Scheda in cui si tratta l’insieme \( \mathbb{Z} \) dei numeri interi.
L’insieme \( \mathbb{Z} \) dei numeri interi
Nell’insieme \( \mathbb{N} \) dei numeri naturali le uniche operazioni interne sono l’addizione (\( + \)) e la moltiplicazione (\( \cdot \)). Con l’aggiunta di “nuovi” numeri, e quindi con la formazione di un nuovo insieme, è possibile fare in modo che anche la sottrazione diventi un’operazione interna: tale insieme è l’insieme \( \mathbb{Z} \) dei numeri interi relativi.
Definizione
Si definisce insieme dei numeri interi positivi \( \mathbb{Z^+} \) l’insieme di tutti i numeri naturali ad eccezione dello 0.
\[ \mathbb{Z^+} = N \setminus \{ 0 \} \]
Definizione
Si definisce insieme dei numeri interi negativi \( \mathbb{Z^-} \) l’insieme
\( \mathbb{Z^-} =\{-1, -2, -3, \ldots\} \)
i cui elementi sono gli elementi dell’insieme \( \mathbb{Z^+} \) ai quali si pone davanti un segno \( – \).
Osservazione
Lo \( 0 \) non è né positivo né negativo, semplicemente non ha segno.
Definizione
Si definisce insieme dei numeri interi relativi \( \mathbb{Z} \) l’unione degli insiemi \( \mathbb{N} \) e \( \mathbb{Z^-} \)
\( \mathbb{Z} = \mathbb{N} \cup \mathbb{Z^-} \)
Osservazione
Tutti i numeri naturali sono elementi di \( \mathbb{Z} \) : di conseguenza \( \mathbb{N} \) è un sottoinsieme di \( \mathbb{Z} \)
\( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \)
Osservazione
Poiché \( \mathbb{Z} \) ha un sottoinsieme infinito, anch’esso sarà un insieme infinito.
Osservazione
Poiché \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \) tutte le proprietà che valgono in \( \mathbb{Z} \) varranno anche in \( \mathbb{N} \) ,
Definizione
Dati due numeri interi \( a, b \) si dice che essi sono:
- Concordi se hanno lo stesso segno
- Discordi se hanno segno diverso
Esempio 1
I numeri \( +8 \) e \( -5 \) sono discordi, i numeri \( +16 \) e \(+1 \) sono concordi, i numeri \( -12 \) e \( -40 \) sono concordi.
Osservazione
I segni \( + \) e \( – \) sono usati con accezioni distinte. Essi possono indicare l’operazione di addizione e sottrazione, rispettivamente, oppure possono indicare se un numero è positivo oppure negativo: in quest’ultimo caso, il segno \( + \) può essere sottinteso.
Esempio 2
In \( (+12) + (-3) \), il primo \( + \) non indica un’operazione, e dunque può essere tranquillamente sottinteso: dunque il segno si può omettere e si può scrivere anziché \( +12 \) semplicemente \( 12 \); il secondo \( + \) invece indica l’operazione di addizione fra i numeri \( +12 \) (o \( 12 \), per quanto detto) e \( -3 \), e dunque non si può omettere.
Il valore assoluto
Definizione
Due numeri interi si dicono opposti se sono discordi e hanno uguale modulo. L’opposto di un numero \( a \) si indica con \( -a \).
Osservazione
Il segno \( – \) se si tiene conto anche di questa funzione, ha dunque tre possibili significati: i due precedentemente detti e quest’ultimo, con il quale si segnala l’opposto di un numero.
Definizione
Preso un numero intero \( a \) si definisce il suo valore assoluto, o modulo, nel seguente modo:
- Se \( a \) è positivo, oppure è uguale a \( 0 \), allora il valore assoluto è \( a \) stesso;
- Se \( a \) è negativo, allora il valore assoluto è l’opposto di \( a \) , ovvero \( -a \).
Il valore assoluto di \( a \) si indica con il simbolo \( | a | \).
Le operazioni interne all’insieme dei numeri interi
L’insieme \( \mathbb{Z} \) è chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione, ma anche alla sottrazione. La divisone non è un’operazione interna a \( \mathbb{Z} \).
La moltiplicazione \( ( \cdot ) \)
L’operazione di moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme \( \mathbb{Z} \) dei numeri interi. Il risultato di tale operazione sarà ancora un numero intero, il cui segno è dato dalla regola dei segni, e il modulo è dato dal prodotto dei moduli dei due fattori.
Terminologia della moltiplicazione in \( \mathbb{Z} \)
La terminologia della moltiplicazione in \( \mathbb{Z} \) è identica a quella della moltiplicazione in \( \mathbb{N} \).
La regola dei segni
Per la moltiplicazione fra numeri interi, esiste una regola, nota come regola dei segni, che permette di stabilire facilmente il segno del prodotto, ovvero del risultato dell’operazione. Tale legge è la seguente:
In una moltiplicazione, se i segni dei due fattori sono uguali (ovvero i due fattori sono concordi), allora il prodotto sarà positivo; se i segni dei due fattori sono diversi (ovvero i due fattori sono discordi), allora il prodotto sarà negativo.
Essa si può schematizzare nel seguente modo:
Esempi
\( (+5) \cdot (-3) = 15 \)
\( (-2) \cdot (+4) = -8 \)
\( (+2) \cdot (+10) = +20 \)
\( (-5) \cdot (-1) = +5 \)
Proprietà della moltiplicazione
La moltiplicazione tra numeri interi gode delle stesse proprietà della moltiplicazione tra numeri naturali: in particolar modo l’elemento neutro sarà \( +1 \).
Osservazione
Nel caso della moltiplicazione di tre o più numeri interi si procede applicando la proprietà associativa: si scelgono due numeri e se ne fa la moltiplicazione, dunque altri due numeri, e così via, fino a ottenere il risultato.
Esempio
\( (-5) \cdot (3) \cdot (-2) \cdot (-3) \)
Prima, ad esempio, eseguo la moltiplicazione fra \( -5 \) e \( + 3 \)
\( (-5) \cdot (3) = -15 \)
\( (-5) \cdot (3) \cdot (-2) \cdot (-3) = (-15) \cdot (-2) \cdot (-3) \)
Quindi per esempio, ricordando anche la proprietà commutativa, la moltiplicazione fra \( -15 \) e \( -3 \).
\( (-15) \cdot (-3) = 45 \)
Infine eseguo la moltiplicazione fra \( 45 \) e \( -2 \)
\( (45) \cdot (-2) = -90 \)
Osservazione
L’opposto di un numero intero \( a \) è \( -a \): l’opposto di un numero si ricava moltiplicando quest’ultimo per \( -1 \).
\[ a \cdot (-1) = (-1) \cdot a = -a \]
L’addizione \( ( + ) \) e la sottrazione \( ( – ) \)
Le operazioni di addizione e sottrazione sono operazioni interne a \( \mathbb{Z} \). In questo nuovo insieme anziché considerarle come operazioni separate, solitamente si considera un’unica operazione, quella di somma algebrica.
Osservazione L’unificazione di queste due operazioni deriva semplicemente dal fatto che \( a – b = a + (-b) \), ovvero sottrarre un numero a un altro significa sommare a quest’ultimo l’opposto del primo.
Terminologia della somma algebrica in \( \mathbb{Z} \)
La terminologia della somma algebrica in \( \mathbb{Z} \) è identica a quella dell’addizione in \( \mathbb{N} \).
L’operazione di somma algebrica presenta più situazioni della moltiplicazione. Questi sono schematizzati nel seguente modo:
Proprietà della somma algebrica
La somma algebrica in \( \mathbb{Z} \) gode delle stesse proprietà dell’addizione e della proprietà invariantiva della sottrazione in \( \mathbb{N} \).
La divisione \( ( : ) \)
L’insieme \( \mathbb{Z} \) dei numeri interi non è chiuso rispetto all’operazione di divisione. Il divisore è sempre diverso da \( 0 \).
Esempio
\( (+4) : (-5) \) non è un’operazione che si può svolgere con i numeri naturali: il risultato non è un numero naturale.
Cosa serve per svolgere una divisione con i numeri interi
La divisione fra due numeri interi, ordinatamente \( a, b \) si può svolgere solo se il modulo del primo è un multiplo del modulo del secondo, o equivalentemente se il modulo del secondo è un divisore del modulo del primo.
Terminologia della divisione in \( \mathbb{Z} \)
La terminologia della divisione in \( \mathbb{Z} \) è identica a quella della divisione in \( \mathbb{N} \) .
Nel caso in cui la divisione fra due numeri interi sia possibile, il risultato di tale operazione sarà ancora un numero intero, il cui segno è dato dalla regola dei segni, e il modulo è dato dalla divisione dei moduli del dividendo e del divisore.
Esempi
\( (+9) : (-3) = -3 \)
\( (-4) : (+4) = -1 \)
\( (+12) : (+4) = +3 \)
\( (-5) : (-1) = +5 \)
Proprietà della divisione
La divisione non gode delle proprietà commutativa e associativa dell’addizione; l’\( 1 \) si può ammettere come elemento neutro della divisione solo parzialmente: infatti
\[ a : 1 = a \]
ma non si può dire nulla della quantità
\[ 1 : a \]
(a meno che \( a = 1 \), e in tal caso \( 1 : a = 1 \), oppure \( a = -1 \), e in tal caso \( 1 : a = 1 \)
Tuttavia, la divisione gode della proprietà invariantiva:
Il quoziente tra due numeri non cambia se si moltiplica o si divide ognuno di essi per uno stesso numero
\[ a : b = (a \cdot c) : (b \cdot c) \]
\[ a : b = (a : c) : (b : c) \]
La proprietà distributiva
Anche nell’insieme \( \mathbb{Z} \) continua a valere la proprietà distributiva che valeva nell’insieme \( \mathbb{N} \), che legava fra loro le varie operazioni fondamentali
| Proprietà distributiva della moltiplicazione | \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \) \( (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \) |
| Proprietà distributiva della divisone | \( (a + b) : c = (a : c) + (b : c) \) |
Osservazione Il segno \( + \)che compare nella tabella precedente indica l’operazione di somma algebrica e non il segno delle varie quantità che compaiono, ovvero \( a, b, c \) che possono essere positive, negative, o anche nulle (ad eccezione, per quest’ultima possibilità, di \( c \) nel caso della proprietà distributiva della divisione, poiché il divisore non può essere nullo.
L’insieme \( \mathbb{Z} \) è un insieme ordinato
Come \( \mathbb{N} \), anche \( \mathbb{Z} \) è un insieme ordinato.
Altre risorse
Guarda la videolezione sulla somma algebrica di numeri relativi.
