Quoziente tra un polinomio e un monomio
Il quoziente tra un polinomio e un monomio si calcola applicando la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione; si divide, cioè, ogni termine del polinomio per il monomio in questione.
Dati un polinomio del tipo \( A + B \) , con \( A \) e \( B \) monomi, e un monomio divisore \( C \neq 0 \), il quoziente tra il polinomio e il monomio è dato da:
\[ (A + B) : C = A : C + B : C \]
Vediamo quindi la seguente regola:
- Il quoziente tra un polinomio e un monomio non nullo, se esiste, è dato dal polinomio i cui termini si ottengono dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio.
In particolare, la divisione è possibile solo se ogni termine del polinomio è divisibile per il monomio, cioè contiene tutte le lettere che figurano nel monomio, ciascuna con esponente maggiore o uguale a quello con cui compare nel monomio.
- Un polinomio è sempre divisibile per un numero diverso da zero, e il risultato si ottiene dividendo ciascun coefficiente del polinomio per il numero divisore.
- Il grado del quoziente tra un polinomio e un monomio, entrambi non nulli, è dato dalla differenza tra il grado del polinomio e quello del monomio; (la regola vale sia per il grado complessivo, che per il grado rispetto ad una lettera).
Esempio di quoziente tra un polinomio e un monomio
Calcoliamo il quoziente tre il polinomio \( (4a^3 + 16a^2 + 8a) \) e il monomio \( 2a \):
\[ (4a^3 + 16a^2 + 8a) : 2a \]
applicando la proprietà distributiva, abbiamo:
\( (4a^3 + 16a^2 + 8a) : 2a = 4a^3 : 2a + 16a^2 : 2a + 8a : 2a \)
Svolgiamo le singole divisioni:
\( 4a^3 : 2a + 16a^2 : 2a + 8a : 2a = \frac{4}{2} a^{3-1} + \frac{16}{2}a^{2-1} + \frac{8}{2}a^{1-1} = \)
\( 2a^2 + 8a + 4 \)
Divisione tra polinomi
Definizioni:
Un polinomio \( A \) è divisibile per un polinomio \( B \), diverso dal polinomio nullo, se esiste un terzo polinomio \( Q \) che, moltiplicato per \( B \), dà per prodotto \( A \), cioè se \( A = B \cdot Q \).
\[ A : B = Q \Leftrightarrow A = B \cdot Q \]
Il polinomio \( A \) di dice dividendo, il polinomio \( B \) divisore, mentre il polinomio \( Q \) è il quoziente.
Se il polinomio \( A \) è divisibile per \( B \), allora diciamo che \( B \) è un divisore di \( A \), e \( A \) è un multiplo di \( B \).
Altrimenti, se \( A \) non è divisibile per \( B \), il loro rapporto si può indicare semplicemente con la frazione algebrica \( \frac{A}{B} \).
In questo caso, come accade per i numeri naturali, svolgendo la divisione fra i polinomi otterremo un quoziente (non esatto) e un resto; si può dimostrare quindi che, dati due polinomi \( A \) e \( B \), con \( B \) diverso dal polinomio nullo, esistono e si possono determinare in modo unico due polinomi \( Q \) ed \( R \) tali che:
\( A = B \cdot Q + R \text{ con grado di R } \lt \text{ grado di } B \)
Se il polinomio \( R \) è il polinomio nullo, possiamo affermare che \( A \) è un multiplo di \( B \).
Algoritmo per la determinazione del quoziente e del resto
Vediamo delle regole generali per effettuare la divisione tra due polinomi.
Consideriamo un polinomio \( A \) di grado \( m \) (dividendo) e un polinomio \( B \) di grado \( n \) (divisore), con \( m \le m \);
- Si ordinano i polinomi secondo le potenze decrescenti della lettera x;
- Si divide il primo termine del dividendo per il primo termine del divisore: il quoziente ottenuto è il primo termine del quoziente dei due polinomi;
- Si moltiplica il termine in questione per il divisore e si somma il prodotto, cambiato di segno, con il dividendo; il polinomio ottenuto è il promo resto parziale;
- Si divide il primo termine del resto parziale per il primo termine del divisore e si ottiene il secondo termine del quoziente dei polinomi;
- Si moltiplica questo termine per il divisore e si somma il prodotto, cambiato di segno, con il precedente resto, ottenendo il secondo resto parziale;
- Si procede in questo modo finché non si ottiene un resto parziale di grado inferiore al grado del divisore (questo ultimo resto sarà il resto della divisione).
Esempio: calcoliamo la divisione fra il polinomio \( 3x^4 – 10x^3 – 5x^2 + 11x + 10 \) e il polinomio \( 3x + 2 \).
Notiamo che i polinomi sono già ordinati secondo le potenze decrescenti di x, quindi possiamo procedere nella divisione:
Otteniamo quindi come quoziente \( x^3 – 4x^2 + x + 3 \) e come resto 4.
Materiale di supporto
Videolezione sulla divisione di polinomi
Capitolo “Divisione tra due polinomi” del Manuale C3 Algebra 1