Data la funzione:
$ { ( (x-1)(y-1)log((x-1)^2 +(y-1)^2) + 2/(1+xy)) , ( 1 ):} $
Rispettivamente per (x,y) $ != $ (1,1) e per (x,y)=(1,1)
Specificare il dominio di f(x,y). Stabilire se è continua, differenziabile, di classe C1 nel dominio.
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Ho cominciato l'esercizio con il calcolo del dominio che a mio parere è dato da:
$ { ( (x-1)^2+(y-1)^2>0),( 1+xy !=0):} $
La prima equazione risulta valida per ogni (x,y) $ in $ R2. Quindi il dominio è $y!=1/x$.
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Dopo di che volevo procedere con la continuità ma lo svolgimento della professoressa è diverso da quello che avrei attuato.
Io avrei considerato la funzione nel suo insieme, calcolando le derivate parziali e studiando il loro comportamento. Lei invece dice ciò:
"Dai teoremi sui limiti si verifica che f è di classe C1 in D tranne che in (1,1) e quindi occorre studiare f solo nel punto (1,1)." Cosa ha fatto per arrivare a concludere ciò?
" $ f(x,y) = f_1(x,y) + 2/(1+xy) $ con $ f_1(x,y) = { ( (x-1)(y-1)log((x-1)^2 +(y-1)^2) ),( 0 ):} $
Rispettivamente per (x,y) $ != $ (1,1) e per (x,y)=(1,1) "
Dopo di che considera solo la funzione $ 2/(xy+1) $ dicendo che è continua, differenziabile e di classe C1 in (1,1).
E poi studia $f_1(x,y)$ sempre in (1,1).
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Sintetizzo di nuovo i miei dubbi:
- Non si sarebbe potuto fare tutto assieme ?
- Come è arrivata a considerare solo il punto (1,1)?