Molto spesso, un atomo viene paragonato ad Sistema Solare, in quanto il nucleo può essere rappresentato dal Sole, e gli elettroni che gli orbitano attorno dai pianeti, che seguono traiettorie ellittiche.
Nelle teorie atomiche precedenti, però, le orbite percorse dagli elettroni sono sempre state considerate circolari; tuttavia, fu dimostrato da Sommerfeld che ad un certo numero principale n possono corrispondere n orbite ellittiche che hanno il semiasse maggiore uguale al raggio dell’orbita circolare prevista da Bohr; il semiasse minore, invece, dipende da un numero naturale l, che può variare da 0 a (n-1), e vale:
$ a_m = frac(l + 1)(n) * a_M$
Si può dimostrare che anche il momento angolare di un elettrone che percorre un’orbita ellittica è quantizzato, in quanto esso è un multiplo di una grandezza definita:
$ L = (l + 1) * h$
Il momento magnetico di un elettrone
Anche nel caso degli elettroni si può parlare di momento magnetico; infatti, poiché un elettrone si muove lungo un percorso chiuso, possiamo paragonare il suo moto ad una spira percorsa da corrente.
All’interno di un campo magnetico esterno, una spira percorsa da corrente tende a ruotare (come farebbe un ago magnetico) finché il suo vettore superficie non è parallelo al vettore campo magnetico.
Ricordiamo la definizione di momento torcente come prodotto vettoriale del momento magnetico per il vettore campo magnetico:
$ vec M = vec μ_m × vec B = i vec A × vec B$
il momento magnetico si può esprimere come prodotto dell’intensità di corrente per l’area racchiusa dal percorso della corrente.
Nel caso di una carica elettrica, l’intensità di corrente si può ottenere come rapporto della carica (quella dell’elettrone) per l’intervallo di tempo, in questo caso quello impiegato per compiere un giro completo, ipotizzando l’orbita circolare. Si ha quindi:
$μ_m = i * A = – frac(ev)(2πr) * πr^2$
Si può inoltre trovare una relazione tra il momento magnetico dell’elettrone e il suo momento angolare; si dimostra, quindi, che il vettore momento magnetico è dato da:
$ vecμ_m = – 1/2 * frac(e)(m_e) * vec L $
Dalla teoria della quantizzazione dell’energia per gli atomi, si evince che anche in questo caso, sono possibili solo determinati valori del momento magnetico e di quello angolare, così come solo alcune delle loro direzioni sono permesse.
Si dimostra che gli stati permessi solo quelli in cui le componenti di L sono parallele al vettore campo magnetico. Tali componenti dipendono da un numero intero m, detto numero quantico magnetico, che assume valori compresi tra -l e +l.
I numeri quantici
I numeri interi che comparivano nelle formule viste precedentemente, e che definiscono le caratteristiche degli orbitali, hanno nomi specifici, e ciascuno di essi determina caratteristiche specifiche.
- Il numero n si definisce numero quantico principale, che determina le grandezze dell’orbitale (e il guscio) su cui si trova l’elettrone, ed in particolare la distanza media degli elettroni dal nucleo. Questo numero può assumere tutti i valori interi a partire da n = 1.
- Il numero l si definisce numero quantico angolare, o azimutale, e definisce il momento magnetico orbitale; in base al suo valore, che varia da 0 a (n-1), gli orbitali vengono classificati nei tipi s, p, d, f; tale numero indica anche il numero dei sottogusci di ciascun livello n.
- Il numero m, infine, si definisce numero quantico magnetico; esso determina l’energia dovuta all’allineamento del momento orbitale con un campo magnetico esterno.
- Il quarto numero quantico viene definito numero quantico di spin, che quantizza il momento angolare dell’elettrone; questo numero può assumere solo i valori di 1/2 e -1/2, che determina il verso di rotazione dell’elettrone su se stesso.
La scoperta del quarto numero quantico deriva dal principio di esclusione di Pauli; questo afferma che due elettroni dello stesso atomo non possono avere numeri quantici uguali.
Dato che un guscio di numero principale n può contenere fino a n^2 elettroni, deve necessariamente esistere un altro numero quantico che possa assumere solo due valori.
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