Problema di combinatoria e sommatoria con potenze

[Francio99]

Buongiorno a tutti, volevo chiedervi aiuto con due problemi che ho provato a risolvere senza che tuttavia vi sia una soluzione che possa consultare.

1) Sia P(n) la cifra delle unità del numero $7^n$ espresso in base 10. Calcolare il valore $\sum_{n=1}^3981 P(n)$

2) se si lanciano 5 dadi, calcolare la probabilità che il prodotto dei numeri ottenuti sia 60.

Per il primo ho ragionato come segue. Le potenze del 7 terminano sempre con le cifre 7,9,3,1. Poiché 3981 / 4 = 995 resto 1 segue che la sommatoria vale 995 * ( 7+9+3+1) + 7 =19907. È corretto?

Per il secondo si può osservare che 60 = 2*2*3*5 quindi i lanci che forniscono 60, con le dovute permutazioni sono a) 1-2-2-3-5 b)1-1-3-4-5 c) 1-1-2-5-6. Ragionando con la definizione di probabilità classica (casi favorevoli su casi possibili) so che i casi possibili sono $6^5$ mentre non riesco a calcolare quelli favorevoli. Sono 3*5! oppure 5! * 5! * 5! e perché? Grazie mille in anticipo, Francesco.

[tommik]

1) ok

2) per ogni combinazione evidenziata abbiamo un "doppio numero" e gli altri 3 "singoli" quindi i casi favorevoli sono

$((5),(2;1;1;1))xx3=180$

[Francio99]

Intanto grazie mille per la risposta

Potresti spiegarmi meglio il procedimento utilizzato? Se ho ben capito è come se avessi calcolato gli anagrammi della parola AABCD, ovvero $(5!) / (2!)$ poiché un numero si ripete due volte. Ovviamente moltiplicato per 3 perché ho 3 combinazioni di prodotti che mi restituiscono 60. E' corretto?

[tommik]

esattamente. Potrebbe esserti utile conoscere questa distribuzione di probabilità

EDIT: ti ho messo la versione in italiano perché alla fine c'è un esempio praticamente identico al tuo esercizio

[Francio99]

Grazie mille! Gentilissimo