Energia immagazzinata in un condensatore

Come sappiamo, il condensatore piano è costituito da due lastre metalliche, inizialmente scariche in quanto collegate a terra, che poi vengono caricate di carica Q: in particolare si elettrizza la prima armatura direttamente (ad esempio per mezzo di una pila), mentre l’altra assumerà una carica opposta -Q per induzione.

Le armature continueranno a caricarsi distribuendo la carica Q uniformemente su tutta la loro superficie fino a quando la differenza di potenziale ∆V tra le armature non avrà raggiunto la differenza di potenziale della pila.

In generale, il processo di carica di un condensatore è un processo che richiede lavoro per essere svolto; infatti, anche se un corpo è inizialmente scarico, su di esso sono comunque presenti delle cariche elettriche, quelle positive in ugual quantità di quelle negative, in modo che il corpo risulti neutro. Quando il corpo viene caricato, quindi, le nuove cariche elettriche che si aggiungono vengono respinte dalle cariche dello stesso segno che erano già presenti sull’armatura, cosicché il processo di elettrizzazione va contro natura, ed è necessaria, quindi, la presenza di una forza esterna (che compie lavoro) che spinga le nuove cariche sulla superficie del conduttore.

In generale, il lavoro è espresso come prodotto della carica per la differenza di potenziale: W = Q ∙ ∆V; possiamo immaginare questo lavoro come la somma di tutti i lavori che occorre compiere per spostare tutte le cariche infinitesime dall’armatura negativa a quella positiva.

E’ necessario questo ragionamento in quanto le grandezze che compaiono nella formula cambiano costantemente durante il processo di elettrizzazione del conduttore, e ciò rende impossibile determinare un valore complessivo del lavoro svolto.

E’ possibile, però, suddividere il processo generale in tanti piccoli intervalli, cosicché in ciascuno di essi sia la carica che la differenza di potenziale risultino costanti; in questo modo è possibile calcolare il lavoro svolto in ognuno dei singoli intervalli, e da questi ottenere il lavoro complessivo, dato dalla somma di tutti i lavori.

Se rappresentiamo in un piano carica-volume questo tipo di processo, il lavoro svolto è calcolabile come l’area sottesa dalla curva che rappresenta il lavoro, ovvero l’integrale della funzione lavoro.

Si può dimostrare che il lavoro complessivamente svolto durante il processo è dato dalla seguente formula:

$ W_c = 1/2 QV$

Ricordando, poi, la relazione tra capacità, carica e potenziale (C=Q/V), possiamo ricavare altre utili formule che esprimono il lavoro:

$ W_c = 1/2 (CV)V = 1/2 CV^2 $ , $ W_c = 1/2 QV(Q/C) = 1/2 frac(Q^2)(C)$

Anche in questo caso vale la conservazione dell’energia; di conseguenza, il lavoro svolto per elettrizzare un condensatore si trasforma poi in energia potenziale, che rimane immagazzinate in esso, e può essere riutilizzata per compiere nuovamente lavoro.

La densità di energia

Come per la carica elettrica, anche per l’energia elettrica, cioè l’energia che viene immagazzinata dal condensatore in seguito al lavoro compiuto per caricarlo, è possibile introdurre il concetto di densità.

Nel caso della carica, la densità veniva indicata come rapporto tra la carica elettrica e la superficie su cui essa si trovava (nel caso di densità superficiale) o il volume su cui si distribuiva (nel caso di densità volumica).

Per l’energia elettrica si definisce densità volumica di energia il rapporto tra l’energia immagazzinata nel condensatore e il suo volume interno:

$ w_(vecE) = frac(W_C)(S*d)$

dove S indica l’area delle armature, mentre d la distanza che le separa.

Questa densità può anche essere espressa in funzione della costante dielettrica del mezzo e del campo elettrico che si trova all’interno del condensatore.

Utilizziamo le formule viste in precedenza all’interno della formula per la densità di energia, e otteniamo la seguente espressione:

$ w_(vecE) =1/2 frac(Q^2)(C) * frac(1)(S*d)$

Ricordiamo che possiamo esprimere la capacità del condensatore come εS/d, e sostituiamo nella formula:

$ w_(vecE) =1/2 frac(Q^2)(C) * frac(1)(S*d) = 1/2 Q^2 * frac(d)(ε*S) * frac(1)(S*d) = 1/2 Q^2 * frac(1)(ε * S^2)$

nella formula possiamo isolare il quadrato del rapporto Q/S, che rappresenta la densità superficiale di carica;

$ w_(vecE) = 1/2 Q^2 * frac(1)(ε * S^2) = 1/(2ε) * (Q/S)^2 = frac(σ^2)(2ε)$

Ora, se vogliamo far comparire all’interno della formula il modulo del campo elettrico, possiamo moltiplicare numeratore e denominatore per ε; il rapporto σ/ε rappresenta proprio E:

$ w_(vecE) = frac(σ^2)(2ε) = ε * frac(σ^2)(2ε^2) = ε/2 * (σ/ε)^2 = ε/2 * E^2$