Descrizione del metodo

Uno dei metodi più comuni per la risoluzione di un sistema lineare è quello di eliminazione. Esso si basa sul seguente principio, detto di riduzione, la cui facile dimostrazione non diamo per brevità:

Principio di riduzione: Siano date due equazioni di un sistema lineare; se ad una di esse si sostituisce una loro combinazione lineare, il sistema ottenuto ha ancora le stesse soluzioni del precedente o, come pure si dice, gli è equivalente.

Procedimento: Il metodo di eliminazione è definito dal seguente algoritmo:

  1. Si dà una numerazione alle incognite e le si scrive in ogni equazione nello stesso ordine;
  2. Si deve fare in modo che nella prima equazione appaia la prima incognita, nella seconda equazione appaia la seconda incognita e così via. Se la situazione non è già così, basta confrontare l’equazione “sbagliata” con quelle sottostanti e scambiarne la posizione con la prima che sia “adatta”. Se neanche ciò è possibile, allora si torna al punto 1 e si cambia la numerazione delle incognite, mettendo all’ultimo posto quella problematica;
  3. Adesso nella prima equazione comparirà certamente la prima incognita; se essa appare anche nella seconda, moltiplichiamo ciascuna di queste due equazioni per il coefficiente della prima incognita dell’altra. Sottraiamo quindi le due equazioni ottenute l’una dall’altra e sostituiamo il risultato alla seconda; ciò è lecito in base al principio di riduzione.
  4. Se abbiamo svolto bene i calcoli, il risultato di questo procedimento sarà di aver eliminato la prima incognita dalla seconda equazione tramite un’elisione. Ripetiamo la parte 3 del procedimento con la prima equazione e la terza, poi con la prima e la quarta… fino a che non avremo eliminato la prima incognita da ogni equazione tranne la prima.
  5. Naturalmente se la prima incognita già non compare in qualcuna delle equazioni, salteremo il passaggio che la riguarda e andremo avanti.
  6. Tutto quello che ci resta da fare adesso è ripetere tutto il procedimento da 3 a 5 lavorando sulla seconda incognita e la seconda equazione, poi sulla terza incognita e la terza equazione, fino ad averle usate tutte. Il risultato sarà che le prime ? incognite appariranno ciascuna solo nell’equazione che ha il suo stesso numero d’ordine. Come si vedrà dagli esempi, ciò significa che il sistema è risolto.

 

Osservazione 1: Purtroppo non è possibile capire solo sulla base del numero di equazioni e incognite se un sistema sarà a priori impossibile o possibile e, in questo caso, determinato o indeterminato. Ciò che si può certamente dire è che se il numero $m$ delle equazioni è minore del numero $n$ delle incognite, allora il sistema, se è possibile, è certamente indeterminato. Ciò è dovuto al fatto che, usando il metodo di eliminazione, arriveremo a poter scrivere esplicitamente solo $m$ delle $n$ incognite, i valori delle altre rimanendo arbitrari.

Osservazione 2: Se in un sistema compare un’equazione numerica evidentemente errata,  come ad esempio 0=1, allora l’intero sistema è impossibile; in questo caso non ha senso continuare la risoluzione.

Osservazione 3: Se in un sistema compare un’equazione numerica evidentemente giusta,  come ad esempio 0=0, allora l’equazione è inutile alla risoluzione del sistema, e si può eliminare. In particolare, se otteniamo due equazioni uguali possiamo eliminarne una: ciò è dovuto al fatto che essa potrebbe essere sostituita dalla loro combinazione lineare con coefficienti 1 e −1, che darebbe come risultato esattamente l’eliminabile 0=0.

 

Esempi applicativi

Esempio 1: Si risolva con il metodo di eliminazione il sistema

\( \begin{cases} x-2y+3z=1 \\ z-y=1 \\ y+2x = 3 \end{cases} \)

Notiamo in primo luogo che le tre incognite non sono scritte nello stesso ordine nelle tre equazioni; applicando il passo 1 del procedimento di eliminazione scriveremo quindi

\( \begin{cases} x-2y+3z=1 \\ -y+z=1 \\ 2x+y=3 \end{cases} \)

Nella prima equazione appare effettivamente la prima incognita, ?, e nella seconda appare la ?; nella terza non appare però la ?: per correggere questa inesattezza applichiamo il passo 2 e invertiamo le ultime due equazioni

\( \begin{cases} x-2y+3z = 1 \\ 2x+y=3 \\ -y+z=1 \end{cases} \)

La ? compare adesso sia nella prima equazione che nella seconda, quindi va applicato il passo 3: moltiplichiamo la prima equazione per 2, la seconda per 1 e sostituiamo la loro differenza alla seconda equazione

\( 2(x-2y+3z)-1(2x+y)=2-3 \Rightarrow -5y+6z=-1 \)

\( \begin{cases} x-2y+3z=1 \\ -5y+6z=-1 \\ -y+z=1 \end{cases} \)

Siamo al passo 4: come volevamo la ? è sparita dalla seconda equazione, e possiamo andare avanti. Notiamo però che nella terza equazione la ? non c’è, e quindi come applicazione del passo 5 procederemo senza far nulla.

Per il passo 6 dovremo adesso ripetere l’intero procedimento da 3 in poi per la ?, basando i calcoli sulla seconda equazione. Avremo quindi

\(-5(x-2y+3z)+2(-5y+6z)=-5-2 \Rightarrow -5x-3z=-7\)

\(-5(-y+z)+1(-5y+6z)=-5-1 \Rightarrow z=-6\)

\( \begin{cases} -5x-3z=-7 \\ -5y+6z=-1 \\ z=-6 \end{cases} \)

Arrivati a questo punto non c’è più bisogno di ripetere il procedimento per la ?, poichè abbiamo già ottenuto l’esatto valore di questa incognita e possiamo perciò sostituirla nelle altre due equazioni. Questo, dopo qualche calcolo, ci dà la soluzione

\( \begin{cases} x=5 \\ y=-7 \\ z=-6 \end{cases} \)

 

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