La potenza - Matematicamente

La potenza e il lavoro

In generale, è possibile compiere uno stesso lavoro in modi differenti, e accade che alcuni di essi possono rivelarsi più vantaggiosi di altri.

Ad esempio, se dobbiamo raggiungere il quinto piano di un palazzo possiamo scegliere se salire le scale a piedi, o prendere l’ascensore. In entrambi i casi viene compiuto un lavoro; nel primo caso sono i nostri muscoli che ci permettono di salire, nel secondo è il motore dell’ascensore che compie il lavoro. In entrambi i casi il lavoro compiuto è uguale a quello che compie la forza peso cambiato di segno, perché la forza che ci permette di salire è rivolta verso l’alto.

Ciò che differenzia le due tipologie di lavoro, però, è la durata dell’operazione; scegliendo di salire le scale impiegheremo un tempo maggiore di quello ottenuto prendendo l’ascensore.

La potenza è proprio la misura che tiene conto del tempo che una forza impiega a compiere un lavoro.

La potenza (P) si definisce come il rapporto tra il lavoro compiuto da un sistema e l’intervallo di tempo necessario a compierlo:

$ P = frac (L)(∆t) $

Riferendoci all’esempio precedente, diremo che l’ascensore è più potente di un uomo che sale le scale, in quanto è in grado di compiere la stessa operazione in un tempo notevolmente minore.

L’unità di misura della potenza è il watt, definito come la potenza di un sistema che compie il lavoro di un joule in un secondo: 1 W = 1 J / 1 s.

La potenza e la velocità

Consideriamo, ora, il caso in cui una forza F agisca su un corpo producendo un certo spostamento s in un intervallo di tempo ∆t. Supponiamo, inoltre, che il vettore forza sia parallelo al vettore spostamento. Come sappiamo, il lavoro prodotto dalla forza è dato dal prodotto della forza per lo spostamento: L = Fs.

Possiamo, quindi, esprimere la potenza prodotta nel seguente modo:

$ P = frac (L)(∆t) = frac (F * s)(∆t) $

Se la forza applicata al corpo fa si che esso si muova a velocità costante, il rapporto s/∆t rappresenta proprio la velocità del corpo; possiamo esprimere, quindi, la potenza come prodotto della forza per la velocità:

$ P = F * frac (s)(∆t) = F * v $

Il concetto di macchina

Con il concetto di macchina si esprime un qualsiasi dispositivo che sia capace di compiere un lavoro. Una macchina, quindi, può essere un ascensore, un’automobile, una pompa, e, come abbiamo visto prima, anche un essere umano.

Come tale, ogni macchina possiede una determinata potenza, cioè una quantità di lavoro massimo che può compiere in un determinato intervallo di tempo.

Molti degli elettrodomestici che abbiamo in casa, ad esempio, sono macchine, e la loro potenza è espressa in kW (kilowatt); 1 kW corrisponde a 1000 W.

Esempio

Per mantenere in movimento un’automobile e permetterle di viaggiare a velocità costante, il suo motore deve fornire una forza di 4000 N per vincere gli attriti con l’aria. La potenza totale che viene erogata dal motore dell’auto è di 80 kW. Sapendo che una potenza di 15 kW viene dissipata a causa degli attriti interni del motore, a quale velocità si muove l’automobile? Qual è, inoltre, il lavoro compiuto dal motore dell’automobile se essa percorre un tratto di strada di 1,5 km?

Dai dati del problema, sappiamo che il motore eroga una potenza di 80 kW, ma 15 kW vengono dissipati; di conseguenza, la potenza netta che viene impiegata è di:

$ P = (80-15)kW= 65 kW $

Trasformiamo la potenza nella giusta unità di misura, ricordando che 1 kW corrisponde a 1000 W:

$ P = 65 kW = 65 000 W $

La forza che impiega il motore è di 4000 N; sapendo che la potenza può essere espressa come prodotto della forza per la velocità (nel caso di velocità costante), possiamo ricavare il valore della velocità:

$ P = f * v to v = frac (P)(F) $

Sostituiamo i valori numerici:

$ v = frac (P)(F) = frac (65000 W)(4000 N) = 16,25 m/s $

Per determinare il lavoro compiuto, abbiamo bisogno di conoscere l’intervallo di tempo in cui l’auto è rimasta in movimento.

Sappiamo che essa ha percorso 1,5 km, cioè 1500 m; conoscendo la sua velocità, possiamo calcolare il tempo impiegato:

$ t = frac (s)(v) = frac (1500 m)(16,25 m/s) = 92,31 s $

Dato che la potenza è espressa come rapporto del lavoro sull’unità di tempo, ricaviamo il lavoro effettuato:

$ P = frac (L)(t) to L = P * t $

Sostituiamo i valori numerici:

$ L = P * t = 65000 W * 92,31 s = 6000150 J = 6,0 * 10^6 J $