Leonardo da Vinci, L’Uomo vitruviano, le proporzioni del corpo umano, 1490 

Leonardo sdoppia la figura umana in due posizioni, una rispetto al quadrato, l’altra rispetto al cerchio.

Jacopo de’ Barbari, Ritratto di Luca Pacioli. 

Il ritratto evidenzia l’importanza del disegno nella dimostrazione geometrica. Pacioli è stato uno dei maggiori matematici del Rinascimento.

Raimondo Lullo (1232-1316) ha racchiuso in queste tavole lo schema concettuale della prova logica dell’esistenza di Dio.

René Magritte, Les promenades d’Euclide, 1955

Il dipinto illustra le difficoltà e i trabocchetti che si possono incontrare nel distinguere i piani degli oggetti nello spazio, ma anche del linguaggio. Il titolo si riferisce al panorama che non è in primo piano, ma che non è nemmeno nel primo livello del linguaggio, in quanto può essere la rappresentazione di un quadro che è all’interno del quadro. Da notare poi che il cavalletto non è parallelo al muro: può essere un riferimento al problema delle parallele.

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Giacomo Balla, Numeri innamorati 1924-25

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Max Weber, la quarta dimensione

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Il dibattito sulle nuove geometrie influenza l’arte

Duerer, Disegno di una donna coricata

Piero della Francesca, La flagellazione

Particolare dalla Scuola di Atene di Raffaello, Stanza della Segnatura, Musei Vaticani, Roma

Euclide in una formella del campanile del Duomo di Firenze, Giotto e Andrea Pisano

Euclide immaginato da Justus van Ghent (XV secolo)

Xilografia del Cinquecento raffigurante un uomo che si spinge oltre i confini della sfera celeste

Colori e forme geometriche

Dipinto a olio (96×92), 1923

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Piani verticali 

Piani di colore

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Matematica e arte Federigo Enriques

tratto da

F.Enriques, Le matematiche nella storia e nella cultura, Zanichelli, Bologna, 1938

Le matematiche come arte

Si è detto che l’oggetto delle matematiche -ordine immanente nella Natura – si discopre alla mente attraverso un processo d’astrazione; appunto per ciò le matematiche non sono soltanto scienza, rappresentazione di quell’oggetto, sì anche arte, cioè espressione del soggetto che le costruisce, secondo le sue intime leggi. Si esprime proprio in essa il senso profondo dell’ordine, della proporzione e della misura, che farà un cosmo del caos dei fenomeni.

Naviganti pel mare dell’Italia meridionale e della Sicilia, gli antichi Pitagorici, contemplando nella notte il cielo stellato, cercavano di comporre le distanze di quelle luci lontane in armonie di numeri, che -come dice Platone – sono più belle delle meraviglie del cielo che sono nel mondo visibile.

E come se l’Universo rispondesse al loro sentimento interiore, codeste armonie divenivano a poco a poco per loro una musica celestiale, insensibile all’orecchio che vi è abituato, ma presente allo spirito dei contemplanti, nella pace gioiosa dello spettacolo. Così la tradizione storica colorita di poesia, ci riporta il sentimento che ispirò i primi passi della ricerca matematica.

L’entusiasmo che si accompagna alle scoperte di quei poeti, deve essere inteso nel senso etimologico della parola, come estasi mistica di chi partecipa ad una rivelazione divina. Essi comunicavano colla divinità, al modo degli Orfici, non più nell’ebbrezza del culto di Dioniso, bensì nella bellezza delle proporzioni e delle forme simboleggiata da Apollo.

A distanza di secoli la commozione di chi coglie una "nota del poema eterno" si sente ancora nel linguaggio dei grandi matematici e fisico-matematici. Keplero (nell’Harmonices mundi") avendo riconosciuto la sua terza legge sul moto dei pianeti (i quadrati dei tempi periodici proporzionali agli assi maggiori delle orbite ellittiche) scioglie un inno alla propria scoperta: "Da otto mesi ho visto il primo raggio di luce, da tre mesi ho visto il giorno, e da qualche giorno il puro sole della più ammirabile contemplazione. Nulla mi trattiene, e mi lascio andare al mio entusiasmo. Io voglio confondere i mortali con l’ingenua confessione che ho rubato i vasi d’oro degli Egiziani per farne un tabernacolo al mio Dio, lungi dalle frontiere dell’Egitto…. Il dado è tratto, e scrivo il mio libro: sarà letto oggi o domani dalla posterità, poco importa; esso potrà attendere il suo lettore cent’anni, poiché Dio ha aspettato seimil’anni un contemplatore della sua opera".

Qui la commozione estetica si esprime come davanti alla bellezza di uno spettacolo della Natura. Ma la stessa commozione accompagna le più alte creazioni delle matematiche pure. W. Bolyai, comunicando al padre la sua scoperta della geometria non-euclidea, gli scriveva: "Dal nulla ho tratto un nuovo mondo". Il matematico ha il sentimento che l’opera della sua immaginazione creatrice dia la vita ai fantasmi evocati, come accade similmente al poeta. Perciò Weierstrass poteva dire che "un matematico il quale non abbia in è nulla di poetico non sarà mai un matematico completo".

Ed invero anche nelle espressioni più modeste dei loro autori, colo che scoprono una verità matematica vedonsi contemplarla come l’artista guarda all’opera sua; la quale anche a chi la consideri di fuori appare sempre opera di bellezza, quando diversi concetti e proprietà vengono a fondersi meravigliosamente in un’armonia superiore di numeri e di forme.

Il senso matematico nell’arte classica

In confronto alle arti propriamente dette, le matematiche esprimono soltanto un’intima esigenza dello spirito razionale, restando affatto indifferenti alle passioni e agli affetti di cui quelle riflettono il tumulto. Perciò il valore artistico delle Matematiche, più ancora che nelle sue creazioni proprie si rivelerà nel contenuto colle arti figurative (pittura, scultura, architettura) o colla poesia e colla musica. Qui esse si discoprono come regole di proporzione e di misura – regola di prospettiva e di rilievo, canoni della razionalità architettonica, metrica e contrappunto – che fino dall’antichità fascinarono gli studiosi delle nascoste armonie, e che Dante vede costituire "lo fren dell’arte". Il disegno dei mondi ultra-terreni, esplorati nella Divina Commedia, è scolpito con precisione geometrica e le proporzioni numeriche sono strettamente serbate anche nella ripartizione dei versi fra le tre Cantiche, e nei canti che le compongono.

Ma che significa questo freno dell’arte? E’ desso un criterio che limita l’opera dal di fuori, in maniera estrinseca e convenzionale, siccome apparirebbe dalle polemiche dei romantici?

Certo l’essenza della poesia e della musica non si commisura al criterio aritmetico del ritmo e delle battute, né le opere dell’arte figurativa si lasciano giudicare a priori secondo le forme od i tipi suggeriti dai modelli classici. Ma chi argomenta in tal guisa sembra disconoscere il carattere essenziale dell’arte classica. La quale non nasce, ricevendo da fuori la norma della misura siccome qualcosa di sovrapposto, ma – arte vera – esprime un momento dell’animo dell’artista: il momento in cui il tumulto delle passioni viene composto e dominato in un’armonia superiore che s’innalza sui motivi discordi come tipo di perfezione o "idea". Nella ricchezza spirituale di questo momento, che è per così dire un contatto del mondo dei sensi colla ragione, sta il significato sublime dell’arte classica, e l’apporto non estrinseco che ad essa reca lo spirito matematico. Da ciò anche si spiega il significato che le matematiche assumono nella storia dell’arte.

Influenze matematiche nell’arte e nella letteratura

A prescindere dall’influenza sulla tecnica (della pittura o dell’architettura, ecc.) c’è un’influenza più intima che gl’ideali matematici esercitano sul gusto e sui criterii degli artisti.

Questi criteri fan parte veramente della creazione artistica se sono sentiti come espressione di un concetto particolare della bellezza, che si appaga nella disciplina armonizzatrice. Invece non è vero artista chi, divenuto indifferente ai motivi della creazione, prende a modello l’opera altrui e – traendo i suoi canoni dalla convenzione o dai rapporti di misura concepiti a priori – trascorre così nella fredda accademia. In questo senso, l’intromissione riflessa di criteri matematici ha potuto pregiudicare l’arte, come si vede più volte nella storia. E già nell’antica Grecia se ne hanno esempi caratteristici. Citiamo Ippodamo di Mileto, l’ingegnere imbevuto delle idee pitagoriche, che disegnò il tipo della città geometrica con due sistemi di strade diritte perpendicolari, mentre portava il suo misticismo aritmetico nello schema della costituzione della polis a base ternaria, che sarà ripreso da Dicearco; e ancora Policleto, l’autore del "canone" artistico basato sulle proporzioni del corpo umano, il cui errato criterio (che sostituisce la proporzione vera all’apparente) verrà corretto soltanto da Lisippo, nell’epoca alessandrina.

Sennonché questi stessi errori fan parte dell’esperienza dell’artista che nel suo mondo fantastico ricerca il disegno d’una natura ordinata secondo leggi matematiche. Perciò le intuizioni neo-pitagoriche e neoplatoniche, risorgenti negli animi del Rinascimento porgono i motivi della pittura di Masaccio e dei maestri del nostro Quattrocento: l’ordine prospettico, la proporzione e la misura delle linee e delle superficie, realizzate secondo regole geometriche. Onde riceve sviluppo non soltanto la prospettiva sì anche lo studio del corpo umano e quindi l’anatomia.

Come già abbiamo accennato, gli artisti di quel secolo o del secolo successivo – da Lorenzo Ghiberti a Paolo Uccello, a Leonardo Da Vinci, a Alberto Dürer – s’innalzano così dall’opera d’arte alla ricerca della "divina proporzione", contemplando in essa la bellezza eterna e la verità universale.

La stilizzazione della pittura e dell’architettura, secondo i precetti di Vitruvio, viene descritta ed analizzata in maniera profonda e suggestiva da Leonardo Olschki, che spiega altresì l’influenza dello spirito matematico sullo sviluppo della lingua e della prosa, in particolare nella letteratura francese, fino a Voltaire e al rifiorire dei motivi classici, di là della relazione romantica, in alcuni poeti contemporanei come Paul Valéry.

Descrizione

Un numero di curve in forma polare disegnate e configurate per l’animazione producono un effetto caleidoscopico. Il grafico di base consiste di quattro curve polari per ogni varietà di rosa. Tutte e quattro le curve vengono ruotate (con diverse velocità) sopra l’ animazione mentre si espandono e si contraggono.

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Parametri Interessati

$p_1=6$ dilatazione e contrazione dei petali

$p_2=6$

$p_3=3$

Calcoli associati

$A_1=cos(k/100*2pi)$ espressioni che definiscono i raggi per le dilatazioni e le contrazioni dei petali

$A_2=sin(k/100*2pi)$

$r_1( heta)=A_1*cos(p_1 heta)$ funzioni che definiscono le quattro rose

$r_2( heta)=A_2*cos(p_2 heta+pi/2)$

$r_3( heta)=cos(p_3 heta)$

$r_4( heta)=r^3( heta+pi)$