Ian Stewart, Com’è bella la matematica. Lettere a una giovane amica, Bollati Boringheri, 2006

Se il grande matematico inglese Hardy esordiva nel suo libro del 1940, Apologia di un matematico, affermando che "Per un matematico di professione è un’esperienza melanconica mettersi a scrivere di matematica", Ian Stewart, è convinto del contrario. I tempi sono cambiati, scrive Stewart nell’introduzione del suo libro "Una giornata tipo del grande studioso di Cambridge [Hardy] consisteva in quattro ore al massimo di riflessione intensa sui problemi della ricerca mentre il resto del tempo trascorreva fra le partite a cricket e la lettura dei giornali. Rimaneva probabilmente lo spazio per qualche sporadico incontro con gli studenti. Oggi la giornata tipo di un accademico è lunga dieci o dodici ore, divise fra l’insegnamento, le richieste di sovvenzioni, la ricerca da proseguire, e ampie dosi d’inutile burocrazia necessarie ad avviare qualsiasi progetto creativo."

Com’è bella la matematica è il tentativo di Ian Stewart, noto matematico inglese e prolifico divulgatore, di ‘aggiornare’ il libro di Hardy. La finzione narrativa si basa su una serie di lettere scritte da Stewart a Meg, una studentessa di scuole superiori appassionata di matematica, che nel corso del tempo trascorso tra una lettera e l’altra si iscrive a Matematica, fa il dottorato e infine conquista un incarico universitario.

Le lettere rispondono a una serie di domande che Meg, personaggio probabilmente inventato, pone a Stewart. Perché fare matematica? I matematici, risponde Stewart, li incontriamo ogni giorno e in ogni luogo, eppure non ci viene mai in mente che il nostro direttore di banca possa essere laureato in matematica. I produttori di DVD, di lettori MP3, di film di animazione utilizzano una schiera di matematici. Gli effetti speciali nei film e tutti i moderni film di animazione che si basano sulla grafica computerizzata usano in maniera massiccia la matematica. La grafica computerizzata non è semplicemente il risultato dell’uso stupido dei computer: occorre la geometria tridimensionale, la matematica della diffusione luminosa, l’interpolazione tra un fotogramma e l’altro per rendere fluida l’immagine. Il film Toy Story, per esempio, ha portato ad almeno una ventina di pubblicazioni matematiche.

Prima di iscriversi al corso di laurea in matematica, Meg chiede al noto accademico qual è la matematica e che cosa si insegna nei corsi più avanzati. A scuola, scrive Stewart, tu leggi Shakespeare, Dickens, Eliot e supponi che non esistano livelli più alti della letteratura. Per analogia ti domandi se la matematica che impari a scuola corrisponde alla matematica di livello superiore. La matematica che insegnano a scuola è "un insieme di piccoli trucchi del mestiere" che si applicano in contesti molto semplici. E’ come per un apprendista falegname che impara a mettere chiodi ma non vede come si fabbrica una sedia o un mobile. Mentre nella scuola superiore una parte cospicua di quella che viene chiamata matematica è in realtà aritmetica ed ha a che fare con i numeri, all’università si impara ad astrarre dai numeri, a generalizzare, a formalizzare con teorie astratte come quella dei gruppi.

Di fronte a questa grande varietà di studi matematici la domanda è allora quella di capire che cos’è la matematica e di darne una definizione. "Le definizioni, scrive Stewart, sono paralizzanti, sbarrano la strada alla creatività e alla diversità. Una definizione cerca implicitamente di ridurre le possibili varianti di un concetto a un’unica soluzione. La matematica, come qualsiasi campo in via di sviluppo, è sempre fonte di stupore." La definizione di matematica preferita da Stewart è quella di Lynn Arthur Steen secondo la quale la matematica è "la scienza della forma significante".

Un altro tema è la filosofa della matematica, tradizionalmente divisa tra platonismo e formalismo. In che senso, per esempio, esiste un cerchio matematico? Per i platonisti il cerchio matematico è un’idea non realizzata in questo mondo e che esiste indipendentemente dalla mente umana. I formalisti giudicano queste osservazioni insensate e confuse. Un’affermazione del tipo 2+2=4 per un formalista è un gioco senza significato basato su rigide regole esplicite. Il formalismo di fatto morì quando Goedel dimostrò che nessuna teoria puramente formale è in grado di esprimere interamente l’aritmetica. Resteranno sempre ‘fuori dal gioco’ degli enunciati matematici che non sono né dimostrabili né indimostrabili. Più recentemente, Reuben Hersh ha sostenuto che la matematica è un’attività umana che si svolge all’interno di una società e che si sviluppa storicamente. Si tratta di una descrizione moderna di quella che è l’attività dei matematici che non tocca e non specifica il contenuto di questa attività. Così posta mancherebbe di un anello importante che ha a che fare con una sorta di coerenza logica interna dell’attività. Se, per esempio, tutti i matematici si accordassero all’unanimità che $pi$ vale 3, ciò non sarebbe vero e non avrebbe senso per la comunità dei matematici. "La matematica, pur essendo un prodotto della mente umana, non si piega alla volontà umana." Quando due matematici discutono prima o poi uno si ferma e dice "mi dispiace, hai ragione tu, ora ho capito dove sbagliavo". Per capire meglio il punto di vista di Hersh si può seguire il suo stesso esempio relativo al denaro. Il mondo gira intorno al denaro ma cos’è il denaro? dei pezzi di carta? dei dischetti di metallo? Non sono neppure dei numeri in un calcolatore. Infatti, se il computer della banca si rompe i soldi sono sempre tuoi. Anche il denaro è un costrutto socialmente condiviso ma con delle restrizioni. Se vai in banca e dici al direttore che i tuoi soldi dovrebbero essere di più di quelli che risultano sul conto, il direttore non ti risponderà "nessun problema, eccole altri dieci milioni, buona giornata". La matematica, come in fondo il denaro, pur essendo un costrutto socialmente condiviso ha una certa inevitabilità logica e tutte le menti devono pervenire alla stessa matematica.

Ma la matematica è universale? Gli extraterrestri conterebbero come noi? Stewart ritiene che la matematica sia strettamente connessa alla nostra fisiologia alle nostre esperienze e alle nostre caratteristiche psicologiche. Punti e linee, per esempio, sembrano le basi naturali per una teoria della forma ma sono anche gli elementi fondamentali in cui il nostro sistema visivo scompone il mondo. Gli elementi fondamentali di un sistema visivo alieno potrebbero essere invece luci e ombre, o movimento e immobilità, la frequenza delle vibrazioni. La stessa osservazione si può fare per i numeri discreti (1, 2, 3, …); ci sembrano universali perché nascono dalla nostra tendenza ad assemblare oggetti simili: probabilmente l’aritmetica è nata a causa dell’avvicendarsi delle stagioni e per il commercio, legato alla proprietà di beni. Creature extraterrestri fluttuanti che vivono, per esempio, su pianeti come Giove potrebbero non avere alcuna idea di proprietà individuale: prima di arrivare fino a contare tre oggetti, gli oggetti stessi si sarebbero dissolti nel vento di ammoniaca. Potrebbero invece essere molto esperti nella dinamica dei flussi turbolenti.

Come si studia la matematica? Molti studenti sono convinti che quando ci si blocca su qualche argomento la cosa migliore sia fermarsi, tornare indietro e rileggere la parte incriminata finché non si intravede la luce. Questo metodo è quasi sempre fatale. Per Stewart, la prima regola è proseguire. Occorre segnarsi il punto in cui ci si è fermati, spesso la frase successiva o il paragrafo successivo chiariranno la difficoltà. Se così non fosse, occorre ritornare dove ci si era bloccati e ripercorrere i passi fino a raggiungere un punto dove si è sicuri di aver capito tutto e si riprende da lì. Nell’ultima parte del libro, Stewart, con un po’ di ironia descrive la struttura della ‘tribù dei matematici mondiali’: un giovane ricercatore parte dalla posizione di SSDX (studente specializzando del dottor X), per diventare PGR (promettente giovane ricercatore), subito dopo un RC (ricercatore confermato) e poi SS (scienziato senior), GV (grande vecchio) e GE (guru emerito).

La lettura di questo libro mi è sembrata particolarmente interessante, a mio giudizio è uno dei pochi libri di tipo ‘divulgativo’ ben fatto. Qualche sbavatura non manca, l’editore ha lasciato più di una decina di refusi sparsi per il libro e per un editore come Bollati Boringheri mi sembra un eccessivo disinteresse per libri i di matematica che pure hanno firme autorevoli. L’autore ha invece trascurato in qualche passaggio la finzione base del suo libro: se scrive delle lettere a una che dopo tanta fatica è diventata docente universitaria di matematica non credo sia ipotizzabile che debba spiegargli come si giustifica il fatto che "meno per meno fa più". Se voleva discutere questo tema probabilmente doveva presentarlo all’inizio del libro quando Meg è ancora una studentessa di Liceo. Si tratta comunque di piccoli ‘difetti’ che si notano proprio perché il libro si presenta particolarmente ben fatto. Complessivamente poi non è ben chiaro se la matematica sia bella perché la incontriamo dappertutto come applicazione alla vita di tutti i giorni e come lettura del mondo o se come ci si aspettava leggendo il titolo del libro abbia un valore estetico e accattivante per la mente umana.

Michael F. Atiyah, Siamo tutti matematici, Di Renzo Editore, 2007

Su qualunque argomento, non c’è parola più attendibile di quella di un addetto ai lavori; meglio ancora se si tratta dell’opinione di un esperto del settore. Quale miglior modo, dunque, di osservare la matematica che farlo dal punto di vista di un suo autorevole esponente?

Nel contesto matematico, sicuramente Michael Francis Atiyah riveste un ruolo di spicco a livello mondiale, come dimostrano i numerosi riconoscimenti ottenuti nel corso della sua lunga attività, tra l’altro non ancora conclusa, dato che egli è attualmente professore presso l’Università di Edimburgo. La sua breve opera dal titolo “Siamo tutti matematici”, che rientra a tutti gli effetti nel genere letterario del saggio, può essere considerata come una chiacchierata dell’autore riguardo a vari temi inerenti la matematica. Il tono del discorso è molto colloquiale e numerosi sono i riferimenti alla vita dell’autore stesso, il quale parla in prima persona.

Nella prima parte del libro si parla del rapporto tra la matematica e la mente umana, un tema di cui si è sempre molto discusso e che è alla base della natura stessa della disciplina. A tal proposito, ecco un breve ma significativo frammento di testo: Sappiamo che il cervello umano è diviso in due parti – l’emisfero sinistro e quello destro – che hanno ruoli fondamentalmente diversi: un emisfero sovrintende alle funzioni del linguaggio, mentre l’altro agli aspetti spaziali. Dove si colloca, allora, la matematica? Quale parte del cervello entra in gioco nel ragionamento di tipo logico-numerico? La mia personale opinione è che la geometria sia legata alla visione e l’algebra al linguaggio”. In questo estratto, così come in tutto il libro, l’autore non si limita a riportare semplicemente i fatti, ma espone anche la propria opinione a riguardo.

Un importante rilievo viene dato, in varie parti del testo, al rapporto tra matematica e fisica, tema molto caro ad Atiyah. Il suo nome è ben conosciuto nel mondo dei fisici, ai quali ha aperto diverse porte grazie ai propri lavori: nel corso degli anni, infatti, sono state trovate fondamentali applicazioni delle teorie matematiche di Atiyah nel campo della fisica. Tra i principali risultati che ha conseguito nell’ambito della ricerca, l’autore parla in particolare del forte impulso dato alla K-teoria e del fondamentale “teorema dell’indice”; quest’ultimo, va ricordato, gli valse la medaglia Fields nel 1966.

Un ampio spazio è dedicato all’evoluzione della matematica nel XX secolo. Si tratta di una panoramica sulle branche della matematica che maggiormente hanno attirato su di sé la propria attenzione nel corso del ‘900, in particolare vengono segnalati i risultati più significativi raggiunti e i personaggi che hanno contribuito a delineare la storia della matematica novecentesca. Il XX secolo, tuttavia, non viene considerato come una monade temporale: interessanti sono anche i numerosi paragoni con il passato, così come di straordinario interesse sono le previsioni di chi scrive riguardo alle direzioni che prenderà la matematica nel secolo appena iniziato. Vale a la pena di soffermarsi a leggere quanto riportato in merito: Quella del XXI, come sarà? Ho già detto che prevedo che il nostro secolo vedrà una grande influenza della matematica quantistica o, se preferite, della matematica a infinite dimensioni. La matematica quantistica potrebbe, in un futuro, contribuire a comprendere correttamente l’analisi, la geometria, la topologia e l’algebra di diversi spazi di funzioni non lineari. Ma è meglio fermarsi qua, per non rovinare la sorpresa ai futuri lettori. La parte finale del libro contiene delle personali riflessioni sulle enormi responsabilità della scienza nella società contemporanea, dove spesso e volentieri si è fatto un uso improprio di importanti risultati scientifici. Atiyah espone la propria opinione senza mezzi termini, indicando con chiarezza la propria linea di pensiero su temi molto delicati, come la moralità dell’uso della bomba atomica, l’organizzazione Pugwash, la questione cinese, i test nucleari condotti da India e Pakistan.

Quella fatta finora è solo una sommaria descrizione dei rami principali in cui si snoda l’intera opera. Sarebbe davvero arduo citare tutte le tematiche affrontate. D’altronde, non si tratta di un testo didattico, né tantomeno divulgativo, per cui risulta difficile suddividerlo in blocchi ben separati e distinti tra loro. Leggere “Siamo tutti matematici” equivale ad osservare la matematica, e la scienza in genere, con gli occhi di qualcun altro; non dovrebbe, tuttavia, essere una visione molto distorta, dato che questo qualcuno è un matematico di rilievo come Michael Atiyah

Amir D. Aczel, Il Taccuino Segreto di Cartesio

Storia di un genio del Seicento e della misteriosa formula matematica che non volle rivelare

Mondatori, 2006, pp. 250.

A mezzanotte Amir Aczel vagava smarrito in una tempesta di neve da qualche parte nell’Ontario; uscito dall’autostrada per cercare un posto dove aspettare che la tempesta finisse, giunse … alla conclusione che si era perso. A salvarlo fu la tecnologia del GPS che gli permise di localizzare la sua posizione e farsi guidare da un operatore al telefono (siamo nel 2002 e i sistemi di navigazione tramite GPS non erano così avanzati come sono oggi). Questo ‘salvataggio’ così provvidenziale lo fece riflettere su quanto fosse importante l’invenzione di Cartesio: la tecnologia che è alla base del GPS funziona infatti grazie all’invenzione del sistema di coordinate cartesiane.

A ben guardare il numero di applicazione del sistema di coordinate cartesiane nella nostra vita quotidiana è impressionante: tutto ciò che facciamo o vediamo o usiamo nella vita di ogni giorno ha qualcosa a che fare con la grande invenzione di Cartesio. Da qui l’idea dell’autore di dedicare un libro alla biografia di questo personaggio che ha segnato una svolta nel mostro modo di vivere e di pensare.

Aczel si reca a Parigi sulle orme di Cartesio, lì ha modo di consultare lettere originali di Cartesio a Mersenne, edizioni originali delle opere di Cartesio e a un certo punto scopre che Cartesio aveva tenuto un taccuino segreto di cui si erano perse le tracce.

Il libro di Aczel, nonostante il tono un po’ da romanzo poliziesco, e il vago tentativo di imitare romanzi di successo, è sostanzialmente una biografia di Cartesio, ricca di informazioni e di commenti delle sue opere. Non è un saggio per specialisti; è scritto principalmente per chi vuole capire il ruolo di Cartesio nel mondo moderno.

Sullo sfondo del racconto la storia di un libro e di alcune ricerche matematiche che Cartesio sembra abbia scritto e che sono andati perduti. Le vicende di questa ‘formula’ misteriosa si intersecano poi con la storia dei Rosacroce, una confraternita segreta alla quale non è ben chiaro se Cartesio abbia mai aderito. Alla fine del libro Aczel rivela questa misteriosa formula.

Bruno D’Amore, Matematica dappertutto. Percorsi matematici inusuali e curiosi, Pitagora Editrice, Bologna, 2007, pp.88

Bruno D’Amore ci mostra una matematica che ha invaso tutte le altre forme della cultura umana in 14 brevi ma intensi percorsi, ben illustrati e ricchi di citazioni. Per citarne qualcuno: la superformula di Lamé-Gielis

$frac 1
ho =
oot{n_1} {|frac{1}{a}cos(frac m 4 phi)|^{n_2}+|frac 1 b sin(frac m 4 phi)|^{n_3}}$

che con opportuni valori dei parametri a, b, m, n1, n2, n3, permette di ottenere una grande quantità di forme geometriche che effettivamente si incontrano in natura, dai cristalli alle conchiglie, dalle alghe alle foglie. D’amore ci mostra il confronto tra le forme geometriche disegnate per mezzo della formula e le foto degli oggetti reali.

Divertente anche il capitolo in cui confronta l’ignoranza matematica di alcuni scienziati con le competenze raffinate di alcuni scrittori. Gilbert White (1720-1793) studioso di uccelli, dallo studio di un esemplare di cavaliere, un uccello di palude, dal peso di 120 g e lunghezza delle zampe 20,4 cm, trovò che il rapporto peso/lunghezza delle zampe doveva essere 120:20,4 = 5,8. Quando lo stesso White catturò un fenicottero, simile al cavaliere ma molto più pesante, 1,82 kg su zampe lunghe 50 cm, osservò che la proporzione non era la stessa di quella del cavaliere, il fenicottero avrebbe dovuto infatti avere le zampe di 3m. Da qui White dedusse che la natura non lavora con ‘armonia matematica’. Jonathan Swift (1667-1745) nel suo famoso romanzo I Viaggi di Gulliver scrive che quando Gulliver raggiunge il paese di Lilliput, i matematici di questo paese avendo scoperto che la statura di Gulliver eccedeva la loro nella proporzione di dodici a uno, e considerando che i loro corpi erano simili al suo, dedussero che doveva contenere 1728 corpi loro e che quindi Gullier aveva bisogno di tanto cibo quanto ne occorreva per altrettanti lillipuziani. Come mai un naturalista come White non se è reso conto che il peso degli uccelli, va pensato come un volume e quindi va rapportato con il cubo delle lunghezze (quella delle gambe) mentre Swift lo aveva capito? Scrivendo infatti correttamente la proporzione si osserva che la natura lavora armonicamente anche negli uccelli: $120:20,43=1820:503$.

Alcune immagini della superformula per i valori dei parametri indicati. Immagine da http://it.wikipedia.org/wiki/Superformula

Roberto Lucchetti, Passione per Trilli. Alcune idee dalla matematica, Springer, 2007, pp.154

Trilli è la fatina innamorata di Peter Pan. Cosa c’entri con la matematica lo si scopre soltanto a pagina 123 del libro: "la matematica è un mondo vivo, che contiene anche tante contraddizioni, pieno di difetti. La matematica è possessiva, gelosa e incline alla vanità: proprio come Trilli."

Lucchetti ha voluto scrivere un libro di matematica e sulla matematica presentandocela sotto l’aspetto di disciplina brillante e variegata, una disciplina che incontri anche dove non te lo aspetti.

Professore di Analisi presso il Politecnico di Milano, appassionato studioso di Teoria dei Giochi, autore di un libro divulgativo di successo su questa teoria (Di duelli, scacchi e dilemmi, Mondatori, 2001), Lucchetti presenta in sei capitoli, altrettanti temi di matematica, descrivendone le idee in modo non tecnico, convinto che le idee importanti della matematica si possano comunicare senza formule e senza usare il linguaggio tecnico di questa disciplina, linguaggio incomprensibile alla maggior parte dei lettori comuni.

Fanno da Intermezzo a queste storie di matematica altrettante storie ‘personali’ e semiserie dell’autore: una poesia, un commento all’ultimo mondiale di calcio e altre amenità che in un libro di matematica disorientano il lettore ma lo coinvolgono sul piano più strettamente personale.

Ma veniamo ai contenuti matematici, si tratta per lo più di temi che hanno attinenza con la teoria dei giochi: dai primi elementi di questa teoria alle sue applicazioni alle scienze sociali: il teorema di Arrow sulle difficoltà a prendere decisioni ‘democratiche’ in un gruppo di persone e l’indice di Shapley che misura la ‘forza’ dei singoli componenti di un gruppo cooperativo.

Oltre ai temi di teoria dei giochi Lucchetti discute anche delle problematiche dell’infinito in matematica, il passaggio dalle strutture numeriche alla strutture algebriche, qualche biografia controversa di matematici del ‘900, in particolare Nash e von Neumann, principali artefici della teoria dei giochi.

Un libro per tutti: adulti e ragazzi, docenti e studenti, professionisti e semplici appassionati di Trilli.

Rodolfo Clerico e Piero Fabbri, Rudi simmetrie, CS libri, 2007, pp. 127

Rudi Mathematici, rivista on line di matematica, nata nel lontano 1999, è diventata un libro di carta, o meglio ha prodotto un libro che si può leggere anche senza stare davanti al computer. Gli autori finora sempre celati da misteriosi nick si sono dovuti rivelare con i loro nomi veri; la carta stampata non ammette tanti misteri. E così scopriamo che dietro la divertente rivista pdf ci sono tre persone in carne e ossa; lascio a voi la possibilità di scoprire chi sono e cosa fanno.

Nel libro sono presentati sostanzialmente sette temi di divulgazione della matematica o forse è meglio dire sette tematiche strettamente connesse alla matematica. Come mia abitudine vi racconto brevemente cosa il lettore può trovare nel libro.

Il primo dei temi proposti introduce alla problematica del raccontare la storia della matematica, la storia della ricerca e dei ricercatori. Un aneddoto su tutti: Julia Robinson, ricercatrice non da poco, visto che ha poi risolto il X problema di Hilbert, per essere assunta come ricercatrice di matematica è costretta a redigere un rapporto del suo lavoro, rapporto che è diventato famoso e significativo: "Lunedì: Provato a dimostrare teorema; Martedì: Provato a dimostrare teorema; Mercoledì: provato a dimostrare teorema; Giovedì: provato a dimostrare teorema; Venerdì: Teorema falso."

La narrazione preferita dagli autori del libro non è sempre quella lineare di una storia che si lascia raccontare dall’inizio alla fine. Clerico e Fabbri preferiscono percorsi più tortuosi e originali. A che punto è la notte è un pezzo che ha tanti inizi ma parla tante volte della stessa cosa: la teoria dei gruppi.

In Difficile contare fino a dieci, gli autori partono da un giro sul cavalluccio di una giostra per parlare di astronomia, delle discussioni recenti su quali debbano essere i pianeti del sistema solare, per poi arrivare alle discussione sulla geometria dello spazio.

Altri capitoli del libro sono dedicati alle trasformazioni geometriche, tassellazioni, decorazioni ritmiche, i rapporti tra matematica e arte. Il ritmo complessivo del racconto giace nelle simmetrie più o meno evidenti espresse nel titolo del libro. Lo stile narrativo è accattivamente, semplice,… un libro che ci ha impressionato positivamente.