La seconda legge di Ohm - Matematicamente

La seconda legge di Ohm si applica nel caso in cui in conduttore sia un filo metallico, caratterizzato da una lunghezza l e una sezione trasversale di area A; la legge afferma che la resistenza elettrica del filo è direttamente proporzionale alla sua lunghezza e inversamente proporzionale alla sua area trasversale. La resistenza, inoltre, dipende da una costante, chiamata resistività:

$ R = ρ * l/A$

La seconda legge di Ohm è valida solo nel caso in cui la correte elettrica sia distribuita in modo uniforme nella sezione del conduttore, cioè nel caso di corrente elettrica continua.

La resistività dipende solitamente dal materiale di cui è costituito il filo conduttore, e dalla temperatura a cui si trova; essa viene anche definita come l’attitudine di un materiale ad opporre resistenza al passaggio delle cariche elettriche.

Resistività e conducibilità di un materiale

La resistività di misura in Ω ∙ m, e spesso è un buon indice per stabilire il grado di conducibilità elettrica di un certo materiale.

Per valori della resistività compresi tra $10^-8 Ω * m$ e $10^-5 Ω * m$ si parla di buoni conduttori di elettricità, mentre per valori molto elevati, che superano $10^11 Ω * m$, si parla di buoni isolanti.

Vi sono, poi, dei materiali che presentano caratteristiche intermedie, e per questo vengono definiti semiconduttori.

Una caratteristica dei buoni conduttori è il fatto che la resistività aumenta con l’aumentare della temperatura.

Si può dimostrare sperimentalmente che sussiste la seguente relazione:

$ ρ = ρ_0 * (i + α_0 T)$

dove si indica con ρ la resistività del conduttore alla temperatura T, mentre con ρ0 la sua resistività alla temperatura di 0°C; il coefficiente $α_0$ si definisce coefficiente di temperature della resistività relativo alla temperatura di 0°C.

Per altri tipi di materiali, l’aumento della temperatura genera altri effetti; ad esempio, per i semiconduttori la resistività diminuisce all’aumentare della temperatura.

Per un’altra categoria di materiali, invece, la diminuzione della temperatura, fino al raggiungimento della temperatura critica, fa si che la resistività diminuisca fino a raggiungere valori praticamente nulli; questi tipi di materiali vengono definiti superconduttori.

Una delle caratteristiche più importanti dei superconduttori è il fatto che in essi non avviene l’effetto Joule, in quanto se la resistività è nulla, si annulla anche la resistenza. Gli elettroni che formano la corrente elettrica, una volta messi in moto, continuano a muoversi anche se non è presente alcun generatore, e possono continuare a circolare anche per lunghe distanze senza disperdere energia.

Esercizio

Consideriamo un filo conduttore di rame lungo 92 cm, con un diametro di 0,18 mm, collegato ad un generatore di tensione che mantiene una differenza di potenziale di 1,2 V. E’ noto che il rame ha una resistività pari a $1,7 * 10^-8 Ω * m$; calcolare l’intensità della corrente elettrica anche attraversa il filo.

Per risolvere il problema possiamo utilizzare la seconda legge di Ohm, e determinare così la resistenza del conduttore.

I dati che ci occorrono sono: la lunghezza del filo, che espressa in metri vale 0,92 m, la resistività, fornita dal problema, e l’area della sezione trasversale. Supponendo che il filo abbiamo una forma circolare, e avendo il diametro di tale sezione, possiamo determinare la sua area:

$ A = πr^2 = π * (frac(0,18)(2) mm )^2 = π * (0,09 * 10^(-3) m )^2 = 0,025 * 10^(-6) m^2$

A questo punto abbiamo tutti i dati necessari per applicare la seconda legge di Ohm e determinare la resistenza:

$ R = ρ * l/A = 1,7 * 10^(-8) Ω * m * frac(0,92 m)(0,025 * 10^(-6) m^2) = 62,56 10^(-2) Ω$

Possiamo calcolare ora l’intensità di corrente che attraversa il conduttore come rapporto della differenza di potenziale ai suoi capi sulla resistenza:

$ i = frac(∆V)(R) = frac(1,2 V)(0,6256 Ω) = 1,92 A $