Multiplo e divisore di un monomio
Così come per i numeri naturali, anche per i monomi possiamo dare la definizione di multiplo.
Dati due monomi A e B, si dice che A è multiplo di B se esiste un monomio C tale che A = B \times C . Il monomio B si dice divisore del monomio A.
Per esempio, il monomio A = 3a^2bc^3 è multiplo del monomio B = abc^2 , perché il monomio A si può ottenere moltiplicando il monomio B per un terzo monomio C = 3ac ; infatti: abc^2 \times 3ac = 3a^2bc^3 .
Massimo comun divisore (M.C.D)
La nozione di massimo comun divisore introdotta con i numeri naturali, può essere estesa ai monomi. Il massimo comun divisore (M.C.D.) di due o più monomi non nulli è un monomio così formato:
- Il coefficiente è il M.C.D. dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi dati, se tali coefficienti sono tutti interi, altrimenti è 1;
- La parte letterale è formata da tutte le lettere comuni ai monomi di partenza, ciascuna presa una sola volta e con esponente uguale al minore degli esponenti con cui essa figura nei monomi dati.
In particolare, il monomio così formato sarà un divisore dei monomi di partenza, e precisamente, sarà quello di grado maggiore.
- Esempio 1: calcolare il M.C.D. dei seguenti monomi:
12 x^3 y^2 ; 40 x^4 y^3 z^2 ; 44 x^2 y
Scomponiamo in fattori i coefficienti, che sono numeri interi:
12 = 2^2 \times 3
40 = 2^3 \times 5
44 = 2^2 \times 11
La parte numerica è quindi data da
M.C.D. (12, 40, 44) = 2^2 = 4
Per quanto riguarda la parte letterale, i fattori comuni a tutti i monomi sono x e y, che dobbiamo prendere con esponente minore: x^2 e y .
Il monomio che rappresenta il M.C.D. è quindi questo: 4x^2y .
- Esempio 2: calcolare il M.C.D. dei seguenti monomi:
-30 a^3 b^2 ; 45 a^2 b c^2 ; 25 a^2 b^3 c
Calcoliamo la parte numerica:
30 = 2 \times 3 \times 5
45 = 3^2 \times 5
25 = 5^2
M.C.D. (30, 45, 25) = 5
Per la parte letterale, i fattori comuni sono a e b, presi con esponente minimo, quindi abbiamo: a^2 b .
Il monomio che rappresenta il M.C.D. è quindi questo: 5 a^2 b .
- Esempio 3: calcolare il M.C.D. dei seguenti monomi:
35 m p^2 ; 7 m^2 q^3 ; \frac{1}{7} m^2 q^3
La parte numerica, considerando che il coefficiente di uno dei monomi è una frazione, e uguale a 1.
Per la parte letterale, l’unico fattore comune è m, che preso con esponente minimo, è m:
Il monomio che rappresenta il M.C.D. è quindi m.
- Esempio 4: calcolare il M.C.D. dei seguenti monomi:
12 a^{2n} b ; 3 a^{3n} b^5 ; 18 a^{4n}
Calcoliamo la parte numerica:
12 = 2^2 \times 3
3 = 3
18 = 3^2 \times 2
M.C.D. (12, 3, 18) = 3
Per la parte letterale, notiamo che la lettera a compare con esponente un numero naturale n moltiplicato per un fattore.
Consideriamo questa lettera in questo modo: a^{2n} = (a^n)^2, a^{3n} = (a^n)^3, a^{4n} = (a^n)^4 ; di conseguenza, questa lettera, l’unica presente in tutti i monomi, presa con esponente più basso, sarà a^{2n} .
Il monomio che rappresenta il M.C.D. è quindi questo: 3a^{2n} .
Minimo comune multiplo (m.c.m)
Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più monomi si ottiene in questo modo:
- Il coefficiente è il m.c.m. dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi dati, se tali coefficienti sono tutti interi, altrimenti è 1;
- La parte letterale è formata da tutte le lettere comuni e non comuni ai monomi di partenza, ciascuna presa una sola volta e con esponente uguale al maggiore degli esponenti con cui essa figura nei monomi dati.
In particolare, il monomio così formato è multiplo di tutti i monomi dati e, tra tutti i multipli dei monomi dati, è quello di grado minore.
- Esempio 1: calcolare il m.c.m. dei seguente monomi:
20 a^3 b^4 ; 35 a^2 c^2 ; 15 a b^2 c
Procediamo scomponendo in fattori le parti letterali di ciascun monomio, e calcolando il loro m.c.m.:
20 = 2^2 \times 5
35 = 7 \times 5
15 = 3 \times 5
m.c.m (20, 35, 15) = 3 \times 7 \times 2^2 \times 5 = 420
I fattori letterali presenti nei tre monomi sono a, b, c; l’esponente massimo con cui figura a è 3, quello di b è 4, mentre quello di c è 2. Quindi, la parte letterale è la seguente: a^3 b^4 c^2 .
Il monomio che rappresenta il m.c.m. è quindi questo: 420 a^3 b^4 c^2 .
- Esempio 2: calcolare il m.c.m. dei seguente monomi:
2 x y^3 z ; – \frac{1}{3} x^2 y^2 z^2 ; -\frac{4}{5} x^4 z^2
Poiché le parti numeriche di due monomi sono frazioni, il coefficiente è uguale a 1.
I fattori letterali presenti nei tre monomi sono x, y, z; presi con l’esponente massimo, otteniamo come parte letterale: x^4 y^3 z^2 .
Il monomio che rappresenta il m.c.m. è quindi: x^4 y^3 z^2 .
- Esempio 3: calcolare il m.c.m. dei seguente monomi:
5 a^3 b c ; 12 a b^2 c^3 ; 10 a^3 b^3 c^2
Calcoliamo il m.c.m. della parte numerica:
5 = 5
12 = 3 \times 2^2
10 = 2 \times 5
m.c.m. (5, 12, 10) = 3 \times 2^2 \times 5 = 60
I fattori letterali presenti nei tre monomi sono a, b, c; l’esponente massimo con cui figura a è 3, quello di b è 3, quello di c è 3. Quindi, la parte letterale è la seguente: a^3 b^3 c^3 .
Il monomio che rappresenta il m.c.m. è quindi questo: 60 a^3 b^3 c^3 .
- Esempio 4: calcolare il m.c.m. dei seguente monomi:
14 m^3 n^2 r^4 ; 49 m n^3 r ; 4 m^4 n^2
Calcoliamo la parte numerica:
14 = 2 \times 7
49 = 7^2
4 = 2^2
Le lettere che compongono la parte letterale sono m, n, r, prese con esponente maggiore: m^4 n^3 r^4 .
Il monomio che rappresenta il m.c.m. è quindi questo: 196 m^4 n^3 r^4 .
Monomi primi tra loro
Due monomi sono primi fra lori se il massimo comun divisore è 1.
Per esempio 7 x^3 y e 5 z t^2 sono monomi primi, perché non hanno fattori in comune, né nella parte numerica, né in quella letterale.
Altre risorse utili
Test sui monomi