L'effetto Hall - Matematicamente

Consideriamo una lamina metallica attraversata da corrente elettrica, posta all’interno di un campo magnetico, in modo che il campo magnetico sia perpendicolare alla direzione della corrente.

Gli elettroni che costituiscono la corrente elettrica all’interno della lamina sono sottoposti alla forza di Lorentz, a causa della presenza del campo magnetico.

Se ipotizziamo che il verso del campo magnetico sia entrante nella pagina, e che la corrente elettrica fluisca da sinistra verso destra, la forza di Lorentz tenderà a spingere gli elettroni verso la parte superiore della lamina:

effetto-hall

In questo modo si ha una divisione delle cariche all’interno della lamina, cosicché il bordo superiore si carica negativamente, mentre quello inferiore positivamente.

Tra il bordo superiore e quello inferiore, quindi, si crea una differenza di potenziale; tale effetto prende il nome di effetto Hall.

Il segno della differenza di potenziale dipende dal segno dei portatori di carica che si muovono all’interno del conduttore.

Notiamo, infatti, che se i portatori di carica fossero positivi, cioè fossero protoni, la forza di Lorentz agirebbe su di essi, spostandoli verso la parte superiore della lamina; in quel caso, quindi, si avrebbe sempre una separazione di cariche all’interno della lamina, ma quelle positive si troverebbero nella parte superiore, mentre quelle negative in quella inferiore.

La tensione di Hall

Il fisico statunitense Edwin Hall scoprì che la differenza di potenziale che si registra è quella prevista nel caso di portatori di carica negativi (infatti, nei metalli la corrente elettrica è generata dal movimento degli elettroni).

Il campo magnetico e la forza di Lorentz agiscono sulle particelle in movimento all’interno della lamina fino ad un certo momento: la separazione delle cariche, infatti, fa si che, oltre al campo magnetico presente fin dall’inizio, si venga a creare anche un campo elettrico.

Sotto l’influsso del campo elettrico, le cariche negative vengono spinte verso il basso. La forza elettrica, quindi, tende a bilanciare quella di Lorentz, cosicché ad un certo punto viene raggiunto un equilibrio, e le cariche negative continuano a fluire nella lamina metallica senza che la loro traiettoria venga deviata.

effetto-hall

In questa situazione di equilibrio, possiamo esprimere il valore della differenza di potenziale che si genera per l’effetto Hall, che prende il nome, appunto, di tensione di Hall:

$ ∆V_H = d * v * B $

dove d indica la larghezza della lamina metallica, v la velocità con cui si muovono le cariche elettriche, e B il campo magnetico a cui sono sottoposte.

Il selettore di velocità

Sulla base delle considerazioni fatte precedentemente, è possibile creare degli apparecchi, chiamati selettori di velocità, che permettono il passaggio, all’interno di essi, solo di particelle che si muovono ad una particolare velocità.

Questi dispositivi sono formati, solitamente, da un condensatore piano immerso all’interno di un campo magnetico; supponiamo che il moto delle particelle all’interno del condensatore sia da sinistra verso destre, e che all’estremità destra del condensatore sia presente una lastra con un foro centrale.

selettore-di-velocità — Il selettore di velocità.

Come nel caso precedente, anche qui è presente sia un campo magnetico che un campo elettrico, e su ogni particella che s muove all’interno del condensatore agiscono due forze, quella elettrica e quella magnetica, che hanno stessa direzione e verso opposto.

Se le due forze hanno modulo uguale, la risultante di esse è il vettore nullo, quindi sulla particella non agiscono forze, e essa continua a muoversi di moto rettilineo, passando attraverso il foro della parete.

Le particelle che riescono a fuoriuscire, quindi, hanno una velocità pari a $v = E/B$, data dall’uguaglianza tra i moduli delle forse elettrica e magnetica.

Se la particella avesse una velocità differente, significherebbe che anche le forze che agiscono su di essa hanno moduli differenti, e quindi che una di esse prevarrebbe sull’altra; se ciò accade, la particella verrebbe deviata, e non potrebbe fuoriuscire dal foro.

Di conseguenza, in un fascio di particelle che fluiscono all’interno del condensatore, se esse hanno velocità diverse, possono fuoriuscire da esso solo quelle che presentano una velocità pari a $v = E/B$.