Definizione 1: Sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite.
Siano date $m$ equazioni lineari nelle incognite $x_1, x_2, …, x_n$. L’insieme di tali equazioni, ovvero dette equazioni considerate contemporaneamente, è detto sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite, e si scrive
\[ \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n = b_2 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n = b_m \end{cases} \]
Definizione 2: Incognite, coefficienti, termini noti.
Sia dato un sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite. I simboli $x_j$ sono detti incognite del sistema, gli \(a_{jk}\) si chiamano coefficienti e i $b_j$ prendono il nome di termini noti.
Osservazione 1: Nella scrittura di cui alla definizione 1 può accadere che qualcuno degli \(a_{jk}\) sia nullo; ciò si verifica allorché l’incognita $x_k$ non compare nella ?-esima equazione.
Definizione 3: Sistema omogeneo.
Un sistema lineare si dice omogeneo allorché tutti i termini noti $b_j$ sono nulli; in caso contrario il sistema è detto non omogeneo.
Definizione 4: Soluzione di un sistema lineare.
Una ?-upla (\(c_1, c_2, \ldots, c_n\)) si dice soluzione di un sistema lineare allorché tutte le equazioni che lo compongono risultano identicamente verificate dopo che siano state effettuate le $n$ sostituzioni \(x_j \rightarrow c_j\).
Osservazione 2: Non tutti i sistemi lineari hanno una soluzione, e quando essa esiste non è necessariamente unica. La distinzione di queste tre eventualità e l’individuazione della soluzione stessa qualora essa esista costituiscono il problema dei sistemi lineari.
Definizione 5: Sistema possibile o compatibile.
Un sistema lineare si dice possibile o compatibile allorché esso ammette l’esistenza di almeno una soluzione. Un sistema che non abbia alcuna soluzione è detto, per contro, impossibile o incompatibile.
Definizione 6: Sistema determinato.
Un sistema lineare possibile si dice determinato allorché esso ammette una e una sola soluzione. Per contro, un sistema possibile che ammetta infinite soluzioni viene detto indeterminato.
Osservazione 3: È fondamentale osservare che non esistono altre possibilità. Si potrebbe infatti dimostrare che un sistema lineare o non ammette soluzioni, o ne ammette una sola, o ne ammette infinite: è esclusa la possibilità, cioè, che un sistema lineare ammetta un numero finito di soluzioni maggiore di uno.
Osservazione 4: Un sistema omogeneo è sempre possibile, in quanto ammette almeno la soluzione banale $(0,0,…,0)$ indipendentemente da quali siano i suoi coefficienti. Può poi darsi il caso, come sempre avviene per un sistema possibile, che esso sia determinato o indeterminato; nel primo caso esso ammetterà solo la soluzione nulla, mentre nel secondo ci saranno altre infinite soluzioni oltre a quella banale.
Forma matriciale
Definizione 7: Matrice incompleta o matrice dei coefficienti.
Sia dato un sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite. Si chiama matrice incompleta o matrice dei coefficienti del sistema quella matrice ? di tipo (?,?) data da
\[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \]
Definizione 8: Vettore dei termini noti.
Sia dato un sistema lineare di $m$ equazioni. Si chiama vettore o matrice colonna dei termini noti la matrice $b$ di tipo $(m,1)$ data da
\[ b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} \]
Definizione 9: Matrice completa.
Sia dato un sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite. Si chiama matrice completa del sistema quella matrice $A’$ di tipo $(m, n+1)$ che si ottiene aggiungendo l’ultima colonna ? alla matrice ?.
Osservazione 5: Le notazioni introdotte dalle definizioni 7, 8 e 9 sono molto utili non solo nello studio delle soluzioni di un sistema lineare, ma anche per scrivere in maniera più compatta il sistema stesso. Adoperando il prodotto righe per colonne possiamo infatti rappresentare il sistema nella forma più conveniente
\[ A \cdot x = b \]
dove $x$ è un vettore colonna con $m$ coordinate i cui elementi sono le incognite $x_1, x_2, …, x_n$. Tale scrittura si chiama forma matriciale del sistema, mentre l’altra è detta normale.
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