Autore: Administrator

Frazioni algebriche con Derive esercizio 1

ESERCIZIO 1: Semplificare la frazione

Avvia Derive. Per scrivere l’espressione, presta molta attenzione all’uso delle parentesi. La scrittura corretta è

Derive visualizza

Clicca più volte sul segno "+" del numeratore della prima frazione fino a ottenere la selezione

Clicca sul segno uguale posto nella barra dei comandi

Ottieni

Seleziona il numeratore della seconda frazione puntando con il mouse il segno "-". Ottieni

Quindi "Semplifica" "Sviluppa"

Ancora il bottone "Sviluppa)

ottieni lo sviluppo del quadrato del binomio

Per scomporre in fattori il denominatore della seconda frazione, selezionalo e poi premi i bottoni "Semplifica" "Fattorizza"

ancora sul pulsante "Fattorizza"

Ottieni la scomposizione in fattori della differenza di quadrati

"Semplifica", "Fattorizza", "Fattorizza" ottieni

osserva che il prodotto (x+y)(x-y)(2a-b) è stato eseguito come (x2 -y2 )(2a-b) e sviluppato in due parti, una all’inizio e l’altra alla fine dell’espressione

Seleziona il primo prodotto da sviluppare ed esegui i comandi "Semplifica", "Sviluppa" con il mouse seleziona tutte le variabili e premi il pulsante "Sviluppa". Ottieni

Sviluppa gli altri due prodotti del numeratore, ottieni

FINE

Espressioni numeriche con Derive esercizio 1

ESERCIZIO 1: Calcola il valore della seguente espressione

Avvia Derive. Per scrivere l’espressione, presta molta attenzione all’uso delle parentesi. La scrittura corretta è

Comincia dalla prima parentesi tonda puntando con il mouse il segno meno e cliccando più volte fino a ottenere

Quindi, clicca su "Semplifica" e poi su "Base"

Ottieni

Seleziona il segno "-" dell’operazione da eseguire. Ottieni

Quindi "Semplifica" "Base"

ottieni

Seleziona l’operazione di sottrazione dell’ultima parentesi. Quindi ripeti la procedura "Semplifica" "Base". Ottieni

Seleziona la prima operazione di moltiplicazione puntandola con il mouse e cliccando più volte

Ripeti i comandi "Semplifica" "Base". Ottieni

Punta ancora la prima operazione di moltiplicazione, cliccando ottieni

"Semplifica" "Base"

La scrittura non è formalmente corretta, il primo segno "+" è superfluo. Seleziona la prima parentesi

"Semplifica" "Base", ottieni

Dovresti già sapere che il risultato del prodotto è 0. Comunque, seleziona l’operazione, quindi "Semplifica" "Base"

Non ti resta che stamparla e ricopiarla sul quaderno.

FINE

Gradiente, divergenza, rotore

CALCOLO DIFFERENZIALE
Gradiente, Divergenza e Rotore
In questa sezione illustreremo gli operatori differenziali del calcolo vettoriale sia simbolico che numerico, relativo alle coordinate x-y-z cartesiane . Vedremo gli operatori Gradiente, Divergenza e Rotore .
Funzione di tre variabili x, y e z:
Funzione vettoriale :
Calcolo simbolico:
Calcolo numerico:
If , then .
Calcolo simbolico:
Calcolo numerico:
If , then .
Calcolo simbolico:
Calcolo numerico:

Piano tangente a una superficie

Descrizione
In questa sezione rappresenteremo il piano tangente in un punto di una superficie.
funzione in due variabili
funzione rappresentante la superficie

x0 ,y0 coordinate del punto proiezione sul piano xy del punto di tangenza

Calcoli Associati
insieme di punti in un intorno del punto (x 0 , y 0 )
equazione del piano tangente
vettori che descrivono la superficie
vettori che descrivono il piano tangente
GRAFICO
E se pensassimo di cambiare il punto per cui mandare il piano tangente?
Per saperlo cliccate sul grafico precedente!

Calcolo dell’area della superficie di una funzione a due variabili

CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE
Calcolo dell'area della superficie di una funzione in due variabili
In questa sezione illustreremo il calcolo dell'area della superficie di una funzione in due variabili continua insieme alla sue derivate.
Funzione che vogliamo integrare:
Grafico della superficie
Linee di livello
Supponiamo che questa superficie sia definita nel dominio individuato dalla seguente relazione:

con r costante.
Il raggio del cerchio in cui è definita la funzione abbia per raggio:
Area della superficie:
Convertiamo le coordinate cartesiane in coordinate polari:
otteniamo:
E se pensiamo di far variare il raggio r del dominio in cui è definita la nostra funzione?
Per saperlo clicca sul grafico seguente:

Metodo di Monte Carlo per l’Integrazione Numerica con Mathcad

Valore esatto dell'integrale:

Metodo di Monte Carlo per l'Integrazione Numerica con Mathcad

(Carlo Elce)

In questa sezione illustreremo un metodo per l'integrazione numerica mediante la simulazione (generazione di numeri casuali).

Immettiamo le funzioni che rappresentano la frontiera della regione dove vogliamo definire la funzione di due variabili reali da integrare

La nostra regione è compresa nel rettangolo definito dalle limitazioni e .
Il metodo di Monte Carlo approssima il calcolo dell'integrale doppio nella regione sopra definita:
Immettiamo la funzione integranda:
Immettiamo il numero di iterazioni:
Generiamo tre vettori di N numeri casuali mediante la funzione runif
k è la funzione così calcolata:
Valore approssimato dell'integrale:

 

Per vedere come varia il calcolo numerico dell’integrale al variare di N cliccate qui

Integrali doppi calcolati numericamente

Definiamo la frontiera della regione del piano x-y :

A ssumiamo e per ogni x .

Integrali Doppi variabili calcolati numericamente ( Carlo Elce )

Partendo da una funzione, che rappresenta un piano variabile parallelo al piano x-y su cui è definito un dominio quadrato, viene evidenziato come un integrale doppio calcoli il volume di un parallelepipedo. Facendo poi variare la funzione e il dominio piano viene mostrato come l’integrale doppio calcoli il volume di un solido delimitato da una superficie più generale .

.

Definiamo la funzione di due variabili reali da integrare e una variabile temporale FRAME per parametrizzare la funzione:

 

Grafico della frontiera del dominio piano in cui definiamo la funzione f(x,y).

L’ integrale doppio calcola il volume delimitato dal dominio piano e dalla superficie rappresentata dalla funzione f(x,y).

Per vedere l’animazione clicca sul grafico seguente

Definiamo una nuova funzione di due variabili reali da integrare e una variabile temporale FRAME per parametrizzare la funzione:

Grafico della frontiera del dominio piano in cui definiamo la funzione f(x,y).

L’ integrale doppio calcola il volume delimitato dal dominio piano e dalla superficie rappresentata dalla funzione f(x,y).

Per vedere l’animazione clicca sul grafico seguente

Definiamo una terza funzione di due variabili reali da integrare e una variabile temporale FRAME per parametrizzare la funzione:

Grafico della frontiera del dominio piano in cui definiamo la funzione f(x,y).

L’ integrale doppio calcola il volume delimitato dal dominio piano e dalla superficie rappresentata dalla funzione f(x,y).

Per vedere l’animazione clicca sul grafico seguente

Definiamo una nuova frontiera della regione del piano x-y :

assumiamo e per ogni x .

Definiamo la funzione di due variabili reali da integrare e una variabile temporale FRAME per parametrizzare la funzione:

Grafico della frontiera del dominio piano in cui definiamo la funzione f(x,y).

L’ integrale doppio calcola il volume delimitato dal dominio piano e dalla superficie rappresentata dalla funzione f(x,y).

Per vedere l’animazione clicca sul grafico seguente

Definiamo una nuova frontiera della regione del piano x-y :

assumiamo e per ogni x .

Definiamo la funzione di due variabili reali da integrare e una variabile temporale FRAME per parametrizzare la funzione:

Grafico della frontiera del dominio piano in cui definiamo la funzione f(x,y).

L’ integrale doppio calcola il volume delimitato dal dominio piano e dalla superficie rappresentata dalla funzione f(x,y).

Per vedere l’animazione clicca sul grafico seguente

Definiamo una nuova frontiera della regione del piano n x-y :

assumiamo e per ogni x.

Definiamo la funzione di due variabili reali da integrare e una variabile temporale FRAME per parametrizzare la funzione:

Grafico della frontiera del dominio piano in cui definiamo la funzione f(x,y).

L’ integrale doppio calcola il volume delimitato dal dominio piano e dalla superficie rappresentata dalla funzione f(x,y).

Per vedere l’animazione clicca sul grafico seguente

Visita anche la sezione di Analisi matematica, appunti sugli integrali, esercizi sugli integrali, esercizio di integrale doppio, integrale triplo, integrale improprio

Integrali fratti semplici

CALCOLO INTEGRALE
Decomposizione in fratti semplici

In questa sezione illustreremo come la decomposizione di una funzione razionale fratta in fratti semplici consente di calcolare facilmente l'integrale della funzione data.

Primo esempio
si espande in fratti semplici:
Secondo esempio
si espande in fratti semplici:
Terzo esempio
si espande in fratti semplici:
Integrazione funzione primo esempio
Integrazione funzione secondo esempio
Integrazione funzione terzo esempio

Calcolo della lunghezza di un arco di curva

CALCOLO DIFFERENZIALE ed INTEGRALE

Calcolo della lunghezza di un arco di curva di una funzione continua insieme alle sue derivate

Lunghezza dell'arco di curva:

In questa sezione calcoleremo la lunghezza di un arco di curva di una funzione definita in un intervallo continua insieme alle sue derivate.

Funzione di cui vogliamo calcolare la lunghezza di un arco di curva:
Estremi dell'intervallo:
Grafico di f(x) sull'intervallo [a,b]:
Lunghezza dell'arco di curva:

Cosa succederebbe all'arco di curva se pensassimo di far variare l'estremo superiore b dell'intervallo considerato?

Per saperlo clicca sul grafico seguente!
Funzione assegnata:
Estremi dell'intervallo:
Grafico di f(x) sull'intervallo [a,b]:
__________________________________________________________________________

Somme di Riemman

Per stimare l'area tra l'asse x e il grafico di una funzione non negativa f(x) in un intervallo [a, b], definiamo una partizione di [a, b] scegliendo n–1 punti x 1 , x 2 , . . ., x n –1 in [a, b], a = x 0 x 1 . . . x n –1 b = x n . Su ciascun subintervallo [x k –1 , x k ] costruiamo un rettangolo di larghezza Dx k = x k – x k –1 di altezza rispetto all'asse x uguale a f(c k ) . Il lato superiore di ciascun rettangolo deve toccare la curva in un punto (c k , f(c k )).

Sommando le aree di tutti i rettangoli, otteniamo un valore approssimato dell'area compresa tra l'asse x e f(x).

La somma

è chiamata somma di Riemann per f nell'intervallo [a, b].

Trova una somma di Riemann per D(r) = 1/r nell'intervallo [1, 10].

Funzione:
Estremi dell'intervallo:
Numero di rettangoli:
Partizione:
Scegli un punto in ciascun subintervallo.
Calcola questa somma di Riemann.

Rappresentazione grafica:

Nota che diciamo di aver calcolato una somma di Riemann, piuttosto che la somma di Riemann. La somma dipende dalla partizione e dalla scelta dei punti c k in cui si valuta D(r).

Come ci si può aspettare, aumentando il numero dei rettangoli in una somma di Riemann si ottiene un valore approssimato con maggior precisione dell'area. Comunque, questo è vero solo se l'ampiezza del rettangolo più largo della partizione, chiamata norma della partizione, diventa sempre più piccola ossia tende a zero.

Nel precedente esempio, la norma è:
Stima l'area tra la curva e l'asse x tra gli estremi x = 0 e x = 5.
La funzione h(x)non è sempre positiva tra x = 0 e x = 5.
Per trovare l'area richiesta, dividiamo la somma di Riemann in più parti.

h(x) è non negativa in [0, p ] e negativa in ( p , 5]. Costruiamo due somme di Riemann, la prima sommando le aree dei rettangoli nella partizione di [0, p ] e la seconda sommando le opposte delle aree dei rettangoli nella partizione di [ p , 5].

Prima partizione
Numero di rettangoli:
Estremi del primo intervallo:
Larghezza di ciascun rettangolo:

Usiamo l'estremo sinistro di ciascun subintervallo per definire i vari rettangoli.

Seconda partizione
Numero di rettangoli:
Estremi dell'intervallo:
Larghezza di ciascun rettangolo:
Usiamo l'estremo sinistro di ciascun subintervallo per definire i vari rettangoli.
L'area totale è:
Che cosa succede al valore dell'area sotto la curva se n viene incrementato?
Per saperlo e per vedere l'animazione clicca sul grafico seguente!
Animazione a cura di Carlo Elce

Applicazioni dell’integrale definito

Integrazione
Applicazioni dell'Integrale definito:
area tra curve, lunghezze d'arco,
centro di massa, lavoro

Il problema di trovare area, lunghezze d'arco, centro di massa e lavoro di una forza spesso può essere espresso in termini di integrale di una funzione in un intervallo.

Area della regione tra le curve f 1 (x) e f 2 (x), f 1 (x) f 2 (x) nell'intervallo [a,b]:

Lunghezza della curva g(x) da a a b :

Centro di massa di una barra o una striscia sottile posta lungo l'asse x con funzione densità d(x):

lavoro fatto da una forza continua F(x) diretta lungo l'asse x da x = a a x = b :
Quanto misura l'area della regione tra il semicerchio e la semiellisse ?

Abbiamo bisogno di conoscere i punti d'intersezione delle curve per determinare gli estremi dell'intervallo d'integrazione. A tale scopo risolviamo l'equazione:

Eleviamo al quadrato ambo i membri.
le soluzioni sono

Un razzo è lanciato dal suolo verso l'alto. La sua traiettoria è una parabola. La funzione dà la quota del razzo in metri quando esso ha percorso una distanza orizzontale di x metri. Qual è la misura dell'arco di curva percorso dal raz zo?

La quota del razzo è 0 quando x = 0:

Trova dove la quota del razzo è di nuovo 0 per determinare l'estremo superiore dell'integrale.

ha soluzioni
La derivata della funzione quota:

Determina il centro di massa di un'asta di bandiera di 6 metri con una densità che varia linearmente da 3.5 kg/m 3 alla base a 2 kg/m 3 in cima.

Il denominatore è la massa e il numeratore è il momento rispetto all'origine.

Lunghezza:
Funzione Densità :
La massa dell'asta è:
Il centro di massa è:

Uno spargitore di 7 chilogrammi riempito con 4.5 chilogrammi di sale e sabbia è spinto lungo un marciapiede ghiacciato. Se assumiamo che lo spargitore si svuota su una distanza di 70 metri con un tasso costante, quanto lavoro viene compiuto per spingere lo spargitore su tale distanza?

Le unità di lavoro sono il prodotto di una unità di forza e una unità di distanza. Joule ed erg sono esempi di unità di lavoro.

Forza iniziale sullo spargitore pieno
Forza sullo spargitore vuoto
Distanza
Equazione per la forza variabile sulla distanza d

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Primo Teorema Fondamentale del Calcolo
Sia f una funzione continua in un intervallo aperto contenente l'intervallo [a, b].
Sia per a x b. Allora G è derivabile in [a, b] e la sua derivata è f; cioè .
Secondo Teorema Fondamentale del Calcolo
Se f è continua in [a, b] e se F è una qualunque primitiva di f, allora:
I due teoremi ci dicono che:
1) Ogni funzione continua ha una primitiva;
2) Per valutare l'integrale definito di una funzione continua, trova una sua primitiva e valutala negli estremi dell'intervallo.

Quello che i Teoremi Fondamentali del Calcolo non garantiscono è che la primitiva di una funzione continua possa essere scritta in termini di funzioni elementari: polinomi, seno, coseno, radici, esponenziali e logaritmi. Essi ci danno, comunque, un semplice metodo per valutare l'integrale permettendoci di scegliere una qualsiasi primitiva della funzione integranda.

Trova
Una primitiva di è , così che l'integrale è:

In una sezione precedente, abbiamo valutato questo integrale usando le somme di Riemann e prendendo il limite per la norma della partizione tendente a zero.

Trova l'area tra l'asse x e la curva sin(x 2 ) tra x = 0 e x = 1.5.
Estremi dell'intervallo:
L'area è il valore dell'integrale
Cerchiamo di trovare la primitiva di sin(x 2) .
per integrazione, si ha
Cos'è questa funzione FresnelS? E' un modo mascherato di scrivere l'integrale di sin(x 2 ).

Questo significa che non esiste un'espressione dell'integrale di sin(x 2 ) in termini di funzioni elementari. Il massimo che possiamo fare è calcolare l'integrale numericamente.

Consideriamo lo sviluppo in serie della funzione
Sviluppiamo in serie questa funzione arrestandoci al 20-simo termine
Integrando termine a termine si avrà:

Ovviamente maggiore è l'ordine dello sviluppo in serie della funzione più accurato è il valore dell'area calcolata numericamente!

Tangenti, normali, raggio di curvatura

 

CALCOLO DIFFERENZIALE
Tangenti, Normali e Raggio di Curvatura

In questa sezione illustreremo i primi elementi di geometria differenziale relativi alle curve nel piano x-y .

Equazioni della funzione in funzione del parametro t:
Questa curva (una ellisse) ha equazione cartesiana:

implica

implica

Vettore tangente alla curva :
Vettore normale alla curva perpendicolare al vettore tangente :
Raggio di curvatura in un punto:

Il raggio del cerchio osculatore (cerchio che meglio approssima la curva) in un punto dell'ellisse è l' inverso della curvatura.

Coefficiente angolare della retta tangente

  

Derivate
Coefficiente angolare della retta tangente

In geometria piana, una retta si dice tangente a una circonferenza se interseca la circonferenza in un solo punto, secante se interseca la circonferenza in due punti, esterna se non ha alcun punto d'intersezione con la circonferenza. Per altri tipi di curve, una retta può intersecarle in un solo punto, ma non essere tangente. Se vogliamo applicare il concetto di tangente ad altre curve diverse dalla circonferenza abbiamo bisogno di una definizione matematica più generale.

La retta blu è una tangente.

La retta blu è tangente?

Per definire il coefficiente angolare di una tangente usiamo il concetto di limite. Nel file precedente abbiamo definito la retta secante, che passa per due punti della curva. Ora definiamo la retta tangente in un singolo punto (x 0 , f(x 0 )) alla curva f(x) come la retta che passa per P 0 (x 0 , f(x 0 )) il cui coefficiente angolare è il limite, per h tendente a zero, dei coefficienti angolari delle secanti che passano per i punti P 0 (x 0 , f(x 0 )) e P(x 0 +h, f(x 0 +h )).

Coefficiente angolare della retta tangente nel punto P 0 (x 0 , f(x 0 )) alla curva f(x):

Troviamo il coefficiente angolare della tangente alla curva nel punto (2, 6).

Funzione:
ascissa del punto P 0 :

Valutiamo l'espressione del limite per piccoli valori di h, sia positivi che negativi.

Osservate a quale numero si avvicinano i valori sulle colonne di destra per valori di h tendenti a zero

Per confermare che il coefficiente angolare della tangente è 5, sostituiamo la definizione di f(x) nell'espressione del limite ed espandiamo.
Poiché sostituiamo questo valore nell'espressione .
Per sostituzione si ottiene:
Quindi si espande:
Finalmente valutiamo il risultato quando h si avvicina a zero:
otteniamo

Troviamo il punto sulla curva in cui il coefficiente angolare della tangente è –0.3 . Rappresentiamo graficamente y(t), la retta tangente e la perpendicolare (o normale).

Provate ad assegnare ad m altri valori. Poi guardate, alla fine della pagina, l'animazione cliccando sul relativo grafico!
Il coefficiente angolare della tangente in (t 0 , y(t 0 )) è:
Sostituiamo la definizione di y(t) nell'espressione del limite, selezioniamo t 0 e e risolviamo rispetto alla variabile t:
ha soluzioni
Poiché ci sono 2 soluzioni, esistono due punti, due rette tangenti e due normali.
Il coefficiente angolare m perp di rette perpendicolari
soddisfa la relazione m m perp = –1, così:
Equazioni delle tangenti:
Equazioni delle normali:
Per vedere cosa succede assegnando ad m altri valori cliccate sul grafico seguente!

tangenti
e normali
variabili

animazione
a cura di
Carlo Elce

Coefficiente angolare della retta secante

 

Derivate

Coefficiente angolare di una retta secante

La secante di una curva, che sia il grafico di una funzione, è una retta che passa per due punti distinti della curva. Il coefficiente angolare della secante ci dà la velocità media di variazione della funzione in un intervallo di valori.

Se f(x) è la funzione a e b sono le ascisse di due punti sulla curva attraverso i quali vogliamo tracciare la secante, allora il coefficiente angolare della secante è:

Un altro modo per rappresentare le due ascisse è x 0 e x 0 +h.
Allora il coefficiente angolare della secante è: .

Rappresenta f(x) e la secante di f(x) che passa per due punti dati.

La funzione f:

dove x è misurato in radianti .

Le ascisse dei punti sul grafico attraverso cui passa la secante :

Prova a cambiare la funzione e i valori di a e b.

Coefficiente angolare della secante:

Equazione della secante:

Intervallo per il grafico:

Un oggetto lanciato percorre approssimativamente centimetri in t secondi dopo il lancio. Qual è la velocità media dell’oggetto nell’intervallo temporale 1… 4 ? E nell’intervallo 1… 1.5 secondi?

Velocità media tra 1 e 4 secondi:

Tempo iniziale:

Il coefficiente angolare della secante è la velocità media dell’oggetto tra i due tempi.

Velocità media tra 1 e 1.5 secondi:

E’ interessante osservare il comportamento della secante quando i due punti si avvicinano.

Per fare ciò, scegli h piccolo e traccia la la secante corrispondente ad ogni h.

funzione

Clicca sul grafico per vedere la variazione del coefficiente angolare della secante

Il coefficiente angolare della secante è:

Limiti di funzioni e funzioni continue

Limiti di funzioni e funzioni continue

Se il valore di una funzione f(x) si avvicina al valore L quando x si avvicina ad a , diciamo che f(x) ha come limite L per x tendente ad a.

Noi scriviamo ciò, in notazione matematica, così:

Affinchè f(x) abbia limite L quando x si avvicina ad a, devono esistere il limite destro e il limite sinistro per x tendente ad a e devono essere uguali. Con notazione matematica


se e solo se


e

.
Una funzione f(x) è continua in x = a
se:
1. f(a) è definito;
2. esiste; e
3. .

C'è differenza tra un limite che esiste in un punto del dominio di una funzione e la continuità della funzione nel punto? Sì. La continuità impone una condizione più forte. Infatti, perché un limite esista è irrilevante che il valore della funzione esista in x = a, o anche che appartenga al dominio della funzione. Per la continuità, noi dobbiamo poter valutare la funzione in a, e il valore f(a) deve coincidere con il limite di f(x) in a.

Questo limite esiste ed è 1 se x è misurato in radianti, ma 0 non appartiene al dominio di .
Esistono vari modi di calcolare i limiti.

1. Definiamo una lista di valori che si avvicini ad a e calcoli il valore della funzione in ciascuno di questi punti.
Se i valori della funzione si avvicinano quanto si vuole ad un unico numero, quel numero è il limite.

I numeri nella colonna di destra tendono a 8 quando la variabile indipendente tende a 11.

2. Se le funzioni sono polinomi, radici, seni, coseni, esponenziali, o una combinazione algebrica di queste funzione (somma, differenza, prodotto, o quoziente), proviamo a sostituire il numero a cui tende la variabile indipendente per ottenere il limite.

Se quel valore non è ¥ o – ¥ , e l'espressione del limite non si pone nella forma 0/0 o ¥ / ¥ , allora abbiamo raggiunto il risultato.

Poniamo p /2 al posto di q .
Poniamo 2 al posto di t.
3. Se quando sostituiamo 1 alla variabile indipendente otteniamo una forma del tipo 0/0 o ¥/¥ , proviamo a scomporre in fattori l'espressione dentro il segno di limite per eliminare il denominatore.
Se sostituiamo 1 a t otteniamo 0/0. Prima di sostituire, possiamo fattorizzare il numeratore:
Ora sostituiamo 1 a t:
dà

Che succede se la variabile tende a ¥ o – ¥ ? Nessun problema se non troviamo forme indeterminate 0/0 o ¥ / ¥ .

dà
perchè
dà

Se quando sostituiamo otteniamo 0/0 o ¥ / ¥ proviamo a scomporre in fattori per tentare di eliminare l'indeterminazione.

Cosa possiamo dire del seguente ?
otteniamo un insieme di numeri compresi tra

Questo è un caso in cui ottieni una risposta equivoca. Questo limite non esiste! Ciò succede perché la funzione coseno è periodica e così assume tutti i valori compresi tra –1 e 1 .

Ecco l'esempio di una funzione che ammette limite per x = 0,5, ma non è continua in x = 0,5.
La discontinuità nel punto 0,5 è evidenziata nel grafico.
Il limite esiste in x = 0,5, perchè più ci avviciniamo a 0,5, più la funzione si avvicina a 1,5.
dà
dà
Dunque, func(x) non è continua per x = 0,5 .
Per essere continua, func(0,5) deve esistere ed essere uguale a 1,5:
Il prezzo del biglietto di un cinema è 8-mila £ per ragazzi sotto i 12 anni e anziani sopra i 59, e 10-mila per gli altri.
Qual è ? Prezzo è una funzione continua?
Grafico di prezzo(w):
Calcoliamo i limiti destro e sinistro per w tende a 12.
perché prezzo(w) = 8 per ogni valore di w 12.
perché per 12 w 60, prezzo(w) = 10.

Poiché questi limiti sono diversi, prezzo(w) non ha il limite per w tendente a 12. Ciò risponde esaurientemente alla domanda sulla continuità: prezzo(w) non è continua per w = 12; sebbene prezzo(12) sia definita, il limite per w tendente a 12 non esiste.