + 1)^2) $

Svolgiamo i quadrati:

$ [ frac(x^2 + 9 – 6x – (x^2 + 4 + 4x))((x + 2)(x – 3)) ] : frac(5 (2x – 1)(2x + 1))((x + 2)(x – 3)) + frac(1)(2x) = frac(3)((2x + 1)^2) $

$ [ frac((x^2 + 9 – 6x – x^2 – 4 – 4x))((x + 2)(x – 3)) ] : frac(5 (2x – 1)(2x + 1))((x + 2)(x – 3)) + frac(1)(2x) = frac(3)((2x + 1)^2) $

$ [ frac(5 – 10x)((x + 2)(x – 3)) ] : frac(5 (2x – 1)(2x + 1))((x + 2)(x – 3)) + frac(1)(2x) = frac(3)((2x + 1)^2) $

$ [ frac(5(1 – 2x))((x + 2)(x – 3)) ] : frac(5 (2x – 1)(2x + 1))((x + 2)(x – 3)) + frac(1)(2x) = frac(3)((2x + 1)^2) $

Cambiamo segno alla prima frazione:

$ [ – frac(5( – 1 + 2x))((x + 2)(x – 3)) ] : frac(5 (2x – 1)(2x + 1))((x + 2)(x – 3)) + frac(1)(2x) = frac(3)((2x + 1)^2) $

Calcoliamo il quoziente delle prime due frazioni, moltiplicando la prima per il reciproco della seconda:

$ [ – frac(5( – 1 + 2x))((x + 2)(x – 3)) ] * frac((x + 2)(x – 3))(5 (2x – 1)(2x + 1)) + frac(1)(2x) = frac(3)((2x + 1)^2) $

$ – frac(1)(2x + 1) + frac(1)(2x) = frac(3)((2x + 1)^2) $

Calcoliamo il minimo comune multiplo:

$ frac(- 2x(2x + 1) + (2x + 1)^2 – 3*2x )(2x(2x + 1)^2) = 0$

Possiamo eliminare il denominatore perché abbiamo posto le condizioni di esistenza:

$ – 2x(2x + 1) + (2x + 1)^2 – 3*2x = 0$

$ – 4x^2 – 2x + 4x^2 + 1 + 4x- 6x = 0$

$ 1 – 4x= 0 to x = 1/4 $

In un rombo $ABCD$ ciascun lato misura $12cm$ e l’angolo in $B$ ha ampiezza $120°$…..

In un rombo $ABCD$ ciascun lato misura $12cm$ e l’angolo in $B$ ha ampiezza $120°$ . Prendere sui lati $\bar{AB}$ , $\bar{BC}$, $\bar{CD}$ e $\bar{AD}$ del rombo rispettivamente i punti $P$, $Q$, $S$ e $T$ in modo che i segmenti $\bar{AP}$ , $\bar{BQ}$ , $\bar{CS}$ e $\bar{DT}$ misurino $2cm$ ciascuno, calcolare il perimetro e l’area del quadrilatero $PQST$, dopo aver dimostrato che esso è un parallelogramma.

Risoluzione

Per prima cosa, dimostriamo che il quadrilatero $PQST$ è un parallelogramma; per farlo, dobbiamo dimostrare che abbia I lati opposti congruenti. Analizziamo i dati che abbiamo:

$\bar{AB} ≅ \bar{BC} ≅ \bar{CD} ≅ \bar{DA} = 12 cm $

( perché lati di un rombo) ;

$\bar{AP} ≅ \bar{BQ} ≅ \bar{CS} ≅ \bar{DT} = 2 cm $

( per ipotesi) ;

Possiamo ricavare quindi, per differenza, le misure dei segmenti :

$\bar{PB} ≅ \bar{QC} ≅ \bar{SD} ≅ \bar{TA} = 12 cm – 2 cm = 10 cm $

$ \hat{B} ≅ \hat{D}$ perché angoli opposti di un rombo; ( $ \hat{B} ≅ \hat{D} = 120°$ )

$ \hat{A} ≅ \hat{C}$ perché angoli opposti di un rombo;

Prendiamo in considerazione I triangoli $PBQ$ e $SDT$; essi hanno:

$ \bar{PB} ≅ \bar{SD} = 10 cm$

$ \bar{BQ} ≅ \bar{DT} = 2 cm$

$ \hat{B} ≅ \hat{D} = 120° cm$

Avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruenti, I triangoli $PBQ$ e $SDT$ sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli.

Di conseguenza, $ \bar{PQ} ≅ \bar{ST} $, poiché lati opposti ad angoli congruenti.

Abbiamo dimostrato, quindi, che due lati opposti del quadrilatero $PQST$ sono congruenti; con un procedimento analogo, considerando i triangoli $APT$ e $QCS$ , si dimostra che anche gli altri due lati opposti sono congruenti.

Queste informazioni sono sufficienti per affermare che il quadrilatero in questione è un parallelogramma.

Per determinare il perimetro del parallelogramma, cerchiamo per prima cosa di determinare la lunghezza del lato $ \bar{PT}$;

tracciamo da $T$ la perpendicolare al lato $ \bar{AB}$ del rombo.

Consideriamo i triangoli $AOD$ e $AKT$ :

essi hanno:

$ \hat{AOD} ≅ \hat{AKT}$ perché entrambi angoli retti;

$ \hat{PAT} ≅ \hat{ADO} = 60°$

Quindi, per il primo criterio di similitudine dei triangoli, $AOD$ e $AKT$ sono simili;

possiamo affermare, quindi, che i loro lati sono in proporzione:

$ \bar{TA} : \bar{AD} = \bar{TK} : \bar{AO}$

$ 10 cm : 12 cm = \bar{TK} : \bar{AO}$

Sapendo che l’angolo $\hatB$ misura $120°$ e che l’angolo $\hatA$ ne misura $60°$, possiamo affermare che il triangolo $ABD$ è equilatero, poiché ha gli angoli di $60°$. Avendo il suo lato, possiamo ricavare la sua altezza, cioè il segmento $ \bar{AO}$:

$\bar{AO} = sqrt(\bar{AB}^2 – \bar{BO}^2) = sqrt(\bar{AB}^2 – (frac(\bar{AB})(2))^2) =$

$ sqrt( 12^2 – (frac(12)(2))^2) = sqrt(144 – 36) = sqrt(108) $

Che possiamo scrivere come $ 6 sqrt3 $ ; quindi:

$ 10 cm : 12 cm = \bar{TK} : 6 sqrt3 cm $

$ \bar{TK} = frac(6 sqrt3 * 10)(12) = 5 sqrt3 cm $

Poiché il triangolo $AKT$ è rettangolo e sappiamo che $ \bar{TK} = 5 sqrt3 cm$ e $ \bar{TA} = 10 cm $ , con il teorema di Pitagora possiamo determinare la lunghezza del cateto $ \bar{AK}$ :

$\bar{AK} = sqrt(\bar{AT}^2 – \bar{TK}^2) = sqrt(10^2 – (5 sqrt3)^2) =$

$ sqrt(100 – 75) = sqrt(25) = 5 $

Possiamo trovare la lunghezza del segmento $\bar{PK} $ :

$\bar{PK} = \bar{AK} – \bar{AP} = 5 cm – 2 cm = 3 cm $

Poiché anche il triangolo $TPK$ è rettangolo e sappiamo che $\bar{TK} = 5 sqrt3 cm $ e $\bar{PK} = 3 cm $, con il teorema di Pitagora possiamo determinare la lunghezza del lato $\bar{TP} $ :

$\bar{TP} = sqrt(\bar{TK}^2 + \bar{PK}^2) = sqrt((5 sqrt3)^2 + 3^2) =$

$ sqrt( 75 + 9) = sqrt(84) = 2 sqrt(21) $

Per trovare la lunghezza dell’altra coppia di lati del parallelogramma, dobbiamo seguire un procedimento analogo tracciando da $P$ la perpendicolare al lato $\bar{BC}$ del rombo:

Consideriamo il triangolo $PHB$ ; sapendo che l’angolo $\hat{B}$ misura $120°$, possiamo affermare che l’angolo $\hat{PBH}$ misura $60°$, poiché insieme all’angolo $\hat{B}$ forma un angolo piatto. Di conseguenza, il triangolo $PHB$ è simile al triangolo $AOD$ ;

infatti essi hanno:

$\hat{AOD} ≅ \hat{PHB}$ perché entrambi angoli retti;

$\hat{PBH} ≅ \hat{ADO} = 60°$

Possiamo quindi mettere i loro lati in proporzione:

$ \bar{PB} : \bar{AD} = \bar{PH} : \bar{AO}$

$ 10 cm :12 cm= \bar{TK} : 6 sqrt3 cm$

$ \bar{PH} = frac(6sqrt3 * 10)(12) = 5 sqrt3 cm $

Determiniamo ora la lunghezza del segmento $ \bar{HB}$ con il teorema di Pitagora, sapendo che il triangolo $PHB$ è rettangolo:

$\bar{HB} = sqrt(\bar{PB}^2 – \bar{PH}^2) = sqrt(10^2 – (5 sqrt3)^2) =$

$ sqrt(100 – 75) = sqrt(25) = 5 $

Troviamo ora la lunghezza del segmento $\bar{HQ}$ :

$\bar{HQ} = \bar{QB} + \bar{HB} = 2 cm + 5 cm = 7 cm $

Determiniamo ora la lunghezza del lato $ \bar{PQ}$ con il teorema di Pitagora, sapendo che il triangolo $PHQ$ è rettangolo:

$\bar{PQ} = sqrt(\bar{PH}^2 + \bar{QH}^2) = sqrt((5 sqrt3)^2 + 7^2) =$

$ sqrt(75 + 49) = sqrt(124) = 2sqrt(31) $

Calcoliamo quindi il perimetro del parallelogramma $PQST$:

$ P_(PQST) = \bar{ST} + \bar{TP} + \bar{PQ} + \bar{QS} = $

$ 2 \bar{TP} + 2 \bar{PQ} = 2 * 2 sqrt(21) + 2 * 2 sqrt(31) = $

$ 4 (sqrt(21) + sqrt(31)) cm $

Per determinare l’area del parallelogramma, procediamo determinando prima l’area del rombo e poi sottraendogli l’area dei triangoli $SDT$ , $TAP$ , $PBQ$ e $QSC$ .

$ A_(ABCD) =D * d = 2 * \bar{AO} * \bar{DB} = $

$ 2 * 6 sqrt3 * 12 = 144 sqrt3 cm^2 $

Determiniamo l’area del triangolo $PBQ$ , congruente a $SDT$ .

La sua altezza, che cade fuori dal triangolo, è il segmento $\bar{PH}$ , mentre la sua base è $\bar{QB} $ . La sua area sarà quindi:

$ A_(PBQ) = A_(SDT) = frac(\bar{QB} * \bar{PH})(2) = frac(2 * 5 sqrt3)(2) = 5 sqrt3 cm^2$

Calcoliamo ora l’area del triangolo $APT$ , congruente a $QSC$ .

La sua altezza, che cade anch’essa fuori dal triangolo, è il segmento $\bar{TK}$ , mentre la sua base è $\bar{AP}$ . La sua area sarà quindi:

$ A_(APT) = A_(QSC) = frac(\bar{AP} * \bar{TK})(2) = frac(2 * 5 sqrt3)(2) = 5 sqrt3 cm^2$

Troviamo ora l’area del parallelogramma:

$ A_(PQST) = A_(ABCD) – [ A_(PBQ) + A_(SDT) + A_(APT) + A_(QSC) ] = $

$ 144 sqrt3 cm^2 – [5 sqrt3 + 5 sqrt3 + 5 sqrt3 + 5 sqrt3] cm^2 = $

$ (144 sqrt3 – 20 sqrt3) cm^2 = 124 sqrt3 cm^2 $

Nella circonferenza di diametro $\bar{BD}$ sono inscritti i triangoli $ABD$ e $BDC$ …..

Nella circonferenza di diametro $\bar{BD}$ sono inscritti i triangoli $ABD$ e $BDC$ con $A$ e $C$ da parti opposte rispetto a $\bar{BD}$. Sia $H$ la proiezione di $C$ su $\bar{BD}$. Sapendo che $\bar{AB} = 16 cm$ e che il rapporto sia tra $\bar{AD}$ e $\bar{BD}$ sia tra $\bar{BH}$ e $\bar{HD}$ è $3/5$ trovare il perimetro di $ABCD$.

Risoluzione

Abbiamo che:

$\bar{AB} = 16 cm $

$frac(\bar{AD})(\bar{BD}) = frac(\bar{BH})(\bar{HD}) = 3/5$

Consideriamo il triangolo $ABD$ .

Chiamiamo il diametro $ \bar{BD} = x $ e troviamo il valore del cateto $ \bar{AD}$ in funzione di $x$, sapendo che il triangolo $ ABD$ è rettangolo, poiché inscritto in una semicirconferenza.

$ \bar{AD} = sqrt(\bar{BD} ^2 – \bar{AB} ^2) = sqrt(x^2 – 16^2)$

Sapendo ora che $ frac(\bar{AD})(\bar{BD}) = 3/5$ , sostituiamo a questa scrittura i valori trovati:

$ frac(sqrt(x^2 – 16^2))(x) = 3/5$

Posto $ x ≠ 0 $, risolviamo l’equazione e troviamo il valore di $x$:

$ (frac(sqrt(x^2 – 16^2))(x))^2 = (3/5)^2$

$ frac(x^2 – 16^2)(x^2) = 9/(25)$

$ frac(x^2 – 16^2)(x^2) – 9/(25) = 0$

$ frac(25 (x^2 – 256) – 9x^2)(25 x^2) = 0$

$ frac(25x^2 – 6400 – 9x^2)(25 x^2) = 0$

$ frac(16x^2 – 6400)(25 x^2) = 0$

$ 16x^2 – 6400 = 0$

$ 16x^2 = 6400$

$ x^2 = frac(6400)(16) = 400 to x = ± 20 $

Non potendo accettare il valore negativo, poiché $x$ è un segmento, accettiamo solo la soluzione positiva, $x=20cm$.

Sappiamo quindi che:

$ \bar{BD} = 20 cm$

$ \bar{AD} = sqrt(x^2 – 16^2) = sqrt(400 – 256) = sqrt(144) = 12 cm $

Passiamo ora al triangolo $BCD$ .

Sappiamo che :

$ frac(\bar{BH})(\bar{HD}) = 3/5 to \bar{BH} = 3/5 \bar{HD} $

Poiché $ \bar{BH} + \bar{HD} = \bar{BD} = 20 cm $ , possiamo scrivere che:

$ \bar{HD} + 3/5 \bar{HD} = 20 cm $

Risolviamo l’equazione e troviamo il valore del segmento $\bar{HD} $ :

$ frac(5 \bar{HD} + 3 \bar{HD})(5) = frac(100)(5) $

$ 5 \bar{HD} + 3 \bar{HD}= 100$

$ 8 \bar{HD} = 100 to \bar{HD} = frac(100)(8) = frac(25)(2) $

Quindi:

$ \bar{BH} = 3/5 \bar{HD} = 3/5 * (25)/2 = (15)/2 $

Sapendo che anche il triangolo $BCD$ è rettangolo, perché inscritto anch’esso in una semicirconferenza, applichiamo il primo teorema di Euclide:

$\bar{BH} : \bar{BC} = \bar{BC} : \bar{BD} $

$ \bar{BC} ^2 = \bar{BH} * \bar{BD} = (15)/2 * 20 = 150 to $

$ \bar{BC} = sqrt(150) = 5sqrt6 cm $

Con il teorema di Pitagora possiamo trovare il cateto $\bar{CD}$ :

$\bar{CD} = sqrt(\bar{BD}^2 – \bar{BC}^2) = sqrt(20^2 – (5sqrt6)^2) =$

$ sqrt(400 – 150) = sqrt(250) = 5 sqrt(10) cm $

Determiniamo il perimetro di $ABCD$:

$ P_(ABCD) = \bar{AB} + \bar{BC} + \bar{CD} + \bar{DA} = $

$ (16 + 5sqrt6 + 5 sqrt(10) + 12) = (28 + 5sqrt6 + 5 sqrt(10) + 12) cm $

Il rettangolo ha l’area di $558cm ^2$ e un lato di $18cm$. Lo si vuole trasformare in un nuovo rettangolo….

Il rettangolo ha l’area di $558cm ^2$ e un lato di $18cm$. Lo si vuole trasformare in un nuovo rettangolo c accorciando il lato più lungo di una quantità $5x$ e allungando l’altro di una quantità $4x$ in modo che il nuovo rettangolo abbia l’area di $228cm^2$ . Determina la quantità $x$.

Risoluzione

Per prima cosa, conoscendo l’area ed un lato del rettangolo, possiamo determinare la lunghezza dell’altro lato:

$ \bar{AB} = frac(A_(ABCD))(\bar{BC}) = frac(558 cm^2)(18 cm) = 31 cm $

Per creare il nuovo rettangolo, dobbiamo accorciare il lato più lungo di $ABCD$ ( $ \bar{AB} = 31 cm $ ) di una quantità pari a $5x$, e allungare il lato più corto ( $ \bar{BC} = 18 cm $ ) di una quantità pari a $4x$, in modo tale che la sua area, cioè il prodotto dei due lati, sia pari a $228 cm^2$ .

Possiamo impostare il problema in questo modo, chiamando il nuovo rettangolo $A’B’C’D’ $:

$ \bar{A’B’} = \bar{AB} – 5x $

$ \bar{B’C’} = \bar{BC} + 4x $

Quindi:

$ \bar{A’B’} = 31 – 5x $

$ \bar{B’C’} = 18 + 4x $

Sapendo che $ A_(A’B’C’D’) = \bar{A’B’} * \bar{B’C’} $ , possiamo impostare l’equazione:

$ (31 – 5x)(18 + 4x) = 228 $

$ 558 – 90x + 124x – 20x^2 = 228 $

$ – 20x^2 + 34 x – 330 = 0 $

$ 10x^2 – 17 x + 165 = 0 $

Troviamo le soluzioni con la formula $ x = frac(- b ± sqrt(b^2 – 4ac))(2a) $

$ x = frac(- (-17) ± sqrt((-17)^2 – 4*10*165))(2*10) = frac(17 ± sqrt(289- 6600))(20) = $

$ frac(17 ± sqrt(6889))(20) = frac(17 ± 83)(20) $

$ x = frac(17 + 83)(20) = frac(100)(20) = 5 $

$ x = frac(17 – 83)(20) = – frac(66)(20) = – (33)/(20) $

Dato che il problema chiede di allungare e accorciare i lati del rettangolo, dobbiamo scartare il valore negativo di $x$ ; accettiamo solo $x=5$.

Il piede dell’altezza $\bar{CH}$ di un triangolo $ABC$ divide la base $\bar{AB}$…

Il piede dell’altezza $\bar{CH}$ di un triangolo $ABC$ divide la base $\bar{AB}$ di $49cm$ in due parti tali che $\bar{AH} = 9/(16) \bar{HB} $ .

Calcolare l’area dei due triangoli $ACH$ e $BCH$ sapendo che $\bar{AC}=24cm$.

Risoluzione

Chiamiamo il segmento $\bar{BH} = x$ e il segmento $\bar{AH} = 9/(16) x$ .

Sapendo che: $\bar{AB} = \bar{BH} = \bar{AH} = 49 cm $ , impostiamo l’equazione:

$ x + 9/(16) x = 49$

$ frac(16x + 9x)(16) = frac(784)(16)$

$ 16x + 9x = 784$

$ 25x = 784 to x = frac(784)(25)$

Sostituiamo il valore e troviamo $\bar{AH}$ :

$\bar{AH} = 9/(16) * frac(784)(25) = frac(441)(25) $

Consideriamo il triangolo $ CAH$ e determiniamo con il teorema di Pitagora l’altezza $\bar{CH}$.

$\bar{CH} = sqrt(\bar{AC}^2 + \bar{AH}^2) = $

$sqrt(24^2 + (frac(441)(25))^2) = sqrt(576 + frac(194481)(625)) = $

$sqrt(frac(360000 – 194481)(625)) = sqrt(frac(165519)(625)) = frac(sqrt(165519))(25) $

Calcoliamo ora l’area dei due triangoli:

$ A_(ACH) = frac(\bar{AH}* \bar{CH})(2) = frac(441)(25) * frac(sqrt(165519))(25) * 1/2 = $

$ frac(441 sqrt(165519))(1250) cm^2 $

$ A_(BCH) = frac(\bar{BH}* \bar{CH})(2) = frac(784)(25) * frac(sqrt(165519))(25) * 1/2 = $

$ frac(784 sqrt(165519))(1250) cm^2 = frac(392 sqrt(165519))(625) cm^2 $

$ 1 + 2sqrt(1 – 2/3 x) = sqrt(2x + 1) $

Determina le soluzioni della seguente disequazione irrazionale:

$ 1 + 2sqrt(1 – 2/3 x) = sqrt(2x + 1) $

Svolgimento

Scegliamo di risolvere l’equazione con il metodo della verifica delle soluzioni, quindi non poniamo le condizioni di esistenza.

Calcoliamo il minimo comune multiplo all’interno della radice:

$ 1 + 2sqrt(frac(3 -2x)(3)) = sqrt(2x + 1) $

Portiamo sotto radice il 2:

$ 1 + sqrt(frac(4 (3 – 2x))(3)) = sqrt(2x + 1) $

$ 1 + sqrt(frac(12 – 8x)(3)) = sqrt(2x + 1) $

Per comodità, portiamo l’1 al secondo membro:

$ sqrt(frac(12 – 8x)(3)) = sqrt(2x + 1) – 1$

Ora eleviamo tutto al quadrato:

$ (sqrt(frac(12 – 8x)(3)) )^2= (sqrt(2x + 1) – 1)^2$

$ frac(12 – 8x)(3) = (sqrt(2x + 1))^2 + 1 – 2 sqrt(2x + 1)$

$ frac(12 – 8x)(3) = 2x + 1 + 1 – 2 sqrt(2x + 1)$

$ frac(12 – 8x)(3) = 2x + 2 – 2 sqrt(2x + 1)$

Calcoliamo il minimo comune multiplo:

$ frac(12 – 8x)(3) = frac(6x + 6 – 6 sqrt(2x + 1))(3)$

$ 12 – 8x = 6x + 6 – 6 sqrt(2x + 1)$

$ 12 – 8x – 6x – 6 = – 6 sqrt(2x + 1)$

$ 6 – 14x = – 6 sqrt(2x + 1)$

Dividiamo tutto per due:

$ 3 – 7x = – 3 sqrt(2x + 1)$

Eleviamo nuovamente al quadrato:

$ (3 – 7x)^2 = (- 3 sqrt(2x + 1))^2$

$ 9 + 49x^2 – 42x = 9 (2x + 1)$

$ 9 + 49x^2 – 42x = 18x + 9$

$ 9 + 49x^2 – 42x – 18x – 9 = 0$

$ 49x^2 – 60x = 0$

Raccogliamo la x e risolviamo mediante la legge dell’annullamento del prodotto:

$ (49x – 60) x = 0$

$ x = 0$

$ 49x – 60 = 0 to x = (60)/(49)$

Per verificare le soluzioni e accertarci che siano accettabili, dobbiamo sostituire i valori all’incognita nell’equazione di partenza; se otteniamo un’uguaglianza, la soluzione è accettabile.

$ x = 0$

$ 1 + 2sqrt(1 – 2/3 * 0) = sqrt(2 * 0 + 1) $

$ 1 + 2sqrt(1) = sqrt(1) $

$ 1 + 2 = 1 to 3 = 1 $

Non abbiamo ottenuto un’uguaglianza, quindi la soluzione $x=0$ non è accettabile; proviamo con l’altro risultato:

$ x = (60)/(49)$

$ 1 + 2sqrt(1 – 2/3 * (60)/(49)) = sqrt(2 * (60)/(49) + 1) $

$ 1 + 2sqrt(1 – (40)/(49)) = sqrt((120)/(49) + 1) $

$ 1 + 2sqrt((49 – 40)/(49)) = sqrt((120 + 49)/(49)) $

$ 1 + 2sqrt((9)/(49)) = sqrt((169)/(49)) $

$ 1 + 2 * (3)/(7) = (13)/(7) $

$ 1 + (6)/(7) = (13)/(7) $

$ (7 + 6)/(7) = (13)/(7) $

$ (13)/(7) = (13)/(7) $

La soluzione $ x = frac(60)(49)$ è quindi accettabile.

$$ \left\{ \begin{array}{rl} 3x – 1 – 2x^2 ≤ 0&\\ \frac{x^2 – 6x + 5}{2 – x} > 0 & \end{array}\right. $$

Risolvi il seguente sistema di disequazioni:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
3x – 1 – 2x^2 ≤ 0&\\
\frac{x^2 – 6x + 5}{2 – x} > 0 &
\end{array}\right.
$$

Svolgimento

Cominciamo dalla prima disequazione:

$ 3x – 1 – 2x^2 ≤ 0 $

Riordiniamo la disequazione e cambiamo segno, in modo da avere il coefficiente della x di secondo grado positivo:

$ – 2x^2 + 3x – 1 ≤ 0 $

$ 2x^2 – 3x + 1 ≥ 0 $

Passiamo all’equazione associata:

$ 2x^2 – 3x + 1 = 0 $

Troviamo le soluzioni con la formula $ x = frac(- b ± sqrt(b^2 – 4ac))(2a) $

$ x = frac(- (-3) ± sqrt((-3)^2 – 4*2))(2*2) = frac(3 ± sqrt(9 – 8))(4) = frac(3 ± 1)(4) =$

$ x = frac(3 + 1)(4) = 1 ∨ x = frac(3 – 1)(4) = 1/2 $

Prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici, dato che la disequazione è maggiore o uguale a zero:

$ S : x ≤ 1/2 ∨ ∨ x ≥ 1 $

Risolviamo ora l’altra disequazione:

$ frac(x^2 – 6x + 5)(2 – x) > 0 $

$ N > 0 to x^2 – 6x + 5 > 0 $

Passiamo all’equazione associata:

$ x^2 – 6x + 5 = 0 $

Troviamo le soluzioni con la formula $ x = frac(- b/2 ± sqrt((b/2)^2 – ac))(a) $

$ x = frac(- (-6)/2 ± sqrt(((-6)/2)^2 – 5))(1) = 3 ± sqrt(9 – 5) = $

$ 3 ± sqrt(4) = 3 ± 2 to $

$ x = 3 + 2 = 5 ∨ x = 3 – 2 = 1$

Prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici, dato che la disequazione è maggiore o uguale a zero:

$ S : x < 1 ∨ x > 5 $

$ D > 0 to 2 – x > 0 $

$ – x > – 2 to x < 2 $

Studiamo il segno fra numeratore e denominatore:

Considerando che la disequazione è maggiore di zero, le sue soluzioni saranno:

$ S : x < 1 ∨ 2 < x < 5 $

Mettiamo a sistema le soluzioni trovate:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x ≤ 1/2 ∨ x ≥ 1&\\
x < 1 ∨ 2 < x < 5 &
\end{array}\right.
$$

Determiniamo le soluzioni:

$ S : x ≤ 1/2 ∨ 2 < x < 5$

$ sqrt(x^2 – 1) < x + 3 $

Determinare le soluzioni della seguente disequazione:

$ sqrt(x^2 – 1) < x + 3 $

Svolgimento

Poiché il radicale è minore di un certo valore, dobbiamo impostare un sistema a tre disequazioni in questo modo:

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
x^2 – 1 ≥ 0& \\
x + 3 > 0 & \\
(\sqrt{x^2 – 1})^2 < (x + 3)^2 &
\end{array}
\right.
$$

Cominciamo risolvendo la prima disequazione:

$ x^2 – 1 ≥ 0 $

Passiamo all’equazione associata e determiniamo le soluzioni:

$ x^2 – 1 = 0 $

$ x^2 = 1 to x = ± 1 $

Prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici, dato che la disequazione è maggiore o uguale a zero:

$ S : x ≤ – 1 ∨ x ≥ 1 $

La seconda disequazione è di risoluzione immediata:

$ x + 3 > 0 to x > – 3 $

Passiamo ora alla terza:

$ (sqrt(x^2 – 1))^2 < (x + 3)^2 $

$ x^2 – 1 < x^2 + 9 + 6x $

$ x^2 – 1 – x^2 – 9 – 6x < 0 $

$ – 10 – 6x < 0 $

$ – 6x < 10 to 6x > – 10$

$ x > – (10)/6 to x > – 5/3 $

Torniamo al sistema e determiniamo le sue soluzioni:

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
x ≤ – 1 ∨ x ≥ 1 & \\
x > – 3 & \\
x > – 5/3 &
\end{array}
\right.
$$

$ S : – 5/3 < x ≤ – 1 ∨ x ≥ 1 $

$ | x^2 – x | < 2x^2 + 3x - 1 $

Risolvere la seguente disequazione con valore assoluto:

$ | x^2 – x | < 2x^2 + 3x – 1 $

Svolgimento

Distinguiamo due casi e impostiamo due sistemi; cominciamo dal primo caso:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x^2 – x ≥ 0 &\\
x^2 – x < 2x^2 + 3x – 1 &
\end{array}\right.
$$

Il secondo sistema sarà quindi:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x^2 – x < 0 &\\
– x^2 + x < 2x^2 + 3x – 1 &
\end{array}\right.
$$

Cominciamo dal primo sistema e risolviamo la prima disequazione:

$x^2 – x ≥ 0 $

$x^2 – x = 0 $

$ x (x – 1) = 0 $

$x = 0$

$x – 1 = 0 x = 1 $

Prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici:

$ x ≤ 0 ∨ x ≥ 1 $

Passiamo ora alla seconda disequazione:

$ x^2 – x < 2x^2 + 3x – 1 $

$ x^2 – x – 2x^2 – 3x + 1 < 0 $

$ – x^2 – 4x + 1 < 0 $

Cambiamo segno e passiamo all’equazione associata:

$ x^2 + 4x – 1 > 0 $

$ x^2 + 4x – 1 = 0 $

Troviamo le soluzioni con la formula $ x = frac(- b/2 ± sqrt((b/2)^2 – ac))(a) $

$ x = frac(- 4/2 ± sqrt((4/2)^2 – (-1)))(1) = -2 ± sqrt(4 + 1) = – 2 ± sqrt5 $

$ x = – 2 + sqrt5 ∨ x = – 2 – sqrt5 $

La disequazione è maggiore di zero, quindi prendiamo gli intervalli esterni alle radici:

$ S : x < – 2 – sqrt5 ∨ x > – 2 + sqrt5 $

Il primo sistema sarà quindi:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x ≤ 0 ∨ x ≥ 1 &\\
x < – 2 – \sqrt5 ∨ x > – 2 + \sqrt5 &
\end{array}\right.
$$

Determiniamo le soluzioni:

$ S : x < – 2 – sqrt5 ∨ x ≥ 1 $

Passiamo al secondo sistema.

Abbiamo già trovato in precedenza le soluzioni dell’equazione associata della prima disequazione; questa volta però, poiché la disequazione è minore di zero, dobbiamo prendere gli intervalli interni alle radici:

$x^2 – x < 0 $

$ S : 0 < x < 1 $

Passiamo alla seconda:

$ – (x^2 – x) < 2x^2 + 3x – 1 $

$ – x^2 + x < 2x^2 + 3x – 1 $

$ -3x^2 – 2x + 1 < 0 $

Cambiamo segno e passiamo all’equazione associata:

$ 3x^2 + 2x – 1 > 0 $

$ 3x^2 + 2x – 1 = 0 $

Troviamo le soluzioni con la formula $ x = frac(- b/2 ± sqrt((b/2)^2 – ac))(a) $

$ x = frac(- 2/2 ± sqrt((2/2)^2 – 3 *(-1)))(3) = frac(- 1 ± sqrt(1 + 3))(3) =$

$ x = frac(- 1 ± sqrt4)(3) = frac(- 1 ± 2)(3) $

$ x = frac(- 1 + 2)(3) = 1/3 ∨ x = frac(- 1 – 2)(3) = -1 $

La disequazione è maggiore di zero, quindi prendiamo gli intervalli esterni alle radici:

$ S : x < – 1 ∨ x > 1/3 $

Il secondo sistema sarà quindi:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
0 < x < 1 &\\
x < – 1 ∨ x > 1/3 &
\end{array}\right.
$$

Determiniamo le soluzioni:

$ S : 1/3 < x < 1 $

La soluzione finale della disequazione iniziale è data dall’unione dei due sistemi, cioè:

$ S : x < – 2 – sqrt5 ∨ x ≥ 1 ∪ S : 1/3 < x < 1 $

La soluzione finale sarà quindi:

$ S : x < – 2 – sqrt5 ∨ x > 1/3 $

$ x^3 – x^2 + x > 0 $

Determina le soluzioni della seguente disequazione di terzo grado:

$ x^3 – x^2 + x > 0 $

Svolgimento

Raccogliamo la x:

$ x ( x^2 – x + 1 ) > 0 $

$ x > 0 $

$ x^2 – x + 1 > 0 $

Passiamo all’equazione associata:

$ x^2 – x + 1 = 0 $

Troviamo le soluzioni con la formula $ x = frac(- b ± sqrt(b^2 – 4ac))(2a) $

$ x = frac(- (-1) ± sqrt((-1)^2 – 4))(2) = frac( 1 ± sqrt(1 – 4))(2) = $

$ frac( 1 ± sqrt(-3))(2) $

L’equazione risulta impossibile, poiché il delta è negativo, di conseguenza la disequazione è risolta $ ∀ x ∈ℛ$

Studiamo il segno:

studio_del_segno

La disequazione è maggiore di zero, quindi:

$ S : x > 0 $

$ x^4 – 13x^2 + 36 < 0$

Risolvere la seguente disequazione di quarto grado:

$ x^4 – 13x^2 + 36 < 0$

Svolgimento

Passiamo all’equazione associata:

$ x^4 – 13x^2 + 36 = 0$

In questo caso, è necessario un cambio di incognita; chiamiamo $ x^2 = y$ .

Avremmo quindi che:

$ y^2 – 13y + 36 = 0$

Troviamo le soluzioni con la formula $ y = frac(- b ± sqrt(b^2 – 4ac))(2a) $

$ y = frac(- (-13) ± sqrt((-13)^2 – 4*36))(2) = frac(13 ± sqrt(169 – 144))(2) = $

$ frac(13 ± sqrt(25))(2) = frac(13 ± 5)(2) $

$ frac(13 + 5)(2) = 9 o frac(13 – 5)(2) = 4 $

Possiamo scrivere la disequazione come:

$ (y – 9)(y – 4) < 0 $

$ (x^2 – 9)(x^2 – 4) < 0 $

Risolviamo le singole disequazioni, passando per l’equazione associata:

$ x^2 – 9 > 0 $

$ x^2 – 9 = 0 $

$ x^2 = 9 to x = ± 3 $

Poiché la disequazione è maggiore di zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici dell’equazione associata:

$ x < – 3 ∨ x > 3 $

Passiamo ora all’altra disequazione:

$ x^2 – 4 > 0 $

$ x^2 – 4 = 0 $

$ x^2 = 4 to x = ± 2 $

Poiché la disequazione è maggiore di zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici dell’equazione associata:

$ x < – 2 ∨ x > 2 $

Passiamo allo studio del segno e determiniamo le soluzioni della disequazione:

Considerando che la disequazione iniziale è minore di zero, la soluzione sarà:

$ – 3 < x < – 2 ∨ 2 < x < 3 $

$ (2013 x^2 – 2013)(1027 x^2 + 1027) ≤ 0$

Risolvi la seguente disequazione:

$ (2013 x^2 – 2013)(1027 x^2 + 1027) ≤ 0$

Svolgimento

Risolviamo le singole disequazioni:

$ 2013 x^2 – 2013 ≥ 0$

Passiamo all’equazione associata e determiniamo le soluzioni:

$ 2013 x^2 – 2013 = 0$

$ 2013 x^2 = 2013 $

$ x^2 = (2013)/(2013) = 1 to x = ± 1$

Poiché la disequazione è maggiore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici dell’equazione associata:

$ S : x ≤ – 1 o x ≥ 1 $

Passiamo all’altra disequazione:

$ 1027 x^2 + 1027 ≥ 0$

Passiamo all’equazione associata:

$ 1027 x^2 + 1027 = 0$

$ 1027 x^2 = – 1027 $

$ x^2 = (1027)/(1027) = – 1$

Dato che un quadrato è sempre positivo, l’equazione è impossibile;

la disequazione quindi è verificata $∀ x ∈ ℛ $

Passiamo allo studio del segno:

Essendo la disequazione di partenza

minore o uguale a zero, avremmo che:

$ S : – 1 ≤ x ≤ 1 $

Traccia la mediana $\bar{MN}$ del triangolo $ABC$, indica con $P$ il suo punto medio; la semiretta $\bar{BP}$ interseca il lato $\bar{AC}$ in $Q$. Dimostra che $\bar{CQ} = 2\bar{AQ}$ .

mediana_di_un_triangolo

Risoluzione

Analizziamo i dati:

$\bar{AO} = \bar{OM}$

$\bar{CM} = \bar{MB}$

Per poter risolvere il problema ci è utile tracciare dal punto $M$ la parallela al segmento $\bar{BQ}$ che interseca il lato $\bar{AC}$ nel punto $K$.

mediana_triangolo

Consideriamo i segmenti $\bar{AC}$ e $\bar{AM}$ e le parallele $\bar{BQ}$ e $\bar{KM}$ .

Sappiamo che a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra;

quindi, poiché $\bar{AO}= \bar{OM}$ , possiamo affermare che $\bar{AQ}= \bar{QK}$ .

Il problema chiede di dimostrare che $\bar{CQ}= 2 \bar{AQ}$ ; ci basterà quindi dimostrare che $\bar{QK}= \bar{CK}$ .

Prendiamo in considerazione i triangoli $CKM$ e $QCB$ .

Essi hanno:

$ \hat{CKM}$ in comune;
$ 2 \bar{CM}= \bar{CB}$ perché lati generati da una mediana;
$ \hat{KMC} ≅ \hat{QBC} $ perché angoli corrispondenti generati dalle parallele $\bar{BQ}$ e $\bar{KM}$ e dalla trasversale $\bar{CB} $ .

Quindi, avendo due angoli congruenti e il lato fra essi compreso in proporzione, per il secondo criterio di congruenza dei triangoli $CKM$ e $QCB$ sono simili.

Poiché i lati del triangolo $QCB$ sono doppi di quelli del triangolo $CKM$ , possiamo affermare che $\bar{QC} = 2 \bar{KC}$ , quindi $\bar{QK} = \bar{KC}$ .

Ora, poiché $\bar{QK}= \bar{KC} = \bar{AQ}$ , abbiamo dimostrato che $ \bar{CQ} = 2 \bar{AQ} $ .

Sia ABCD un trapezio, dimostra che la congiungente i punti medi dei lati obliqui è parallela alle basi, dimostra che tale congiungente divide a metà ciascuna diagonale.

Sia ABCD un trapezio; dimostra che la congiungente i punti medi dei lati obliqui è parallela alle basi; dimostra che tale congiungente divide a metà ciascuna diagonale.

Risoluzione

Essendo $M$ punto medio di $\bar{AB}$ e $N$ punto medio di $\bar{DC}$ sappiamo che:

$\bar{AM} = \bar{MB}$

$\bar{DN} = \bar{NC}$

Possiamo considerare i lati obliqui del trapezio come due trasversali che tagliano un fascio di rette parallele.

Dal teorema del fascio di parallele sappiamo che in un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra.

In questo caso, avendo che a due segmenti congruenti ( $\bar{DC} = \bar{MB}$ ) corrispondono altri due segmenti congruenti ( $\bar{DN} = \bar{NC}$ ) , possiamo affermare che il segmento $\bar{MN}$ è parallelo alle due basi del trapezio.

Prendiamo in considerazione la diagonale $\bar{AC}$ ; dobbiamo dimostrare che $\bar{AO} ≅ \bar{OC}$ .

Consideriamo i triangoli $ ACD$ e $OCN$; essi hanno:

$\hat{ACD}$ in comune;
$\hat{DAC} ≅ \hat{NOC}$ perché angoli corrispondenti formati dalle parallele $\bar{AD}$ e $\bar{MN}$ e dalla trasversale $\bar{AC}$ ;
$\hat{ADC} ≅ \hat{ONC}$ perché angoli corrispondenti formati dalle parallele $\bar{AD}$ e $\bar{MN}$ e dalla trasversale $\bar{DC}$ ;

Di conseguenza, per il primo criterio di similitudine dei triangoli, avendo tutti gli angoli congruenti, i triangoli $ACD$ e $OCN$ sono simili. Possiamo quindi dire che i loro lati sono in proporzione.

Sapendo che al triangolo $ACD$ appartiene il lato $\bar{DC}$ e che al triangolo $OCN$ appartiene il lato $\bar{NC}$ , e che $\bar{MN} = 2 \bar{NC} $ , possiamo affermare che le misure del primo triangolo stanno alle misure del secondo come 2 sta ad 1.

Di conseguenza, anche il lato $\bar{AC}$ sarà il doppio del lato $\bar{OC}$ , e quindi:

$\bar{MN} = 2 \bar{OC}$

$\bar{AC} = \bar{AO} + \bar{OC} to \bar{AO} = \bar{OC}$

Con un ragionamento analogo, si dimostra che anche la diagonale $\bar{BD}$ viene divisa in due parti uguali dal segmento $\bar{MN}$