Si farà uso delle abilità acquisite sul concetto di equiscomponibilità per verificare i Teroremi di Euclide e il Teorema di Pitagora in modo che gli allievi ne arrivino a capire gli enunciati più chiaramente. Completeremo il discorso sull’equiscomponibilità verificando che, grazie ai teoremi di Euclide, è possibile costruire un quadrato che ha la stessa area di un rettangolo dato. Questa tesi partecipa al concorso Condividi la tua tesi e vinci tre Apple iPhone 3G

INTRODUZIONE

Quando si considerano solo segmenti o angoli la congruenza, la sovrapponibilità e l’uguaglianza estensiva (o equivalenza) si identificano. Ma per le superfici poligonali?

Euclide, considerando il concetto di area come primitivo, fonda la sua teoria dell’equivalenza dei poligoni su alcuni postulati:

 poligoni uguali sono equivalenti

 poligoni equivalenti ad uno stesso sono equivalenti fra loro

 somme di poligoni equivalenti sono equivalenti

 differenze di poligoni equivalenti sono equivalenti

 un poligono non è equivalente ad una sua parte Ma perché l’uguaglianza di estensione possa essere oggetto di studio rigoroso, è necessaria un’analisi approfondita, che manca in Euclide e fu compiuta soltanto in tempi recenti.

Diversi furono i matematici che si impegnarono a costruire una teoria della equivalenza di poligoni fino a giungere a dimostrare

 Due poligoni equivalenti si dicono equivalenti se sono scomponibili in poligoni rispettivamente congruenti

 L’equivalenza gode della proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva E da questi derivano i teoremi che ci permettono di stabilire in quali casi due poligoni hanno la stessa area:

 Due parallelogrammi aventi un lato in comune e i lati opposti a questo contenuti in una stessa retta, sono equiscomponibili. Da questo come caso particolare si ha che dato un parellelogramma, è possibile costruire un rettangolo avente la stessa area.

 Dato un triangolo, è possibile costruire un parallelogramma con la stessa area che ha per base la metà della sua base ed uguale altezza. Da cui ovviamente segue che dato un triangolo, è possibile costruire un rettangolo avente la stessa area.

 Dato un poligono, è possibile costruire un poligono equivalente con un lato in meno.

 Dato un poligono convesso, è possibile costruire un rettangolo con la stessa area

 Teorema dello gnomone: dato un rettangolo, è possibile costruire un altro rettangolo con la stessa area e avente un lato assegnato.

 Dato un qualsiasi poligono, è possibile costruire un rettangolo avente la stessa area e con un lato assegnato.

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In questo lavoro propongo ai docenti della scuola secondaria di primo e secondo grado, l’esplorazione e lo studio di due prove rilasciate dall’indagine internazionale OCSE PISA, col software libero di geometria dinamica GeoGebra.

Introduzione

Tra le prove rilasciate [4] dalle indagini internazionali PISA (Programme for International Student Assessment), promosse dall’Organizzazione per la Cooperazione e lo Sviluppo Economico (OCSE), per misurare i livelli di competenze (literacy) dei quindicenni scolarizzati in lettura, matematica e scienze, alcune, possono costituire delle semplici attività laboratoriali da realizzare col software di geometria dinamica in breve tempo. Presenterò due degli items che sono stati oggetto di analisi e discussione nei lavori di gruppo dei seminari di informazione e sensibilizzazione promossi da MIUR e INVALSI, rivolti ai docenti della scuola secondaria di secondo grado delle regioni dell’obiettivo convergenza (Calabria, Campania, Puglia e Sicilia) e nell’ambito del piano nazionale m @ t.abel, di cui sono docente tutor. In questi contesti oltre a presentare i quadri di riferimento teorici e i risultati conseguiti dagli studenti si è discusso di sui programmi didattici ministeriali italiani, sulla valutazione (cosa e come valutano le indagini internazionali rispetto a cosa e come si valuta a scuola) e sulla opportunità di utilizzare questa tipologia di quesiti nella prassi didattica.

Si rimanda alle pubblicazioni riportate in bibliografia e sitografia per trattazioni approfondite sull’indagine OCSE PISA. Informazioni utili sulle altre indagini internazionali sono reperibili anche sul sito dell’INVALSI [1].

Ricordo solo che la Mathematical Literacy in PISA è definita come: “la capacità di un individuo di individuare e comprendere il ruolo che la matematica gioca nel mondo reale, di operare valutazioni fondate e di utilizzare la matematica e confrontarsi con essa in modi che rispondono alle esigenze della vita di quello individuo in quanto cittadino impegnato, che riflette e che esercita un ruolo costruttivo.”

Uno degli elementi principali che concorre alla valutazione della literacy in matematica è il processo di matematizzazione. I quesiti proposti, sono sempre ambientati in un contesto reale e spesso i quindicenni italiani, non li riconoscono come “problemi di matematica”, perché molto diversi dalla maggior parte degli esercizi e problemi di routine presenti nei libri di testo, da qui, la necessità di abituare gli studenti ad utilizzare le conoscenze acquisite in contesti meno strutturati.

Problema 1: Area di un continente

Questo problema fornisce come stimolo iniziale la carta geografica dell’Antartide con la relativa scala (vedi [5], pag. 79).

Domanda: AREA DEL CONTINENTE

Stima l’area dell’Antartide utilizzando la scala della carta geografica. Mostra il tuo lavoro e spiega come hai fatto la tua stima. (Puoi disegnare sulla carta se questo può aiutarti a fare la tua stima). …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………….

L’item appartiene all’area di contenuto: spazio e forma. Nell’indagine si attribuiva il punteggio pieno 712 (Livello 6 sulla scala complessiva di literacy in matematica, cioè il livello delle eccellenze) per la risposta corretta: area compresa fra 12.000.000 e 18.000.000 km², utilizzando una o più figure con cui approssimare la superficie dell’Antartide.

Il punteggio parziale 629 (corrispondente al Livello 5 sulla scala complessiva di literacy in Matematica) veniva assegnato se lo studente utilizzava un metodo corretto, ma la risposta era incompleta o errata. Tra le note esplicative, si precisava che anche un semplice tracciato sulla mappa veniva valutato come una spiegazione. L’obiettivo non era quello di testare le capacità espressive a livello lessicale, ma di capire come lo studente giungeva a dare la sua risposta.

Un simile quesito, considerando l’ampio spazio che viene dato allo studio delle proporzioni nella scuola italiana, a partire dalla scuola secondaria di primo grado, non avrebbe dovuto mettere in difficoltà gli studenti, invece la percentuale di risposte esatte per l’Italia è stata bassissima, pari al 3,9% (media OCSE: 9,4%). Le risposte parzialmente corrette dell’Italia sono state pari al 7,4% (media OCSE: 19,1%), il 9% delle risposte italiane sono state errate (media OCSE: 19,7%), altissimo è stato il numero di omissioni dell’Italia 73,3% (media OCSE: 48,2%), mentre il 6,4% non ha raggiunto il quesito perché in fondo al fascicolo (media OCSE: 3,7%).

Dalle discussioni con i colleghi, è emerso che, risultati così deludenti possano sensibilmente migliorare, proponendo di tanto in tanto agli studenti di fornire delle stime quali: l’altezza di un palazzo, le dimensioni dell’aula o della palestra scolastica, la superficie di un territorio di cui si ha una carta geografica o una mappa catastale, poiché tali competenze sono essenziali nella vita quotidiana.

Per rendere più interessanti simili esercizi, suggerisco di far scaricare agli studenti delle carte geografiche o immagini dal Web, acquisirle nel foglio lavoro del software libero GeoGebra per stimare superfici, dimensioni o la lunghezza di percorsi.

In figura 1 ho acquisito la cartina dell’Antartide: dall’icona n.8 “Testo” basta selezionare “Inserisci immagine”, poi cliccando nel foglio di lavoro, si apre una finestra di dialogo che consente di selezionare il percorso dell’immagine prescelta. Una volta acquisita, l’immagine può essere selezionata e trascinata nel punto desiderato e, cliccando su di essa col tasto destro del mouse, selezionando “Proprietà”, può essere posta in secondo piano, come immagine di sfondo. Con un clic col tasto destro del mouse nel foglio di lavoro, è possibile deselezionare e nascondere gli assi cartesiani e visualizzare la griglia. In questo modo si può far calcolare l’area approssimandola per eccesso o per difetto in diversi modi.

Problema 2: Il lampione

Il consiglio comunale ha deciso di mettere un lampione in un piccolo parco triangolare in modo che l’intero parco sia illuminato. Dove dovrebbe essere collocato il lampione?

Il testo di questo problema (vedi [6] a pag.31), inizialmente ha suscitato in me diverse perplessità per la sua genericità, ma, i colleghi con cui ho discusso, hanno dimostrato di apprezzarlo molto, per cui mi sono convinta che possa fornire utili spunti di discussione in classe.

Il problema è ambientato in un contesto di vita pubblica. Gli studenti lo devono modellizzare utilizzando degli enti geometrici. Successivamente, devono risolvere il problema matematico e verificare quali soluzioni risolvano anche il problema reale. In figura 2 ho costruito un triangolo con GeoGebra, ho determinato il circocentro e ho disegnato la circonferenza circoscritta al triangolo. Attraverso l’esplorazione col software di geometria dinamica, gli studenti possono verificare che se il parco ha la forma di un triangolo ottusangolo, il lampione non può essere collocato nel parco e se il triangolo è rettangolo, il lampione andrebbe collocato nel punto medio dell’ipotenusa, quindi sul bordo del parco. Questa attività con GeoGebra è stata ritenuta dai colleghi un’utile applicazione da proporre in classe quando si studiano i punti notevoli dei triangoli.

E’ opportuno, tuttavia, che per realizzarla, l’insegnante riduca i menù, in modo che gli studenti abbiano a disposizione solo le funzioni che dovranno utilizzare (ad esempio è opportuno che costruiscano gli assi senza utilizzare direttamente lo strumento “Asse di un segmento”). Per far questo è sufficiente selezionare dal menù “Strumenti”, “Personalizza barra degli strumenti” e rimuovere gli strumenti non necessari. GeoGebra dispone inoltre di una barra di navigazione, per visualizzare i passi di una costruzione già salvata e il protocollo di costruzione. Selezionare “Barra di Navigazione per i passi di costruzione” nel menu “Visualizza” per visualizzare la barra di navigazione in fondo alla finestra geometria.

Bibliografia

OCSE: PISA 2003 valutazione dei quindicenni : quadro di riferimento : conoscenze e abilità in matematica, lettura, scienze e problem solving, Armando Editore, Roma 2004.

INVALSI: Rapporto nazionale OCSE-PISA 2003, Il livello dei quindicenni italiani in matematica, lettura, scienze e problem solving,Armando Editore, Roma 2006.

INVALSI :Rapporto nazionale OCSE PISA 2006 Le competenze in scienze lettura e matematica degli studenti quindicenni, Armando Editore, Roma 2008.

OCSE: Valutare le competenze in scienze, lettura e matematica, Quadro di riferimento di PISA 2006, Armando Editore, Roma 2007.

Sitografia

Il sito dell’INVALSI:

[1] www.invalsi.it

Sito ufficiale OECD:

[2] http://www.oecd.org

Le indagini OCSE:

[3] http://www.invalsi.it/invalsi/ric.php?page=intocse

Le prove rilasciate e altri documenti:

[4] http://www.invalsi.it/invalsi/ri/sito/pagine/documentazione.htm

in questa pagina l’item “Area di un continente” è reperibile all’indirizzo:

[5] http://www2.invalsi.it/RI/pisa2006/docs/ProvePISA2000.pdf

[6] Sempre all’indirizzo [4], è reperibile il problem solving: Il Lampione cliccando sul link: Valutazione dei quindicenni. Quadro di riferimento: conoscenze e abilità in matematica, lettura, scienze e problem solving

Alcuni articoli reperibili in rete:

[7] https://www.matematicamente.it/magazine/gennaio2008/Bernardo-Vitiello-Indagine_Pisa_2006.pdf

[8] http://www.treccani.it/Portale/sito/scuola/in_aula/matematica/OCSE_PISA/mainArea.html 

[9] http://www.matematica.it/paola/progettoalicepisa.pdf

Il software Geogebra si può scaricare liberamente dal sito:

[10] http://www.geogebra.org/cms/index.php?lang=it

[11] Una miniguida di GeoGebra

Allegati

Antartide.ggb (figura 1)

Lampione.ggb (figura 2)

 Scarica l’articolo completo Prove Pisa e Geogebra

Il problem solving è tra le attività più importanti che vengono svolte quotidianamente per il semplice fatto che ogni giorno ci si trova ad affrontare situazioni complesse da dover risolvere. Si partirà dal presupposto che il problem solving non è una serie di tecniche da applicare per arrivare ad una soluzione, ma un atteggiamento mentale. Si capisce come, partendo con questa convinzione, nel momento in cui si tratteranno dei problemi in classe l’intenzione dell’insegnante non sarà solo quella di insegnare a risolvere quel problema, o dei problemi, ma di insegnare come ci si approccia ad un problema, come si affronta, come si risolve. Questa tesi partecipa al concorso Condividi la tua tesi e vinci un Aplle iPhone 3G.

In un ottica infatti nella quale si guarda alla scuola non solo come ad un servizio preposto alla trasmissione di sapere, ma come luogo destinato alla formazione del carattere dei ragazzi, ritengo che sia indispensabile insegnare l’attitudine al problem solving almeno per due ragioni:

la prima è legata alla società nella quale viviamo: se si osservano le inserzioni per ricerca di personale da parte delle aziende una delle caratteristiche che vengono richieste più frequentemente è l’attitudine al problem solving. Questo perché quella di oggi è una società ad elevato livello di complessità e molte delle competenze acquisite tramite la formazione matematica (la capacità di astrazione, di semplificazione, di problem solving) sono elementi costitutivi dell’individualità umana quasi imprescindibili, elementi in grado di rendere gli studenti futuri cittadini che possono esercitare un ruolo attivo e consapevole nella società,

la seconda è legata ad un aspetto più spirituale o di realizzazione personale: in una società frenetica in cui tutto sembra sempre troppo grande e troppo complicato da affrontare (soprattutto per i giovani) è molto utile insegnar loro il corretto modo di approcciarsi ai problemi, la serena pazienza a non volere tutto e subito, la capacità di non precipitarsi alla conclusione di ciò che si sta facendo in fretta, mantenendo sotto controllo l’ansia che vorrebbe che ci fosse già la soluzione pronta, gestendo le proprie emozioni, comprendendo come funziona in realtà i processo di risoluzione dei problemi (non è casuale la citazione iniziale di questa tesi). Questo obiettivo, certo, non è completamente raggiungibile in classe, ma credo sia doveroso da parte di un docente gettare un seme di questa consapevolezza negli alunni, che poi eventualmente germoglierà in modo autonomo in essi. Si deve tendere insomma anche a raggiungere questo obiettivo, tenendolo indubbiamente in considerazione. Ci sono poi svariati altri atteggiamenti di grandissima valenza formativa insegnabili tramite il problem solving, come la capacita di non arrendersi di fronte alle sconfitte (non sempre un problema può “venire” immediatamente) e dunque di affrontare i fallimenti.

Si è in grado così di dare, a mio avviso, la giusta dimensione, il significato reale di quello che è il processo di sviluppo, o il progresso scientifico, fatto di tentativi ed errori prima di arrivare alla formula finale vincente. Si ha dunque la necessità e l’opportunità di trasmettere in questo modo un’idea corretta di matematica e dell’approccio scientifico. In caso contrario “si corre il rischio che proprio il luogo destinato a far crescere i ragazzi, a stimolare la loro curiosità, la loro creatività, porti ad un appiattimento, nel quale questa disciplina trasforma gli allievi in individui passivi, solo esecutori di procedure e regole prestabilite, decise e dettate da altri e ripetute meccanicamente. Questo è un punto molto delicato. Non si deve perdere l’idea di scuola come luogo di sperimentazione nel quale i ragazzi si mettono in gioco e conquistano gli strumenti culturali necessari per la propria crescita”.

Altre importanti caratteristiche sviluppabili attraverso l’atteggiamento propositivo verso il problem solving sono la capacità di prendere decisioni e come vedremo la creatività. Tutto questo è in linea con le indicazioni date dall’Unione Matematica Italiana (UMI) che con il suo curriculum vuole rinnovare alcune pratiche o far riflettere su che cosa sia importante insegnare. Citando il documento dell’UMI si legge infatti: “Molti… “oggetti” della matematica sono collegati sia con le componenti più dinamiche dell’economia, in quanto questa nuova presenza è strettamente connessa alle possibilità offerte dai computer, sia con molti altri aspetti dell’organizzazione nella società moderna. Quotidianamente noi usiamo molti oggetti il cui funzionamento è basato su risultati matematici e spesso su quelli più recenti. Nell’attuale società la matematica è sempre presente, ora più che mai, ma di questo non sempre siamo consapevoli, neppure noi matematici” [1]. “La frase lancia una sfida ai paesi maggiormente sviluppati e che mirano a un forte avanzamento tecnologico: è soprattutto la scuola che deve farsene concretamente carico. L’Italia non può non raccogliere questo invito pressante.”

Inoltre, in riferimento alle linee guida a cui è bene rifarsi nell’esercizio della propria professione, nella circolare ministeriale riguardante il Piano Nazionale per l’introduzione dell’informatica nelle scuole secondarie superiori si legge: “La Matematica, parte rilevante del pensiero umano ed elemento motore dello stesso pensiero filosofico, ha in ogni tempo operato su due fronti: da una parte si è rivolta a risolvere problemi ed a rispondere ai grandi interrogativi cheman mano l’uomo si poneva sul significato della realtà che lo circonda, dall’altra, sviluppandosi autonomamente, ha posto affascinanti interrogativi sulla portata, il significato e la consistenza delle sue stesse costruzioni culturali”.

Questa tesi parte dall’ipotesi, basata sui dati dei primi due capitoli, che l’insegnamento odierno sia sbilanciato e che non si dia assolutamente rilievo alla parte inerente la risoluzione dei problemi che è una delle attività principali in matematica. Si metterà a tema della tesi la convinzione che per motivare gli studenti allo studio della disciplina sia indispensabile mettere in rilievo aspetti che nel curriculum attuale sono trascurati. In pratica è necessaria una reinterpretazione di alcuni argomenti in modo da far capire agli alunni che cos’è la matematica esplicitando che essa non è solamente una collezione di sterili formule da applicare, ma cercando di trovare il più possibile un legame con la realtà, o meglio con il loro essere uomini, sfruttando processi mentali che hanno a che fare con il loro agire quotidiano portandoli a sviluppare competenze ed atteggiamenti imprescindibili per i cittadini delle società di domani prima di dar loro delle tecniche di calcolo.

Si è riflettuto sul fatto che mettere in rilievo questo lato della disciplina non è una cosa che va fatta una volta, magari all’inizio dell’anno con una introduzione all’argomento (e nel capitolo 3 è indicata una modalità con la quale questo può essere fatto), ma ogni volta che se ne ha l’occasione vanno trovati i legami concreti con l’attività di problem solving. In caso contrario questo collegamento iniziale rimarrà solo un introduzione poco fruttuosa. Per questo nel capitolo 4 si propone un esempio di come si può trattare ed affrontare un argomento attraverso il problem solving.

Attualmente nella pratica della didattica matematica si hanno due generi di problemi: la scarsa motivazione a far matematica e la scarsa capacità di risolvere problemi; proponendo una matematica “per problemi” potremmo migliorare la competenza negli alunni inerente il problem solving e motivarli facendo loro vedere i processi che portano a costruire matematica È certo che non si può neanche pensare ad una matematica fatta solo di problemi in quanto è imprescindibile che si debba fare anche un lavoro di sistematizzazione del sapere, attraverso strumenti e tecniche che si sono consolidate nel tempo, ma se il processo di motivazione allo studio della materia può aver luogo tramite l’approccio per problemi questo permetterà agli alunni di arricchirsi a livello cognitivo anche di tutte le altre attitudini precipue di questa disciplina (certamente non tutte sviluppabili tramite la risoluzione di problemi) quali: “tutte le facoltà intuitive e logiche, l’educazione ai procedimenti euristici e ai processi di astrazione e di formalizzazione di concetti, la capacità di ragionare induttivamente e deduttivamente, le attitudini sia analitiche che sintetiche, il ragionamento e la riflessione, la capacità di sistemare logicamente e riesaminare criticamente le conoscenze via via acquisite,la facoltà di prendere decisioni…”, contribuendo in modo attivo alla formazione del carattere nei nostri studenti.

INDICE

PRESENTAZIONE

INTRODUZIONE

CAPITOLO 1
1. L’esperienza di tirocinio

CAPITOLO 2
2. Dati internazionali derivanti dal rapporto OCSE PISA
2.1 Caratteristiche del progetto PISA e specificità di PISA 2003
2.2 Risultati della rilevazione PISA 2003

CAPITOLO 3
3. Un approccio all’insegnamento della risoluzione dei problemi
3.1 Motivazioni fondazionali
3.2 Posizione nel curriculum scolastico di tali contenuti
3.3 Obiettivi
3.4 Come approcciarsi all’insegnamento della risoluzione dei problemi
3.5 Tecniche di risoluzione dei problemi
3.5.1 Bottom-up
3.5.2 Top-Down
3.6 Conclusioni della sezione

CAPITOLO 4
4. Proposta di un percorso didattico con approccio al problem solving
4.1 Destinatari del modulo
4.2 Abilità interessate
4.3 Prerequisiti 
4.4 Obiettivi 
4.5 Percorso didattico proposto: le equazioni di secondo grado 

CONCLUSIONI

BIBLIOGRAFIA

  Scarica la tesi di specializzazione SSIS Un approccio al Problem Solving

Il seguente lavoro si propone di evidenziare come lo studio della superficie di Marte è un compito che va trattato tramite la combinazione di tecniche di “remote sensing” (telerilevamento), tecniche “in situ” e tecniche di laboratorio quali analisi spettroscopiche di campioni di origine conosciuta; tale integrazione fornisce un’analisi approfondita e univoca del luogo in esame, permettendo di realizzare un metodo complesso di studio che consenta di eliminare a priori le ambiguità derivanti dalla sola analisi spettroscopica dall’orbita. Questa tesi partecipa al concorso Condividi la tua tesi e vinci un Aplle iPhone 3G.

La dissertazione si compone di quattro parti fondamentali: (1) descrizione globale del pianeta Marte così come lo conosciamo; (2) descrizione della composizione delle unità marziane di particolare interesse – superficie e sottosuolo -; (3) un riferimento ad uno strumento di telerilevamento di particolare interesse, lo spettrometro OMEGA della missione Mars Express; (4) descrizione dell’esperienza di laboratorio nell’analisi e nella selezione di particolari campioni, le cui caratteristiche riflettono (o possono essere combinati in modo tale da riflettere) le caratteristiche del suolo di Marte.

INDICE

INTRODUZIONE

CAPITOLO 1: CARATTERISTICHE DI MARTE 
PROPRIETA’ GLOBALI
Fenomeni Atmosferici
Tempeste di Sabbia
Pianure e Altopiani
Canyon & Calotte Polari
CRATERING
Morfologia dei Crateri
Degradazione dei Crateri
Datazione tramite Conteggio dei Crateri
Limiti legati al Conteggio dei Crateri
L’ATMOSFERA DI MARTE
TETTONICA
VULCANISMO
I Grandi Edifici Geologici Marziani Mineralogia Marziana
UNA PROBABILE EVOLUZIONE IDROGEOLOGICA
Il problema dell’Acqua: quando e come Ghiacci
NUCLEO
IL CAMPO MAGNETICO DI MARTE
LE DATAZIONI

CAPITOLO 2: COMPOSIZIONE DELLA SUPERFICIE E DEL SOTTOSUOLO DI MARTE
CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE
Shergottiti
Nakhliti
Chassigniti
Ortopiroxeniti
ANALISI DELLA SUPERFICIE
Caratteristiche Principali
Le Maggiori Unità Superficiali
Materiali Scuri
Terreni Chiari
Minerali Candidati
Composizione della Polvere

CAPITOLO 3: LA MISSIONE MARS EXPRESS
LA SONDA MARS EXPRESS
LO SPETTROMETRO OMEGA
OMEGA scopre l’acqua
Analisi Spettrale

CAPITOLO 4: MISURE IN LABORATORIO
SPETTROMETRIA
MECCANISMI DI ASSORBIMENTO
IL GONIOMETRO
Riferimento
METODO DI MISURA
ANALISI DEI CAMPIONI

CONCLUSIONI

BIBLIOGRAFIA

scarica la tesi completa: Studio di Marte e sua spettroscopia

Il lavoro che presento si inserisce nei programmi ministeriali del liceo scientifico P.N.I. e Brocca triennio; si riferisce al tema 1 (lunghezza della circonferenza e area del cerchio), ma può anche essere ritrovato nel tema 7 (il problema della misura). Si svolge in momenti distinti, ma strettamente collegati, condotti con metodologie diversificate affinché gli alunni siano partecipi dello sviluppo del loro apprendimento.

I° momento:
Lezione di geometria CONTENUTI

1. problema della ricerca del lato del poligono circoscritto ad una circonferenza, noto il lato del poligono inscritto avente lo stesso numero di lati

2. problema della ricerca del lato del poligono inscritto avente numero di lati doppio di quello dato

3. ricerca dei perimetri e delle aree dei poligoni regolari inscritti e circoscritti

[…]

II° momento:Un po’ di storia:
Questo secondo momento dell’unità didattica vede protagonisti esclusivamente gli alunni: seguendo alcune indicazioni bibliografiche fornite dall’insegnante, reperendo materiale nelle biblioteche o online, si richiede agli alunni, che lavoreranno in piccoli gruppi coordinati da uno di loro, di presentare, in una qualunque forma decisa dal coordinamento del gruppo, una breve storia del numero $pi$. I lavori finali verranno poi sintetizzati in un unico prodotto, che sarà considerato la realizzazione di un “progetto della classe” e fatto circolare all’interno della scuola in collaborazione con le insegnanti delle classi parallele.

[…] 

III° momento: uso della TI-92
Riflessione preliminare: La ricerca storica relativa al $pi$, ha fatto conoscere agli alunni il metodo proposto da Archimede nella sua opera “La misura del circolo”: la circonferenza può essere pensata come il contorno di un poligono regolare di infiniti lati, il cerchio come il poligono di infiniti lati. Sappiamo che congiungendo i punti medi dei lati di un triangolo equilatero si ottiene un altro triangolo equilatero in modo tale che il primo sia circoscritto e il secondo inscritto rispetto alla stessa circonferenza.

RIFLESSIONI FINALI
Lo svolgimento di questa unità didattica può essere occasione per introdurre il concetto di successione numerica, di classi contigue e per affrontare la definizione di numero reale. La storia della ricerca del valore di pi greco e delle sue cifre decimali avrà fatto conoscere agli alunni il termine numero trascendente: si può cogliere l’occasione di un approfondimento per affrontare la distinzione tra numeri reali algebrici e numeri reali trascendenti e da questo far riflettere su cosa significhi impossibilità di quadrare il cerchio.

Scarica l’unità didattica Pi greco, storia e mito di un numero antico

Scopo di questa tesi è quello di presentare alcuni problemi di ottimizzazione in ambito didattico. Si definisce il classico problema isoperimetrico in uno spazio euclideo e si danno alcuni argomenti elementari per la sua risoluzione in un piano euclideo. Infine, si riportano i dati raccolti in alcune scuole di istruzione secondaria superiore presso le quali è stato proposto un questionario riportante alcuni problemi di ottimizzazione. Questa tesi partecipa al concorso "Condividi la tua tesi e vinci un Apple IPhone 3G"

INDICE

Presentazione Introduzione 1 1. Il problema isoperimetrico 10 1.1 La disuguaglianza isoperimetrica nel piano 11 2. Disuguaglianze che implicano la disuguaglianza isoperimetrica 19 2.1 La disuguaglianza di Tolomeo 22 2.2 La disuguaglianza di Brahmagpta 26 3. Cenni di teoria geometrica della misura 31 3.1 Basi di teoria della misura 31 3.2 La misura di Hausdorff 38 3.3 Teoremi di ricoprimento 42 3.4 La misura di Lebesgue 43 3.5 Curve e continuità 44 Maria Cristina Migliucci – Esperienze didattiche su problemi di ottimizzazione II 4. Alcuni problemi di massimo e minimo 58 4.1 Il problema di Didone 58 4.2 Il problema del quadrato opaco 60 5. Il test nelle scuole 66 5.1 Conclusioni 70 Appendice 72

Nel primo capitolo si definisce il classico problema isoperimetrico in uno spazio euclideo e si danno alcuni argomenti elementari per la sua risoluzione in un piano euclideo. In particolare si fornisce una recente dimostrazione della disuguaglianza isoperimetrica, la quale non include però una vera e propria caratterizzazione dell’uguaglianza. Successivamente si prova la disuguaglianza isoperimetrica usando le serie di Fourier.

Nel secondo capitolo, si cerca di risolvere il problema isoperimetrico per i quadrilateri nel piano con quattro lati assegnati senza ricorrere all’utilizzo della disuguaglianza isoperimetrica dimostrata nel primo capitolo. Si giungono così a dimostrare la disuguaglianza di Tolomeo e la disuguaglianza di Brahmagupta e la proprietà del massimo per i quadrilateri in entrambi i casi.

Nel terzo capitolo si definisce la misura di Hausdorff e si scorrono le sue proprietà basilari. Ci si interessa poi particolarmente di insiemi di dimensione s , gli s insiemi: insiemi di dimensione finita di Hausdorff diversa da zero. Si caratterizzano poi gli insiemi come sottoinsiemi di unioni numerabili di curve o superfici rettificabili presentando così una teoria degli insiemi misurabili linearmente , cioè degli 1 insiemi in R² . In ultimo si dimostra il risultato di Blaschke (teorema 3.18), che rappresenta una delle basi per la dimostrazione dell’esistenza di una curva di massima misura con specifiche proprietà.

Nel quarto capitolo si propone poi la soluzione di due problemi di ottimizzazione: il classico problema di Didone, dimostrato con un approccio puramente geometrico attraverso la “manovra di Steiner”, ed il problema di Fred Almgren, più noto come il problema del quadrato opaco, la cui dimostrazione si basa appunto sul teorema di selezione di Blaschke.

Nel quinto capitolo, infine, si riportano i dati raccolti in alcune scuole di istruzione secondaria superiore presso le quali è stato proposto un questionario riportante alcuni problemi di ottimizzazione.

 Scarica la tesi completa: Esperienze didattiche su problemi di ottimizzazione

M. è un alunno affetto da dislessia inserito in una classe quarta. Dopo aver conseguito, con un anno di ritardo per aver ripetuto la classe terza, il diploma di qualifica in operatore servizi di cucina, frequenta il biennio per conseguire la qualifica di secondo livello in tecnico servizi ristorativi. La dislessia gli è stata diagnosticata in 3-4 elementare e quindi gli è stato assegnato da subito un docente di sostegno. Questa tesi partecipa al concorso Condividi la tua tesi e vinci un Apple I-Phone 3G.

Indice: 1. Il quadro generale – Il contesto legislativo – Il contesto scolastico studiato: una sintesi. – La scuola si confronta con Bisogni Educativi Speciali. 2. Il soggetto. – Il caso osservato. 3. Il contesto ambientale ed organizzativo – Descrizione dell’Istituto: la nascita, il territorio, l’utenza, la struttura. 4. I metodi. – Il percorso curricolare. – Lo stage. – Le metodologie didattiche. 5. I linguaggi specifici. Bibliografia.

Allegati:
A. Programma del Corso di aggiornamento per docenti delle scuole di ogni ordine e grado: “Strategie e metodi per la motivazione agli apprendimenti”.
B. Piano Educativo Personalizzato
C. Dislessia e DSA: strumenti compensativi e misure dispensative
D. Percorso didattico realizzato in Power Point per sviluppare competenze di autonomia personale (organizzazione di un viaggio: itinerario).

 Scarica la tesi La motivazione all’apprendimento.

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L’intento è mostrare quali siano i risultati conseguibili in una classe dove l’insegnante decide di adottare un approccio socio-costruttivista, ovvero propone attività che consentano la costruzione degli apprendimenti da parte dei bambini, riconosciuti come individui attivi e competenti e inseriti in un contesto sociale e culturale interattivo. Più in particolare l’interesse si focalizza sui vantaggi che si possono riscontrare conducendo un percorso geometrico imperniato sulla didattica per problemi, che fa quindi del problema il suo elemento cardine.  Questa tesi partecipa al concorso "Condividi la tua tesi e vinci un Apple Iphone 3G"

La relazione si suddivide in tre capitoli, che forniscono dati ed informazioni per sostenere la tesi secondo cui questa modalità di procedere a scuola è valida, in quanto supportata sia dagli studi e le ricerche teoriche sia dalla pratica didattica. I risultati conseguibili non si esauriscono nell’acquisizione di conoscenze e competenze disciplinari, ma vanno anche a toccare aspetti come l’interesse, la motivazione, la capacità di lavorare in gruppo, lo sviluppo dei processi cognitivi e metacognitivi, il superamento di convinzioni ed immagini stereotipate.

Il primo capitolo fornisce le fondamenta teoriche del percorso e riporta le motivazioni che sono state alla base di tutte le scelte realizzate nella pratica. Qui si riflette innanzitutto su come l’interesse personale unito alla volontà di far emergere un’autentica idea di matematica, superando convinzioni ed immagini stereotipate diffuse, mi abbiano portato ad occuparmi di questa disciplina. Quindi si tratta l’importanza del problema nella matematica, andando ad analizzare i fondamenti di quell’approccio didattico noto in ambito internazionale come Problem-Based Learning e traducibile in italiano come didattica per problemi. Infine si spiegano le ragioni dell’uso di uno strumento di valutazione come il test, che è stato utile per confrontare i risultati emersi nella classe che ha seguito il percorso con quelli registrati da altre classi di controllo.

Il secondo capitolo si cala più nella pratica e ricostruisce gli aspetti più importanti del percorso. Lo scopo di questa trattazione è duplice: fornire maggior chiarezza al lavoro, avvicinando il lettore a ciò che è stato realizzato in concreto con i bambini, ma anche raccogliere dati significativi per le riflessioni conclusive. Se in primo luogo ci si preoccupa di contestualizzare il percorso, in un secondo momento si ricostruiscono tutti gli elementi che hanno caratterizzato quest’esperienza di insegnamento-apprendimento: la disciplina, l’approccio metodologico, le modalità comunicative, i tempi, gli spazi e i materiali utilizzati, gli obiettivi di apprendimento, i processi cognitivi attivati nei bambini. Il capitolo procede poi dando uno sguardo più approfondito alle attività svolte: i problemi, i test ed altre esperienze realizzate. Qui ho posto in primo piano il contributo dei bambini, senza i quali nulla avrebbe avuto senso; sono quindi descritte e commentate le modalità con cui questi hanno risposto alle attività: i procedimenti e le strategie attivati, gli interventi realizzati, i risultati conseguiti dai gruppi e dai singoli alunni.

Infine il terzo capitolo tira le fila di tutto il discorso, arrivando a delle riflessioni conclusive che si articolano in tre passaggi. Dapprima è analizzato criticamente il percorso effettuato, evidenziando quelli che a mio parere sono stati i suoi punti di forza e di debolezza; poi sono valutati i risultati raggiunti, ovvero i cambiamenti e i miglioramenti riscontrati nei bambini in seguito alla partecipazione alle attività proposte; infine si tenta una generalizzazione del discorso, integrando i contributi teorici con i dati provenienti dalla pratica ed arrivando a rispondere alla domanda da cui è partito tutto il lavoro: perché una didattica per problemi in geometria?

Indice

Introduzione
CAPITOLO 1- Le motivazioni alla base del percorso – 1.1 Introduzione – 1.2 Perché un percorso di matematica? – 1.3 Perché una didattica per problemi? – 1.4 Perché un test? –
CAPITOLO 2- La ricostruzione del percorso – 2.1 Introduzione – 2.2 Il contesto scolastico – 2.3 Una breve ricostruzione del percorso – 2.4 Uno sguardo alle attività – 2.4.1 Lo schema delle attività – 2.4.2 Il test iniziale – 2.4.3 Il primo problema: “Il contadino Johnny” – 2.4.4 La misurazione del perimetro di ambienti ed oggetti reali – 2.4.5 Il secondo problema: “Il circuito di Formula Uno” – 2.4.6 Il terzo problema: “Quanta erba per la mucca Viola!” – 2.4.7 La costruzione di figure con il cartoncino – 2.4.8 Il quarto problema: “Un nuovo pavimento” – 2.4.9 Il quinto problema: “Taglia e ritaglia” – 2.4.10 La costruzione delle formule per il calcolo dell’area – 2.4.11 Il test finale – 
CAPITOLO 3 – Riflessioni conclusive – 3.1 Introduzione – 3.2 Uno sguardo critico al percorso – 3.3 I risultati raggiunti 3.4 – I vantaggi dell’uso di una didattica per problemi

Sitografia

Per la consultazione di test nazionali ed internazionali per la valutazione degli apprendimenti:
Illinois Standards Achievement Test (ISAT):
www.isbe.net/assessment/isat.htm

Massachussets Comprehensive Assessment System (MCAS):
www.doe.mass.edu/mcas

Test Invalsi:
www.invalsi.it/invalsi/index.php

Per la consultazione di materiali operativi per una didattica per problemi:
www.quadernoaquadretti.it
http://eduplace.com/math/mthexp
www.math.unipr.it/~rivista/RALLY/Edizioni.htm 

 Laura Bassani, Forme, misure e costruzioni: perché una didattica per problemi in geometria?

 All’inizio dei corsi che compongono il biennio di specializzazione SIS avevo venticinque anni e provenivo da quella scuola che “forma” le menti scientifiche dei suoi allievi utilizzando il dogma empirico. Io stesso ho provato sulla mia pelle l’ebbrezza della tipica consegna “e ora ditemi cosa osservate”. In questo la SIS mi ha piacevolmente stupito. Perché sono rimasto gradevolmente sorpreso da quanto ho appreso durante la SIS? Perché l’ho trovato utile per il mio futuro! Voglio provare ad argomentare questa mia asserzione. [Questa tesi partecipa al concorso "Condividi la tua tesi e vinci un iPhone 3G"]

Grazie ai continui confronti/scambi avvenuti all’interno dei laboratori disciplinari con i miei futuri colleghi, alle esperienze di tirocinio e alle nozioni derivanti dai corsi trasversali di scienze dell’educazione sono convinto che entrerò in classe con un diverso approccio didattico da fornire ai miei futuri all’allievi. Diverso rispetto a come è stata presentata la disciplina al sottoscritto, sia durante le scuole medie superiori, ma anche all’università dove il tempo era appena sufficiente per trasmettere teorie, dimenticandosi completamente il “come mai le cose vanno così”.

La conseguenza di tutto ciò era la convinzione, nel sottoscritto, che l’insegnante di informatica dovesse sì far lavorare i suoi allievi in laboratorio proponendogli di lavorare con il linguaggio di programmazione più in voga al momento, ma ero altresì convinto di infarcire i miei studenti di “conoscenza informatica a go-go” rendendoli supertecnici esperti. Il tempo per i “come mai”, lo avrebbero dovuto trovare altrove, perché la scuola non serve a questo, la scuola deve fornire solo strumenti di lavoro e nozioni.

Sbagliavo. Mi sono reso conto che un buon insegnante scientifico, si adopera per formare delle menti brillanti, pronte ad elaborare loro stesse delle soluzioni ai problemi, senza cadere nell’errore di fornire ricette “pronte all’uso” o peggio ancora ad elargire un’ora di noiosissima lezione esclusivamente nozionistica! Con questo non voglio dire che saper usare gli strumenti e conoscere le nozioni sia totalmente inutile, voglio dire che tutto va proposto in maniera coordinata, sinergica. Gli strumenti di lavoro hanno senso se dietro c’è una mente che sa cosa vuole ottenere utilizzando quello strumento. Il saper usare lo strumento di per se non aggiunge nulla di scientifico, ma solo un’abilità tecnica. Come nulla aggiunge l’esclusiva conoscenza nozionistica. Le nozioni devono essere apprese non come “sapere da conoscere a memoria”, ma come linguaggio della scienza, da utilizzare nel modo e nel momento più opportuno.

L’informatica, come la chimica, la fisica ed in generale le materie scientifiche, ha la grande fortuna di poter far “innamorare” alla causa, se sottoposta nella maniera giusta. Ma, questo avviene solo quando, sia gli allievi che il professore sono predisposti a questo processo. L’idea di scienza come processo e non come prodotto è, secondo il mio parere personale, il vero nocciolo della questione. Pensare alla scienza come un prodotto elimina quel contributo inventivo, che ha come diretta conseguenza l’apatia scientifica. Infatti, il pensiero di dover mettere a disposizione della scienza in primo luogo le capacità osservative e “poi eventualmente la propria intelligenza", allontana giustamente le menti predisposte alla ricerca scientifica e con esse rallenta lo sviluppo scientifico stesso. Per ovviare a ciò si può e si deve fare molto, modificando la trasposizione didattica della scienza in modo da spostare la concezione di punto di partenza della scienza tramite “l’osservazione” verso quella “orientata al problema”.

D’altronde, dal mio punto di vista, la scienza è invenzione, vista come costruzione del sapere. I fatti sono i mattoni necessari per costruire l’edificio, ma se dietro la costruzione non vi è un geometra con un’idea/teoria, anche i fatti stessi perdono di efficacia non potendogli attribuire alcun significato e l’edificio prima o poi crolla. L’aneddoto del cappone induttivista, credo possa rappresentare un ottimo esempio sui “rischi” che corre chi crede che l’osservazione sia la base della scienza. Chiarito questo primo aspetto legato al come insegnare l’informatica, a mio parere è fondamentale soffermarsi sul perché risulti importante, al giorno d’oggi, avere nel proprio percorso di studi una materia come informatica? Una buona risposta può sicuramente essere fornita osservando i calcolatori presenti oggi nel mercato. […]

Come si può notare troviamo la computazione nei settori più disparati della vita di tutti i giorni. In fondo alla scala troviamo i chip singoli incollati all’interno dei biglietti di auguri che suonano  “Buon compleanno”, la marcia nuziale o altre melodie molto comuni.

A seguire troviamo i calcolatori che si trovano in telefoni, televisioni, forni a microonde, CD player, giocattoli, bambole e mille altri prodotti. Nel giro di pochi anni qualsiasi oggetto elettrico sarà dotato di un calcolatore.

Al terzo posto vi sono le macchine per video game, poi si passa ai personal computer (PC) a cui pensano quasi tutti quando sentono la parola “computer”. Questi includono i modelli desktop e notebook. Personal computer potenziati sono spesso utilizzati come server di rete (cioè computer che devono offrire servizi ad altri computer).

Dopo i piccoli server troviamo sistemi composti da molti personal computer, collegati (ad esempio tramite rete di comunicazione) in modo da realizzare una potenza di calcolo elevata, derivata dall’apporto della capacità di computazione di ogni singolo PC. Al settimo posto ci sono i mainframe in uso fin dagli anni ’60. Anche se estremamente costose, queste macchine sono spesso mantenute per via dell’ingente investimento in termini di software, dati, procedure operative e personale. Per molte aziende è più conveniente spendere qualche milione di dollari ogni tanto per acquistarne una nuova piuttosto che fare lo sforzo necessario a riprogrammare tutte le applicazioni per macchine più piccole.

Infine, dopo i mainframe si collocano i supercomputer, utilizzati per risolvere problemi di calcolo molto complicati in campi scientifici e ingegneristici, come, ad esempio, la simulazione di uno scontro fra galassie, la sintetizzazione di nuovi farmaci o i modelli del comportamento dell’aria attorno alle ali di un aereo.

Come si può notare la “fame di computazione” è in continuo aumento è il conoscere e saper usare lo strumento più utilizzato al giorno d’oggi per il calcolare è essenziale. Da una parte la necessità del saperlo utilizzare per gli scopi di tutti i giorni (come si è potuto vedere i calcolatori sono dentro molti apparecchi elettrici), dall’altra il vantaggio del conoscerlo approfonditamente per spendere questa competenza in ambito lavorativo, dove la richiesta di comprensione ed uso dello strumento informatico è in continuo aumento.

La storia ci ha insegnato che è un’esigenza di ogni fase storica possedere e conoscere uno strumento che ci aiuti a risolvere problemi di computazione sempre più complessi ed importanti per lo sviluppo dell’umanità. Quando Nepero inventò/scoprì i logaritmi riuscì a semplificare e velocizzare alcuni calcoli con un grande beneficio per la scienza, in particolare per l’astronomia. Le sfide che la scienza ci propone oggi richiedono uno sforzo computazionale ancora più importante sia per complessità che per velocità di risoluzione.

Quindi, l’approccio ad una disciplina come informatica deve essere vissuto dallo studente come una grande opportunità per avvicinarsi in modo significativo al mondo, teorico e pratico, di uno strumento al giorno d’oggi essenziale per soddisfare il “fabbisogno” di computazione richiesto dalle sfide che la scienza si propone di affrontare e dal mondo lavorativo.

Da questa premessa si può capire molto facilmente che l’insegnamento dell’informatica richiede molta attenzione sia da un punto di vista metodologico che da un punto di vista contenutistico. Noi insegnanti di informatica ci troviamo nella duplice funzione di non dover solo trasmettere nozioni, ma di costruire conoscenza, tenendo però ben presente che l’informatica è una disciplina a metà strada tra scienza e tecnologia e quindi il sapere da costruire deve contenere concetti e nozioni al passo con i tempi per raccogliere la sfide che ci propone la società da un punto di vista lavorativo e dello sviluppo. Ed è proprio grazie alla SIS che oggi mi sento maggiormente preparato ad affrontare questa sfida e partecipare a quella che viene definita la terza rivoluzione educativa.

Come appreso durante il corso di Sociologia, in questa “rivoluzione” il sistema scolastico svolge un ruolo importantissimo per la formazione della qualificazione al lavoro, che può essere considerata a tre livelli: – Conoscenza operativa: applicare determinate abitudini a certe funzioni – Conoscenza professionale: diagnosticare ciascuna situazione per stabilire il procedimento migliore – Conoscenza scientifica: identificare nuovi problemi e produrre sistemi autentici per risolverli, o pure per fronteggiare quelli vecchi. Cresce la domanda di conoscenza scientifica e professionale, laddove diminuisce quella di conoscenza operativa. Si tratta di passare da una conoscenza principalmente concreta ad una astratta e simbolica.

Un capitolo particolarmente importante della esperienza SIS lo ricoprono le attività di tirocinio (sia attivo che osservativo) grazie alle quali ho potuto sperimentare “dal vivo” le nuove competenze acquisite anche grazie al sostegno dei docenti accoglienti con i quali ho potuto confrontarmi. Da queste esperienze, e dai corsi di scienze dell’educazione, ho potuto capire che uno degli aspetti più importanti del rapporto insegnamento-apprendimento, fatte salve le necessarie conoscenze disciplinari, è la relazione. In tal senso l’insegnante deve acquisire una professionalità relazionale fondata sulle capacità di comprendere e capire, dove queste implicano la capacità di gestire l’incontro con l’altro per promuovere l’apprendimento e crescita. Il presente lavoro illustra le attività di tirocinio svolte dal 18.12.2007 al 15.01.2008 e dal 16.01.2008 al 08.02.2008 nelle classi 5 A Informatici Sirio e 5 B Informatici Abacus. L’intervento didattico si è svolta durante le lezioni di “Sistemi di elaborazione e trasmissione delle informazioni”.

È mia intenzione presentare le due esperienze simultaneamente, per fare uno spontaneo raffronto tra un’esperienza presso un corso serale e un corso diurno dello stesso istituto. Per facilitare il confronto tra le due esperienze, ho trattato in entrambi i casi lo stesso argomento “i protocolli applicativi di Internet” utilizzando però strumenti didattici e metodologici ben differenti, come emergerà da questa relazione. Il mio obbiettivo è proprio quello di mettere in evidenza come, pur trattando gli stessi argomenti, nello stesso identico istituto, la didattica da applicare è ben differente ed essa dipende da alcune variabili quali, in primo luogo, gli studenti stessi componenti il gruppo classe ed in secondo luogo da altri fattori, come la preparazione fornita dal docente ordinario stesso, quella fornita dagli altri insegnanti della classe, etc.

INDICE

Premessa
Parte prima: Le teorie di riferimento – 1.1 Modello teorico didattico – metodologico di riferimento – 1.2 Scelta dei contenuti in relazione alla disciplina e alle sue caratteristiche – 1.3 Scelta delle modalità dell’intervento e degli strumenti da privilegiare.
Parte seconda: Il progetto – 2.1 Contesto d’indirizzo e di classe in cui si inseriscono gli interventi didattici – 2.2 Scelta dei contenuti in relazione alla programmazione progettata dall’insegnante titolare e ai prerequisiti degli studenti ai quali si rivolge – 2.3 Descrizione sintetica del progetto dell’intervento didattico
Parte terza: Analisi del processo – 3.1 Svolgimento dell’intervento didattico e differenze fra intenzioni iniziali e intervento effettuato – 3.2 Osservazioni relative agli aspetti relazionali – 3.3 Analisi critica dei risultati della verifica – 3.4 Riflessione critica sull’esperienza didattica condotta, per identificare gli aspetti positivi o da correggere o per formulare proposte più efficaci.
Parte quarta: Aspetti metacognitivi dell’attività svolta – 4.1 L’epistemologia e la storia nella didattica dell’informatica – 4.2 Conclusioni e riflessioni generali sulle esperienze SIS e di insegnamento – Bibliografia essenziale.

Allegati
Allegato 1 Estratto dal POF dell’ITIS “A. Avogadro”
Allegato 2 Piano di lavoro Classe V A Sirio
Allegato 3 Piano di lavoro Classe V B Abacus
Allegato 4 Materiale fornito dal Tirocinante per la classe V A Sirio
Allegato 5 Materiale fornito dal Tirocinante per la classe V B Abacus
Allegato 6 Verifica Classe V A Sirio
Allegato 7 Verifiche Classe V B Abacus

Scarica la relazione finale tirocinio SIS – Scarica l’allegato 4 – Scarica l’allegato 5.

I punti notevoli del triangolo sono stati i protagonisti di una notevole quantità di articoli e libri , la cui produzione toccò il suo massimo a fine ’800. Recentemente alcuni matematici come, per esempio, R.Kimberling, hanno ritrovato interesse per i punti notevoli del triangolo. Sorprendentemente, invece, non sono stati portati avanti analoghi studi sui punti notevoli del quadrangolo e del quadrilatero. Per il quadrilatero completo (quattro lati e sei vertici) si può fare riferimento ai contributi di G. Steiner; mentre per quanto riguarda il quadrangolo completo (quattro vertici e sei lati) la bibliografia si riduce a qualche decina di articoli, tra loro disconnessi. Uno studio sistematico di questo argomento è stato fatto da B. Scimemi, che si è avvalso anche della collaborazione di alcuni suoi studenti. Qui si trova la descrizione e lo studio delle proprietà di alcuni punti notevoli del quadrangolo completo.

Tesi presentata per il concorso "Condividi la tua tesi e vinci un Apple iPhone 3G"

Indice Introduzione – 0.1 Notazione – 1 Alcuni Punti Notevoli e Similitudini del Trapezio – 1.1 Baricentro – 1.2 O-centro – 1.3 H-centro – 1.4 N-centro – 1.4.1 Alcune Proprietà di H – 1.5 Punto J – 1.6 Quadrilateri Complementari e Punto di Miquel – 2 Teoremi Specifici del Trapezio – 2.1 Mediana Principale e Retta OH del Trapezio – 2.2 Alcune Proprietà del Punto di Miquel del Trapezio –  2.3 Trapezio Isoscele (Ciclico) – 2.4 Parallelogramma – 3 Descrizione Analitica del Trapezio – 3.1 Caso Generale (Quadrangolo non Ortogonale) – 3.2 Casi Particolari – 3.2.1 Trapezio Ciclico – 3.2.2 Parallelogramma – 3.2.3 Rettangolo – 3.2.4 Trapezio Ortogonale – 3.2.5 Trapezio Ortogonale e Ciclico – 3.2.6 Rombo – 3.2.7 Quadrato – 4 Ricostruzione del Trapezio – 4.1 Ricostruzione a partire da G, O, H, M – 4.1.1 Luogo di O – 4.1.2 Luogo di M – 4.2 Ricostruzione del trapezio isoscele.

Bibliografia
[1] JP. Ehrmann, Steiner’s Theorems on the Complete Quadrilateral, Forum Geometricorum, Volume 4 (2004) 35-52;
[2] M. Happach, Zeitschrift f¨ur Math. und Nat. Unterricht, 43, p.175, 1912;
[3] R.A. Johnson, Modern Geometry, An Elementry Treatise on the Geometry of the Triangle and of the Circle;
[4] C. Kimberling, Triangle Centers and Central Triangles, Congressus Numerantium, Vol. 129;
[5] B. Scimemi, Gruppi di trasformazioni geometriche, Isometrie e similitudini nel piano euclideo;
[6] B. Scimemi, Paper-folding and Euler’s Theorem Revisited, Forum Geometricorum, Volume 2 (2002) 93-104;
[7] B. Scimemi, Punti Notevoli del Quadrangolo Completo, inedito;
[8] M. Zausa, Punti, Rette e Coniche Notevoli del Quadrangolo Piano Completo, 1999

 Scarica la tesi completa Studio di Alcuni Punti Notevoli del Trapezio

In questo lavoro propongo un’attività didattica per studenti della scuola media o del primo biennio superiore. L’obiettivo è quello d’introdurre lo studio delle proprietà dei quadrilateri attraverso la lettura di un racconto di fantasia che incuriosisca i ragazzi. In una fase successiva essi dovranno individuare delle figure, disegnarle (con riga e compasso o con software di geometria dinamica) ed esplorarne le proprietà. In tutte le fasi il docente guiderà la discussione con la classe fino a pervenire alla sistemazione teorica dei contenuti.