Descrizione del metodo
Uno dei metodi più comuni per la risoluzione di un sistema lineare è quello di eliminazione. Esso si basa sul seguente principio, detto di riduzione, la cui facile dimostrazione non diamo per brevità:
Principio di riduzione: Siano date due equazioni di un sistema lineare; se ad una di esse si sostituisce una loro combinazione lineare, il sistema ottenuto ha ancora le stesse soluzioni del precedente o, come pure si dice, gli è equivalente.
Procedimento: Il metodo di eliminazione è definito dal seguente algoritmo:
- Si dà una numerazione alle incognite e le si scrive in ogni equazione nello stesso ordine;
- Si deve fare in modo che nella prima equazione appaia la prima incognita, nella seconda equazione appaia la seconda incognita e così via. Se la situazione non è già così, basta confrontare l’equazione “sbagliata” con quelle sottostanti e scambiarne la posizione con la prima che sia “adatta”. Se neanche ciò è possibile, allora si torna al punto 1 e si cambia la numerazione delle incognite, mettendo all’ultimo posto quella problematica;
- Adesso nella prima equazione comparirà certamente la prima incognita; se essa appare anche nella seconda, moltiplichiamo ciascuna di queste due equazioni per il coefficiente della prima incognita dell’altra. Sottraiamo quindi le due equazioni ottenute l’una dall’altra e sostituiamo il risultato alla seconda; ciò è lecito in base al principio di riduzione.
- Se abbiamo svolto bene i calcoli, il risultato di questo procedimento sarà di aver eliminato la prima incognita dalla seconda equazione tramite un’elisione. Ripetiamo la parte 3 del procedimento con la prima equazione e la terza, poi con la prima e la quarta… fino a che non avremo eliminato la prima incognita da ogni equazione tranne la prima.
- Naturalmente se la prima incognita già non compare in qualcuna delle equazioni, salteremo il passaggio che la riguarda e andremo avanti.
- Tutto quello che ci resta da fare adesso è ripetere tutto il procedimento da 3 a 5 lavorando sulla seconda incognita e la seconda equazione, poi sulla terza incognita e la terza equazione, fino ad averle usate tutte. Il risultato sarà che le prime ? incognite appariranno ciascuna solo nell’equazione che ha il suo stesso numero d’ordine. Come si vedrà dagli esempi, ciò significa che il sistema è risolto.
Osservazione 1: Purtroppo non è possibile capire solo sulla base del numero di equazioni e incognite se un sistema sarà a priori impossibile o possibile e, in questo caso, determinato o indeterminato. Ciò che si può certamente dire è che se il numero $m$ delle equazioni è minore del numero $n$ delle incognite, allora il sistema, se è possibile, è certamente indeterminato. Ciò è dovuto al fatto che, usando il metodo di eliminazione, arriveremo a poter scrivere esplicitamente solo $m$ delle $n$ incognite, i valori delle altre rimanendo arbitrari.
Osservazione 2: Se in un sistema compare un’equazione numerica evidentemente errata, come ad esempio 0=1, allora l’intero sistema è impossibile; in questo caso non ha senso continuare la risoluzione.
Osservazione 3: Se in un sistema compare un’equazione numerica evidentemente giusta, come ad esempio 0=0, allora l’equazione è inutile alla risoluzione del sistema, e si può eliminare. In particolare, se otteniamo due equazioni uguali possiamo eliminarne una: ciò è dovuto al fatto che essa potrebbe essere sostituita dalla loro combinazione lineare con coefficienti 1 e −1, che darebbe come risultato esattamente l’eliminabile 0=0.
Esempi applicativi
Esempio 1: Si risolva con il metodo di eliminazione il sistema
\( \begin{cases} x-2y+3z=1 \\ z-y=1 \\ y+2x = 3 \end{cases} \)
Notiamo in primo luogo che le tre incognite non sono scritte nello stesso ordine nelle tre equazioni; applicando il passo 1 del procedimento di eliminazione scriveremo quindi
\( \begin{cases} x-2y+3z=1 \\ -y+z=1 \\ 2x+y=3 \end{cases} \)
Nella prima equazione appare effettivamente la prima incognita, ?, e nella seconda appare la ?; nella terza non appare però la ?: per correggere questa inesattezza applichiamo il passo 2 e invertiamo le ultime due equazioni
\( \begin{cases} x-2y+3z = 1 \\ 2x+y=3 \\ -y+z=1 \end{cases} \)
La ? compare adesso sia nella prima equazione che nella seconda, quindi va applicato il passo 3: moltiplichiamo la prima equazione per 2, la seconda per 1 e sostituiamo la loro differenza alla seconda equazione
\( 2(x-2y+3z)-1(2x+y)=2-3 \Rightarrow -5y+6z=-1 \)
\( \begin{cases} x-2y+3z=1 \\ -5y+6z=-1 \\ -y+z=1 \end{cases} \)
Siamo al passo 4: come volevamo la ? è sparita dalla seconda equazione, e possiamo andare avanti. Notiamo però che nella terza equazione la ? non c’è, e quindi come applicazione del passo 5 procederemo senza far nulla.
Per il passo 6 dovremo adesso ripetere l’intero procedimento da 3 in poi per la ?, basando i calcoli sulla seconda equazione. Avremo quindi
\(-5(x-2y+3z)+2(-5y+6z)=-5-2 \Rightarrow -5x-3z=-7\)
\(-5(-y+z)+1(-5y+6z)=-5-1 \Rightarrow z=-6\)
\( \begin{cases} -5x-3z=-7 \\ -5y+6z=-1 \\ z=-6 \end{cases} \)
Arrivati a questo punto non c’è più bisogno di ripetere il procedimento per la ?, poichè abbiamo già ottenuto l’esatto valore di questa incognita e possiamo perciò sostituirla nelle altre due equazioni. Questo, dopo qualche calcolo, ci dà la soluzione
\( \begin{cases} x=5 \\ y=-7 \\ z=-6 \end{cases} \)
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