Nel fascio di circonferenze di equazione
$ x^2 + y^2 – (k + 3) x + (k – 1) y – k – 3 = 0 $
Determinare quelle che soddisfano le seguenti condizioni:
- Hanno raggio uguale a 4;
- Hanno il centro appartenente alla retta $x = 3$ ;
- Hanno il centro appartenente alla retta $x + 2y + 1 = 0 $ ;
- Staccano sulla retta $y = 1 $ una corda di lunghezza $ sqrt(37)$ ;
- Non hanno punti in comune con l’asse $x$.
Svolgimento (1)
La formula per determinare il raggio di una circonferenza è la seguente:
$ r = sqrt((a/2)^2 + (b/2)^2 – c) $
Troviamo quindi il valore del raggio in funzione di $k$:
$ r = sqrt((- frac(k+3)(2))^2 + (frac(k-1)(2))^2 – (- k – 3)) = sqrt( frac(k^2+ 9 + 6k )(4) + frac(k^2 + 1 – 2k)(4) + k + 3) = $
$ sqrt( frac(k^2+ 9 + 6k + k^2 + 1 – 2k + 4k + 12)(4)) = sqrt(frac( 2k^2 + 8k + 22 )(4)) = $
$ sqrt(frac( 2 (k^2 + 4k + 11) )(4)) = sqrt(frac( k^2 + 4k + 11 )(2)) $
Sapendo che dobbiamo trovare le circonferenze che hanno raggio uguale a 4, poniamo il raggio trovato in funzione di k uguale a quattro:
$ sqrt(frac( k^2 + 4k + 11 )(2)) = 4 $
Risolviamo l’equazione ponendo prima le condizioni di esistenza:
$ C.E. $
$ k^2 + 4k + 11 >= 0 $
Passiamo all’equazione associata:
$ k^2 + 4k + 11 = 0 $
$ k = frac(- 4/2 pm sqrt((4/2)^2 – 11))(1) = – 2 pm sqrt(4 – 11) $
Abbiamo un delta negativo, di conseguenza l’equazione associata è impossibile; la disequazione, invece, è maggiore di zero per qualunque valore di k.
$ sqrt(frac( k^2 + 4k + 11 )(2)) = 4 $
$ (sqrt(frac( k^2 + 4k + 11 )(2)))^2 = 4^2 $
$ frac( k^2 + 4k + 11 )(2) = 16 $
$ k^2 + 4k + 11 = 32 $
$ k^2 + 4k + 11 – 32 = 0 $
$ k^2 + 4k – 21 = 0 $
$ k = frac(- 4/2 pm sqrt((4/2)^2 – (-21)))(1) = -2 pm sqrt(4 + 21) = -2 pm sqrt(25) = -2 pm 5 $
$ k = -2 + 5 = 3 ∨ k = -2 – 5 = -7 $
Sostituiamo questi valori di $k$ all’equazione del fascio per determinare le equazioni delle circonferenze da noi cercate:
$ k = 3 $
$ x^2 + y^2 – (3+3)x + (3- 1)y – 3 – 3 = 0 $
$ C_1 : x^2 + y^2 – 6x + 2y – 6 = 0 $
$ k = – 7 $
$ x^2 + y^2 – (- 7+3)x + ( – 7 – 1)y – (-7) – 3 = 0 $
$ C_2 : x^2 + y^2 + 4x – 8y + 4 = 0 $
Svolgimento (2)
Troviamo ora le circonferenze che hanno centro appartenente alla retta $x = 3$ . Il centro della circonferenza ha coordinate $ ( – a/2 ; – b/2) $ , quindi il centro in funzione di $k$ sarà:
$ C ( – frac(- (k+3))(2) ; – frac(k-1)(2) ) to C ( frac(k+3)(2) ; frac(1-k)(2) ) $
Sapendo che appartiene alla retta $x = 3$ , sappiamo che l’ascissa del centro vale 3, quindi possiamo porre che:
$ frac(k+3)(2) = 3 to k + 3 = 6 to k = 3 $
Notiamo che questo valore di k è uguale a quello del punto precedente, quindi anche l’equazione della circonferenza sarà la stessa:
$ k = 3 $
$ x^2 + y^2 – (3+3)x + (3- 1)y – 3 – 3 = 0 $
$ C_3 : x^2 + y^2 – 6x + 2y – 6 = 0 $
Svolgimento (3)
Allo stesso modo, determiniamo le circonferenze il cui centro appartiene alla retta $ x + 2y + 1 = 0 $ . Sappiamo che se un punto appartiene ad una retta, le sue coordinate, se sostituite alle variabili della retta, portano ad un’identità.
Per poter trovare il valore di k desiderato, sostituiamo le coordinate del centro generale del fascio all’equazione della retta:
$ C ( frac(k+3)(2) ; frac(1-k)(2) ) ∈ x + 2y + 1 = 0 $
$ frac(k+3)(2) + 2*frac(1-k)(2) +1 = 0 $
Risolviamo equazione:
$ frac(k+3)(2) + 1 – k +1 = 0 $
$ frac(k+3)(2) – k +2 = 0 $
$ k+3 – 2k +4 = 0 $
$ – k + 7 = 0 to k = 7 $
Sostituiamo questo valore di $k$ all’equazione del fascio:
$ k = – 7 $
$ x^2 + y^2 – ( 7+3)x + ( 7 – 1)y – 7 – 3 = 0 $
$ C_4 : x^2 + y^2 – 10x + 6y – 10 = 0 $
Svolgimento (4)
Sappiamo che le circonferenze che staccano sulla retta $ y = 1 $ una corda hanno due punti in comune con la retta, cioè il sistema fra la circonferenza in questione e la retta ha due soluzioni reali distinte. Questi due punti distano fra loro $ sqrt(37)$ .
Impostiamo quindi il sistema:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
y = 1 &\\
x^2 + y^2 – (k+3)x + (k-1)y – k – 3 = 0 &
\end{array}\right.
$$
Sostituendo la prima equazione nella seconda:
$ x^2 + 1^2 – (k+3)x + (k-1)*1 – k – 3 = 0 $
$ x^2 + 1 – kx – 3x + k – 1 – k – 3 = 0 $
$ x^2 – kx – 3x – 3 = 0 $
$ x^2 + (- k- 3) x – 3 = 0 $
Troviamo le due soluzioni:
$ x = frac(k+3 pm sqrt(k+3)^2 – 4*(-3))(2) = frac(k+3 pm sqrt(k^2 + 9 + 6k + 12))(2) = $
$ frac(k+3 pm sqrt(k^2 + 6k + 21))(2) $
Abbiamo quindi due punti, entrambi di ordinata 1 (perché appartenenti alla retta $y=1$) e di ascissa:
$ x_1 = frac(k+3 + sqrt(k^2 + 6k + 21))(2) , x_2 = frac(k+3 – sqrt(k^2 + 6k + 21))(2) $
Possiamo determinare la distanza fra questi due punti sottraendo l’ascissa più piccola a quella più grande:
$ d( x_1 ; x_2 ) = x_1 – x_2 = frac(k+3 + sqrt(k^2 + 6k + 21))(2) – frac(k+3 – sqrt(k^2 + 6k + 21))(2) = $
$ frac(k+3 + sqrt(k^2 + 6k + 21) – (k+3 – sqrt(k^2 + 6k + 21)) )(2) = $
$ frac(k+3 + sqrt(k^2 + 6k + 21) – k-3 + sqrt(k^2 + 6k + 21))(2) = $
$ frac(sqrt(k^2 + 6k + 21) + sqrt(k^2 + 6k + 21))(2) = $
$ frac( 2sqrt(k^2 + 6k + 21))(2) = sqrt(k^2 + 6k + 21) $
Poniamo questa distanza uguale a $sqrt(37)$ :
$ sqrt(k^2 + 6k + 21) = sqrt(37) $
Determiniamo le condizioni di esistenza:
$ C.E. $
$ k^2 + 6k + 21 >= 0 $
Passiamo all’equazione associata:
$ k^2 + 6k + 21 = 0 $
$ k = frac(-6/2 pm sqrt((6/2)^2 – 21))() = -3 pm sqrt(9 – 21) $
Abbiamo un delta negativo, di conseguenza l’equazione associata è impossibile; la disequazione, invece, è maggiore di zero per qualunque valore di $k$ .
$ sqrt(k^2 + 6k + 21) = sqrt(37) $
$ (sqrt(k^2 + 6k + 21))^2 = (sqrt(37))^2 $
$ k^2 + 6k + 21 = 37 $
$ k^2 + 6k + 21 – 37 = 0 $
$ k^2 + 6k – 16 = 0 $
$ k = frac(-6/2 pm sqrt((6/2)^2 – (16)))(1) = -3 pm sqrt(9 + 16) = $
$ -3 pm sqrt(25) = -3 pm 5 $
$ k = -5 + 5 = 2 ∨ k = -3 – 5 = -8 $
Sostituiamo i valori all’equazione del fascio:
$ k = 2 $
$ x^2 + y^2 – ( 2+3)x + (2 – 1)y – 2 – 3 = 0 $
$ C_4 : x^2 + y^2 – 5x + y – 5 = 0 $
$ k = – 8 $
$ x^2 + y^2 – (-8+3)x + ( -8 – 1)y – (-8) – 3 = 0 $
$ C_5 : x^2 + y^2 + 5x – 9y + 5 = 0 $
Svolgimento (5)
Troviamo ora le circonferenze che non hanno punti in comune con l’asse x. Non essendoci punti in comune, l’intersezione fra la circonferenza e l’asse x darà un insieme vuoto.
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
y = 0 &\\
x^2 + y^2 – (k+3)x + (k-1)y – k – 3 = 0 &
\end{array}\right.
$$
Sostituendo la prima equazione nella seconda:
$ x^2 + 0^2 – (k+3)x + (k-1)*0 – k – 3 = 0$
$ x^2 – (k+3)x – k – 3 = 0$
Utilizziamo la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado:
$ x = frac(k+3 ± sqrt((k+3)^2 – 4(-k-3)))(2) $
Affinché il sistema non abbia soluzioni, poniamo il delta minore di zero:
$(k+3)^2 – 4(-k-3) < 0 $
$ k^2 + 9 + 6k + 4k + 12 < 0 $
$ k^2 + 10k + 21 < 0 $
Passiamo all’equazione associata:
$ k^2 + 10k + 21 = 0 $
$ k = frac(-(10)/2 ± sqrt((-(10)/2)^2 – 21))(1) = -5 ± sqrt(25 – 21) = -5 ± 2 $
$ k = -5 + 2 = – 3 ∨ k = – 5 – 2 = – 7 $
Poiché la disequazione è minore di zero, sarà risolta per valori interni alle radici:
$ S : – 7 < k < – 3 $
Di conseguenza, tutte le circonferenze date da un qualunque k comprese nell’intervallo trovato non hanno punti in comune con l’asse x.
