Scheda che introduce il concetto di sottoinsieme e le principali proprietà. La scheda è corredata di diversi esempi.
I sottoinsiemi
Definizione
Si consideri un insieme \( A \). Si dice che un insieme \( B \) è un sottoinsieme di \( A \) se e solo se preso un qualunque elemento di \( B \), esso è anche un elemento di \( A \). In tal caso si scrive che \( B \subset A \) o anche \( A \supset B \) , e si leggono “A è un sottoinsieme di B”
Osservazione
“Se e solo se” significa che se un insieme B è un sottoinsieme di A allora preso un qualunque elemento di B, esso è anche un elemento di A, ma anche il viceversa ovvero se preso un qualunque elemento di un insieme B, esso è anche un elemento di un insieme A, allora B è un sottoinsieme di A.
Esempio 1
L’insieme \( V \) delle vocali dell’alfabeto è un sottoinsieme dell’insieme \( A \) delle lettere dell’alfabeto. Infatti, gli elementi di \( V \), che sono a, e , i , o, u, sono tutti elementi di \( A \). Dunque \( V \subset A \), o anche \( A \supset B \).
Esempio 2
L’insieme \( P \) dei numeri primi è un sottoinsieme dell’insieme \( \mathbb{N} \) dei numeri naturali. Infatti gli elementi di \( P \), che sono 2,3,5,7,… (sono infiniti), sono tutti numeri naturali. Dunque \( P \subset \mathbb{N} \), o anche \( \mathbb{N} \supset P \).
Esempio 3
L’insieme \( M \) degli studenti della vostra classe è un sottoinsieme dell’insieme \( S \) di tutti gli studenti della vostra scuola. Infatti tutti gli studenti della vostra classe studiano nella vostra scuola. Dunque \( M \subset S \), o anche \( S \supset M \).
Rappresentazione dei sottoinsiemi
La rappresentazione più utilizzata è quella grafica. Se \( D \subset E \), si disegna all’interno dell’insieme E, l’insieme D.
Esempio
Riprendendo gli esempi precedenti, le loro rappresentazioni grafiche sono
Insiemi uguali
Utilizzando la definizione di sottoinsieme si può dare un’altra definizione di insiemi uguali.
Definizione
Si dice che due insiemi \( A \), \( B \) sono uguali se e solo se uno è sottoinsieme dell’altro, ovvero, preso un qualunque elemento di \( A \), esso è anche un elemento di \( B \), e preso un qualunque elemento di \( B \), esso è anche un elemento di \( A \). In tal caso si scrive \( A = B \).
I sottoinsiemi impropri
Si consideri un qualsiasi insieme \( A \): l’insieme vuoto è sempre suo sottoinsieme, così come l’insieme \( A \) stesso.
Definizione
Dato un insieme \( A \) si definiscono sottoinsiemi impropri di \( A \) l’insieme vuoto ∅ e \( A \) stesso. Tutti gli altri sottoinsiemi di \( A \) si dicono propri.
L’insieme universo e i suoi sottoinsiemi
Qualsiasi insieme è un sottoinsieme dell’insieme universo, in quanto a esso appartengono tutti gli insiemi (come elementi), tutti gli elementi di tali insiemi.
Altre risorse per approfondire l’argomento
Elementi di Teoria degli Insiemi: dispensa a livello universitario