Il lavoro - Matematicamente

Il concetto di lavoro

Il concetto di lavoro è strettamente collegato a quello di forza e di spostamento. Quando, infatti, solleviamo una cassa e la trasportiamo per un certo tratto, abbiamo compiuto un lavoro.

Inoltre, questa nuova grandezza è strettamente collegata con il concetto di energia. Tutte le volte, infatti, che abbiamo compiuto un lavoro su un corpo, questo corpo ha acquisito a sua volta la capacità di compiere un lavoro.

Ad esempio, se compiamo un lavoro mettendo in moto un carrello, esso potrà urtare un oggetto fermo mettendolo in moto a sua volta. Si dice, quindi, che il carrello ha acquisito energia. L’energia, poi, può essere di tipo diverso, a seconda del corpo che stiamo considerando; nel caso del carrello, si parla di energia di movimento. Se consideriamo una cassa che viene sollevata, essa possederà un’energia di posizione; facendola cadere, infatti, la forza-peso compie un lavoro positivo.

Definizione di lavoro

Diamo una definizione di lavoro di una forza F come il prodotto scalare della forza per lo spostamento rispetto al punto di applicazione:

$ L = vec F * vec s = L * s * cos (Θ) $

dove con θ si indica l’angolo compreso tra i vettori forza e spostamento

Il lavoro di una forza, quindi, dipende dall’angolo compreso tra il vettore forza e il vettore spostamento; di conseguenza, in base alla posizione di essi, potremmo avere un lavoro positivo, negativo o nullo.

Consideriamo il caso in cui il vettore forza e il vettore spostamento siano paralleli; ciò accade, ad esempio, quando spingiamo in avanti un carrello:

vettori-forza-spostamento — Nello spostamento di un oggetto, il vettore forza e il vettore spostamento sono paralleli.

In questo caso, l’angolo compreso tra tali vettori è 0; possiamo calcolare il lavoro compiuto semplicemente come prodotto del modulo della forza per l’entità dello spostamento, essendo il coseno di 0 uguale a 1:

$ L = vec F * vec s = L * s * cos (Θ) =L * s * cos (0°) =L * s $

Lavoro motore e lavoro resistente

Il lavoro che si compie sotto le ipotesi precedenti serve, quindi, per compiere determinate azioni; ad esempio per mettere in moto un corpo fermo, o mantenere in movimento un corpo che si sta già muovendo; per questo prende il nome di lavoro motore.

In particolare, si può definire l’unità di misura del lavoro, cioè il Joule (J), come il lavoro compiuto da una forza di 1N quando questa provoca lo spostamento di un metro dal punto di applicazione: 1 J = 1 N ⋅1 m.

Consideriamo, ora, il caso in cui il vettore forza e il vettore spostamento siano opposti; ciò accade, ad esempio, quando cerchiamo di rallentare, o di fermare, un oggetto in movimento:

In questo caso l’angolo compreso tra i due vettori è di 180°; poiché il coseno di tale angolo è -1, il valore del lavoro sarà negativo, e dato da:

$ L = vec F * vec s = L * s * cos (Θ) =L * s * cos (180°) = – L * s $

La forza applicata al corpo, quindi, si oppone al suo spostamento; il lavoro che ne deriva viene detto lavoro resistente.

Nel caso, invece, in cui il vettore forza e il vettore spostamento siano perpendicolari, per esempio nel caso della forza-peso che agisce su una valigetta che stiamo trasportando, l’angolo compreso tra i vettori è di 90°.