Buonasera a tutti, mi vorrei confrontare con qualcuno per la risoluzione del seguente esercizio e per capire se il mio approccio è corretto.
Dati i seguenti polinomi f e ideali I, determinare se f ∈√I.
In caso di risposta affermativa, determinare anche la più piccola potenza positiva m tale che $f^m ∈ I$.
(a) $ f = x + y$ $ I = ( x^3 , y^3, x*y*(x+y))$
(b) $ f = x^2 + 3*x*z $ $ I=(x+z, x^2*y, x−z^2)$
(a) penso che la potenza più piccola sia m = 3
Ho per prima cosa svolto il cubo del binomio ottenendo:
$ (x + y)^3 = x^3 + 3*x^2*y + 3*x*y^2 + y^3 $
facendo qualche semplice passaggio posso scrivere:
$ (x + y)^3 = x^3 + 3*x*y*(x+y) + y^3 $
e in questo modo ho riscritto il polinomio f come una combinazione lineare dei polinomi che generano
l'ideale I. Quindi $ f^3 $ appartiene all'ideale e quindi f appartiene al radicale di I.
(b) per questo caso invece non so bene come muovermi invece...
Ringrazio anticipatamente chiunque mi possa fornire un aiuto per affrontare questo esercizio.