Il trasformatore - Matematicamente

Il trasformatore è un dispositivo che lavora con corrente elettrica alternata, ed è in grado di modificare il valore della tensione e della corrente.

Questo dispositivo è costituito da un nucleo di ferro di forma torsionale formato da lamine di ferro sovrapposte e isolate tra loro. Attorno ad esso, sui lati, sono avvolte delle bobine di metallo conduttore:

trasformatore

delle due bobine, una costituisce il circuito primario, collegato ad una rete elettrica di alimentazione, ed è quello che genera un campo magnetico variabile, poiché in esso circola corrente alternata.

L’altro, invece, è detto circuito secondario, ed è quello in cui si genera corrente indotta.

Chiamiamo con $n_1$ il numero di spire del circuito primario, e con $n_2$ il numero si spire di quello secondario; dalla legge di Faraday-Neumann possiamo ricavare la relazione il valore efficace della tensione in ingresso nel trasformatore ($f_1$), e il valore efficace di quella in uscita ($f_2$):

$ f_(eff) ^(2) = f_(eff) ^(1) * frac(n_2)(n_1)$

In base ai valori delle tensioni, possiamo capire quale sarà la funzione del trasformatore; se la tensione in uscita è minore di quella in entrata, il trasformatore si dice abbassatore, e funge da riduttore; in questo caso, il rapporto di trasformazione (cioè il rapporto tra il numero di spire del circuito secondario e di quello primario) è minore di uno.

In caso contrario, invece, quando la tensione in uscita è maggiore di quella in entrata, il trasformatore si dice elevatore di tensione; il rapporto di trasformazione è maggiore di uno.

In un trasformatore ideale, cioè nel quale il rendimento è del 100%, e non ci sono dispersioni di energia, la potenza che entra nel circuito primario è uguale a quella che si ritrova ai capi del circuito secondario. Ricordiamo che la potenza si esprime come prodotto della forza elettromotrice per l’intensità di corrente.

Per la conservazione dell’energia, quindi, abbiamo che i valori efficaci delle correnti che attraversano i due circuiti sono inversamente proporzionali a quelli delle tensioni, e sussiste la seguente relazione:

$ frac(i_(eff) ^(2))(i_(eff) ^(1)) = frac(f_(eff) ^(1))(f_(eff) ^(2))$

Da questa relazione, possiamo dedurre che se manteniamo costanti le grandezze in ingresso, una piccola tensione in uscita corrisponde ad una corrente in uscita piuttosto elevata; al contrario, se la corrente in uscita è di bassa intensità, si avranno alte tensioni in uscita.

Riassumiamo alcune proprietà che caratterizzano i trasformatori ideali; in essi vi è:

assenza di dissipazione di energia per effetto joule nei circuiti primario e secondario;

flusso del campo magnetico generato dalle spire confinato solo nei due avvolgimenti, senza dispersioni;

assenza di perdite nel ferro.

In un trasformatore reale, invece, vi sono molti aspetti che vanno considerati. Ad esempio, sono presenti delle resistenze negli avvolgimenti, responsabili della dissipazione di parte dell’energia per effetto joule.

Inoltre, parte del flusso magnetico creato dalla corrente viene disperso a causa del non perfetto accoppiamento magnetico tra le due bobine.

Esercizio

Consideriamo un trasformatore in cui il circuito primario è composto da 140 spire, mentre quello secondario ne ha 660. Sappiamo che nel circuito primario viene applicata una tensione di 220 V, cosicché si genera una corrente in entrata di 15,0 A.

Ipotizzando che il trasformatore sia ideale, calcolare la corrente che circola nel circuito secondario.

Per risolvere il quesito, abbiamo bisogno di conoscere la tensione in uscita, cioè quella del secondo circuito.

Per determinare il suo valore, possiamo applicare la formula vista in precedenza, e calcolare il prodotto tra la tensione in entrata e il rapporto di trasformazione:

$ f_(eff) ^(2) = f_(eff) ^(1) * frac(n_2)(n_1) = 220 V * frac(660)(140) = 1037 V$

Ora, dalla relazione tra i rapporti fra le correnti in entrata e uscita e le rispettive tensioni possiamo ricavare il valore della corrente in uscita:

$i_(eff) ^(2) = frac(f_(eff) ^(1))(f_(eff) ^(2)) * i_(eff) ^(1) = frac(220 V)(1037 V) * 15 A = 3,18 A$