Durante una gara di atletica, un lanciatore di martello si appresta a lanciare l’attrezzo facendolo ruotare, in modo uniforme, sopra il proprio capo, in un tempo pari a  $0.74 s$.

 Le braccia dell’atleta sono lunghe  $90 cm$ , mentre l’attrezzo è lungo  $0.68 m$ .

• Quanto vale il modulo della velocità dell’estremità del martello?

Svolgimento

Per prima cosa trasformiamo le lunghezze in metri:

$ 90 cm = 0,9 m $

Il lanciatore descrive, con il martello, una circonferenza e lo fa girare in modo uniforme. Abbiamo quindi a che fare con un moto circolare uniforme. Il tempo che il martello impiega per fare un giro è  $0.74 s$ , quindi  $ T = 0,74 s $ .

Il problema fornisce poi la lunghezza delle braccia dell’atleta e la lunghezza del martello. Sommando queste lunghezze, otterremo il raggio della circonferenza.

$ r = 0,9 m + 0,68 m = 1,58 m $

Nel moto circolare uniforme, la velocità è data dalla formula   $ v = frac(2πr)(T) $:

$ v = frac(2πr)(T) = frac(2 * 3,14 * 1,58 m)(0,74 s) = frac(9,92 m)(0,74 s) = 13,4 m/s $

Un vecchio disco in vinile ha una circonferenza di  $53 cm$  e contiene una canzone di durata pari a  $3.0 min$ . Per ascoltarla, il disco deve compiere  $135$  giri.

• Calcola il modulo della velocità di un punto che si trova sul bordo della circonferenza.

Svolgimento

La velocità, nel moto circolare uniforme, è data dalla formula  $ v = frac(2πr)(T) $ , mentre il periodo ( $T$ ), dalla formula   $T = 1/F$  .

Per prima cosa, quindi, troviamo la frequenza che per definizione è il numero di oscillazioni completa effettuate in un secondo.

Poiché il disco compie  $135$  giri in  $3$  minuti, possiamo ricavare il numero di giri in un secondo:

$ g/(min) = frac(135)(3) = 45 g/(min) $

$ F = frac(45)(60 s) = 0,75 s^(-1) = 0,75 Hz $

Ricaviamo quindi il periodo:

$ T = 1/F = frac(1)(0,75 s^(-1)) = 1,33 s $

Per trovare la velocità è necessario conoscere il raggio della circonferenza. Il problema fornisce la lunghezza della circonferenza, possiamo quindi trovare il raggio dalla formula inversa:

$ C = 2πr       to      r = frac(C)(2π) = frac(53 cm)(2 * 3,14) = 8,44 cm   $

A questo puto possiamo trovare la velocità :

$ v = frac(2πr)(T) = frac(2 * 3,14 * 8,44 cm)(1,33 s) = frac(53 cm)(1,33 s) = 39,8 (cm)/s $

Trasformiamo ora la velocità in m/s:

$ v = 39,8 (cm)/s = 39,8 * frac(10^(-2))(s) = 0,398 m/s $

Nella gabbia di un criceto c’è una ruota girevole con un raggio pari a  $10 cm$ . Il criceto la spinge in modo da fare  $36$  giri al minuto.

• Qual è la frequenza del moto della ruota?
• Se il criceto si muovesse allo stesso modo su un piano rettilineo, a quale velocità si sposterebbe?

Svolgimento (1)

Poiché la frequenza è il numero di oscillazioni compiute nell’unità di tempo ( il secondo ), il problema fornisce già la frequenza, ma riferita ai minuti.

La ruota infatti compie  $36$  giri al minuto. Dato che un minuto è costituito da  $60$  secondi, basterà dividere la nostra frequenza per  $60$:

$ F = frac(36)(60s) = 0,6 s^(-1) = 0,6 Hz $

Svolgimento (2)

Se il criceto si muovesse su un piano rettilineo, avremo a che fare con un moto circolare. La velocità in questo caso è data dalla formula  $ v = frac(2πr)(T) $   , dove  $r$  è il raggio della circonferenza, mentre T è il periodo, cioè la durata di un’oscillazione completa, ed è dato dalla formula   $ T = 1/F $ .

$ T = 1/F = frac(1)(0,6 s^(-1)) = 1,667 s  $

$ v = frac(2πr)(T) = frac(2 * 3,14 * 10 cm)(1,667 s) = frac(68,2 cm)(1,667 s) = 37,67 (cm)/s$

Trasformiamo la velocità in m/s:

$ 37,67 (cm)/s = 37,67 * frac(10^(-2))(s) = 0,37 m/s $

Un’automobile rallenta con un’accelerazione di  $ – 3,00 m/s^2 $  e si ferma in  $200 m$. 

• Calcola il tempo di arresto dell’automobile.
• Calcola la velocità iniziale dell’automobile.
• Quanto dovrebbe valere l’accelerazione affinché l’automobile si arresti nella metà del tempo a partire dalla stessa velocità iniziale?

Svolgimento (1)

Consideriamo la seconda legge oraria del moto uniformemente accelerato$s = s_0 + v_0 t + 1/2 at^2 $ .

La formula può essere ridotta a    $s = v_0 t + 1/2 at^2 $ , poiché non prendiamo in considerazione lo spazio iniziale.

Non conosciamo la velocità iniziale, ma possiamo ricavarla dalla prima legge oraria   $ v = v_0 + at $ , sapendo che la velocità finale è uguale a zero, perché l’automobile si ferma.

$ v = v_0 + at      to      0 = v_0 – 3t      to     v_0 = 3 t $

Ora riprendiamo la seconda legge oraria e sostituiamo i dati, lasciando t come incognita, e risolviamo l’equazione:

$s = v_0 t + 1/2 at^2 $

$ 200 = 3t * t + 1/2 * (-3) * t^2      to     200 = 3t^2 – 3/2 t^2 $

$ 200 = 3/2 t^2 $

$ t^2 = frac(400)(3)     to      t = sqrt(frac(400)(3)) = 11,54 s  $

Svolgimento (2)

Per calcolare la velocità iniziale, riprendiamo il dato trovato prima,  $ v_0 = 3t $ e sostituiamo il tempo:

$ v_0 = 3t = 3 m/s^2 * 11,54 s = 34,62 m/s $

Svolgimento (3)

L’automobile deve fermarsi nella metà del tempo con la stessa velocità iniziale di  $ 34,62 m/s $.

Il tempo sarà quindi   $ frac(11,54 s)(2) = 5,77 s $.

Consideriamo la formula dell’accelerazione   $ a = frac(∆v)(t) = frac(v_f – v_i)(t) $.

$ a = frac(v_f – v_i)(t) = frac( 0 m/s – 34,62 m/s)(5,77 s) = – 6 m/s^2  $

Un treno viaggia a  $157 (km)/h$ . A un certo punto, il macchinista vede una mucca ferma sui binari e inizia a rallentare con un’accelerazione negativa pari a  $ – 6,8 m/s^2 $ . 

La manovra di frenata inizia alla distanza di  $180 m$  dall’animale.

• Quanto tempo impiega il treno a fermarsi?
• A quanti metri dall’animale si arresta il treno?

Svolgimento (1)

Per prima cosa trasformiamo la velocità in  $m/s$ :

$ 157 (km)/h = 157 * frac(1000)(3600) = 43,61 m/s $

Poi per trovare il tempo che impiega, dalla formula  $ v = at $  ricaviamo la formula inversa:

$ v = at      to     t = frac(∆v)(a) = frac(v_f – v_i)(a) $

Poiché il treno si fermerà la sua velocità finale è uguale a zero, mentre la velocità iniziale è  $43.61 m/s$ .

$ t = frac(0 m/s – 43.61 m/s)(- 6,8 m/s^2) = frac(43.61 m/s)(- 6,8 m/s^2) = 6,41 s $

Svolgimento (2)

A questo punto troviamo lo spazio che il treno percorre prima di fermarsi. Usiamo quindi la seconda legge oraria del moto uniformemente accelerato   $s = s_0 + v_0 t + 1/2 at^2 $ . Lo spazio iniziale possiamo non considerarlo, poiché il problema non ci da informazioni riguardo lo spazio che il treno ha già percorso.

$s = s_0 + v_0 t + 1/2 at^2 = $

$ 0 + 43.61 m/s * 6,41 s + 1/2 * (- 6,8 m/s^2) * (6,41 s)^2 =  $

$ 279,54 m – 139,69 m = 139,85 m $

Il treno percorre quindi   $139.85 m$ ; dato che inizia a frenare quando si trova a  $180 m$  dalla mucca, per sapere a quanti metri dall’animale si trova ora, dopo essersi fermato, basta fare la differenza fra le due distanze:

$ d_M = 180 m – 139,85 m = 40,15 m $

Con una fionda, Davide lancia un sasso verticalmente verso l’alto dall’altezza di  $1.0 m$  dal suolo. La velocità iniziale del sasso è di 10 m/s.

• In quanto tempo il sasso raggiunge l’altezza massima?
• Quanto vale l’altezza massima raggiunta?
• Dopo quanto tempo dal lancio il sasso tocca il suolo?

Svolgimento (1)

Prendiamo in considerazione la prima legge oraria del moto uniformemente accelerato  $ v = v_0 + at $ .

Sappiamo che la velocità iniziale  $v_0$  è di  $10 m/s$ , mentre la velocità finale  $v$  è zero, poiché quando il sasso arriva alla massima altezza, prima di ricadere si ferma.

L’accelerazione è la forza di gravita ( $ 9,8 m/s^2$ ), mentre il tempo è la nostra incognita. L’accelerazione, però, in questo caso va considerata negativa, perché abbiamo un moto decelerato.

$ v = v_0 + at     to    0 = 10 – 9,8 t    to    t = frac(10)(9,8) = 1,02 s $

Svolgimento (2)

Troviamo lo spazio applicando la seconda legge oraria  $ s = s_0 + v_0 t + 1/2 a t^2 $.

$ s = s_0 + v_0 t + 1/2 a t^2 = $

$ 1,0 m + 10 m/s * 1,02 s + 1/2 * (- 9,8 m/s^2) * (1,02 s)^2 = 6,11 m$

Svolgimento (3)

Per trovare il tempo totale impiegato dal sasso per compiere tutto il suo tragitto, dobbiamo sommare il tempo della “ salita “ e il tempo della “ discesa “.

Poiché abbiamo a che fare con un moto uniformemente accelerato, la formula che dobbiamo usare è la seconda legge oraria $ s = s_0 + v_0 t + 1/2 a t^2 $.

Considerando che lo spazio iniziale e la velocità iniziale sono uguali a zero poiché il corpo parte da fermo, la formula si riduce a   $ s = 1/2 a t^2 $ .

Per trovare il tempo dobbiamo ricavare la formula inversa:

$ s = 1/2 a t^2     to     t^2 = frac(2s)(a)       to     t = sqrt(frac(2s)(a)) $

$ t = sqrt(frac(2s)(a)) = sqrt(frac(2 * 6,11 m)(9,8 m/s^2)) = 1,11 s $

$ t_(TOT) = 1,02 s + 1,11 s = 2,13 s $

Durante una scalata in montagna, un alpinista maldestro lascia cadere un sasso al suo passaggio. Questo transita accanto al secondo di cordata dopo aver percorso  $18 m$  e tocca il suolo alla base della parete dopo  $8 s$  in tutto.

• Calcola il tempo che ha il secondo di cordata per spostarsi dalla verticale ed evitare di essere colpito dal sasso.
• Calcola la velocità del sasso quando raggiunge il secondo di cordata. ( Trascura l’effetto dell’aria. )
• A quale altezza si trova il primo alpinista rispetto alla base della parete?

Svolgimento (1)

Per risolvere il primo quesito, dobbiamo calcolare il tempo che il sasso impiega ad arrivare al secondo alpinista. Essendo il sasso un corpo in caduta libera, consideriamo la sua accelerazione come la forza di gravità,  $ 9,8 m/s^2 $ .

Poiché abbiamo a che fare con un moto uniformemente accelerato, la formula che dobbiamo usare è la seconda legge oraria   $ s = s_0 + v_0 t + 1/2 a t^2 $ .

Considerando che lo spazio iniziale e la velocità iniziale sono uguali a zero poiché il corpo parte da fermo, la formula si riduce a  $ s = 1/2 a t^2 $ .

Per trovare il tempo dobbiamo ricavare la formula inversa:

$ s = 1/2 a t^2      to      t^2 = frac(2s)(a)      to     t = sqrt(frac(2s)(a)) $

$ t = sqrt(frac(2s)(a))  = sqrt(frac(2 * 18 m)(9,8 m/s^2)) = sqrt(3,67 s^2) = 1,91 s  $

Svolgimento (2)

Per calcolare la velocità del sasso, applichiamo la formula  $ v = at $  :

$ v = at = 9,8 m/s^2  * 1,91 s = 18,71 m/s $

Svolgimento (3)

Poiché il sasso impiega  $8.0 s$  in tutto per cadere a terra, possiamo calcolare, sapendo qual è la sua accelerazione, quant’è lo spazio che percorre.

$ s = 1/2 a t^2 = 1/2 * 9,8 m/s^2  * (8 s)^2 = 313,6 m  $

Dato che lo spazio che il sasso percorre inizia all’altezza del primo alpinista, possiamo affermare che questo corrisponde allo spazio che separa l’alpinista da terra.

Uno scooter viaggia alla velocità di  $50 (km)/h$  e, quando è a  $25 m$  da un semaforo, questo diventa rosso. Il ragazzo che guida lo scooter rallenta con un’accelerazione costante di  $ – 3,5 m/s^2 $.

• Quanto tempo impiega a fermarsi?
• Riesce a fermarsi prima di oltrepassare la linea del semaforo?
• Quanto dovrebbe valere l’accelerazione per fermarsi sulla linea del semaforo nello stesso intervallo di tempo?

Svolgimento (1)

Poiché si parla di decelerazione costante questo moto è uniformemente accelerato, quindi la formula che useremo è  $a = frac(∆v)(∆t) $  .

Poiché dobbiamo ricavare il tempo, risaliamo alla formula inversa  $ ∆t = frac(∆v)(t) $ .  Dato che sia la velocità che il tempo esprimono la differenza fra il dato finale e quello iniziale (∆) , la velocità sarà data dalla differenza fra la velocità finale ( 0 perché il motorino si ferma) e la velocità iniziale (  $50 km/h$  ). Trasformiamo quindi la velocità in m/s:

$ 50 (km)/h = frac(50)(3,6) = 13,89 m/s $

$ ∆t = frac(∆v)(t) = frac(0 m/s – 13,89 m/s)(- 3,5 m/s^2) = $

$ frac(- 13,89 m/s)(- 3,5 m/s^2) = 3,96 s  $

Svolgimento (2)

Per capire se il ragazzo riesce a fermarsi, dobbiamo calcolare quanto spazio riesce a percorrere con una decelerazione di   $- 3,5 m/s^2$  in un tempo di  $3.96 s$ , tenendo presente che il semaforo si trova a  $25 m$  di distanza.

Usiamo quindi la legge oraria del moto uniformemente accelerato  $ s = s_0 + v_0 t + 1/2 a t^2 $ :

$ s = s_0 + v_0 t + 1/2 a t^2 = $

$ 0 + 13,89 m/s * 3,96 s + 1/2 * (- 3,5 m/s^2) * (3,96 s)^2 = $

$ 55 m – 27,44 m = 27,56 m $

Poiché il semaforo si trova a  $25 m$  di distanza e il ragazzo ne percorre  $27.56$ , oltrepassa il semaforo di  $2.56 m$ .

Svolgimento (3)

Per sapere quanto dovrebbe valere l’accelerazione per potersi fermare al semaforo nello stesso intervallo di tempo, prendiamo in considerazione lo spazio ( $25 m$  ) e il tempo ( $3.96 s$ ) e mediante la legge oraria di prima creiamo un’equazione che ci permette di risalire all’accelerazione:

$ s = s_0 + v_0 t + 1/2 a t^2  $

$  25 = 0 + 13,89 * 3,96 s + 1/2 * a * (3,96 s)^2  $

$  25 = 55 + 7,84 a   $

$  7,84 a  = – 30     to     a = – frac(30)(7,84) = – 3,82 m/s^2  $

Due messaggeri  $A$  e  $B$  si devono incontrare per scambiarsi delle lettere. Entrambi partono a cavallo a mezzogiorno dai loro castelli, collegati da una strada rettilinea lunga  $30 km$. Il messaggero  $A$  corre alla velocità costante di  $17  (km)/h$ , il messaggero  $B$  di  $13  (km)/h$ .

• A che distanza dal castello di  $A$  si incontrano?
• Dopo quanto tempo dalla partenza si incontrano?
• Trova la soluzione anche per via grafica.

Svolgimento (1)

Per risolvere il primo punto dobbiamo creare un’equazione che ci permetta ti trovare il tempo che impiegano i due messaggeri per compiere il proprio percorso.

Troviamo, quindi, lo spazio che i due percorrono con la formula inversa della velocità:

$ v = s/t      to      s = v * t $

$ s_A = 17 (km)/h * t $

$ s_B = 13 (km)/h * t $

Sapendo che il percorso è lungo  $30 km$ , sappiamo che sommando i due spazi otterremo  $30 km$ .

$ s_A + s_B = 30 km      to    17 (km)/h * t + 13 (km)/h * t = 30 km  $

Risolviamo l’equazione:

$ 17 t + 13 t = 30        to      30 t = 30       to      t = 1 $

Il tempo che impiegano i due messaggeri è di un’ora. Per sapere, quindi, a quale distanza dal castello di  $A$  i due si incontreranno basta calcolare lo spazio che il messaggero  $A$  percorre in un’ora.

$ s = v * t = 17 (km)/h * 1h = 17 km $

Svolgimento (2)

Il secondo punto lo abbiamo già risolto nel primo, l’incontro avviene ad un’ora dalla partenza.

Svolgimento (3)

Per trovare la soluzione per via grafica, costruiamo un grafico spazio-tempo, considerando che il messaggero  $A$  parte da una posizione zero, mentre il messaggero  $B$  da una posizione corrispondente a  $30 km$ , ed è come se dovesse tornare indietro, quindi la retta di  $B$  è rivolta verso il basso.

La pantera può tenere una velocità di  $100 ( km)/h$  per circa  $20 s$ , ma poi deve fermarsi. L’antilope, invece, può raggiungere in corsa una velocità massima di  $85  (km)/h$ , ma riesce a mantenerla a lungo.

In una scena di caccia, la pantera e l’antilope scattano contemporaneamente quando la lori distanza è  $15 m$ , e si muovono in linea retta.

• Traduci le velocità in  $m/s$.
• Rappresenta su una retta la posizione iniziale della pantera ( $0 m$ ) e quella dell’antilope.
• Scrivi la legge del moto della pantera.
• Scrivi la legge del moto dell’antilope.
• Calcola quali posizioni occuperebbero dopo $ 20 s$ .
• La pantera riesce a raggiungere l’antilope?

Svolgimento (1)

Per tradurre le velocità in m/s possiamo trasformare i chilometri in metri e le ore in secondi:

$ 100 (km)/h = 100 * frac(1000)(3600) = 100 * 0,278 = 27,8 m/s $

$  85 (km)/h = 85 * frac(1000)(3600) = 85 * 0,278 = 23,63 m/s $

Oppure, per fare prima, sapendo che per passare dai km/h ai m/s e viceversa è possibile dividere o moltiplicare per 3.6, possiamo fare direttamente

$ 100 (km)/h = frac(100)(3,6) = 27,8 m/s $

$ 85 (km)/h = frac(85)(3,6) = 23,6 m/s $

Svolgimento (2)

Possiamo rappresentare le posizioni della pantera e dell’antilope in questo modo:

Svolgimento (3)

La legge oraria del moto rettilineo uniforme è  $ s = s_0 + vt $ .

Della pantera sappiamo che il suo spazio iniziale ($s_0$) è uguale a zero, la sua velocità è  $27.8 m/s $, mentre non conosciamo ne lo spazio ne il tempo.

La sua legge oraria sarà quindi

$ s = 0 + (27.8 m/s) t       to      s = (27.8 m/s) t $

Svolgimento (4)

Allo stesso modo operiamo per l’antilope.

Sapendo che il suo spazio iniziale è di  $15 m$ , poiché è la distanza che la separa dalla pantera, la sua velocità è di  $23.6 m/s$ .

La legge oraria sarà

$ s = 15m + (23.6 m/s) t   $

Svolgimento (5)

Dobbiamo calcolare quali posizioni i due animali occuperebbero dopo  $20 s$ , quindi in base alle loro velocità, calcoliamo lo spazio che percorrerebbero.

$ s = s_0 + vt $

$ s_P = (27.8 m/s) t = 27.8 m/s * 20s = 556 m $

$ s_A = 15m + (23.6 m/s) t = 15m + 23,6 m/s * 20 s = 487 m   $

Dopo  $20 s$  abbiamo le seguenti posizioni:

Svolgimento (6)

La pantera, quindi, dopo  $20 s$  supera l’antilope di  $69 m$ , quindi riesce a raggiungerla molto prima.

Un treno Eurostar impiega  $4 h$  e  $30 min$  a percorrere la distanza tra Roma e Milano ( $632 km$ ), con una sosta a Bologna di  $4.0 min$  e una sosta a Firenze di  $8.0 min$ .

• Quanto vale la velocità media del treno sull’intero percorso?
• Quanto varrebbe la velocità media del treno se non facesse soste intermedie?

Svolgimento (1)

Per risolvere il primo punto, consideriamo il tempo totale che il treno impiega ( comprese le soste ) e la lunghezza del tragitto. Trasformiamo il tempo tutto in ore:

$ t = 4h + 30 min = 4h + frac(30)(60) h = 4h + 0,5 h = 4,5 h $

A questo punto per calcolare la velocità media applichiamo la formula della velocità:

$ v = s/t = frac(632 km)(4,5h) = 140,44  (km)/h$

Svolgimento (2)

La seconda parte del problema chiede a quanto corrisponde la velocità media se il treno non facesse soste, dobbiamo quindi sottrarre dal tempo totale il tempo in cui il treno è in sosta. Trasformiamo il tempo delle soste, espressi in minuti, in ore:

$ 4,0 min = frac(4,0)(60) = 0,067 h$

$ 8,0 min = frac(8,0)(60) = 0,133 h$

$ t = 4,5h – 0,067h – 0,133h = 4,3 h $

$ v = s/t = frac(632 km)(4,3h) = 146,97 (km)/h$

Un corpo di massa  $1,0 kg$  è lanciato verso l’alto lungo un piano inclinato di  $30°$  da una molla compressa, avente costante elastica di  $500 N/m$ , di  $10 cm$ . Quanto spazio percorre sul piano dal momento in cui si distacca dalla molla?

Svolgimento

Risolviamo il problema mediante il teorema della conservazione dell’energia meccanica.

Nel caso in cui sia presente una molla, l’energia dell’oggetto che comprime la molla è data da tre unità: l’energia potenziale gravitazionale, l’energia cinetica e l’energia potenziale elastica:

$ U_G = mgh$

$ k = 1/2 m v^2$

$ U_E = 1/2 kx^2$

Sappiamo che l’energia nel punto iniziale è uguale a quella nel punto finale:

$ E_i = E_f $

$ U_i + k + U_i = U_f + k + U_f $

Nel punto iniziale la molla è compressa, quindi abbiamo un’energia potenziale elastica.

Tuttavia, prendendo come livello zero dell’energia potenziale gravitazionale il punto di partenza, qui non avremmo energia potenziale gravitazionale, e nemmeno energia cinetica, poiché la massa è ferma.

$ E_i = U_E $

L’energia iniziale è data dalla sola energia potenziale elastica.

Nel punto di arrivo, l’oggetto non possiede energia potenziale elastica, poiché la molla non è più compressa; esso, nel momento che consideriamo, è fermo, quindi non vi è nemmeno energia cinetica. Poiché però si trova ad una certa altezza, possiede energia potenziale gravitazionale.

$ E_f = U_G $

In questo caso, l’energia è data dalla sola energia potenziale gravitazionale; abbiamo quindi che:

$ U_E = U_G $

$ 1/2 kx^2 = mgh$

Ricaviamo l’altezza raggiunta dalla massa:

$ kx^2 = 2 mgh       to      h = frac(kx^2)(2mg) $

Sostituiamo i valori numerici, considerando che  $x$  è la lunghezza del tratto di compressione della molla e  $k$  la costante elastica:

$ h = frac(500 N/m * (0,1 m)^2)(2 * 1,0 kg * 9,8 m/s^2)  = 0,255 m $

Possiamo ricavare il tratto percorso dalla massa considerando le regole della trigonometria: lo spazio che stiamo cercando corrisponde all’ipotenusa di un triangolo rettangolo, che ha un angolo di $30°$  e un cateto che misura  $0,255m$ .

L’ipotenusa è data dal rapporto fra il cateto ed il seno dell’angolo:

$ s = frac(h)(sin(30°)) = frac(0,255 m)(0,5) = 0,51 m $

A Genova è stato costruito un sistema funicolare per collegare due vie della città poste a diverse altezze rispetto al livello del mare. L’ascensore percorre un tratto verticale lungo  $70 m$  a una velocità di  $1,6 m/s$ . L’ascensore ha una capienza di  $23$  persone, ognuna considerata di massa in media pari a  $75 kg$ .

Calcola:

• Il lavoro compiuto dall’ascensore per trasportare un passeggero;
• La potenza sviluppata per trasportare la cabina a pieno carico dall’inizio alla fine della salita.

Svolgimento

Per calcolare il lavoro compiuto dall’ascensore per trasportare un passeggero, consideriamo le forze che agiscono su di esso durante il tragitto.

Abbiamo la forza peso, diretta verso il basso:

$ F_P = m * g $

Consideriamo, per risolvere il primo punto, il peso di una singola persona:

$ F_P = 75 kg * 9,8 m/s^2 = 735 N $

possiamo ora calcolare il lavoro compiuto dall’ascensore per il trasporto di una persona:

$ L = F_P * S = 735 N * 70 m = 51450 J = 5,1 * 10^4 J $

Allo stesso modo, possiamo calcolare la forza e il lavoro relativi al pieno carico dell’ascensore:

$ m = 75 kg * 23 = 1725 kg$

$ F_P = 1725 kg * 9,8 m/s^2 = 16905 N $

$ L = F_P * S = 16905 N * 70 m = 1183350 J = 1,2 * 10^6 J $

Conoscendo la velocità alla quale si sposta l’ascensore, possiamo calcolare il tempo che impiega per compiere il suo percorso:

$ v = frac(∆s)(∆t)        to       ∆t = frac(∆s)(v) $

$ ∆t = frac(70 m)(1,6 m/s)  = 43,75 s $

Calcoliamo la potenza sviluppata per trasportare la cabina a pieno carico con la formula:

$ P = frac(∆L)(∆t) = frac(1,2 * 10^6 J)(43,75 s) = 0,027 * 10^6 W = 2,7 * 10^4 W $

Il cavallo-vapore, introdotto da James Watt, è un’unità di misura della potenza che non fa parte del sistema internazionale, e vale   $7,452 * 10^2 W$ . Un motore sviluppa una potenza di  $30$  cavalli-vapore mentre solleva un carico di  $2,0 * 10^3 kg$ all’altezza di  $15 m$ .

Quanto tempo impiega?

Svolgimento

Sappiamo che sul carico che viene sollevato agisce una forza peso, che si oppone alla forza esercitata dal motore. Calcoliamo la forza peso:

$ F_P = m * g = 2,0 * 10^3 kg * 9,8 m/s^2 = 19,6 * 10^3 N $

Possiamo calcolare il lavoro svolto dal motore, sapendo che esso solleva il carico per un’altezza pari a  $15$  metri:

$ L = F_P * h = 19,6 * 10^3 N * 15 m = 294 * 10^3 J $

Calcoliamo ora la potenza del motore, sapendo che è una potenza di  $30$  cavalli-vapore e che un cavallo-vapore vale  $7,452 * 10^2 W$:

$ P = 30 * 7,452 * 10^2 W = 223,56 * 10^2 W $

A questo punto, possiamo ricavare il tempo impiegato dalla macchina mediante la formula

$ P = frac(L)(∆t)       to     ∆t = L/P$

$ ∆t = frac(294 * 10^3 J)(223,56 * 10^2 W) = 1,32 * 10 s = 13,2 s $

Una cameriera distratta lancia orizzontalmente un bicchiere vuoto sul tavolo al barman perché lo riempia. Purtroppo il lancio è lungo, e il bicchiere cade a terra a una distanza orizzontale di  $53 cm$  dal bordo del tavolo che è alto  $71 cm$ . Calcola:

• La velocità del bicchiere al momento del distacco dal tavolo;
• Dopo quanto tempo il bicchiere arriva a terra;

Svolgimento

Calcoliamo la velocità con cui il bicchiere arriva al bordo del tavolo, un momento prima di cadere; per farlo, ricordiamo che la traiettoria descritta dal bicchiere in caduta libera è una parabola (con vertice nell’origine degli assi) , e, poiché la velocità iniziale è orizzontale,  possiamo sfruttare l’equazione cartesiana della traiettoria seguita dal bicchiere:

$ y = 1/2 * frac(g)(v_0 ^2) * x^2 $

dove  $x$  e  $y$  sono le distanze (orizzontali e verticali) dal punto di partenza,  $g$  è la costante di gravitazione, mentre  $v_0$  è la velocità che stiamo cercando; ricaviamo quindi dall’equazione la velocità:

$ 2 * v_0 ^2 * y = g * x^2       to     v_0 ^2  = frac(g * x^2)(2*y) $

$ v_0 = sqrt(frac(g * x^2)(2*y)) $

Sostituiamo i valori numerici, trasformandoli prima nelle giuste unità di misura:

$ x = 53 cm = 0,53 m $

$ x = 71 cm = 0,71 m $

$ v_0 = sqrt(frac(9,8 m/s^2 * (0,53 m)^2)(2*0,71 m)) = 1,392 m/s = 1,4 m/s $

Possiamo ora calcolare dopo quanto tempo il bicchiere raggiunge il suolo:

$ s = v_0 * t        to      t = frac(s)(v_0) $

$ t = frac(s)(v_0)  = frac(0,53 m)(1,4 m/s) = 0,38 s $

Una cassa di  $10 kg$  si trova sul pavimento del laboratorio.

• Quale forza bisogna applicare per sollevarla a velocità costante su un tavolo alto  $60 cm$ ?
• Qual è il lavoro che compie questa forza?
• Quel è l’energia potenziale della cassa quando si trova sul tavolo?
• Se la cassa cade dal tavolo al pavimento, quale lavoro compie la forza di gravità?

Svolgimento (1)

Calcoliamo il peso della cassa:

$ F_P = m * g = 10 kg * 9,8 m/s^2 = 98 N $

Affinché la cassa sia sollevata, la forza che si deve applicare deve essere maggiore della sua forza peso, rivolta verso il basso.

Poi, una volta messa in movimento, la si deve mantenere a velocità costante, quindi si deve applicare una forza pari al suo peso, cioè a  $98 N$.

Svolgimento (2)

Calcoliamo il lavoro compiuto dalla forza:

$ L = F_P * s = 98 N * 60 cm = 98 N * 0,6 m = 58,8 J $

Svolgimento (3)

Calcoliamo l’energia potenziale della cassa quando si trova sopra al tavolo, ad un’altezza di  $60 cm$  dal suolo (inteso come livello zero dell’energia potenziale):

$ U = mgh = 10 kg * 9,8 m/s^2 * 0,6 m = 58,8 J $

Svolgimento (4)

Il lavoro che la cassa compie cadendo dal tavolo al suolo è uguale all’energia potenziale che possedeva quando si trovava sul tavolo:

$ L = 58,8 J $

Un ascensore percorre  $60 m$  in un minuto a velocità costante. Calcola la potenza che deve sviluppare il motore nei due casi seguenti

• L’ascensore sale vuoto (massa  $300 kg$ );
• L’ascensore sale con 4 persone di massa complessiva  $260 kg$ .

Svolgimento

Perché l’ascensore si muova a velocità costante, la risultante delle forze che agiscono si du esso deve essere nulla.

Per semplicità consideriamo trascurabili tutte le possibili forze di attrito.

In questo caso, la forza sviluppata dal motore deve essere uguale al peso dell’ascensore, che essendo di massa  $300 kg$  avrà un peso di:

$ F_P = m * g = 300 kg * 9,8 m/s^2 = 2940 N $

Calcoliamo la velocità a cui sale l’ascensore:

$ v = frac(∆s)(∆t) = frac(60m)(1 min) = frac(60m)(60s) = 1 m/s  $

Possiamo quindi calcolare la potenza dal lui sviluppata:

$ P = F_P * v = 2940 N * 1 m/s = 2940 W $

Possiamo ricavare la potenza anche calcolando il lavoro svolto dall’ascensore e dividendo questo valore per il tempo dal lui impiegato per compiere il tragitto:

$ L = F_P * s = 2940 N * 60 m = 176400 J $

$ P = frac(L)(∆t) = frac(176400 J)(60 s) = 2940 W $

Calcoliamo ora la potenza che si deve applicare se l’ascensore contiene 4 persone. In questo caso la forza peso è maggiore, e vale:

$ F_P = m * g =  (300 kg + 260 kg) * 9,8 m/s^2 = 560 kg * 9,8 m/s^2 = 5488 N $

Calcoliamo la potenza:

$ P = F_P * v = 5488 N * 1 m/s = 5488 W $

Uno slittino di peso  $98N$  viene trascinato per  $10 m$  su un piano orizzontale da una forza costante di  $50 N$ , che agisce in direzione parallela al piano. Il coefficiente di attrito fra slittino e piano vale  $0,1$ . Calcola:

• Il lavoro compiuto dalla forza di attrito;
• Il lavoro compiuto dalla forza applicata;
• Il lavoro totale sullo slittino.

Svolgimento

Calcoliamo il lavoro compiuto dalla forza di attrito.

Sappiamo che la forza di attrito è data dalla formula:

$ F_a = F_P * mu_d $

dove  $ F_P $   è la forza peso che agisce sullo slittino, mentre   $ mu_d$   è il coefficiente di attrito dinamico che, in questo caso, vale   $0,1$ . Calcoliamo la forza di attrito:

$ F_a = F_P * mu_d = 98N * 0,1 = 9,8 N $

Possiamo quindi calcolare il lavoro compiuto dalla forza di attrito:

$ L_a = F_a * s = 98N * 10 m = 98 J $

Poiché la forza dia attrito si oppone allo spostamento, questo lavoro è negativo:

$ L_a = – 98 J $

Calcoliamo ora il lavoro compiuto dalla forza applicata:

$ L = F * s = 50 N * 10 m = 500 J $

Questo lavoro, invece, è positivo, poiché la forza applicata ha la stesa direzione e lo stesso verso dello spostamento.

Il lavoro totale è dato dalla somma dei lavori parziali:

$ L_(TOT) = L_a + L = – 98 J + 500 J = 402 J  $

In un flipper, una biglia di massa  $m = 60 g$   è appoggiata su una molla compressa di un tratto  $x = 4,0 cm$ .

La costante elastica della molla è   $k = 80 N/m$   e l’effetto dell’attrito è trascurabile.

• Di quale dislivello h salirà la biglia quando la molla viene lasciata andare?

Svolgimento

Poiché vengono trascurati gli attriti, sulla biglia agiscono soltanto la forza peso e la forza elastica della molla, che sono entrambe forze conservative.

Quindi, possiamo risolvere il problema mediante il teorema della conservazione dell’energia meccanica:

$ E_i = E_f        to       U_(G_i) + U_(E_i) + k_i = U_(G_f) + U_(E_f) + k_f $

Il punto iniziale è quello in cui la molla è compressa e la pallina si trova sopra di essa, mentre nel momento finale la molla è distesa e la biglia raggiunge la sua altezza h.

Nel momento iniziale la biglia è ferma, quindi non si ha energia cinetica; ponendo come livello zero dell’energia potenziale gravitazionale il livello iniziale, possiamo affermare che la biglia non ha energia potenziale gravitazionale.

Tuttavia, poiché la molla è compressa, essa possiede energia potenziale elastica.

L’energia nel primo stadio, quindi, è data solo dall’energia potenziale elastica:

$ E_i + U_(E_i) $

Nel secondo stadio la biglia è istantaneamente ferma, per cui anche qui non si ha energia cinetica; la molla non è più compressa quindi non possiede più energia potenziale elastica; tuttavia, poiché la pallina ha raggiunto una cera altezza h essa possiede energia potenziale gravitazionale.

L’energia totale del secondo stadio, quindi, è data dall’energia potenziale gravitazionale.

$ E_f + U_(G_f) $

Applichiamo quindi il teorema della conservazione dell’energia meccanica:

$ E_i + U_(G_f)       to     1/2 k x^2 = mgh $

Dovendo calcolare l’altezza alla quale giunge la biglia, ricaviamo l’altezza dall’equazione:

$ k x^2 = 2mgh      to      h = frac(k x^2)(2 mg) $

Sostituiamo i valori numerici, trasformandoli prima nelle giuste unità di misura:

$ m = 60 g = 0,06 kg $

$ x = 4,0 cm = 0,04 m $

$ h = frac(80 N/m * (0,04 m)^2)(2 * 0,06 kg * 9,8 m/s^2) = 0,1088 m = 0,11 m $

Quindi, prima di ricadere la biglia risale nel flipper fino a un dislivello di   $11 cm$   rispetto alla quota di partenza.

Durante la ristrutturazione di una casa un sacco di calce di  $30 kg$  viene sollevato dal primo piano, posto a  $3,1 m$  dal suolo, al secondo piano, posto a  $6,1 m$  dal suolo. Scegliendo il suolo come livello di zero, calcola:

• L’energia potenziale del sacco al livello del primo piano;
• L’energia potenziale del sacco al livello del secondo piano;
• Il lavoro compiuto dalla forza peso per passare dal primo al secondo piano.

Svolgimento (1)

Calcoliamo l’energia potenziale gravitazionale al livello del primo piano del palazzo:

$ U = mgh_1 = 30 kg * 9,8 m/s^2 * 3,1m = 911,4 J = 9,1 * 10^2 J  $

Svolgimento (2)

Allo stesso modo, calcoliamo l’energia potenziale gravitazionale al livello del secondo piano:

$ U = mgh_2 = 30 kg * 9,8 m/s^2 * 6,1m = 1822,8 J = 1,8 * 10^3 J  $

Svolgimento (3)

Calcoliamo ora il lavoro compiuto dalla forza peso per passare dal primo al secondo piano. In questo caso, abbiamo la forza peso rivolta verso il basso, mentre lo spostamento avviene verso l’alto; notiamo quindi che forza e spostamento hanno stessa direzione ma verso opposto, quindi il lavoro sarà negativo.

Calcoliamo il valore della forza peso:

$ F_P = m*g = 30 kg * 9,8 m/s^2  = 294 N$

$ L = – F_P * s = – 294 N * (6,1 m – 3,1 m) = – 294 N * 3 m = $

$ – 882 J = – 8,8 * 10^2 J $

Una cassa di  $10 kg$  deve essere spostata dal punto  $A$  al punto  $B$. La figura mostra i due percorsi possibili: lungo un piano inclinato di  $30°$ , di lunghezza  $2,0 m$  e altezza  $1,0 m$ , oppure passando per il punto  $C$ .

Calcola il lavoro compiuto per spostare la cassa da  $A$  a  $B$ :

• lungo il piano inclinato, trascurando la forza di attrito tra il piano inclinato e la cassa;
• lungo il piano inclinato, considerando un valore del coefficiente di attrito pari a  $0,2$ .
• Sollevandola lungo la verticale da  $C$  a  $B$ .

Svolgimento (1)

Consideriamo il primo caso, cioè quando il trasporto avviene lungo il piano inclinato in assenza di attrito. In questo caso, il lavoro è dato dalla formula:

$ L = mgh$

considerando con  $h$  l’altezza del piano inclinato.

Quindi abbiamo che:

$ L = 10 kg * 9,8 m/s^2 * 1,0 m = 98 J $

Svolgimento (2)

Nel secondo caso, abbiamo una forza di attrito che adisce in direzione opposta allo spostamento della cassa, e che ha coefficiente di attrito dinamico  $mu_d = 0,2$ .

La forza di attrito si calcola con la formula:

$ F_a = F_P × μ_d $

ed è pari a:

$ F_a = F_P * μ_d = m * g * μ_d = 10 kg * 9,8 m/s^2 * 0,2 = 19,6 N $

Calcoliamo ora il lavoro compiuto dalla forza di attrito:

$ L = F_a * s = 19,6 N * 2,0 m = 39,2 J  $

Il lavoro totale compiuto per trasportare la cassa equivale alla somma dei lavori parziali:

$ L_(TOT) = L + L_a = 98 J + 39,2 J = 137,2 J = 1,4 * 10^2 J  $

Svolgimento (3)

Calcoliamo ora il lavoro compiuto trasportando la cassa prima per il tratto orizzontale  $AC$ , poi per quello verticale  $CB$ .

Nel primo tratto, poiché la forza peso è perpendicolare allo spostamento, abbiamo un lavoro nullo.

$ F_P  ⊥  s        to      L_(A to C) = 0 $

Nel tratto  $CB$ , invece, viene compiuto lavoro:

$ L = F_P * s = mgh $

$ L = 10 kg * 9,8 m/s^2 * 1,0 = 98 J $

L’accelerazione di gravità sulla superficie della luna è circa un sesto di quella sulla terra.

Poiché il raggio della Luna è un quarto di quello terrestre, esprimi la massa della Luna in funzione della massa della Terra.

Svolgimento

Riassumiamo i dati del problema:

$ g_L = 1/6 g_T         ,      R_L = 1/4 R_T $

Consideriamo la legge di gravitazione universale:

$ F = frac(G M m)(R^2) $

Sapendo che la forza è data anche dalla formula:

$ F = m * a $

uguagliamo questa scrittura alla legge:

$ m * a = frac(G M m)(R^2) $

Eliminiamo la massa:

$ a = frac(G M)(R^2) $

Possiamo scrivere l’accelerazione di gravità come  $g$:

$ g = frac(G M)(R^2) $

L’accelerazione di gravità sulla Terra è quindi:

$ g_T = frac(G M_T)(R_T ^2) $

Ricaviamo la massa della Terra:

$ g_T = frac(G M_T)(R_T ^2)      to     M_T = frac(g_T * R_T ^2)(G) $

Allo stesso modo, la massa della Luna sarà:

$ M_L = frac(g_L * R_L ^2)(G) $

Sapendo che l’accelerazione di gravità sulla luna è un sesto di quella sulla terra e il raggio della Luna è un quarto di quello terrestre, sostituiamo queste informazioni alla formula della massa lunare:

$ g_L = 1/6 g_T         ,      R_L = 1/4 R_T $

$ M_L = frac( 1/6 g_T * (1/4 R_T) ^2)(G) = frac( 1/6 g_T * 1/(16) R_T ^2)(G) = $

$ frac( 1/(96) g_T * R_T ^2)(G) = 1/(96) frac(g_T * R_T ^2)(G) $

Notiamo che   $frac(g_T * R_T ^2)(G) $  non esprime altro che la massa della Terra. Abbiamo quindi determinato la massa lunare in funzione di quella terrestre.

$ M_L = 1/(96) M_T $

Un peso di massa  $8,0 kg$  è appeso a un’altezza di  $10 m$  dal suolo. Il filo che lo sostiene all’improvviso si rompe e il peso cade, in assenza di forze esterne.

• Quanto vale la velocità acquistata quando si trova a  $4,0 m$ dal suolo?
• A che altezza si trova quando possiede una velocità di  $6,0 m/s$ ?

Svolgimento (1)

Poniamo come livello zero dell’energia potenziale il pavimento; secondo il teorema della conservazione dell’energia meccanica, l’energia del peso nel punto di partenza (quando si trova ad un’altezza di  $10 m$ ) è uguale a quella nel punto di arrivo (all’altezza di  $4,0 m$ ):

$ E_i = E_f      to     U_i + k_i = U_f + k_f $

Sappiamo che in entrambi gli stadi il peso possiede energia potenziale gravitazionale, poiché si trova ad una determinata altezza. Tuttavia, nello stato iniziale esso è fermo, quindi non possiede energia cinetica:

$ U_i = U_f + k_f        to       mgh_i =  1/2 m v_f ^2 + mgh_f $

Possiamo eliminare la massa:

$ gh_i =  1/2 v_f ^2 + gh_f $

Ricaviamo la velocità:

$ 2gh_i =  v_f ^2 + 2gh_f $

$ 2gh_i – 2gh_f =  v_f ^2      to     v_f = sqrt(2gh_i – 2gh_f) = sqrt(2g (h_i – h_f) ) $

Determiniamo la velocità:

$ v_f = sqrt(2 * 9,8 m/s^2 * (10 m – 4,0 m )) = 10,84 m/s = 11 m/s $

Svolgimento (2)

Utilizzando ancora il teorema della conservazione dell’energia meccanica, possiamo determinare l’altezza del peso quando assume una velocità di  $6,0 m/s$ .

Consideriamo quindi lo stato iniziale quello in cui si trova a  $10 m$ dal suolo, e nel quale possiede solo energia potenziale.

Lo stato finale è quello in ci ha una velocità di  $6,0 m/s$  e ha quindi energia cinetica, e, poiché si trova ad una determinata altezza, possiede anche energia potenziale:

$ E_i = E_f      to     U_i + k_i = U_f + k_f $

$ mgh_i = mgh_f + 1/2 m v_f ^2 $

Possiamo eliminare la massa:

$ gh_i = gh_f + 1/2 v_f ^2 $

Ricaviamo l’altezza finale:

$ 2gh_i = 2gh_f + v_f ^2 $

$ 2gh_i – v_f ^2 = 2gh_f      to      h_f = frac(2gh_i – v_f ^2)(2g) $

Troviamo ora il valore dell’altezza:

$ h_f = frac(2 * 9,8 m/s^2 * 10m – (6,0 m/s)^2)(2 * 9,8 m/s^2) = 8,16 m = 8,2 m  $

Un carrello di massa  $2,0 kg$  viene trainato lungo un binario rettilineo da una forza costante di  $50 N$  per  $10 m$ .

• Che velocità acquista? (trascura l’effetto dell’attrito.)
• A che altezza arriverebbe se venisse lanciato verso l’alto con quella velocità?

Svolgimento (1)

Per calcolare la velocità acquistata dal carrello, prendiamo in considerazione il lavoro esercitato dallo stesso. Sappiamo che il lavoro è dato dalla formula:

$ L = F × S $

ed è un lavoro positivo, poiché la forza ha lo stesso verso dello spostamento. Poiché la forza è costante durante il tragitto anche il lavoro svolto sarà costante, quindi non corrisponderà ad una variazione di energia cinetica, ma sarà uguale all’energia cinetica stessa:

$ L =  k = 1/2 m v^2 $

In questo modo possiamo affermare che il carrello mantiene la stesa velocità durante tutto il percorso.

Eguagliamo le due formule:

$ F * S = 1/2 m v^2 $

Ricaviamo la velocità:

$ v^2 = frac(2 FS)(m)      to      v = sqrt(frac(2 FS)(m)) $

Sostituiamo i valori numerici e troviamo la velocità:

$ v = sqrt(frac(2 * 50N * 10 m)(2,0 kg)) = 22 m/s $

Svolgimento (2)

Immaginiamo che il carrello venisse lanciato verso l’alto con una velocità iniziale pari a  $22 m/s$. Al punto di partenza, che consideriamo il livello zero dell’energia potenziale gravitazionale, il carrello possiede solo energia cinetica.

Il carrello poi sale fino ad arrivare alla sua altezza massima, quindi si ferma (in questo punto possiede solo energia potenziale, non energia cinetica poiché è fermo) e scende in caduta libera.

Secondo il teorema della conservazione dell’energia meccanica, l’energia del carrello nel punto di partenza è uguale a quella nel punto di arrivo:

$ E_i = E_f      to     U_i + k_i = U_f + k_f $

Sapendo che alla partenza possiede solo energia cinetica e che all’arrivo solo energia potenziale possiamo scrivere che:

$ k_i = U_f      to     1/2 m v_1 ^2 = mgh $

Ricaviamo dall’equazione l’altezza:

$ h = frac(m v_i ^2)(2 mg) $

Possiamo semplificare la massa:

$ h = frac(v_i ^2)(2g) $

Sostituiamo i valori:

$ h = frac((22 m/s)^2)(2* 9,8 m/s^2) = 24,69 m = 25 m $

Il carrello della figura ha la massa di  $2 kg$  e giunge nel punto  $A$  con velocità trascurabile. Nel tratto  $AB$  non c’è attrito, nel tratto  $BC$ , lungo  $9 m$, il carrello perde energia, perché agisce una forza di attrito costante. Il carrello arriva nel punto  $C$  con velocità di $ 3 m/s$  e comprime la molla che ha una costante elastica di  $1000 N/m$ .

• Con quale energia meccanica giunge nel punto  $B$ ?
• Quanto vale la forza di attrito nel tratto  $BC$ ?
• Di quanto si comprime la molla?

Svolgimento (1)

Secondo il teorema della conservazione dell’energia meccanica, l’energia meccanica nel punto  $A$  è uguale a quella nel punto  $B$ . Quindi calcoliamo l’energia meccanica nel punto  $A$  sommando l’energie cinetica e quella potenziale di quel punto.

Poiché il carrello giunge nel punto  $A$  con velocità trascurabile, la sua energia cinetica è nulla; l’energia potenziale, invece, è data dalla formula:

$ U = mgh   to    U_A = 2 kg * 9,8 m/s^2 * 2m = 39,2 J $

Quindi:

$ E_A = E_B = U_A = 39,2 J $

Ponendo in modo arbitrario il livello zero di energia potenziale nel punto  $B$ , sappiamo che l’energia meccanica in  $B$  è uguale alla sola energia cinetica di quel punto, quindi:

$ E_A = U_B + k_B = k_B = 39,2 J $

Svolgimento (2)

Per determinare la forza di attrito nel tratto  $BC$  dobbiamo conoscere il lavoro esercitato dal carrello in quel tratto. Sappiamo che il lavoro è uguale alla variazione di energia cinetica, quindi:

$ L = ∆k = k_f – k_i = 1/2 m v_f ^2 – 1/2 m v_i ^2 $

In particolare

$ L _(BC)= ∆k = k_C – k_B = 1/2 m v_C ^2 – 1/2 m v_B ^2 $

Troviamo quindi il lavoro esercitato in quel tratto:

$ L _(BC)= 1/2 * 2 kg * (3 m/s)^2 – 39,2 J = – 30,2 J $

Notiamo che il lavoro nel tratto  $BC$  è negativo, proprio perché agisce una forza di attrito. Sapendo che il lavoro è uguale allo spostamento, possiamo determinare la forza di attrito:

$ L _(BC) = – F * S       to      F = – frac(L_(BC))(S) $

$ F = – frac(L_(BC))(S)  = – frac(- 30,2 J)(9m) = 3,36 N $

Svolgimento (3)

Il lavoro esercitato per comprimere la molla è dato dalla formula:

$ L = 1/2 k x^2 $

dove  $k$  è la costante elastica e vale  $1000 N/m$ , mentre  $x$  è la lunghezza del tratto di compressione della molla. Troviamo quindi  $x$ :

$ L = 1/2 k x^2       to    x^2 = frac(2L)(k)      to     x = sqrt(frac(2L)(k)) $

Un flacone di detersivo di massa  $1,5 kg$  scivola dal bordo di una vasca da bagno con velocità iniziale di  $1,1 m/s$  fino a raggiungere il fondo della vasca, scelto come livello zero, a una velocità di  $3,1 m/s$.

• Calcola l’altezza della vasca. (L’effetto dell’attrito è trascurabile).

Svolgimento

Per poter calcolare l’altezza della vasca, dobbiamo conoscere l’energia potenziale gravitazionale che possiede il flacone al momento iniziale. Sappiamo che il lavoro corrisponde alla variazione negativa dell’energia potenziale, cioè:

$ L = – ∆U = – (U_f – U_i) = U_i – U_f $

Sapendo che è stato assunto come livello zero dell’energia potenziale il fondo della vasca, sappiamo che l’energia potenziale finale è uguale a zero, quindi:

$ L = U_i – 0  = U_i $

Possiamo calcolare il lavoro sapendo che esso è uguale alla variazione di energia cinetica:

$ L = ∆k = k_f – k_i = 1/2 m v_f ^2 – 1/2 m v_i ^2 $

Sostituiamo quindi i valori numerici:

$ L = 1/2 * 1,5 kg * (3,1 m/s) ^2 – 1/2 * 1,5 kg * (1,1 m/s) ^2 = 6,3 J $

Quindi, poiché il lavoro è uguale all’energia potenziale iniziale, sappiamo che:

$ L = U_i = 6,3 J $

Sapendo che:

$ U = mgh $

possiamo ricavare l’altezza con la formula inversa:

$ U = mgh      to    h = frac(U)(mg) $

Troviamo quindi il valore dell’altezza della vasca:

$ h = frac(6,3 J)(1,5 kg * 9,8 m/s^2) = 0,43 m $

Un carrello da supermercato di massa  $10,0 kg$  viene spinto per  $2,00 m$ da fermo con una forza di  $100 N$ . La forza di attrito con il pavimento è di  $30,0 N$.

• Quanto vale il lavoro compiuto dalla forza applicata al carrello?
• Quanto vale il lavoro compiuto dalla forza di attrito?
• Qual è la velocità finale del carrello?

Svolgimento (1)

Calcoliamo il lavoro compiuto dalla forza applicata al carrello moltiplicando il valore della forza per lo spostamento. Poiché lo spostamento ha lo stesso verso della forza, il lavoro compiuto sarà positivo:

$ L = F * S = 100N * 2,00 m = 200 J $

Svolgimento (2)

Il lavoro compiuto dalla forza di attrito è un lavoro negativo, poiché la forza so oppone allo spostamento:

$ L_a = – F * S = – 30,0 N * 2,00 m = – 60 J $

Svolgimento (3)

Per determinare la velocità finale del carrello consideriamo il lavoro totale svolto dallo stesso. Il lavoro totale è dato dalla variazione di energia cinetica:

$ L = ∆k = k_f – k_i = 1/2 m v_f ^2 – 1/2 m v_i ^2 $

Sapendo che il carrello parte da fermo, possiamo affermare che la sua velocità iniziale è nulla, di conseguenza sarà nulla anche la sua energia cinetica iniziale:

$ L = ∆k = k_f – 0 = k_f $

Sapendo che il lavoro totale è dato dalla somma dei lavori parziali, determiniamo il lavoro totale:

$ L_(TOT) = L + L_a = 200 J – 60 J = 140 J $

Poiché il lavoro totale è uguale all’energia cinetica finale, impostiamo che

$ k_f = 1/2 m v_f ^2 = 140 J $

e ricaviamo la velocità finale:

$ k_f = 1/2 m v_f  ^2     to    v_f  ^2 = frac(2k_f)(m)     to    v_f = sqrt(frac(2k_f)(m)) $

$ v = sqrt(frac(2 * 140 J)(10,0 kg)) = 5,29 m/s $

Valentina,  $50,0 kg$ , sale col suo skateboard su una rampa con la velocità iniziale di  $3,90 m/s$ . L’altezza massima della rampa è  $50,0 cm$ . Calcola:

• L’energia cinetica all’imbocco della rampa;
• L’energia potenziale gravitazionale (rispetto alla quota di base e con  $ g  =9,8 m/s^2$ ) all’uscita della rampa;
• l’energia cinetica all’uscita della rampa;
• la velocità con cui esce dalla rampa.

Svolgimento (1)

L’energia cinetica è data dalla formula:

$ k = 1/2 m v^2 $

Sostituiamo i dati:

$ k = 1/2 * 50 kg * (3,90 m/s)^2 = 380 J $

Svolgimento (2)

All’uscita della rampa, la ragazza si trova ad un’altezza di  $50,0 cm$ , cioè di  $0,5 m$. Calcoliamo la sua energia potenziale gravitazionale:

$ U = mgh = 50 kg * 9,8 m/s^2 * 0,5 m = 245 J  $

Svolgimento (3)

All’uscita della rampa si avrà un’energia cinetica diversa da quella che si aveva all’entrata. Per calcolare questo nuovo valore, prendiamo in considerazione il lavoro esercitato dalla ragazza durante il tragitto. Sappiamo che:

$ L = – ∆U = – (U_f – U_i) = U_i – U_f  $

All’inizio della rampa l’altezza alla quale si trova la ragazza è uguale a zero, quindi sarà nulla anche la sua energia potenziale. Avremmo quindi che:

$ L = 0 – U_f = – U_f = – 245 J $

Sappiamo inoltre che il lavoro è uguale alla variazione di energia cinetica, cioè:

$ L = ∆k = k_f – k_i $

Conoscendo il valore del lavoro e quello dell’energia cinetica iniziale, possiamo ricavare l’energia cinetica finale:

$ L = k_f – k_i      to       k_f = L + k_i $

$ k_f = – 245 J  + 380 J  $

Svolgimento (4)

Dalla formula dell’energia cinetica, ricaviamo la velocità e determiniamo la velocità della ragazza all’uscita della rampa:

$ k = 1/2 m v^2     to    v^2 = frac(2k)(m)     to    v = sqrt(frac(2k)(m)) $

$ v = sqrt(frac(2k_f)(m)) = sqrt(frac(2 * 135J)(50,0 kg)) = 2,32 m/s $

Dal terrazzo di una casa alta  $57m$  un pallone è calciato verso l’alto con velocità iniziale di  $43 km/h$ .

• Qual è la massima altezza rispetto al terreno raggiunta dal pallone?
• Dopo quanti secondi il pallone raggiunge la massima altezza?
• Dopo quanti secondi dal lancio il pallone raggiungerà il suolo?

Svolgimento (1)

Dal momento che il pallone parte da un’altezza diversa da zero e ha una velocità iniziale, lo spazio da lui percorso è dato dalla seconda legge oraria:

$ s = s_0 + v_0 t + 1/2 a t^2 $

Sappiamo quindi che:

$ s_0 = 57 m  $

$ v_0 = 43 km/h = 43:3,6 = 11,94 m/s = 12 m/s$

L’accelerazione corrisponde all’accelerazione di gravità  $g$, ma sarà negativa, poiché il corpo sta salendo, quindi l’accelerazione diminuisce sempre di più.

$ a = g = 9,8 m/s^2 $

L’unico dato che manca è il tempo impiegato dal pallone per raggiungere la sua massima altezza. Per determinare t utilizziamo la legge generale della velocità istantanea:

$ s = v_0 + a t        to       t = frac(s – v_0)(a) $

Sappiamo che quando il pallone raggiunge la massima altezza, la sua velocità è pari a zero:

$ v = 0 $

Di conseguenza:

$ t = frac(0 – v_0)(a) = – frac(v_0)(a) $

Sostituiamo quindi i valori numerici e troviamo il tempo:

$ t = – frac(12 m/s)(- 9,8 m/s^2) = 1,2 s $

A questo punto possiamo determinare lo spazio percorso dal pallone:

$ s = s_0 + v_0 t + 1/2 a t^2 =$

$ 57 m + 12m/s * 1,2 s + 1/2 * (- 9,8 m/s^2) * (1,2 s)^2 = 64 m $

Svolgimento (2)

Come abbiamo detto in precedenza, il pallore raggiunge la massima altezza in  $1,2$  secondi.

Svolgimento (3)

Il pallone impiega  $1,2$  secondi per raggiungere la massima altezza, dopo essere stato lanciato dal terrazzo alto  $57m$ .

Dopo di che il pallone comincia a scendere, fino a raggiungere il suolo.

Per trovare il tempo da lui impiegato in questo secondo tratto usiamo la formula:

$ t = sqrt(frac(2s)(a)) $

Questa volta l’accelerazione è positiva, perché il pallone è in caduta libera.

$ t = sqrt(frac(2 * 64 m)(9,8 m/s^2)) = 3,6 s $

Sommiamo questo tempo a quello che il palline impiega a raggiungere la massima altezza:

$ t_(TOT) = 1,2 s + 3,6 s = 4,8 s $