La relatività generale - Matematicamente

La teoria della relatività generale estende le nozioni della relatività ristretta ai sistemi di riferimento non inerziali, cioè quei sistemi che, rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, sono sottoposti ad un’accelerazione.

La relatività generale si basa su alcuni principi, alcuni dei quali ottenuti sulla base di esperimenti ideali.

Il primo principio della relatività generale, definito principio di equivalenza, venne formulato in due versioni successive, una versione “debole” e una versione “forte”; la prima formulazione asserisce che:

la massa inerziale di un corpo e la massa gravitazionale sono numericamente uguali, dove per massa inerziale si intende la proprietà del corpo di opporsi alla variazione di moto, mentre per massa gravitazionale la sua proprietà di subire l’influsso del campo gravitazionale.

La seconda formulazione, invece, è la seguente:

in un campo gravitazionale è sempre possibile scegliere un sistema di riferimento che sia localmente inerziale, cioè in cui esiste un intorno sufficientemente piccolo del punto in cui è possibile eliminare l’effetto di una forza di gravità costante. In quell’intorno, quindi, si possono utilizzare le stesse leggi del moto che si utilizzano in assenza di gravità.

Questa seconda formulazione assume un rilievo particolare, ed è stata ottenuta a partire da un’esperimento ideale noto come ascensore di Einstein.

L’ascensore di Einstein

Per questo esperimento si considera un’osservatore chiuso all’interno di una cabina, senza possibilità di veder l’ambiente circostante.

Esaminiamo due situazioni possibili:

ascensore-di-einstein — L’ascensore di Einstein: nel primo caso l’ascensore è in quiete sulla Terra; nel secondo subisce un’accelerazione verso l’alto.

Nel primo caso la cabina si trova in quiete in un sistema di riferimento inerziale, supponiamo quello terrestre, in cui è presente un’accelerazione di gravità g.

Se l’osservatore lascia cadere un’oggetto, nota che esso cade sul fondo della cabina con un’accelerazione di $g = 9,8 m/s^2$ dovuta al campo gravitazionale.

Nel secondo caso, invece, la cabina è posta all’interno di una navicella che si muove con accelerazione costante pari a g; anche in questo caso, se l’osservatore lascia cadere una pallina, questa raggiungerà il fondo della navicella con la stessa accelerazione con cui essa si muove, spinta dalla forza apparente dovuta all’accelerazione.

Di conseguenza, in entrambi i casi la pallina cade con la stessa accelerazione; nel primo caso ci troviamo in un sistema di riferimento inerziale (quello terrestre), nel secondo in un sistema di riferimento non inerziale, perché accelerato (quello della navicella).

Il secondo principio della relatività generale

Da questo esempio possiamo ricavare anche un altro importante principio, definito secondo principio della relatività generale.

Tale principio può essere considerato una generalizzazione del primo assioma della relatività, che affermava che le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

Il principio, infatti, asserisce che le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento, inerziali e non.

Abbiamo visto, con l’ascensore di Einstein, che si presenta la stessa situazione sia nel caso della cabina posta nel sistema di riferimento inerziale della Terra, sia nella cabina in accelerazione costante.

Ciò significa che gli effetti che sono provocati da un’accelerazione costante du un determinato corpo sono gli stessi che sullo stesso corpo (fermo) sono provocati da un campo gravitazionale uniforme. Di conseguenza, in entrambi i casi possono essere applicate lei fisiche con la stessa forma.

I raggi di luce in sistemi di riferimento accelerati

Inoltre, con tale principio viene a cadere anche l’assioma sulla costanza della velocità della luce; i raggi di luce che vengono emessi in un sistema di riferimento accelerato che viene osservato da un sistema di riferimento fisso, non si propagano in traiettoria rettilinea, ma appaiono curvati.

esperimento-navicella