Dubbi su convergenza di serie numeriche con parametro ed esponenziali

[pilloeffe]

ad esempio per questa come ragionereste?
$ \sum_{n=1}^{+\infty} sin(x^n)/(1+x)^n $

Per questa ragionerei innanzitutto osservando che per $x = 0 $ essa converge a $0$, poi considerando la serie assoluta e scrivendo la disuguaglianza seguente:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} |sin(x^n)|/|1+x|^n \le \sum_{n=1}^{+\infty} 1/|1+x|^n = \sum_{n=1}^{+\infty} |1/(1+x)|^n$

L'iultima serie scritta è una serie geometrica di ragione $ |1/(1+x)| $ che parte da $n = 1 $ che sappiamo essere convergente se $1/|1 + x| < 1 \iff |x + 1| > 1 \iff x < - 2 \vv x > 0 $

[Mephlip]

@nico_engineering_dd: Dove ha scritto ghira di sommare termini che tendono a \(0\)? Non ha detto ciò, quindi non capisco il tuo riferimento nella risposta. Ribadisco:

(i) scrivi la definizione di serie nel caso particolare della tua serie;

(ii) poni \(x=0\).

Cosa succede?

[ghira]

È ovvio che faccia 0 , come ti dicevo infatti son d’accordo sul fatto che il limite converga, ma non è soltanto una condizione necessaria per la convergenza? Cioè la condizione necessaria sulla convergenza dice che se il limite di an tende a 0, allora la serie può convergere, ma non è detto che converga sicuramente, si deve confermare con l’utilizzo di qualche criterio. No?

Se proprio dobbiamo:

Parlaci della successione delle somme parziali della tua serie quando $x=0$.

[ghira]

E sono due...

Due cosa? E chi o cosa è statto il primo dei due se qui abbiamo il secondo?

[gugo82]

E sono due...

Due cosa? E chi o cosa è statto il primo dei due se qui abbiamo il secondo?

Qui.

[ghira]

Perdindirindina.

[nico_engineering_dd]

ad esempio per questa come ragionereste?
$ \sum_{n=1}^{+\infty} sin(x^n)/(1+x)^n $

Per questa ragionerei innanzitutto osservando che per $x = 0 $ essa converge a $0$, poi considerando la serie assoluta e scrivendo la disuguaglianza seguente:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} |sin(x^n)|/|1+x|^n \le \sum_{n=1}^{+\infty} 1/|1+x|^n = \sum_{n=1}^{+\infty} |1/(1+x)|^n$

L'iultima serie scritta è una serie geometrica di ragione $ |1/(1+x)| $ che parte da $n = 1 $ che sappiamo essere convergente se $1/|1 + x| < 1 \iff |x + 1| > 1 \iff x < - 2 \vv x > 0 $

Ti ringrazio per la risposta, avrei un dubbio, quando ci consideriamo la serie assoluta il modulo va messo su tutto il termine an o soltanto nelle parti che ci rendono il termine generale non di segno costante? ad esempio se avessimo avuto $(-1)^n/(1+x^n)$ anziche tutto il denominatore $(-1)^n/((1+x)^n)$ avrei dovuto considerare comunque la serie assoluta come $|(-1)/(1+x)|^n$ o avrei dovuto considerare $|(-1)^n|/(1+|x|^n)^$

[pilloeffe]

Ti ringrazio per la risposta

Prego.

ad esempio se avessimo avuto $ (-1)^n/(1+x^n) $

Non so se qui manca una parentesi, ma comunque il valore assoluto va messo su tutto il termine $a_n $:

$|a_n| = | (-1)^n/(1+x^n) | = 1/|1+x^n | $

Se invece è $a_n = (-1)^n/(1+x)^n $ allora $|a_n| = | (-1)^n/(1+x)^n | = (1/|x + 1|)^n $

[ghira]

(roba)

E il valore di quella serie di qualche messaggio fa per $x=0$?