Il calcolo infinitesimale è stato uno degli strumenti più importanti per lo sviluppo di molte teorie nel campo delle scienze e in particolare della matematica. Margaret Baron nel suo The origins of the infinitesimal calculus paragona il concetto di calcolo ad un grande albero con le radici nell’aritmetica, nell’algebra e nella geometria, e un potente tronco a sostegno di una vasta rete di rami: l’albero cresce in altezza quanto più forti sono le radici e i rami, poi una volta separate dalle principali le discipline si diramano ulteriormente, fino a divergere così tanto da mai più riunirsi.

Il calcolo infinitesimale è stato il principale strumento per l’esplorazione delle risorse della terra, per i grafici dei cieli, per la costruzione della moderna tecnologia e in quelle applicazioni che si verificano ovunque esistano fenomeni misurabili: gravitazione, calore, luce, suono, elettricità, magnetismo e onde radio.

Praticamente ogni importante sviluppo scientifico e matematico dal 1600 al 1900 è stato collegato in un modo o in un altro al metodo differenziale o integrale. “Ritengo di poter affermare che nessuna disciplina scientifica ha avuto sulle altre Scienze un impatto così vasto e profondo come il Calcolo infinitesimale. Esso ha costituito un’autentica svolta nell’umano pensiero e, con le scoperte scientifiche che ha originato e le realizzazioni tecniche che ha permesso, ha contribuito, in modo determinante, al progresso ed al benessere del genere umano […].”

Il calcolo, tuttavia, è molto di più di uno strumento tecnico: si tratta di una raccolta di idee matematiche astratte accumulate per lunghi periodi di tempo. Il fondamento e il concetto centrale di oggi, però, non sono ciò che sono stati negli ultimi secoli. La forza unificante e la ricchezza del suo campo di applicazione dipendono non solo da ciò che il calcolo è ora, ma da tutti i concetti che hanno contribuito in un modo o nell’altro alla sua evoluzione.

È sbagliato però pensare che il problema dell’infinitamente piccolo sia sorto solo in tempi così moderni, poiché ne troviamo tracce anche nell’antichità, soprattutto nella matematica greca. Allora la mentalità e i problemi analizzati presupponevano un metodo diverso di procedere, cercando di ridurre il conflitto tra le richieste di rigore matematico e la natura dell’infinitamente grande e dell’infinitamente piccolo che conduceva continuamente a paradossi e anomalie. Tra i tanti matematici greci che si occuparono di questi problemi spicca la figura di Archimede di Siracusa.

Archimede può in qualche modo essere concepito come il precursore di quella fisica-matematica che oggi si basa quasi esclusivamente su procedimenti infinitesimali. Egli fornisce un vero e proprio metodo di analisi volto a divulgare questi procedimenti giudicati importanti dallo stesso matematico siracusano. I problemi affrontati da Archimede e qui riproposti sono poco o quasi per nulla conosciuti e affrontati nella scuola forse perché ritenuti troppo prolissi e complicati.

È noto il fatto che le questioni di cui si occupava Archimede erano tra le più insolite, ma proprio questo le rendeva sicuramente interessanti e stimolanti.

In questo lavoro abbiamo provato ad affrontare questi problemi cercando di utilizzare metodi nuovi e strumenti tecnici che potrebbero essere efficaci.

Facendo uso del Cabri Géomètre abbiamo realizzato disegni dinamici e non, che ci hanno permesso sia di semplificare le stesse dimostrazioni di Archimede, sia di proporne altre che, grazie alla dinamicità della figura, si riducono a pochi passaggi. Prendendo spunto dal pensiero di Jacques Hadamard che nel 1945 così scrive sulla psicologia dell’invenzione in campo matematico: “l’invenzione è scelta” e “questa scelta è governata dal senso della bellezza”, abbiamo cercato prevalentemente di realizzare disegni esteticamente piacevoli, puntando sull’accostamento dei colori, su chiaroscuri e trasparenze in modo da evidenziare i particolari. Abbiamo ancora cercato di essere più chiari e brevi possibile, provando ad utilizzare i colori in luogo delle lettere in maniera tale da evidenziare le figure e associando i file di Cabri, che permettono il “movimento” delle figure stesse, per cercare di ridurre al massimo i passaggi matematici. Tutto questo con lo scopo di alleggerire e rendere “appetibili” le dimostrazioni archimedee e provare così ad utilizzarle anche a scuola, cercando di stimolare l’intuizione e le capacità intellettive dello studente.

La tesi si divide in 4 capitoli.

Il primo vuole mettere in evidenza alcuni aspetti didattici del calcolo infinitesimale, come viene proposto a scuola e alcune difficoltà che potrebbe suscitare negli studenti.

Nel secondo capitolo vengono presentati gli strumenti didattici che potrebbero essere d’aiuto al processo di apprendimento degli studenti. Questi strumenti sono di facile utilizzo, ma purtroppo ancora poco introdotti nelle scuole italiane.

Nel terzo capitolo abbiamo esposto le descrizioni dei periodi storici, presentando il pensiero matematico dei greci ed in particolar modo lo sviluppo del concetto di “indivisibile”, passando da Democrito ad Aristotele, Eudosso ed Euclide, fino ad arrivare ad Archimede. Del famoso matematico siracusano abbiamo dato una breve biografia, con noti aneddoti (leggendari e non) sulla sua vita ed accennato ad alcuni suoi importanti lavori, al fine di fornire un quadro più completo possibile della situazione in cui le scoperte matematiche sono state fatte. Pensiamo, infatti che, la storia fornisca un ottimo supporto per capire il significato di molti avvenimenti. Non di meno gli aneddoti storici e i percorsi che portano i matematici alle loro scoperte, potrebbero stimolare la curiosità e offrire motivazioni in più per lo studio. Infine, negli ultimi due paragrafi di questo capitolo abbiamo esposto, nelle linee generali e con un esempio, il Metodo di Esaustione di Eudosso e il Metodo meccanico di Archimede, quest’ultimo basato sull’equilibrio della leva.

L’ultimo capitolo contiene le dimostrazioni archimedee e alcune proposte di dimostrazioni differenti degli stessi risultati. In particolare abbiamo trattato:
1) lo studio dell’"unghia cilindrica",
2) l’intersezione di due cilindri retti (problemi presenti nel Metodo, ritrovato solo nel 1906),
3) l’area della spirale di Archimede.

In queste dimostrazioni abbiamo cercato di affiancare ai passaggi matematici di Archimede, alcune figure (non presenti nel testo archimedeo) che li potessero chiarire meglio. Abbiamo realizzato alcune "bilance", per provare a rendere visibile l’applicazione del principio della leva di cui Archimede si serve in queste dimostrazioni. E nella seconda dimostrazione riguardante l’"unghia cilindrica", abbiamo provato a utilizzare le "funzioni" (strumento sconosciuto ad Archimede) per rendere scorrevoli alcuni passaggi. Infatti, in questa dimostrazione si possono trovare molti richiami a proposizioni presenti in altre opere, come le Coniche di Apollonio, gli scritti di Aristotele e Euclide o ancora opere archimedee precedenti al Metodo.

Successivamente abbiamo provato a semplificare le stesse dimostrazioni archimedee e a servirci di questi risultati per ottenere da esse altri risultati e considerazioni. Sfruttando il movimento prodotto da Cabri abbiamo ricavato l’area della superfice e il volume della sfera, l’area della superfice e il volume dell’unghia cilindria e l’area della sinusoide con dimostrazioni geometriche e "dinamiche". Attraverso una nuova trasformazione, la "radialità", che permette di avvolgere una figura attorno ad un cerchio in modo tale da avere una certa proporzionalità tra l’area della superfice della figura di partenza e quella ottenuta dopo la trasformazione, abbiamo ricavato, oltre all’area della spirale di Archimede, anche quella della cardioide, e abbiamo dato vita ad alcuni "fiori" grazie alla trasformazione radiale di un cerchio.

Indice

INTRODUZIONE

Capitolo 1
ALCUNI ASPETTI DIDATTICICI DEL CALCOLO INFINITESIMALE

   1.1 Calcolo infinitesimale a scuola 
   1.2 Calcolo infinitesimale e il computer 
   1.3 Dimostrazioni matematiche e immagini mentali

Capitolo 2
STRUMENTI DIDATTICI

   2.1 Gli strumenti a disposizione: ieri e oggi 
      2.1.1 Le calcolatrici grafiche 
      2.1.2 Un nuovo software: il CABRI GÉOMÈTRE 
      2.1.3 Un aiuto dalla rete: il CABRI JAVA 
   2.2 Le motivazioni per l’utilizzo di software di geometria dinamica (DGS

Capitolo 3
LE RADICI DEL CALCOLO INFINITESIMALE

   3.1 Il pensiero matematico greco 
   3.2 Archimede di Siracusa 
   3.3 Il metodo di esaustione 
   3.4 Un esempio del metodo di esaustione tratto dalla Misura del cerchio 
   3.5 Il Metodo meccanico di Archimede

Capitolo 4
TEOREMI ANTICHI CON NUOVE SOLUZIONI
   4.1 Due teoremi dal Metodo di Archimede 
      4.1.1 L’unghia cilindrica 
         – I risultati di Archimede 
         – Nuove soluzioni e applicazioni 
         – Area e volume della sfera
         – Area della superficie curva e volume dell’unghia cilindrica
         – Area della sinusoide
      4.1.2 L’intersezione dei cilindri 
         – Il risultato di Archimede 
         – Nuova soluzione e alcune considerazioni 
   4.2 Da Sulle Spirali 
      4.2.1 La spirale di Archimede 
         – L’area della spirale determinata da Archimede 
         – Le “radialità
         – Area della spirale di Archimede (Nuova soluzione
         – Calcolo di altre aree 
         – Area dell’artiglio 
         – Area della cardioide
         – Area del solido iperbolico acutissimo

APPENDICE 1: Somma dei quadrati degli interi

APPENDICE 2: Elenco dei siti che utilizzano CABRI Géomètre e CABRI JAVA

BIBLIOGRAFIA

ACCASCINA G., TOMASI L., Intervista a Jean-Marie Laborde, l’ideatore di Cabri Géomètre, “CABRIRRSAE” Bollettino degli utilizzatori di Cabri Géométre, Ottobre 2003, n° 37.

ACCASCINA, G., BATINI, M., DEL VECCHIO, F., MARGIOTTA, G., PIETROPOLI, E., VALENTI D., Problem posing e problem solving con Cabri, Progetto Alice, n° 14, 2004, 217-242.

ATIYAH M. F., Siamo tutti matematici, Di Renzo Editore, Roma 2007.

BAGNI G. T., Il metodo di esaustione nella storia dell’analisi infinitesimale, Periodico di Matematiche VII, 4, 1/2 1997, 15-33.

BARON M. E., The origins of the infinitesimal calculus, Pergamon, 1969.

BARONCELLI G., BUCCIANTINI M. E PORTA M., E. J. Dijksterhuis, Archimede. Con un saggio bibliografico di Wilbur R. Knorr, Ponte delle Grazie, Firenze, 1989.

BARRA M. ET ALII, Movimento, percezione e dimostrazione. L´insegnamento della matematica e delle scienze integrate, Progetto Alice, Vol.29A-B, n° 4, 2006, 313-346. BARRA M., Avviamento alla dimostrazione e all’uso di simboli attraverso termini concreti. Trasformazioni dei poliedri platonici in poliedri archimedei, Progetto Alice, Vol. 7, n° 7, 2006, 209 – 240.

BARRA M., Cabri e i suoi aspetti dinamici per calcolare in modo nuovo le misure della sfera, il volume del cono, le sezioni del cilindro e le aree della sinusoide e della “cordiforme”. Applicazioni alla cartografia, Progetto Alice, Vol. 5, n° 14, 2004, 271 – 304.

BARRA M., Knowing how to prove, in Proceedings of the XXXVII, CIEAEM (Leiden,1985),1986, 206-215, e in Proceedings of the IV-éme Ecole d’Eté de Didactique des Mathematiques (Orleans,1986), 175-183.

BARRA M., Una nuova trasformazione non lineare resa possibile dalle proprietà dinamiche di Cabri: gli avvolgimenti radiali. Baricentro della sinusoide, area del cerchio, della spirale di Archimede, della Cardioide e di altre curve, determinati in modo nuovo. Fiori matematici, Progetto Alice, Vol. 5, n° 14, 2004, 305 – 330.

BARTOCCI C., Geometria e caso: scritti di matematica e fisica di Henri Poincaré, Bollati Boringhieri, Torino, 1995.

BONAVOGLIA P., Il ritorno all’infinitesimo, Progetto Alice, Vol. 5, n° 14, 2004, 345 – 365. BORTOLOTTI E., L’Opera geometrica di Evangelista Torricelli, Monatsh. Math. Phys. 48, 1939, 457-486. BOYER C. B., Storia della matematica, Oscar Saggi Mondadori, Milano, 1980.

CASTELNUOVO E., 1982, Didattica della matematica, La Nuova Italia, Firenze, 1982.

CASTELNUOVO E., L’ officina matematica. Ragionare con i materiali, La Meridiana, Molfetta, 2008.

CASTELNUOVO G., Le origini del calcolo infinitesimale nell’era moderna, Zanichelli, Bologna, 1962.

CELENTANO A., CRESPINA E., Sull’insegnamento dell’analisi infinitesimale nella scuola: considerazioni e proposte, Progetto Alice, Vol. 5, n° 14, 2004, 367 – 387. CRESCI L., Le curve celebri. Invito alla storia della matematica attraverso le curve piane più affascinanti, Franco Muzzio Editore, Roma, 2006. CRESPINI E., CabriJava: Analisi di costruzioni interattive, Progetto Alice, Vol. 5, n° 14, 2004, 389 – 406. DE FINETTI B., Contro la matematica per deficienti, Periodico di matematiche, n°1-2 maggio, Zanichelli, Bologna, 1965. DE FINETTI B., Matematica Logico Intuitiva, Edizioni Cremonese, Roma, 1959. FICHERA G., Il calcolo infinitesimale alle soglie del duemila, Rend. Suppl. Acc.Lincei, s. 9, v. 4, 1993, 69-86. FRAJESE A., MACCIONI L., Gli elementi di Euclide, Utet, Torino, 1970. FRAJESE A., Opere di Archimede, Editrice torinese, Torino, 1974. GIUSTI E., Bonaventura Cavalieri and the theory of indivisibles, Edizioni Cremonese, Firenze, 1980. HADAMARD J., La psicologia dell’invenzione in campo matematico, a cura di B.Sassoli, Cortina, 1993. HEATH T., A Hystory of Greek Mathematics, Dover Publications, New York, 1981. HEATH T., The Works of Archimedes, Dover Publications, New York, 2002. HEIBERG J. L., Archimedis opera omnia cum commentariis Eutocii, iterum edidit, Vol I, II, III, Lipsiae, 1910. LOMBARDO RADICE L., La matematica da Pitagora a Newton, Editori riuniti, Roma, 1992. LORIA G., Le scienze esatte nell’antica Grecia, Hoepli, Milano, 1914. NAPOLITANI PIER DANIELE, “Le scienze”, Archimede, Ottobre 2001, anno IV, n° 22. NETZ R. E NOEL W., Il codice perduto di Archimede. La storia di un libro ritrovato e dei suoi segreti matematici, BUR saggi, 2008. RUFINI E., Il “metodo” di Archimede e le origini del calcolo infinitesimale nell’antichità, Casa editrice di Alberto Stock, Roma, 1926. The Archimedes Palimpsest. Thursday 29 October 1998, Christie’s, New York, 1998. VER EECKE P., Les coniques d’Apollonius de Perge, Desclee, De Brouwer et Cie, Bruges, 1923. ZEUTHEN H. G., Histoire des mathematiques dans l’antiquite et le moyen Age, a cura di J. Mascart Gauthier-Villars, Paris, 1902. SITOGRAFIA – http://www.cs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/contents.html
http://www.mcs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/contents.html – http://www.thewalters.org/archimedes/frame.html
– http://www.archimedespalimpsest.org/
– http://www.history.mcs.st-and.ac.uk/
– www.fardiconto.it
– http://education.ti.com/
– http://www.arkeomania.com/macchinearchimede.html
– http://www.mondogreco.net/archimede.htm
– http://www.medioevoitalia.com/italia/index
– http://www.galleriaroma.it/Siracusa/Monumenti/Monumenti%20Greci/La tomie.htm
– http://www.matmedia.it
– http://www.ibolli.it/
– http://www.astrofilisiciliani.org
– http://brunelleschi.imss.fi.it/museum/isim.asp?c=500164

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Il fenomeno e-learning è diffuso nel panorama della formazione a distanza da circa un decennio. Il termine e-learning evoca subito qualcosa inerente all’elettronico (dalla “e” posta innanzi al termine learning), e così è. L’electronic learning nasce per integrare o sostituire la formazione in presenza in diversi ambiti sociali: dalle aziende, alle università, alle scuole. La concezione di e-learning, diremo qui, di “prima generazione” prevede schemi fissi, dei software opportunamente configurati (piattaforme LMS), che permettono la fruizione di contenuti didattici da parte degli utenti finali. Tale fruizione avviene, in un primo momento, tramite l’ausilio di supporti informatici (cd-rom, floppy disk) per poi adattarsi alla rete Internet. È stata proprio Internet a dare un impulso grande, e soprattutto inaspettato, all’e-learning.

Questa tesi partecipa al concorso "Condividi la tua tesi e vinci tre Apple iPhone 3G".

La rete delle reti ha, a distanza di qualche anno, quasi del tutto soppiantato i supporti “locali”, andando a costituire il mezzo di maggiore impiego alla somministrazione della formazione in formato digitale.

A questa realtà, ormai affermata, si è affiancata la naturale evoluzione di Internet. Si è passati dall’internet statico, all’internet dinamico. Dal Web 1.0 al Web 2.0. In altre parole, si è passati dalla centralizzazione delle informazioni alla decentralizzazione e dilocazione delle conoscenze, non sono più distribuite dall’alto, ma create e fruite dal basso, in modo orizzontale. Sono sotto gli occhi di tutti i siti che propongono le “live news”, informazioni in tempo reale, ai quali si aggiungono la miriade di blog (stimato ad oggi in circa 71 milioni) che sono sparsi nell’universo di bit che formano il World Wide Web. I blog hanno fatto da testa di ponte per la diffusione capillare del Web 2.0, l’internet creato dagli utenti stessi.

L’e-learning non poteva certo essere immune al nuovo fenomeno Web 2.0 e ne ha tratto gli aspetti migliori, a nostro avviso, consentendo agli studenti di abbandonare la vecchia veste di utenti ai quali venivano impartite, calate dall’alto, informazioni, per assumere la nuova posizione di conversatori, di persone che interagiscono fra loro, creando cultura, scambiando cultura. Il tutto utilizzando i nuovi strumenti che il Web 2.0 mette a disposizione: blog, podcast, social bookmarking, media sharing aggiunti e integrati alle chat, ai forum, all’e- mail preesistenti.

Si sta assistendo, in sintesi, ad una graduale e inesorabile migrazione dalla formazione di tipo statico a quella con caratteristiche dinamiche, dagli spazi virtuali “chiusi” di apprendimento a quelli comuni. In altri termini, si stanno abbandonando le soluzioni software (piattaforme) tipiche dell’elearning di prima generazione per abbracciare la filosofia degli spazi personali di apprendimento, i quali non si limitano alla durata di un corso, ma si propongono di accompagnare lo studente anche dopo la fase formale e circoscritta di apprendimento, nell’ottica tanto auspicata di lifelong learning.

Questo lavoro mira proprio ad analizzare questo fenomeno di transizione, partendo da una precisa analisi della storia che l’e-learning ha vissuto in questi anni con brevi cenni all’evoluzione delle teorie sull’apprendimento, fino a descrivere il successo del fenomeno mediatico del Web 2.0 e di come esso abbia fortemente influenzato l’e-learning degli ultimi anni. Dopo la prima fase descrittiva, verrà proposto un case study, prendendo in esame il progetto nato da un anno nell’ambito del Laboratorio di Tecnologie dell’Educazione dell’Università degli Studi di Firenze: “LTEver”, l’ambiente di apprendimento personale o learning landscape della community LTE. Ne illustreremo la nascita, l’evoluzione, i pregi e l’utilità che tale strumento ha assunto nell’ambito della comunità virtuale che si è creata intorno ad esso.

Indice generale

Introduzione

Capitolo 1 L’E-learning incontra il Web 2.0    
   1- E-learning: l’approccio formale 
      1.1 Storia della formazione a distanza 
      1.2 – Le teorie di base dell’apprendimento 
      1.3 – E-learning: le soluzioni principali 
      1.4 – Le modalità erogative: cosa ha offerto finora la tecnologia 
   2. Il Web 2.0, internet degli utenti 
      2.1 – Web 2.0, nascita di una rivoluzione 
      2.2 – Web 2.0, a che punto siamo? 
   3 – E-learning: l’approccio informale 
      3.1 – E-learning 2.0 – Il volto informale dell’apprendimento

Capitolo 2 Dal Virtual learning environment al Personal learning environment  
   1. VLE, le proprietà del paradigma dominante 
      1.1 Limitazioni dei VLE 
      1.2 – I punti di forza 
   2. PLE, un modello alternativo 
      2.1 Verso una definizione 
      2.2 – E-learning: due visioni a confronto
      2.3 – PLE, tanti strumenti, unico fine: collaborare 
   2 – I motivi di una lenta transizione 
      2.1 – PLE, l’apprendimento del futuro? 
      2.2 – I vantaggi dell’uso dei PLE 
   3. PLE, estensione dell’e-portfolio 
      3.1 – Definizioni a confronto 
      3.2 – L’impatto dell’e-portfolio sull’apprendimento 

Capitolo 3 Un case history paradigmatico: LTEver 
   1 – LTEver, apprendere “per sempre"
      1.1 introduzione 
      1.2 LTEver, apprendere “per sempre 
      1.3 Elgg, creare, collegare, scoprire 
      1.4 Gli strumenti di LTEver 
   2 – LTEver, analisi di utilizzo 
      2.1 Introduzione 
      2.2 Il questionario 
      2.3 Commento sui risultati 
   3 – Prospettive di sviluppo: dove sta andando LTEver 
   4 – Conclusioni

Bibliografia

Ally M. (2004), Foundations of Educational Theory for On line Learning, citato in Anderson T., Elloumi F. (a cura di), pagg. 3-31.
Anderson T., Elloumi F. (a cura di, 2004), Theory and Practice of On line Learning, Athabasca University. In Internet: http://cde.athabascau.ca/online/book/ 
ANEE (2005), E-learning in Italia: una strategia per l’innovazione, Apogeo, Milano.
Attwell G. (2006), Personal Learning Environments, in “The Wales Wide Web”, giugno 2006. In Internet: http://www. knownet.com/writing/weblogs/Graham_Attwell/entries/652 1819364 .
Barret H., Carney J. (2005), Conflicting Paradigms and Computing Purposes in Electronic Portfolio Development . In Internet: http://electronicportfolios.org/portfolios/LEA Journal-BarrettCarney.pdf  
Blackhall L. (2005), Die LMS die! You too PLE!, in “Teach and Learn on line”, novembre 2005. In Internet: http://teachandlearnonline.blogspot.com/2005/11/die-lmsdie- you-too-ple.html 
Buonaiuti G. (a cura di) (2002), E-learning 2.0. Il futuro dell’apprendimento in rete, tra formale e informale, Erickson, Trento.
Calvani A. (2005), Rete, comunità e conoscenza. Costruire e gestire dinamiche collaborative, Erickson, Trento.
Calvani A., Buonaiuti G., Fini A., Ranieri M. (2007), Personal Learning Environment: una chiave di volta per il Lifelong Learning? , in “Atti del IV congresso Sie-l”, EUM, Macerata.
CEDEFOF (2000), Glossary, in “Making Learning Visible”, Cedefop, Thessaloniki.
Colazzo L., Molinari A. (2007), Dai tradizionali LMS ai sistemi di Comunità Virtuali, in “Journal of e-Learning and Knowledge Society”, n. 2.
Downes S. (2005), E-learning 2.0, in “eLearn Magazine”, 17 ottobre 2005. In Internet: http://elearnmag.org/subpage. cfm?section=articles&article=29-1.
Eletti V. (2002), Che cos’è l’e-learning, Carocci, Roma. Fini A. (2006), Come integrare Moodle ed Elgg, in “Form@re”. In Internet: http://www.formare.erickson.it /archivio/ottobre_06/1_FINI.html.
Fini A., Vanni L. (2004), Learning Objects e metadati, in “I quaderni di Form@re”, n. 2, Erickson, Trento.
Frungito R. (a cura di) (2002), La rete della didattica, Pensa Multimedia, Lecce.
Good R. (2006), Electronic Portfolios: What Are They?, in “Robin Good Master New Media”. In Internet: http://www.masternewmedia.org/news/2006/03/10/electroni c_portfolios_what_are_they.htm .
Harasim L. (1990), On line education: Perspectives on a new environment, Praeger, New York.
Khan B. (2004), E-learning: progettazione e gestione, Erickson, Trento.
Love, D., McKean, G., Gathercoal, P. (2004). Portfolios to Webfolios and Beyond: Levels of Maturation, in Educase Quarterly, vol. 27, n. 2. In Internet: http://www. educause.edu/pub/eq/eqm04/eqm0423.asp?print=yes.
Lubesky R. (2006), The present and future of Personal Learning Environments (PLE). In Internet: http://members. optusnet.com.au/rlubensky/2006/12/present-and-future-ofpersonal- learning.html
Manganello F. (2007), ePortfolio: riflessioni e spunti operativi , in “Atti del IV congresso Sie-l”, EUM, Macerata.
Mason R. (1998), Models of on line courses, in “ALN Magazine”, n. 2. In Internet: http://www.aln.org/ publications/magazine/v2n2/mason.asp.
Mason R. (2002), Review of E-learning for education and training, Paper presentato alla “Networked Learning Conference”, 2002. In Internet: http://www.shef.ac.uk/ nlc2002/proceedings/symp/02.htm#02a.
O’Reilly T. (2005), What Is the Web 2.0. Design Patterns and Business Models for the Next Generation of Software. In Internet: http://www.oreillynet.com/pub/a/oreilly/tim/news/ 2005/09/03/what-is-web-20.html?page=1.
Palloff R.M. E Pratt K. (1999), Building learning communities in cyberspace: Effective strategies for on line classroom, Jossey-Bass, San Francisco, CA. Ranieri M. (2005), E-learning: modelli e strategie didattiche, Erickson, Trento.
Resnick M. (1996), Distribuited constructionism, Proceeding for International Conference on the Learning Science, Association for the Advancement of Computing Education, Northwestern University, luglio.
Tosh D., Werdmuller B. (2004), Creation of a learning landscape: weblogging and social networking in the context of e-portfolios. In Internet: http://elgg.net/ bwerdmuller/files/61/179/Learning_landscape.pdf.
Trentin G. (2004), Apprendimento in rete e condivisione delle conoscenze. Ruolo, dinamiche e tecnologie delle comunità professionali on line, Franco Angeli, Milano.
Valentini E. (2007), Università virtuali “cadute dalla rete”. Analisi di fallimenti nel contesto internazionale, in “Atti del IV congresso Sie-l”, EUM, Macerata.
Wilson S. (2005), Future VLE – The Visual Vision. In Internet: http://www.cetis.ac.uk/members/scott/blogview? entry=20050125170206, 25 gennaio 2005.
Wilson S. (et al) (2007), Personal Learning Environment e sistemi educativi: una sfida al modello dominante, in “Journal of e-Learning and Knowledge Society”, n. 2.

 Scarica la tesi: E-learning 2.0

Il sito dell’autore: http://www.giulianoromano.it/ 

La modellizzazione di diversi fenomeni (fisici, biologici, meccanici…) ha nei sistemi dinamici il suo fondamento. Mediante il loro studio si possono avere informazioni sull’andamento di tali fenomeni nel tempo. E’ possibile, ad esempio, individuare caratteristiche particolari, come l’assestamento nell’intorno di un punto (equilibrio), la tendenza a percorrere una determinata orbita (ciclo limite) e i comportamenti caotici che alcuni sistemi possono presentare.

In questa tesi si e’ affrontato tale studio con l’aiuto del software Matlab e di alcuni programmi sviluppati per esso, disponibili in Rete (pplane5.m). L’analisi eseguita da Matlab conduce, ovviamente, a delle rappresentazioni grafiche delle variabili dei sistemi; quello che, invece, si e’ voluto inserire e’ stata l’esplorazione di tali oggetti matematici da un nuovo punto di vista, o meglio… di ascolto! Ecco perche’ “Sistemi dinamici e musica”! Il risultato di questa lavoro, infatti, e’ la creazione di un programma (SDM: Sistemi Dinamici e Musica) capace di ricevere un sistema di equazioni differenziali del primo ordine, di visualizzare il suo ritratto nel piano (o eventualmente nello spazio) delle fasi e, a partire da tutto ciò, creare musica! E proprio attraverso questa musica, prodotta per via algoritmica, ho voluto provare a studiare il comportamento del sistema dinamico con i seguenti obiettivi:

Ascoltare le soluzioni e comprendere dalla musica il loro andamento, quantomeno da un punto di vista qualitativo. Nel processo di “musificazione” si è cercato, infatti, di riprodurre il più fedelmente possibile le caratteristiche del sistema dinamico.
• Riconoscere gli eventuali equilibri e cicli limite del sistema mediante la musica da loro prodotta.
• Confrontare musicalmente più soluzioni con condizioni iniziali differenti.
• Esplorare il caos attraverso la musica. Per creare questo genere di musica sono stati usati degli opportuni strumenti: principalmente i due software Matlab e Csound, per i quali sono stati implementati degli appositi file di programmazione. Ovviamente, però, non è stata tralasciata neanche la parte teorica, che ha richiesto lo studio delle basi matematiche del suono, i fondamenti della sintesi musicale (e quindi l’analisi di Fourier) e la teoria dei sistemi dinamici, con relativi teoremi fondamentali e analisi di particolari modelli (preda-predatore, mappa logistica, equazioni di Van der Pol, attrattore di Lorenz…).

La realizzazione di SDM è stata dunque un’applicazione della matematica alla musica. Tuttavia l’utilizzo di questo programma può anche essere considerato come uno strumento utile per la didattica. La fusione con la musica può stimolare e “addolcire” lo studio di una disciplina come la matematica, che non sempre riscuote troppi successi. D’altra parte, per coloro che invece gustano già i “sapori della matematica”, SDM può essere un’occasione per comprendere meglio (o comunque sotto un’altra prospettiva) quei concetti che si è abituati a vedere con formule e grafici.

Da un punto di vista strettamente musicale, SDM, come tutta la produzione di musica per via algoritmica, è uno stimolo per la creatività di ogni compositore. C’è anche da ricordare che la musica elaborata da SDM è legata strettamente a sistemi dinamici significativi, i quali, spesso, sono l’espressione di fenomeni naturali.

Sarebbe interessante approfondire questo uso di SDM, creando delle corrispondenze fra forme musicali e fenomeni naturali, e scoprire le eventuali similitudini o divergenze fra le musiche prodotte dai diversi fenomeni.

Un altro tipo di sviluppo di questo programma può essere quello di inserire nuovi parametri nella creazione musicale. Per sistemi con più di tre variabili, infatti, si potrebbero far corrispondere non solo le frequenze e le ampiezze delle note, ma ad esempio, ad una variabile si potrebbe associare una variazione di strumenti, oppure essa potrebbe controllare l’uscita del suono dalle casse, o ancora, introdurre variazioni ritmiche.

Questi gli argomenti trattati in ogni capitolo.

Nel primo capitolo ci avviciniamo alle basi della scienza del suono. Si inizia dalle radici storiche, con gli esperimenti compiuti dai Cinesi e dai Greci, e si giunge, passando attraverso l’esperienza decisiva del monocordo, alle diverse scale musicali (Pitagorica e Tolemaica) fino a quella ben temperata. Dopo una breve analisi dei caratteri fisici del suono, sono descritti i meccanismi del nostro apparato uditivo, per cercare di comprendere meglio il percorso effettuato dall’impulso sonoro, che dall’esterno giunge fino al cervello.

Nel secondo capitolo sono presentati invece i legami fra la musica e la matematica. Con lo studio del moto armonico e delle oscillazioni di una corda sono trattati gli argomenti base dell’analisi di Fourier, “ingredienti” fondamentali nella sintesi sonora. Successivamente viene descritta la sintesi effettuata attraverso sintetizzatori elettronici. Si pone dunque l’attenzione sull’inviluppo di un’onda, sui diversi tipi di sintesi (additiva e sottrattiva) e sulle modulazioni di frequenza (FM) e di ampiezza (AM), per concludere con il trattamento digitale del suono.

Nel terzo capitolo si introduce il concetto di musica generativa. Essa si basa sulla possibilità di una generazione musicale infinita, sempre diversa, grazie ad algoritmi semplici e sempre nuovi. Dopo un breve excursus sulle diverse tecniche di composizione algoritmica, sono descritte alcune sperimentazioni moderne.

Nel quarto capitolo è affrontato lo studio della teoria dei sistemi dinamici. Oltre ai teoremi base sull’esistenza e il prolungamento delle soluzioni è stata trattata la stabilità degli stati di equilibrio di un sistema, il criterio di Liapunov e la classificazione dei punti di equilibrio.

Nel quinto capitolo è riportato lo studio di alcuni sistemi specifici. Sono stati calcolati i loro punti di equilibrio e, con l’aiuto di Matlab, si sono potuti evidenziare alcuni comportamenti particolari, come ad esempio la presenza di cicli limiti o attrattori strani.

Nel sesto capitolo vengono descritti i file che SDM crea per produrre degli spartiti musicali (file per MIDI e per Csound). Inoltre sono presentate le diverse tecniche di musificazione necessarie per realizzare gli obiettivi esposti precedentemente.

Nel settimo capitolo, infine, vengono esposte, in modo dettagliato, le tecniche di musificazione utilizzate in SDM. Viene spiegato in che modo sono associate, algoritmicamente, le variabili fisiche del sistema dinamico alle variabili di musificazione. In questo capitolo, inoltre, è riprodotta l’esecuzione di SDM e la presentazione delle sue finestre grafiche, le quali permettono all’utente di creare musica secondo le proprie esigenze.

Nell’Appendice, infine, sono riportati alcuni codici di programmazione necessari per la realizzazione di SDM.

Introduzione I

1 Fondamenti della scienza del suono 1
   1.1 Le radici storiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
      1.1.1 Scala pitagorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
      1.1.2 Scala tolemaica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
   1.2 Scale musicali e temperamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
      1.2.1 Scala pitagorica e scala naturale . . . . . . . . . . . . . . 8
      1.2.2 Scale temperate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
   1.3 Caratteri fisici e musicali del suono . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
      1.3.1 Ampiezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
      1.3.2 Altezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
      1.3.3 Timbro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
      1.3.4 Frequenze formanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
      1.3.5 Ritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
      1.3.6 Livello sonico e Durata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   1.4 I meccanismi dell’udito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Basi matematiche della Musica 22
   2.1 Il moto armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
      2.1.1 Corde vibranti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
      2.1.2 Identità trigonometriche e battimenti . . . . . . . . . . . 25
   2.2 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
      2.2.1 Coefficienti di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
      2.2.2 Convergenza e Cesaro-sommabilità . . . . . . . . . . . . . 31
      2.2.3 Fenomeno di Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
      2.2.4 Funzioni di Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
   2.3 Trasformata di Fourier e Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 
      2.3.1 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
      2.3.2 Dalla trasformata di Fourier a quella Wavelet . . . . . . . 45
      2.3.3 La windowed trasformata di Fourier (WFT) . . . . . . . . 47
      2.3.4 Trasformata wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
      2.3.5 Applicazioni delle wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
   2.4 Sintesi musicale da computer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
      2.4.1 Inviluppo dell’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
      2.4.2 Sintesi additiva e sottrattiva . . . . . . . . . . . . . . . . 58
      2.4.3 Modulazione di ampiezza (AM) e di frequenza (FM) . . . 59
   2.5 Trattamento digitale del suono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
      2.5.1 Campionamento del suono . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
      2.5.2 Teorema di Nyquist ed effetto di aliasing . . . . . . . . . 64
      2.5.3 Sintesi digitale FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
      2.5.4 Sintesi FM e Yamaha DX7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

3 Musica generativa 70
   3.1 Musica e algoritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
      3.1.1 Tecniche di composizione algoritmica . . . . . . . . . . . 71
   3.2 Esempi-base di musica algoritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
   3.3 Alcune sperimentazioni moderne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
      3.3.1 Composizioni Frattali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
      3.3.2 Esempio di composizione multimediale . . . . . . . . . . . 82 
      3.3.3 Elaborazione cerebrale dei segnali . . . . . . . . . . . . . 83
      3.3.4 Comporre con gli automi cellulari . . . . . . . . . . . . . 84
      3.3.5 Esempio di composizione con i sistemi dinamici . . . . . . 89
   3.4 Musica algoritmica e Csound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4 Teoria dei sistemi dinamici 93
   4.1 Un primo approccio ai sistemi dinamici . . . . . . . . . . . . . . . 94
      4.1.1 Lo spazio delle fasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 
   4.2 Teoremi fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
      4.2.1 Esistenza ed unicità locale . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
      4.2.2 Prolungamento delle soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . 100
      4.2.3 Soluzione globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
      4.2.4 Il flusso di un’equazione differenziale . . . . . . . . . . . . 105 
   4.3 Stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
      4.3.1 Stabilità dei sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
      4.3.2 Stabilità dei sistemi NON lineari . . . . . . . . . . . . . . 115
   4.4 Funzioni di Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
   4.5 Classificazione dei punti di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5 Sistemi dinamici e Matlab 142
   5.1 Matlab e Pplane5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
   5.2 Modello preda-predatore di Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . 144
      5.2.1 Andamento intuitivo del sistema . . . . . . . . . . . . . . 144
      5.2.2 Punti di equilibrio del sistema . . . . . . . . . . . . . . . 145
      5.2.3 Linearizzazione del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
      5.2.4 Simulazioni con Pplane5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
      5.2.5 Soluzioni particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
   5.3 Il pendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
   5.4 Crescita di una popolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
   5.5 Equazione di Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
   5.6 Sistema di sospensioni di un autobus . . . . . . . . . . . . . . . . 172
   5.7 Pitch-Controller (Beccheggio di un aereo) . . . . . . . . . . . . . 176
   5.8 L’attrattore di Rossler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
   5.9 Le equazioni di Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6 Sistemi dinamici e musica 185
   6.1 Uso di Matlab, non solo da utente . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
   6.2 SDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
      6.2.1 I file score . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
      6.2.2 I file Met . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
   6.3 Corrispondenze fra musica e immagini . . . . . . . . . . . . . . . 191

7 SDM, Csound e Midi 200
   7.1 Eseguiamo SDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 
   7.2 Creazione dei file .sco e .met da SDM . . . . . . . . . . . . . . . 205
      7.2.1 File score . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
      7.2.2 File Met . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
   7.3 Dallo spartito alla musica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

A File di programmazione per SDM 211

Bibliografia

[1] Edward Beltrami, “Mathematics for dynamic modeling”, Academic press, 1987.
[2] Dave Benson, “Mathematics and music”, Department of Mathematics, University of Georgia, USA. /ftp://byrd.math.uga.edu/pub/html/index.html.
[3] E.Bilotta, P.Pantano, “Artificial life music tells of complexity”, ALMMA 2001 (pp.17 − 28).
[4] M.Braun, “Differential equations and their applications”, Springer-Verlag, New York, 1975.
[5] Alberto Cavallo, Roberto Setola, Francesco Vasca, “Guida operativa a MATLAB, SIMULINK e Control Toolbox”, Liguori Editore, Novembre 1994.
[6] Andrea Frova, “Fisica nella musica”, Zanichelli editore, Settembre 1999.
[7] Enrico Giusti, “Analisi Matematica 2”, Bollati Borlinghieri editore, 1989.
[8] James Gleick, “Caos”, Sansoni Editore, 1996.
[9] Morris W. Hirsch, Stephen Smale, “Differential equations, dynamical systems, and linear algebra”, Academic Press, New York, 1974.
[10] D.W.Jordan, P.Smith, “Nonlinear ordinary differential equations”, Oxford University Press, 1977. 220 Bibliografia
[11] Daniel Kaplan and Leon Glass, “Understanding nonlinear dynamics”, Springer- Verlag New York, 1995.
[12] Wifred Kaplan, “Advanced Mathematics for engineers”, Addison-Wesley Publishing Company, 1981.
[13] A.Kolmogorov, S.Fomine, “Elements de la theorie des fonctions et de l’analyse fonctionnelle”, Editions Mir.Moscou, 1977.
[14] A.Mihalic, “DNA and Composition”, ALMMA 2001 (pp.120 − 126).
[15] Eduardo Reck Miranda, “Computer sound syntesis for electronic musician”, Focal press, 1998.
[16] Eduardo Reck Miranda, “Evolving Cellular Automata Music: From Sound Synthesis to composition”, ALMMA 2001 (pp.87 − 98).
[17] G.L.Nelson, “Real time trasformation of musical material with fractal algorithms”, in Computers mathematics with applications, Vol. 32, (pp.109 − 116) (1996).
[18] C.D. Pagani, S. Salsa, “Analisi matematica”, Masson, vol. 2.
[19] William J.Palm, “MATLAB per l’ingegneria”, McGraw-Hill Libri Italia srl, 1999.
[20] Livio C.Piccinini, Guido Stampacchia, Giovanni Vidossich, “Equazioni differenziali ordinarie in Rn (problemi e metodi)”, Liguori editore, 1978.
[21] John R. Pierce, “La scienza del suono”, Zanichelli editore, febbraio 1988.
[22] M.Prerau, “On the possibilities of an analytic synthesis system”, ALMMA 2001 (pp.8 − 16).
[23] David A. Sanchez, “Ordinary differential equations and stability theory: an introduction”, W.H.Freeman and Company, San Francisco, 1968.
[24] Charles Sparks Rees, S.M. Shah, C.V. Stanojevic “Theory and applications of Fourier analysis”, Marcel Dekker, New York, 1981.
[25] Barry Vercoe, Media Lab. MIT & contributors, The public Csound Reference Manual.
[26] M.Witten, “The sounds of science: Listening to dynamical systems towards a musical exploration of complexity”, in Computers mathematics with applications, Vol. 32, (pp.145 − 173) (1996).
[27] C.Ray Wylie, Louis C. Barrett, “Advanced engineering mathematics”, McGraw- Hill book company, 1985.
[28] Igor Yevin, Alexander Koblyakov, “Attractor network model of music tonality”, ALMMA 2001 (pp.3 − 7). 

Siti per approfondimenti sulla musica generativa e sulle sperimentazioni musico-matematiche:
[29] http://brainop.media.mit.edu/online/net-music/net-instrument/thesis.html
[30] http://eamusic.dartmouth.edu/ wowem/menu.html
[31] http://library.advanced.org/3493/
[32] http://math.bu.edu/DYSYS/dysys.html
[33] http://math.rice.edu/dfield
[34] http://music.dartmouth.edu/wowem/hardware/algorithmdefinition.html
[35] http://pw1.netcom.com/sjustus/geb.html
[36] http://reglos.de/musinum
[37] http://tqjunior.thinkquest.org/4116/Music/music.html
[38] http://www.calresco.org/applicat.htm
[39] http://www.ccsr.uiuc.edu/People/gmk/Projects/ChuaSoundMusic/
[40] http://www.digitale-medien.de/beckert
[41] http://www.doc.ic.ac.uk/jl99/ai/inventionmusic.html
[42] http://www.ee.umd.edu/blj/algorithmic composition/
[43] http://www.geocities.com/vienna/9349/index.html
[44] http://www.ipem.rug.ac.be/nfwo/meeting7.html
[45] http://www.ks.rus.uni-stuttgart.de/people/schulz/fmusic/recursion.html
[46] http://www.math.sunysb.edu/dynamics
[47] http://www.maths.gla.ac.uk/km/dsysmus.htm
[48] http://www.math.niu.edu/rusin/uses-math/music/index.html
[49] http://www.ucl.ac.uk/CNDA/resources/index.html

 Scarica le tesi Sistemi dinamici e musica

 

LHC e le questioni aperte nel Modello Standard è un Laboratorio di orientamento storico-scientifcio inserito nel contesto più ampio di un progetto di orientamento alla scienza dal titolo: Rappresentarsi nella scienza: un laboratorio per la scienza futura. La presente tesi si sviluppa in due parti: nella prima parte viene presentato il progetto di orientamento nel suo complesso e le motivazioni che sono alla base delle scelte progettuali, nella seconda parte vengono presentate in dettaglio le attività svolte nel laboratorio storio-scientifico che si caratterizza come un laboratorio di Problem Solving.

Questa tesi partecipa al concorso "Condividi la tua tesi e vinci 3 iPhone Apple 3G.

Il laboratorio di problem solving attuato, pur fedele allo spirito e alle finalità della metodologia del PSO messa a punto dalla prof.ssa M. Michelini, non ne ricalca lo standard per tutte le fasi previste dalla metodologia stessa. In particolare la fase successiva al problem solving in senso stretto, fase nella quale, secondo lo standard PSO, si effettua una riflessione e una autovalutazione di se stessi in relazione al lavoro svolto ed in definitiva in relazione alla scienza, non viene approfondita in questo laboratorio, non perché non la si ritenga importante, al contrario perché la fase della motivazione e della riflessione personale, come descritto nella prima parte della tesina, è specialmente sviluppata in altre attività laboratoriali del progetto stesso

 Scarica la tesi del master IDIFO in innovazione didattica nella fisica Orientamento di genere in scienza "LHC e le questioni aperte nel modello standard"

 Scarica la Lezione 1: Un po’ di storia per arrivare al Large Hadron Collider – Il Modello Standard i costituenti della materia – le interazioni.

 Scarica la Lezione 2: Gli acceleratori e i rilevatori di particelle – le questioni aperte nel Modello Standard

 Scarica la Lezione 3: Problema solving: la metria scura – Alla ricerca di Higgs!

Scarcia la Lezione 4: Le donne nella scienza

Scarica i dati

Nella mia esperienza di disegnatrice, ho capito, ad un certo punto, che l’importante, nella copia dal vero, non è riprodurre fedelmente l’oggetto sulla carta. La cosa fondamentale è impadronirsi di esso. Un oggetto posseduto realmente dall’uomo, solo nel momento in cui venga finalmente visto come forma, liberandolo dall’idea archetipica che abbiamo di esso e dalla sua funzionalità. Il risultato dell’attento esame della struttura e delle geometrie che compongono le forme di quel singolo oggetto preso in esame, è l’attuarsi di un processo di appropriazione della realtà. In quel momento, nel momento in cui siamo in grado di riprodurre l’immagine di ciò che osserviamo, e solo di quello, siamo finalmente padroni della porzione di mondo in questione.

Non stupisce che i primi esseri umani che hanno abitato sulla terra, abbiano subito mostrato il desiderio di riprodurre immagini della realtà che li circondava.

Essi non desideravano altro che comprendere il mondo, cercando di riprodurlo, e una volta compreso, impossessarsene. E la fascinazione per la riproducibilità del reale, è cresciuta di pari passo con la curiosità dell’uomo per le dinamiche ed i processi che regolano le leggi dell’universo.

Interrogarsi sulla propria natura e sulla natura del mondo è l’attività prediletta dell’uomo libero.

Per questo sono stati creati modelli virtuali per riprodurre ogni tipo di processo, e per questo si continuano le ricerche sullo sviluppo dell’intelligenza artificiale.

Vogliamo capire noi stessi, e il mondo che ci circonda. Ed è grazie a queste ricerche che siamo finalmente giunti alla consapevolezza che non esiste la realtà, ma solamente l’idea di realtà, che come tutte le altre idee, è contenuta nella nostra mente, la quale conosce unicamente il mondo come modello mentale frutto della sensibilizzazione degli stimoli esterni.

Ora che questa consapevolezza ha già distrutto tutte le certezze che avevamo acquisito con la Fisica prima, e la Metafisica dopo, siamo caduti in piena Patafisica. La patafisica è la scienza delle soluzioni immaginarie. E tutto sommato possiamo affermare che ogni tipo di teoria o di sistema, o modello creato e utilizzato oggi, è a tutti gli effetti una soluzione immaginaria. Il mondo stesso è per buona parte frutto della nostra immaginazione, e la maggior parte del nostro tempo lo passiamo pensando, quindi in una dimensione altra rispetto a quella del mondo fisico.

Abbiamo sempre vissuto prevalentemente in una realtà addizionale, la quale è rappresentata in primis dalla nostra mente.

Ora con l’avvento della rete, e la nascita del cyberspazio, a questa realtà addizionale di base, rappresentata dalla nostra mente, si è aggiunta una seconda realtà, definita realtà virtuale.

La definizione più condivisa di Realtà Virtuale, anche se allo stesso tempo è la meno esauriente, è quella secondo la quale un sistema di realtà virtuale è costituito da un insieme di dispositivi informatici in grado di consentire un nuovo tipo di interazione uomo computer.(Ellis 1994)

“Virtuale” è una delle parole chiave di questi anni, una delle più scritte ma anche più bistrattate: confinata per secoli nei gerghi della filosofia e della scienza, sta ora entrando nel linguaggio comune. Il suo uso prevalente è ancora sinonimo di “irreale” e “finto”, ma la sua diffusione segna comunque una riscossa della “potenza” sull’ “atto” : le tecnologie digitali sono “tecnologie del possibile” sia nel senso che rendono possibili eventi che fino a ieri apparivano impossibili, sia nel senso che tendono a “derealizzare”, a togliere dalla realtà tradizionale quell’aura di unicità e immodificabilità.

Dopotutto l’invenzione della realtà – afferma Baudrillard nel suo libro Il patto di lucidità o l’intelligenza del male – sconosciuta ad altre culture, è opera della moderna ragione occidentale, nel suo orientamento verso l’Universale. Quello di un mondo oggettivo, libero da tutti i retromondi. Ma questa è una doppia illusione. Non esiste nè oggettività, nè soggettività. Essendo la coscienza parte integrante del mondo ed il mondo parte integrante della coscienza, io lo penso, lui mi pensa.

“La questione se le cose esistano realmente al di fuori di noi e siano come noi le vediamo è completamente priva di senso… Sarebbe quasi altrettanto assurdo chiedersi se il blu è realmente blu, oggettivamente blu” (G.C. Lichtenberg).

Continua…

indice
Nothing is real, everything is possible…………………………………………………………………………5
La valenza del virtuale…………………………………………………………………………………7
Web 2.0?…………………………………………………………………………………………………18
Web semantico o web 3.0……………………………………………………………………………21
Who needs to dream when you can build your own?……………………………………………………….23
My body can walk barefoot, but my avatar needs prada shoes…………………………………………..31
Primo impatto con la realtà virtuale mediata…………………………………………………….33
Don’t forget the real world…………………………………………………………………………………….39
Metaversi, mondi specchio, realtà aumentata_ovvero quanti tipi di realtà virtuale?…..41
Mondi virtuali…………………………………………………………………………………………….42
Mondi specchio………………………………………………………………………………………….43
Realtà aumentata……………………………………………………………………………………….44
They live you sleep…………………………………………………………………………………………………47
Welcome to the desert of the real, but remember: alla around you and life is now…..49
Il valore della storia…………………………………………………………………………………….51
Denaro virtuale………………………………………………………………………………………….54
Why is there something rather than nothing?……………………………………………………………….57
Immagini di immagini………………………………………………………………………………….59
La supremazia dell’audiovisivo……………………………………………………………………..65
More human than human…………………………………………………………………………………………..69
Idoli artificiali……………………………………………………………………………………………..71
Corpi virtuali……………………………………………………………………………………………..78
I’m not in the business, I am the business……………………………………………………………………..83
Simulatori di coscienza_La scommessa dell’intelligenza artificiale………………………..85
Il panorama attuale…………………………………………………………………………………….91

Scarica la tesi Soluzioni immaginarie

Perché ho scelto la scuola come campo di indagine? Soprattutto perché ho scelto i docenti come professionisti di mio interesse? La convinzione che il mondo della scuola possa ancora essere rivalutato, e quindi migliorato, è uno degli aspetti chiavi della mia motivazione. In particolar modo mi incuriosiva capire come i docenti, soprattutto quelli più tecnologizzati, riescono a muoversi in un contesto reticolare come Internet.

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Che Internet abbia investito ogni forma organizzativa mi sembra sia evidente. Come nasce l’esigenza di “tuffarsi” in un mondo virtuale, questo è più difficile da capire. Il campo d’analisi che ho scelto, non appartiene ad un mercato economico competitivo, dove la necessità di adeguarsi al cambiamento è obbligatoria. Quella dei docenti, senza voler considerare tutta l’organizzazione scolastica, è uno di quei campi dove l’innovazione è molto lenta ma, soprattutto, dove l’indipendenza della pratica professionale permette una personalizzazione della pratica stessa.

[…]La maggioranza degli studi sulla diffusione delle innovazioni parte dal postulato che il movimento collettivo sia la risultante di una molteplicità di decisioni non solo individuali, ma “private”… Penso al caso degli insegnanti della scuola.( Francesco Consoli, Le mode professionali, Carocci, 2002)

E’ pertanto non necessario,per i docenti, dover per forza adeguare il proprio lavoro ad una società tecnologizzata.

La scuola non ha seguito la curva del cambiamento tecnologico. O meglio non ha seguito la “cultura” del cambiamento tecnologico. L’aver investito ingenti somme di denaro in tecnologie informatiche per la scuola, non ha reso la scuola moderna, anzi, ha creato una varianza all’interno della professione stessa.

“Il computer, inserito in questi ultimi anni con massicci investimenti un po’ in tutte le scuole del mondo, non è stato determinante per la trasformazione dei parametri dell’ambiente scuola, finendo per collocarsi disciplinatamente sui banchi di un’aula divenuta “laboratorio di informatica”. Tuttavia, mentre la scuola fagocitava i nuovi media restando sostanzialmente uguale a se stessa, intorno, la società subiva un processo di mutamento continuo e profondo, tanto da non poter più essere riconosciuta nei suoi principali aspetti. Trasformazioni così radicali e rapide, tutte dipendenti in modo più o meno diretto dalle tecnologie, indicano la necessità di un altrettanto radicale cambiamento nell’istruzione.” (Giovanni Biondi,“La Scuola Dopo le Nuove Tecnologie” APOGEO 2007)

In questa tesi sarà infatti valutato il ruolo che le tecnologie assumono nel contesto didattico, come i docenti usano le tecnologie per aggiornarsi e soprattutto perché usano le tecnologie.

La tesi non è incentrata sulla descrizione degli strumenti tecnologici, ma sulla “cultura” tecnologica adottata dai docenti e su come l’innovazione tecnologica è stata adottata e se è possibile chiamarla innovazione.

Nello specifico mi sono concentrato su un fenomeno esploso in rete: i blog didattici. Perché i docenti li utilizzano? Ho cercato di analizzare l’uso dello strumento blog come esempio di utilizzo della rete. I blog hanno avuto infatti una crescita esponenziale che ha suscitato la mia curiosità.

Questa tesi è strutturata in tre parti. La prima parte sarà dedicata al contesto di riferimento, ovvero la società dell’informazione e il ruolo che questa assume nel campo organizzativo della scuola. La seconda parte riassume le basi teoriche di riferimento per la mia tesi. Utilizzando il costruttivismo come paradigma di studio delle tecnologie didattiche e proseguendo con le comunità di pratica, per la struttura organizzativa, e finendo con la teoria della traslazione e quindi anche dell’Action Network Theory come metodo di studio riflessivo per lo studio dell’apprendimento nei campi organizzativi.

Ogni argomento è tracciato da una mappa di riferimento, che ha la funzione di organizzare gli argomenti trattati in maniera sintetica e con le relative connessioni.

Indice Introduzione ………………………………………………………..6
1ª parte Quadro generale………………………………………….13
1.1 I docenti e la Rete ……………………………………..13
1.2 La strategia dell’informazione …………………..22
1.3 La condivisione di conoscenza nell’era del web 2.0……………………………………………………………….34
1.4 Strumenti collaborativi come innovazione? .39
2ª parte Riferimenti teorici …………………………………………46
2.1 Quale innovazione? ……………………………………….46
2.2 Come si diffonde l’innovazione ……………………..55
2.3 Il pensiero collettivo e la tecnologia………………..60
2.4 Le comunità di pratiche e la rete internet………..82
2.5 I confini delle comunità………………………………….96
2.6 Le comunità di pratica e comunità virtuali: dal costruttivismo al connettivismo. ………………………….98
2.7 Studiare le connessioni: dagli stormi ai Social Network …………………………………………………………..107
2.8 I docenti in “movimento” …………………………….114
3ª parte Ricerca………………………………………………………..125
3.1 La ricerca ……………………………………………………. 126
3.2 I partecipanti ………………………………………………. 131
3.3 Metodologia di ricerca………………………………….134
3.4 Ambiente di ricerca ……………………………………..141
3.5 Laboratorio “Squola” …………………………………..148
3.6 Ri-costruzione dei contenuti “Squola” ………….156
3.7 Elementi caratterizzanti ……………………………….174
3.8 Riflessioni finali ………………………………………….. 186
Bibliografia………………………………………………………. 197
Webgrafia…………………………………………………………201

 

Bibliografia
 Varisco B.M. (1995a), Alle radici dell’ipertestualità , in Calvani A., Varisco
 J. Dewey, Democrazia ed educazione, op. cit., pp. 193-194
 J. D. Novak, D. B. Gowin, Imparando ad imparare, SEI, Torino, 1989 (2001)
 Silvia Gheradi, Implementare, diffondere o tradurre in pratica il cambiamento, 2004
 Sergio Maistrello, La parte abitata della Rete, 2007, ed. Tecniche Nuove
 E.Wenger, Comunità di pratiche e sistemi sociali di apprendimento Oxford University Press.
 S.Epifani, Business community, ed. Franco Angeli, 2003 198
 Varisco.B.M, Nuove tecnologie per l’apprendimento – Guida all’uso del computer per insegnanti e formatori, Garamond, Roma, 1998
 Economia e sociologia. Conversazioni con Becker, Coleman, Akerlof, White, Granovetter, Williamson, Arrow, Hirschman, Olson, Schelling e Smelser, Di Richard Swedberg, C. Locati tradotto da C. Locati Pubblicato da Donzelli Editore, 1994
 I saperi esperti, il virtuale e l’apprendimento sociale. L.Benadusi
 Paolo Landri e R. Serpieri Il Ministero virtuale, 2002, ed. Liguori
 F. Consoli Le mode professionali ,ed Carocci 2002
 E.Gastaldelli, Lo studio delle tecnologie didattiche. Uno studio qualitativo del progetto “Pionieri” nella provincia di Bolzano. Tesi di laurea, Facoltà di Psicologia, Università degli studi di Padova
 Rocchi F. “Conoscenza ed impresa” Cedam 1994 199
 Luhmann N. “Sistemi sociali: fondamenti di una teoria generale” Il mulino, Bologna 1990
 Vicari S. “L’impresa vivente” Etas Libri Milano 1991
 Ciappei C. Poggi A. “Apprendimento e agire strategico d’impresa:il governo delle dinamiche conoscitive nella complessità aziendale” Cedam 1997
 R. Van Der Spek A. Spijkervet “Knowledge Management dealing intelligently with knowledge” Kenniscentrum CIBIT and CSC 1997
 Giovanni Azione, Condividere la conoscenza per competere. Strategie, tecnologie e casi aziendali di Knowledge Management, autore Sergio Campodall’Orto, pp. 96, 1a edizione 2003
 Papert S. (1980), Mindstorms. Computers, Children and Powerful Ideas, Basic Books, New York.
 Resnick L.B. (1987), Imparare dentro e fuori la scuola, in Pontecorvo, Ajello, Zucchermaglio, a cura di, 1995, pp. 61-83. 200
 Lave J., Wenger E. (1991), Situated learning, Legitimate peripheral participation, Cambridge University Press, UK.
 Jonassen D.H. (2000), Revisiting Activity Theory as a Framework for Designing Student-Centred Learning Environments, a cura di, Jonassen D.H., S.M. Land, Theoretical Foundations of Learning Environments, pp 89-123, LEA.
 Jonassen D.H. (2002), Learning as Activity, Educational Technology, March-April, pp. 45-51.
 Engström Y. (1987), Learning by expanding: An activity theoretical approach to developmental research. Helsinki, Finland: Orienta-Konsultit Oy.
 Alvino S., Sarti L. (2004), Learning Objects e Costruttivismo, Didamatica 2004
 Percorsi riflessivi, AA.VV. ed. Hilde Stroobants, Philip Chambers & Brian Clark
 La scuola dopo le nuove tecnologie Di Giovanni Biondi Pubblicato da Apogeo Editore, 2007 201 Webgrafia
 Intervista a Barry Carbol rintracciabile su http://www.mediamente.rai.it/home/bibliote/in tervis/c/carbol.htm 
 Vittorio Midoro, Come cambiano gli insegnanti e la loro formazione Uno scenario futuro della professione dell’insegnante, TD n. 18 numero 3- 1999, http://www.itd.cnr.it/tdmagazine/PDF18/forma zione.pdf
 Ivan Illich, Deschooling Society (1971) http://www.altraofficina.it/ivanillich/Libri/Desc olarizzare/descolarizzare.htm
 R.Straub su http://www.elearningeuropa.info/directory/ind ex.php?page=doc&doc_id=7759&doclng=9
 Elisabetta Cigognini, sulla Knowledge Society, http://elilearning.wordpress.com/2007/10/13/s ulla-knowledge-society/ 202
 Antonio Dini http://antoniodini.blogspot.com/
 http://nova.ilsole24ore.com/nova24ora/2006/09 /la_ricchezza_de.html
 Massimiliano Costa, Le comunità di pratica come leva per la formazione, http://www.univirtual.it/ssis/quaderni/ssis03.p df,
 Daniele Di Gregorio Autore blog : http://www.ikaro.net/chi.html
 Strumenti collaborativi, intermodalità e life long learning. Dove vanno le innovazioni? http://db.formez.it/ArchivioNews.nsf/e2c3c8cd8 8ff8747c1256e2a002fccb7/f2eb3fb2b7aec662c12574 7b003f019f?OpenDocument
 AA.VVhttp://www.costruttivismoedidattica.it/te orie/teorie_introduzione.htm
 Umberto Tenuta, LE TECNOLOGIE MULTIMEDIALI COME AMBIENTI DI 203 APPRENDIMENTO EDUCATIVO, http://www.edscuola.it/archivio/didattica/tecm m.html#_ftn2
 Programmi didattici del 1955 ttp://www.edscuola.it/archivio/didattica/tecm m.html#_ftnref2
 articoli & materiali IAD, http://www.costruttivismoedidattica.it/tecnologi e/tecnologie.htm
 articoli & materiali IAD, http://www.costruttivismoedidattica.it/tecnologi e/tecnologie.htm
 www.scuola3d.eu
 Vittorio Midoro, Dalle comunità di pratica alle comunità di apprendimento virtuali , ITD-CNR, Genova, http://www.itd.cnr.it/tdmagazine/PDF25/Com_ Pratica.pdf
 Comunità di pratiche e comunità virtuali Esperienze europee ed extraeuropee, 204 http://formare.erickson.it/archivio/marzo_03/ti nazzi.html
 Architetture didattiche e modelli organizzativi: un processo di adattamento reciproco http://www.elearningeuropa.info/files/media/ media16217.pdf  Connectivism: new paradigm or fascinating poutpourri? , Antonio Calvani, Je-LKS n.1, 2008, http://www.jelks. it/en/08_01/13Comcalv_en1.pdf
 Carlo Mazzucchelli, Tutto ciò che vorreste sapere sulla Social Network Analysis, http://www.complexlab.com/areetematiche/reti /fissi/copy_of_tutto-sulla-social-network-analysis
 http://www.utopie.it/economia_sostenibile/soci al_network.htm
 Elementi teorici per la progettazione dei Social Network,Gianandrea Giacoma, Davide Casali http://ibridazioni.com/wp205 content/uploads/2007/09/elementi_teorici_per_l a_progettazione_dei_social_network_10_20070924. pdf
 Implementare, diffondere o tradurre in pratica il cambiamento? Gherardi 2004, http://db.formez.it/ArchivioNews.nsf/9e82ba16f 729fde2c1256e220031fcee/db0196c272b4daadc1256 eb5003ef64e/FILE/Implementare,%20diffondere %20o%20tradurre%20in%20pratica%20il%20cambi amento.PDF
 Intervista a Yrjo Engestrom (traduzione italiana di Pietro Valentini) http://db.formez.it/ArchivioNews.nsf/e2c3c8cd8 8ff8747c1256e2a002fccb7/7563e618c7f520a0c1256e 900035fba3/FILE/Tecnologia,%20reti,%20appren dimento.pdf
 Confini e trasgressioni di confini nella sociologia economica, del lavoro e dell’organizzazione. Antonio Strati http://www.unitn.it/rucola/members/download /online_materials/vece_mainstream_estetica_tecn ologia_workplace_studies.pdf 206
 Simone Casadei, Storia dei blog, http://guide.dada.net/blog/interventi/2003/12/ 146290.shtml
 http://orientamentiedisorientamenti.ning.com di Gianni Marconato
 http://blog.debiase.com/2008/07/16.html, blog di Luca de Biase
 Thomas Christel, Gruppi di lavoro orizzontali: un primo passo verso la social enterprise, http://blog.yooplus.com/it/wpcontent/ uploads/2008/01/whitepaper1.pdf
 http://tyler17.wordpress.com
 Il Laboratorio come strategia didattica.” Reperibile all’indirizzo http://www.educazione.sm/formazione/contrib utisett2005/Baldacci_Laboratorio.pdf
 Usare l’evento critico nella pratica riflessiva, Francesco Consoli rintracciabile su la rivista online: http://db.formez.it/ArchivioNews.nsf/e2c3c8cd8 207 8ff8747c1256e2a002fccb7/94c7792cc1fffa56c125744 f004c3d26/Testo/M2/14%2520- %2520uso%2520evento%2520critico%2520- %2520consoli.pdf?OpenElement
 Appunti di anatomia della conversazione, Giuseppe Granieri su http://www.apogeonline.com/webzine/2007/03 /26/19/200703261901
 Wellman su http://www.tecnoteca.it/tesi/democrazia/partec ipazione/02
 Alberto Battaggia su http://www.funzioniobiettivo.it/glossadid/Amb ienti%20di%20apprendimento/Definire%20gli%20 ambienti%20d%27apprendimento.htm

 

 Scarica la tesi “Innovazioni e pratiche didattiche: l’uso della Rete da parte dei docenti”

Traslazione e simmetria assiale- Metodi iterativi per la risoluzione approssimata di equazioni – La carica elettrica e la legge di Coulomb – Forze ed equilibrio – La retta con MatCos – Risoluzione dei triangoli – I primi modelli atomici – Cenni di fisica nucleare – Statica.

L’insegnamento della matematica e della fisica persegue fra i suoi scopi principali quello di contribuire alla crescita intellettuale ed alla formazione globale di tutti i giovani. Con questa convinzione intraprenderò la mia futura attività di insegnante.

In questi due anni di S.S.I.S. ho avuto modo di osservare, esaminare e imparare diversi metodi di insegnamento, più o meno efficaci in relazione all’argomento in esame ed ai diversi contesti scolastici. Elemento comune a tutti i metodi proposti è quello di non ridurre il valore formativo della matematica e della fisica al semplice “far di conto”, all’applicazione meccanica di algoritmi e procedure risolutive ripetitive, né ad una trattazione astratta, completamente estranea alla realtà che ci circonda.

Fino a quando si proporranno la matematica e la fisica come trasmissione di verità assolute e statiche raggiunte mediante un mero processo di accumulazione, trascurandone l’intrinseca problematicità e lo stretto legame con la realtà sensibile, saranno inevitabili sia un certo isolamento disciplinare e sia l’ostilità dichiarata dalla maggior parte degli studenti.

Spetta all’insegnante l’arduo compito di far percepire allo studente il significato e l’utilità dei contenuti insegnati. Per raggiungere questo scopo è importante considerare sempre i propri alunni come centrali nel processo di apprendimento ricorrendo a lezioni dialogate, nelle quali si favorisce un clima di confronto, uno scambio di idee, opinioni, dubbi, chiarimenti.

A volte definizioni e proprietà possono scaturire proprio dagli studenti stessi, se opportunamente stimolati mediante discussioni (in cui l’insegnante ha il ruolo di moderatore) e strumenti adeguati (schede operative, software,…). L’insegnante deve essere in grado di organizzare in modo equilibrato una “situazione problematica” affidando poi agli allievi il compito di risolverla, facendo emergere un’idea che, condivisa da tutti, dovrà corrispondere a quella matematicamente fondata.

Si realizza una situazione didattica nella quale l’allievo, interagisce direttamente con il sapere e diviene lui stesso “costruttore” di conoscenza.

Per facilitare la comprensione ed attivare la mente degli allievi, è utile fare ricorso a lezioni che utilizzino gli strumenti multimediali, come video-presentazioni e software didattici.

Alla luce dell’esperienza maturata ritengo che il Laboratorio di Matematica sia molto efficace. Anzitutto abitua ed aiuta gli studenti a scoprire “fatti” matematici attraverso la manipolazione di oggetti; inoltre permette allo studente di lavorare attorno a situazioni non note formulando congetture e proponendo risposte a problemi nuovi; rafforza le conoscenze maturate dagli studenti ed alleggerisce il lavoro di risoluzione algebrica, che a volte risulta molto laborioso e può far perdere di vista l’essenza del problema nella sua globalità.

Altra strategia fondamentale è il riferimento alla storia della matematica e della fisica per far comprendere agli allievi che gli argomenti trattati sono frutto di tanti anni di elaborazione.

E’ opportuno inoltre far notare, soprattutto ai ragazzi che incontrano difficoltà, che molti problemi di apprendimento con cui si scontrano sono stati incontrati prima di loro da grandi matematici o fisici.

Riferimenti storici e aneddoti possono, infine, alimentare la motivazione, l’interesse, l’attenzione e la curiosità.

L’insegnante deve coinvolgere gli allievi in un continuo processo di elaborazione per condurli a riflettere sul proprio modo di ragionare e sulle strategie adottate di fronte ad un problema, abituandoli a giudicare e motivare le proprie scelte risolutive e a riflettere sulla ragionevolezza dei risultati.

L’insegnante dunque ha un ruolo che va ben oltre la semplice trasmissione di conoscenze: deve affrontare una molteplicità di situazioni sociali e di richieste formative. Da necessità generali come quella di formare personalità critiche e aperte al cambiamento, disponibili a “imparare ad imparare”, al lavoro con gli altri, ad agire in modo autonomo, a necessità specifiche richieste dal mondo del lavoro, tra cui la conoscenza del linguaggio informatico e multimediale.

Non a caso il profilo professionale dell’insegnante è strettamente legato all’evoluzione del sistema sociale, economico, culturale e politico. Una professionalità che potremmo definire multidimensionale, ricca anche di motivazioni personali e di responsabilità sia verso gli allievi che verso l’istituzione scuola. L’insegnamento non solo comporta costantemente l’esigenza di approfondire ed arricchire le conoscenze e le competenze già maturate, ma implica anche, per forza della sua destinazione sociale, l’attenzione all’"altro” al quale è rivolto e l’attitudine a raccordarsi ai suoi bisogni nonché alla sua attesa di riferimenti critici ed umani.

Indice

Premessa 1
1 La Scuola 3
   1.1 Il liceo scientifico “E.Fermi” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
   1.2 Il POF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
   1.3 L’insegnante di classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 
   1.4 Le classi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 I Laboratori 12
   2.1 Traslazione e Simmetria assiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
      2.1.1 Elementi di programmazione didattica . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
      2.1.2 Prima lezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
      2.1.3 Scheda “alla scoperta” della Traslazione . . . . . . . . . . . . . . . . 17
      2.1.4 La Simmetria assiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
      2.1.5 Scheda “alla scoperta” della Simmetria Assiale . . . . . . . . . . . . . 27
      2.1.6 Alcune curiosità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
      2.1.7 Seconda lezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
      2.1.8 La Traslazione come trasformazione del piano in sè . . . . . . . . . . 38
      2.1.9 La Simmetria Assiale come trasformazione del piano in sè . . . . . . 39
      2.1.10 La Simmetria Assiale è una isometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
   2.2 Metodi iterativi per la risoluzione approssimata di equazioni . . . . . . . . . 44
      2.2.1 Elementi di programmazione didattica . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
      2.2.2 Prima lezione: Metodi Iterativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
      2.2.3 Un gioco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
      2.2.4 Formalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
      2.2.5 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 
      2.2.6 Un quesito degli esami di stato del 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . 58
   2.3 La Carica Elettrica e la Legge di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
      2.3.1 Elementi di programmazione didattica . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
      2.3.2 La carica elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
      2.3.3 Elettrizzazione ed esperimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
      2.3.4 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
      2.3.5 Esercizi pratici e on-line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
      2.3.6 La Forza di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
      2.3.7 Riassumendo… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
   2.4 Forze ed equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
      2.4.1 Elementi di programmazione didattica . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
      2.4.2 Concetto di Forza ed equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
      2.4.3 Carattere vettoriale e misura delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
      2.4.4 La Forza-Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
      2.4.5 La Forza elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
      2.4.6 Esperimento: legge di Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
      2.4.7 Equilibrio di un punto materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
      2.4.8 Reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
      2.4.9 Equilibrio su un piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3 Il Tirocinio 79 
   3.1 TIROCINIO DI MATEMATICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
   3.2 La retta con Matcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
      3.2.1 Elementi di programmazione didattica . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
      3.2.2 Introduzione alla retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
      3.2.3 Formalizzazione retta passante per l’origine . . . . . . . . . . . . . . . 84
      3.2.4 Significato del coefficiente angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
      3.2.5 Rette non passanti per l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
      3.2.6 Rette parallele agli assi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
      3.2.7 Equazione della retta in forma implicita . . . . . . . . . . . . . . . . 88
   3.3 Calcolo combinatorio e Probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
      3.3.1 Elementi di programmazione didattica . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
      3.3.2 Prima lezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
      3.3.3 Introduzione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 
      3.3.4 Definizione classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
      3.3.5 Calcolo Combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
      3.3.6 Seconda lezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 
      3.3.7 Limiti della definizione classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
      3.3.8 Definizione frequentistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
      3.3.9 Programma MatCos per la Legge Empirica del Caso . . . . . . . . . 95
      3.3.10 Definizione soggettiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
      3.3.11 Confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
    3.4 Tirocinio indiretto: Risoluzione dei triangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
      3 .4.1 Elementi di programmazione didattica . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
      3.4.2 Lezione 1: Risoluzione di un triangolo rettangolo . . . . . . . . . . . 102
      3.4.3 Lezione 2: Applicazioni dei teoremi sui triangoli rettangoli . . . . . . 109
      3.4.4 Lezione 3: Risoluzione di un triangolo qualsiasi . . . . . . . . . . . . 114
      3.4.5 Lezione 4: Applicazioni dei teoremi sui triangoli qualsiasi . . . . . . . 119
   3.5 TIROCINIO DI FISICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
      3.6 I primi modelli atomici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
      3.6.1 La struttura dell’atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
      3.6.2 La Forza di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
      3.6.3 Il Modello di Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 
      3.6.4 L’esperimento di Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
      3.6.5 Il Modello di Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
   3.7 Cenni di fisica nucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
      3.7.1 Le quattro forze esistenti in natura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
      3.7.2 Le forze nucleari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
      3.7.3 Isotopi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
      3.7.4 Decadimento radioattivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
      3.7.5 Difetto di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
      3.7.6 Fissione nucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
      3.7.7 Fusione Nucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
      3.8 Tirocinio indiretto: Statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
      3.8.1 Elementi di programmazione didattica . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
      3.8.2 Alcune lezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Bibliografia 149

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Nel contesto disciplinare proprio della matematica, si afferma che, “prima ancora di essere quell’insieme di nozioni concettuali concernenti numeri, operazioni, figure geometriche, formule e così via, la matematica è un modo di rapportarsi con la realtà, di organizzare logicamente i dati della realtà fisica, i pensieri, le attività complesse” . L’apprendimento della matematica passa quindi attraverso l’acquisizione di una particolare attitudine mentale, di un certo modo di organizzare il pensiero, di rappresentare la realtà.

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Secondo Bruno D’Amore la costruzione della conoscenza in matematica può essere interpretata come l’unione di “tre azioni” sui concetti: l’insieme delle capacità di rappresentare i concetti in un dato registro linguistico, di trattare le rappresentazioni ottenute all’interno di uno stesso registro e di convertire le rappresentazioni da un registro a un altro.

Oggi la tecnologia favorisce, attraverso i software geometrici, una rappresentazione geometrica “più concreta” della realtà che ci circonda, aiutando a superare le difficoltà sia di astrazione nella rappresentazione grafica, che di manipolazione delle stesse rappresentazioni. L’utilizzo di software geometrici interattivi, infatti, attiva una migliore integrazione tra aspetti percettivo-motori e momenti di rappresentazione simbolica. Inoltre, il passaggio dall’uso degli strumenti “tradizionali” di rappresentazione dello spazio a quelli informatico-dinamici favorisce lo sviluppo delle capacità di convertire le rappresentazioni dei concetti matematici da un registro a un altro.

L’uso di software interattivi nell’apprendimento della geometria offre anche la possibilità di un immediato feedback tra pensiero e azione rappresentata. L’attività al computer è fortemente caratterizzata dalla presenza di reversibilità perciò di controllo sull’errore; errore che è esso stesso fonte potenziale di auto-correzione. I software didattici possono avere una impostazione sintetica dell’ambiente in cui avviene lo studio della geometria, cioè indipendente dall’utilizzo delle coordinate, oppure una impostazione analitica, nella quale le operazioni di input e i passaggi intermedi sono studiati facendo riferimento alle coordinate.

Un esempio di software di geometria di impostazione prettamente sintetica è il programma Cabri-géomètre, le cui caratteristiche fondamentali sono la possibilità di deformare dinamicamente le figure ed un’interfaccia utente semplice e intuitiva, poiché le operazioni di base sono realizzabili mediante il solo spostamento del mouse. L’impostazione sintetica, coerente con l’impostazione dell’insegnamento della geometria nelle fasi iniziali, e la facilità d’uso fanno di Cabri-géomètre uno strumento estremamente valido nella scuola secondaria di primo grado.

Durante il mio secondo anno di SSIS ho svolto come attività di tirocinio attivo un percorso sulle isometrie con Cabri in una prima media. Questo lavoro contiene sia la progettazione del percorso didattico che la descrizione di come si sono effettivamente svolte le lezioni in aula e le esercitazioni al computer con Cabri. Nello studiare i risultati ottenuti ho cercato, in particolare, di analizzare se la visualizzazione al computer degli effetti su varie figure delle diverse isometrie favorisce negli allievi la formazione di appropriate immagini mentali e agevola una corretta costruzione dei concetti. Credo comunque che la riuscita di un’attività di geometria al computer, così come di qualsiasi altra attività di apprendimento, non possa essere giudicata immediatamente. L’acquisizione di conoscenze e competenze avviene, infatti, attraverso molteplici esperienze (di natura motoria, percettiva, espressiva, psicologica…) e richiede tempi personali, talvolta lenti, di integrazione mentale dei concetti. In particolare, “la costruzione del pensiero matematico è un processo lungo e progressivo nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti vengono ritrovati, intrecciati, consolidati e sviluppati a più riprese; è un processo che comporta anche difficoltà linguistiche e che richiede un’acquisizione graduale del linguaggio matematico” .

Indice

Percorso didattico di matematica 3
Titolo del percorso didattico 3
Discipline interessate 3
Classe di riferimento e collocazione nel tempo scuola 3
Premessa: l’uso di software geometrici interattivi nella didattica 3
Motivazione della scelta 5
Metodologie didattiche utilizzate 5
Competenza e descrittori di competenza 7
Fasi del percorso di matematica 8
Fase 1: Cosa mi viene in mente e cosa mi aspetto… 8
Fase 2: Prima attività in laboratorio 9
Fase 3: Prima lezione in aula 10
Fase 4: Seconda attività in laboratorio 12
Fase 5: Seconda lezione in aula 13
Fase 6: Terza lezione in aula 14
Fase 7: Terza attività in laboratorio 15
Fase 8: Geometria con CABRI… ci ripenso 16
Fase 9: Vediamo cosa abbiamo capito! 16
Come si è svolto il percorso di matematica 17
Le conoscenze pregresse e le aspettative dei ragazzi 17
Le attività in laboratorio e le lezioni in aula 23
Come gli allievi hanno valutato l’attività con CABRI 28
La verifica 29
Confronto tra libri di testo 30
Conclusioni 32
Schede per il percorso di matematica 33
Cosa mi viene in mente e cosa mi aspetto… 33
Le isometrie nel piano con CABRI – Prima scheda 34
Le isometrie nel piano con CABRI – Seconda scheda 39
Le isometrie nel piano con CABRI – Terza scheda 46
Esercizi sulle isometrie 54
Geometria con CABRI… ci ripenso 57
Verifica sulle isometrie 59
Bibliografia 62

– BRUNO D’AMORE, FRANCO FRABBONI, Didattica generale e didattica disciplinare. La Matematica, Bruno Mondadori, 2005.
– BRUNO D’AMORE, MILENA MANINI, Percorsi, labirinti, mappe. Esperienze proto-matematiche nella scuola dell’infanzia, La Nuova Italia, 1990.
– EMMA CASTELNUOVO, La Matematica. Figure piane A, La Nuova Italia, Firenze.
– EMMA CASTELNUOVO, La Matematica. Leggi matematiche, La Nuova Italia, Firenze.
– EMMA CASTELNUOVO, Didattica della matematica, La Nuova Italia Editrice, 1963.
– Indicazioni per il Curricolo per la scuola d’infanzia e per il primo ciclo di istruzione, Ministero della Pubblica Istruzione, Roma, Settembre 2007.
– ROBERTO VACCA, BRUNO ARTUSO, CLAUDIA BEZZI, Matematica per Unità di Apprendi-mento. Geometria 2, Atlas, Bergamo, 2006.

 Scarica la tesi   Le Isometrie nel piano con CABRI

È possibile imparare la matematica in movimento, attivando non solo la propria mente ma anche le mani, gli occhi, l’intero corpo? Quali vantaggi offre in matematica il lavoro di gruppo rispetto a quello individuale? Cosa c’è di matematico in una decorazione, una bandiera o un fiore? Cosa accomuna il segnale di divieto di fermata al quadrato? Sono solo alcuni degli interrogativi ai quali la presente relazione finale cerca di dare una risposta teorica e pratica.

Questo lavoro è nato infatti dal desiderio di mettere a frutto gli anni di studio universitario in un progetto che coniugasse l’apporto teorico ricevuto in ambito accademico al vissuto quotidiano di una normale realtà scolastica.

Ho avuto la possibilità di concretizzare le mie idee in un percorso sulla simmetria proposto ad una classe quarta di una scuola primaria di Milano.

 Oltre agli obiettivi specifici di apprendimento, rientra tra gli scopi del progetto la sperimentazione di una modalità di insegnamento della matematica che coinvolga in modo attivo i bambini e che li porti verso una nuova visione della disciplina.

Nelle attività che ho proposto ho sempre cercato infatti di mostrare agli alunni numerosi esempi di come la matematica non sia confinata nei libri di scuola ma pervada i diversi ambiti della realtà che ci circonda.

Ritengo infatti che la capacità di cogliere i “segnali matematici” presenti nel mondo intorno a noi debba essere coltivata e incentivata fin dalla scuola primaria e il mio progetto ha voluto concorrere verso questo obiettivo generale.

La prima parte del seguente lavoro ripercorre brevemente le conclusioni alle quali, nell’attuale panorama psicopedagogico e didattico, sono giunti differenti autori e correnti di pensiero. In particolare mi sono soffermata su quei contributi che hanno maggiormente influito la mia formazione, costituendo un punto di riferimento nelle fasi di progettazione, proposta e verifica del percorso sulla simmetria.

Nella seconda parte invece presento in modo più specifico il mio progetto, esaminando il contesto nel quale ho operato, raccontando come si sono svolte le diverse attività e motivando le scelte fatte. Infine propongo una valutazione generale del percorso.

INDICE

INTRODUZIONE p. 3

PRIMA PARTE
Riferimenti psicopedagogici p. 5
Riferimenti didattici p. 13
Didattica della matematica p. 25
Riferimenti matematici p. 33

SECONDA PARTE
Il contesto scolastico p. 41
Le mie scelte p. 47
Il progetto p. 52
Conclusioni p. 80

RINGRAZIAMENTI p. 84
ALLEGATI p. 85
BIBLIOGRAFIA p. 120

BIBLIOGRAFIA
– AA. VV., Matemilano – percorsi di matematica in città, Milano, Ed. Sprinter, 2004
– BELLINGERI P., DEDÒ M., DI SIENO S., TURRINI C., Il ritmo delle forme, Milano, Ed. Mimesis, 2001
– BOLONDI G., La matematica quotidiana, Milano, Ed. Mimesis, 2005
– BRUINI G., Tra le “maglie” della matematica, Giunti Barbera, 1976
– CACCIAMANI S., Psicologia per l’insegnamento, Roma, Carocci, 2002
– CAPONI B., FALCO G., FOCCHIATTI R., CORNOLDI C., LUCANGELI D., Didattica metacognitiva della matematica, Trento, Erikson, 2006
– CAPURSO M., Relazioni educative e apprendimento, Trento, Erikson, 2004
– CARUGATI F., SELLERI P., Psicologia dell’educazione, Bologna, Il Mulino, 2001
– CAZZOLA M., Fare esperienza di matematica a scuola, introduzione al volume Conorovesciato, Milano, Ed. Mimesis, 2007
– COLOMBO BOZZOLO C., COSTA A., ALBERTI C. (a cura di), Nel mondo della geometria 4 – Le trasformazioni geometriche, l’utilizzo dei software dinamici, Ed. Erikson, 2004
– CORNOLDI C., CAPONI B., FALCO G., FOCCHIATTI R., LUCANGELI D., 121 Matematica e metacognizione – Atteggiamenti metacognitivi e processi di controllo, Erikson, 1995
– D’AMORE B., FRABBONI F., Didattica generale e didattica disciplinare – La matematica, Ed. Bruno Mondatori, 2005
– DE VECCHI G., CARMONA-MAGNALDI N., Aiutare a costruire le conoscenze, Firenze, La Nuova Italia, 1999
– GALLO P., VEZZANI C., Mondi nel mondo – Fra gioco e matematica, Milano, Ed. Mimesis, 2007
– FONZI A., (a cura di), Manuale di psicologia dello sviluppo, Firenze, Giunti, 2001
– FREUDENTHAL H., Ripensando l’educazione matematica, Brescia, Ed. La Scuola, 1994
– GENOVESE L., KANIZSA S., (a cura di), Manuale della gestione della classe, Milano, Angeli, 1991
– GIOVANNINI D., (a cura di), Colloquio psicologico e relazione interpersonale, Carocci, 1998
– HMELO – SILVER C. E., Problem-Based Learning: what and how do students learn?, in Educational Psychology Review, 16 (2004)
– NEGRI S. C., Il lavoro di gruppo nella didattica, Roma, Carocci, 2005
– NIGRIS E., (a cura di), Didattica generale, Milano, Guerini scientifica, 2003 122
– ROBERTS S., Il re dello spazio infinito – Storia dell’uomo che salvò la geometria, Milano, Rizzoli 2006
– SARTORE DAN A., I disegni periodici in geometria, Erikson, 2002
– STACCIOLI G., (a cura di), Tra le righe. Vivere volentieri la scuola di base, Roma, Carocci, 1998

Siti internet
– Il sito della mostra “Simmetria, giochi di specchi” http://specchi.mat.unimi.it/users/specchi/notizie_labs.htm
– Il sito del progetto “Immagini per la matematica” www.matematita.it/materiale

 scarica la tesi Decorazioni, segnali stradali e poligoni: la simmetria a scuola e intorno a noi

Proporrei questa unità didattica in una classe quinta liceo scientifico ad indirizzo PNI e la collocherei dopo aver introdotto le trasformazioni geometriche (e mi riferisco alle isometrie e alle similitudini, che solitamente vengono affrontate in quarta), affrontate con l’utilizzo delle matrici, ed i numeri complessi; per quanto riguarda questi ultimi suppongo di aver introdotto l’esponenziale complesso, di cui si farà un largo uso nel seguito.

Ipotizzo inoltre di aver introdotto i numeri complessi senza aver dato troppa importanza all’interpretazione geometrica delle operazioni algebriche (è uno dei miei obiettivi principali da raggiungere), ma solo sulla loro rappresentazione nel piano di Gauss.

Personalmente ritengo molto utile questo argomento perché i ragazzi hanno l’opportunità di constatare come la matematica non sia una disciplina a compartimenti stagni, ma anzi sia tutt’altro: è positivo quindi fare più collegamenti possibili tra gli aspetti algebrici da una parte e quelli geometrici dall’altra.

Troppo spesso, infatti, nelle scuole medie superiori i ragazzi non si appassionano alla Matematica e una delle principali cause può essere ricercata nell’assenza (a volte ingiustificata) di collegamenti tra le diverse aree della disciplina. Una presentazione ”unificata” avrebbe l’effetto non solo di aiutare gli studenti a comprendere meglio ciò che viene loro presentato, ma stimolerebbe forse anche lo stesso insegnante a cercare legami, connessioni tra più temi per analizzare le relazioni che si stabiliscono fra di essi.

Indice

Introduzione pag. 3
Prerequisiti pag. 3
Obiettivi pag. 4
Traslazioni pag. 5
Rotazioni pag. 6
Rotazioni con centro diverso dall’origine pag. 8
Composizione di rotazioni pag. 10
Simmetrie assiali pag. 12
Simmetrie assiali rispetto a rette non passanti per O pag. 15
Simmetria rispetto ad una retta dati due punti pag. 18
Glissoriflessioni pag. 19
Composizione di simmetrie assiali pag. 22
Traslazioni come composizione di due simmetrie assiali pag. 23
Composizione di una rotazione e di una simmetria pag. 25
Isometrie che fanno corrispondere coppie di punti pag. 25
Omotetie pag. 28
Composizione di due omotetie pag. 30
Rotoomotetie di centro O pag. 31
Rotomotetie pag. 33
Similitudini e coppie di punti pag. 34
Affinità e numeri complessi pag. 36
Verifica scritta proposta pag. 38

 Scarica la tesi su Isometrie e similitudini con i numeri complessi