Teoremi sulle successioni monotone
Come abbiamo già visto, una successione si dice monotòna se essa è crescente, debolmente crescente, decrescente o debolmente crescente. Se una successione è monotòna, o definitivamente monotòna, valgono per essa i seguenti teoremi:
Teorema 1: Se una successione crescente (strettamente o debolmente) o definitivamente crescente (strettamente o debolmente) è limitata superiormente, allora essa è convergente, cioè ammette limite.
Teorema 2: Se una successione decrescente (strettamente o debolmente) o definitivamente decrescente (strettamente o debolmente) è limitata inferiormente, allora essa è convergente, cioè ammette limite.
Teorema 3: Se una successione crescente (strettamente o debolmente) o definitivamente crescente (strettamente o debolmente) è illimitata superiormente, essa diverge positivamente, cioè tende a più infinito.
Teorema 4: Se una successione decrescente (strettamente o debolmente) o definitivamente decrescente (strettamente o debolmente) è illimitata inferiormente, essa diverge negativamente, cioè tende a meno infinito.
Possiamo quindi riassumere i teoremi precedenti, dicendo che una successione monotòna ammette sempre limite, sia che essa sia limitata, sia che non lo sia.
Il seguente teorema è molto utile, e permette di calcolare limiti di successioni che non saremmo in grado di calcolare altrimenti, o che risulterebbero particolarmente difficili:
Teorema del confronto
Siano $a_n, b_n, c_n$ tre successioni numeriche tali che si abbia:
\[ a_n \le b_n \le c_n \,\,\,\, , \,\,\,\, \forall n \in \mathbb{N} \]
sapendo, inoltre, che le successioni $a_n$ e $c_n$ tendono allo stesso limite $l$, cioè che:
\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} c_n = l \]
si può concludere che anche la successione $b_n$, compresa tra esse per ogni $n$, tenda allo stesso limite $l$:
Esempio: Calcoliamo il seguente limite di successioni: \( \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \Big[ \frac{1}{n} \cdot \sin(n) \Big] \)
Notiamo che il limite, così come si presente, non può essere calcolato, in quanto non esiste il limite per $n$ che tende all’infinito di \( \sin(n) \). Ricordiamo, però, che il seno è una funzione compresa sempre tra $-1$ e $1$; possiamo sfruttare questa ipotesi per dedurre che la nostra successione è compresa tra \(-1/n\) e \(1/n\), infatti si ha:
\( -1 \le \sin(n) \le 1 \Rightarrow -\frac{1}{n} \le \frac{\sin(n)}{n} \le \frac{1}{n} \)
Siamo nelle ipotesi del teorema del confronto: infatti, abbiamo una disuguaglianza che riguarda tre successioni, delle quali conosciamo il limite per $n$ che tende all’infinito di quelle ai lati della disuguaglianza; infatti, sappiamo che:
\( \lim_{n \rightarrow +\infty} \Big( \frac{1}{n}\Big) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \Big( -\frac{1}{n}\Big) = 0 \)
Per il teorema del confronto, possiamo concludere che anche la successione \(\sin(n)/n\) tende a zero, per $n$ che tende all’infinito.
Il teorema del confronto si può estendere anche al caso di successioni divergenti:
Teorema del confronto (successioni divergenti)
Siano $a_n$ e $b_n$ due successioni numeriche tali che si abbia:
\[ a_n \le b_n \,\,\,\, , \,\,\,\, \forall n \in \mathbb{N} \]
Possiamo considerare i due seguenti casi:
- Se $a_n$ diverge positivamente, cioè tende all’infinito, allora anche $b_n$ diverge positivamente, cioè, in simboli: \[ \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = +\infty \Rightarrow \lim_{n \rightarrow +\infty} b_n = +\infty \]
- Se $b_n$ diverge negativamente, cioè tende a meno infinito, allora anche $a_n$ diverge negativamente, cioè: \[ \lim_{n \rightarrow +\infty} b_n = -\infty \Rightarrow \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = -\infty \]
- Se $b_n$ è limitata dall’alto, allora anche $a_n$ è limitata dall’alto;
- Se $a_n$ è limitata dal basso, allora anche $b_n$ è limitata dal basso.
Vediamo, ora, altri due teoremi che ci permettono di semplificare molti il calcolo dei limiti:
Teorema (criterio del rapporto)
Sia $a_n$ una successione numerica, positiva. Se esiste il limite del rapporto tra un termine e il suo precedente e vale $l$, cioè:
\[\mbox{se } \exists \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l \]
possiamo determinare il limite della successione $a_n$ in base al valore di $l$, e in particolare:
- se \( 0 \le l \lt 1 \), allora la successione $a_n$ tende a zero: \[ l \in [0; 1) \Rightarrow lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = 0 \]
- se, invece, \( l \lt 1 \), allora la successione $a_n$ diverge positivamente: \[ l \in (1; +\infty) \Rightarrow lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = +\infty \]
Osserviamo che, nel caso in cui il limite del rapporto sia proprio $1$, il teorema non ci da informazioni sul limite della successione, e infatti, non possiamo concludere nulla.
Teorema (criterio della radice)
Sia $a_n$ una successione numerica, positiva. Se esiste il limite della radice n-esima di $a_n$ e vale $l$ cioè:
\[ \mbox{se } \exists \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{n}{a_n} = l \]
possiamo determinare il limite della successione $a_n$ in base al valore di $l$, e in particolare:
- se \( 0 \le l \lt 1 \), allora la successione $a_n$ tende a zero: \[ l \in [0;1) \Rightarrow \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = 0 \]
- se, invece, \( l \gt 1 \), allora la successione $a_n$ diverge positivamente: \[ l \in (1;+\infty) \Rightarrow \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = +\infty \]
Anche in questo caso, non possiamo concludere nulla nel caso in cui il limite della radice sia $1$.
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