Il potenziale elettrico - Matematicamente

Definizione

Nel caso del campo elettrico, abbiamo visto che per studiare gli effetti del campo elettrico generato da una carica puntiforme Q occorreva posizionare una carica di prova q in una zona interessata dal campo elettrico; l’importante era che la carica di prova fosse sufficientemente piccola da non influenzare con la sua carica il campo elettrico generato da Q.

Abbiamo visto che esiste una grandezza vettoriale, il vettore campo elettrico, che dipende esclusivamente dalla carica generatrice, e non dalla carica di prova.

E’ possibile individuare anche una grandezza scalare che sia indipendente dalla carica di prova q, e tale grandezza si definisce a partire dall’energia potenziale.

Ipotizziamo di avere un numero N di cariche, e studiamo gli effetti che tali cariche creano in uno spazio; per farlo, posizioniamo una carica di prova q all’interno di esso.

Per determinare l’energia potenziale relativa alla carica di prova q, nel punto in cui essa si trova, dobbiamo calcolare l’energia potenziale di q con ciascuna delle cariche $Q_1$ , $Q_2$, …, $Q_N$ che compongono il sistema; la somma delle energie potenziali fornirà il valore dell’energia complessiva, che indichiamo con UA.

A partire da queste considerazioni, possiamo definire una nuova grandezza scalare, che prende il nome di potenziale elettrico; il potenziale elettrico in un punto P è definito come il rapporto dell’energia potenziale nel punto P e la carica di prova q:

$ V_P = frac(U_P)(q)$

Il potenziale elettrico è indipendente dalla carica di prova, in quanto l’energia potenziale è direttamente proporzionale ad essa.

Nel Sistema Internazionale, il potenziale elettrico si esprime in J/C, e tale grandezza prende il nome di volt (v).

Possiamo calcolare il potenziale elettrico generato da una carica puntiforme in un punto P che si trova ad una distanza r da essa. Per farlo, occorre considerare una carica di prova posta nel punto P, e calcolare l’energia potenziale della carica in quel punto.

Poiché l’energia potenziale nel punto P si ottiene dalla formula:

$ U = frac(1)(4πε) * frac(Q*q)(r) $

il potenziale elettrico nel punto P si ottiene dividendo tale energia potenziale per la carica di prova:

$ V = frac(U)(q) = frac(1)(4πε) * frac(Q*q)(r) * 1/q = = frac(1)(4πε) * frac(Q)(r)$

Questa formula è un’ulteriore conferma del fatto che il potenziale è indipendente dalla carica di prova, ma dipende esclusivamente dalla carica generatrice.

Nel caso in cui si abbia un campo elettrico generato da più cariche, il potenziale totale in un punto P si ottiene ponendo una carica di prova q in P, e calcolando i singoli potenziali tra q e ciascuna carica che genera il campo. La somma totale di tutti i singoli potenziali fornisce il valore del potenziale totale.

La differenza di potenziale

Come sappiamo, l’energia potenziale elettrica è uguale al lavoro negativo che compie la forza elettrica quando una carica viene portata da un punto A ad un punto B.

Nel punto iniziale A e nel punto finale B possiamo calcolare il potenziale elettrico, dato dal rapporto dell’energia potenziale in quei punti sulla carica di prova; avremmo quindi:

$ V_A = frac(U_A)(q) , V_B = frac(U_B)(q)$

Possiamo definire la differenza di potenziale tra il punto A e il punto B come differenza del potenziale in B meno il potenziale in A:

$ ∆V = V_B – V_A = frac(U_B)(q) – frac(U_A)(q) = frac(∆U)(q)$

Dalla definizione di energia potenziale come lavoro, possiamo riscrivere la differenza di energia potenziale anche come rapporto negativo del lavoro da A a B sulla carica di prova:

$ ∆V = frac(∆U)(q) = – frac(W_(AtoB))(q)$

Possiamo stabilire, in base al segno del lavoro compiuto dalla forza elettrica durante lo spostamento, se questo è avvenuto in maniera spontanea o meno.

Ad esempio, nel caso di cariche positive, se la forza elettrica compie un lavoro W > 0, la differenza di potenziale è negativa; ciò significa che le cariche positive si spostano spontaneamente da punti a potenziale maggiore verso punti a potenziale minore.

Nel caso di cariche negative, invece, vale l’opposto; esse si muovono spontaneamente da punti a potenziale minore verso punti a potenziale maggiore.