L'energia cinetica - Matematicamente

Definizione di energia cinetica

Come sappiamo, un qualsiasi oggetto che è in movimento è capace di compiere un lavoro.

Ad esempio, un carrello che si muove può colpire un oggetto fermo e metterlo in movimento a sua volta; oppure può urtare una molla e comprimerla. Proprio per questo, l’oggetto in questione possiede energia; in particolare, poiché questa energia dipende proprio dal fatto che l’oggetto si sta muovendo, essa prende il nome di energia cinetica.

L’energia cinetica di un corpo di massa m (indicata con k), che si muove con velocità v è definita come il semiprodotto della massa del corpo per la sua velocità al quadrato:

$ k = 1/2 m * v^2 $

Anche l’energia cinetica, come il lavoro, si esprime nel Sistema Internazionale in Joule.

Il concetto di energia, quindi, è strettamente collegato a quello di lavoro. Infatti, l’energia cinetica può anche essere espressa come:

il lavoro che una forza deve compiere per mettere in moto un oggetto di massa m, inizialmente fermo, e portarlo alla velocità v;
il lavoro che un oggetto di massa m, che si muove a velocità v, deve compiere per essere fermato (in questo caso il lavoro è negativo).

L’effetto di una forza sull’energia cinetica

Ipotizziamo che un corpo in movimento sia soggetto ad una forza esterna; in base alla posizione del vettore forza rispetto al corpo, tale forza influisce diversamente sull’energia cinetica di esso.

Consideriamo tre casi.

Il vettore forza è parallelo al vettore velocità:

In questo caso la forza che agisce può favorire o ostacolare il moto del corpo; infatti, se il vettore velocità e il vettore forza hanno stessa direzione e stesso verso (come nel caso di un oggetto in caduta libera), l’effetto della forza aumenta l’energia cinetica del corpo; altrimenti, se i due vettori hanno stessa direzione ma verso opposto (come nel caso di un oggetto che viene lanciato verso l’alto), la forza diminuisce l’energia cinetica del corpo.

Vettori forza e velocità di un oggetto in caduta libera o lanciato verticalmente verso l'alto — Vettori forza e velocità; caso dell’oggetto in caduta libera, e dell’oggetto lanciato verticalmente verso l’alto

Il vettore forza è perpendicolare al vettore velocità:

In questo caso, la forza che agisce non modifica in alcun modo l’energia cinetica del corpo. Un esempio è quello del moto circolare uniforme, per il quale si ha una velocità costante in modulo (ma che cambia continuamente direzione e verso), il cui vettore ha direzione tangente alla curva descritta dal corpo.

La forza responsabile del moto è la forza centripeta, diretta verso il centro della circonferenza, e quindi perpendicolare al vettore velocità. Tale forza, quindi, modifica direzione e verso del vettore velocità, ma non il suo modulo, che resta costante; per questo, l’energia cinetica non cambia.

Il vettore forza e il vettore velocità formano un angolo $ \alpha$:

Il questo caso, forza e velocità non sono né paralleli né perpendicolari, ma vi è un angolo tra essi. Per comprendere gli effetti della forza sull’energia cinetica, scomponiamo il vettore forza nelle sue componenti; abbiamo $F_\\ $, parallelo alla velocità, che modifica l’energia cinetica ma non la direzione del moto; e $F_⊥$, perpendicolare al vettore velocità, che invece modifica la direzione della velocità ma non il suo modulo, e quindi non influenza l’energia cinetica.

scomposizione-forza — Scomposizione del vettore forza nelle componenti parallela e perpendicolare rispetto al piano.

Il teorema dell’energia cinetica

Quando viene applicata una forza ad un oggetto in movimento, cambia la sua energia cinetica.

Il teorema dell’energia cinetica è riassunto dalla seguente formula:

$ k_f – k_i = 1/2 m*v_f ^2 – 1/2 m*v_i ^2 = L $

Il cambiamento di energia cinetica che subisce l’oggetto in movimento è uguale al lavoro compiuto dalla forza sull’oggetto.

Nel caso in cui la velocità finale è nulla ci si riconduce al caso in cui un corpo in movimento viene fermato; di conseguenza, il lavoro compiuto (che è negativo) è uguale all’energia cinetica iniziale.

Analogamente, se la velocità iniziale è nulla, si ha il caso di un corpo che viene messo in movimento; l’energia cinetica finale sarà uguale al lavoro che si deve compiere (in questo caso si ha un lavoro positivo) per portare il corpo alla velocità finale.