Le onde armoniche
Le onde armoniche sono onde periodiche particolari, in quanto i punti del mezzo materiale che esse attraversano si muovono di moto armonico con il passaggio dell’onda. Ricordiamo che, in quanto onda periodica, anche l’onda armonica si ripete identica a se stessa dopo un certo periodo di tempo.
Consideriamo un’onda armonica che si propaga su una corda elastica.
E’ possibile determinare un’equazione per questo tipo di onde che descriva la posizione dell’onda lungo l’asse verticale, rispetto alla posizione di equilibrio della corda, in funzione del tempo; l’equazione è la seguente:
$ y = a*cos(frac(2π)(T) * t + φ_0) = a*cos(ωt + φ_0)$
possiamo trovare l’equazione anche nella forma:
$ y = a*sin(frac(2π)(T) * t + φ_0) = a*sin(ωt + φ_0)$
dove a indica l’ampiezza dell’onda, T il suo periodo, ω la pulsazione del moto armonico (che corrisponde anche a 2π/T); l’argomento del coseno si definisce fase dell’onda e φ rappresenta la fase iniziale, in quanto essa rappresenta la fase dell’onda nell’istante iniziale in cui si ha t = 0.
E’ possibile, inoltre, determinare la posizione dei punti dell’onda sull’asse verticale in funzione della posizione che essi hanno sull’asse orizzontale; in questo caso, quindi, l’equazione della posizione y si a in funzione di x, ed è la seguente:
$ y = a*cos(frac(2π)(λ) * x + φ_0)$
oppure:
$ y = a*sin(frac(2π)(λ) * x + φ_0)$
In questo caso, λ rappresenta il periodo spaziale dell’onda, icone la sua lunghezza.
Quindi, la posizione dei punti dell’onda dipendono dalla posizione di equilibrio della corda, e anche il valore della fase iniziale dipende dalla scelta della posizione dell’origine.
In generale, è possibile descrivere un’onda con un’equazione generica che fornisca la posizione dei punti dell’onda sulla verticale sia inflazione dello spazio che in funzione del tempo. L’equazione più generica, quindi, assume la seguente forma:
$ y = a*cos(k x ± ωt + φ_0)$
o la seguente:
$ y = a*sin(k x ± ωt + φ_0)$
dove il parametro k corrisponde a 2π/λ; il segno + o – dipende dalla direzione di propagazione dell’onda; si avrà, quindi, un segno negativo nel caso in cui la direzione dell’onda abbia lo stesso verso dell’asse x, cioè nel caso di un’onda progressiva, mentre il segno negativo nel caso in cui la propagazione dell’onda avvenga in verso contrario, in questo caso l’onda si dice regressiva.
Principio di sovrapposizione
Consideriamo due onde che si trasmettono nello stesso mezzo, che differiscono per una differenza di fase (sfasamento). E’ possibile studiare gli effetti delle onde mediante una sovrapposizione delle stesse.
Definiamo le onde in questione come $ψ_1$ e $ψ_2$, e supponiamo che esse siano descritte dalle seguenti equazioni:
$ψ_1 = a*cos(k x – ωt + φ_1)$
$ψ_2 = a*cos(k x – ωt + φ_2)$
Possiamo sommare le due onde sommando le equazioni che le descrivono, per ottenere l’onda risultante; nella somma delle onde usiamo le formule di prostaferesi relative ai coseni:
$ψ = ψ_1 + ψ_2 = 2a*cos (frac(φ_1 – φ_2)(2)) * cos(k x – ωt + frac(φ_1 + φ_2)(2) ) $
Esercizio
Consideriamo un’onda armonica descritta dalla seguente equazione: $y = 2,5 cos (πt)$ in funzione del tempo.
Calcolare il periodo di oscillazione dell’onda e la sua fase iniziale. Sapendo che la sua velocità di propagazione è di 0,04 m/s, quanto vale la lunghezza d’onda?
L’equazione dell’onda che ci fornisca il problema ci da informazioni riguardo l’ampiezza dell’onda, che vale 2,5 m, e la pulsazione del moto armonico che compiono i punti interessati dal suo passaggio, pari a π rad/s.
Il periodo di oscillazione dell’onda è legato alla sua pulsazione, e il rapporto che sussiste tra essi è il seguente:
$T = frac(2π)(ω)$
Sostituiamo, quindi, il valore della pulsazione e otteniamo il periodo delle oscillazioni:
$T = frac(2π)(ω) = frac(2π)(π) = 2s$
Notiamo che nell’equazione, l’argomento del coseno è costituito solamente dal prodotto della pulsazione per la variabile tempo, mentre non compare un valore che descriva la fase iniziale; possiamo concludere, quindi, che la fase iniziale sia uguale a zero.
Ricordiamo, ora, che la velocità di propagazione di un’onda si ottiene come rapporto della lunghezza d’onda sul periodo di un’oscillazione; la formula inversa permette di ricavare la lunghezza d’onda:
$ v = frac(λ)(T) to λ = v * T $
Conoscendo il periodo di oscillazione, pari a 2 secondi, possiamo ricavare la lunghezza dell’onda; sostituiamo, quindi, i valori numerici:
$ λ = v * T = 0,04 * 2 = 0,08 m$
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