Va bene, ma non serve, perché di solito è una cosa che si dimostra per esercizio quando si introducono gli assiomi d'ordine del campo reale; quindi più avanti la si dà per assodata, non è che si torna a dimostrarala ogni volta che ce la si trova tra i piedi.
Ah okok, chiarissimo. In realtà non mi era stato mostrato nulla del genere e sono in un periodo in cui voglio cercare di dimostrare tutto dal principio e quindi me l'ero auto-dedotta solo ora. Non che fosse una grande scoperta
, però avendo avuto quella intuizione volevo chiedere se fosse per lo meno intelligente.
gugo82 ha scritto:In questo caso, le uniche funzioni a soddisfare la definizione di limite $lim_(x->x_0) f(x) = c$ sarebbero quelle definitivamente costanti intorno ad $x_0$: infatti, scrivendo la definizione per $epsilon = 0$ troveresti che esiste un $delta > 0$ tale che:
$AA x in ]x_0 - delta, x_0 + delta[ nn X \setminus \{ x_0\},\ |f(x) - c| <= 0$
da cui si deduce che $f$ è costante (ed identicamente uguale a $c$) nella parte del dominio $]x_0 - delta, x_0 + delta[ nn X \setminus \{ x_0\}$.
perfetto ora ho capito. Pensavo intendessi le costanti su tutto $RR$ e non mi ci ritrovavo. Invece ovviamente mi suggerivi una costanza nell'intorno delle $x_0$ in cui ho trovato il raggio $delta$ utile allo scopo. Ok, mi pare di esserci ora perché hai scritto in modo ordinato quello che dicevo io, e il punto che mi era inizialmente sfuggito.
Giusto per ricapitolare i miei sciocchi dubbi e tirare le somme:
(voglio dimostrare)
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon $
<=>
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <= \epsilon $
=>) ovvia per via del fatto che $<$ è più stringente di $<=$
<=) parto dalla mia ipotesi: $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <=\varepsilon $
e sfrutto ora il fatto che:
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <=\varepsilon $
<=> (*)
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <=c\varepsilon $, con c costante positiva arbitraria
da cio:
fissato $ε>0$ esiste $δ$ di modo che $|f(x)−l|≤1/2 \varepsilon < epsilon$ q.e.d.
Spero vada bene, vorrei diciamo giustificare ogni singolo passaggio e l'utilizzo dell'epsilon mezzi mi pare funzionare proprio per via della (*) che mi sono auto/dimostrato e non sto qui a postare.
Mi piacerebbe poi chiederti un'ultima cosa su questo argomento dei limiti, cosa che ho letto proprio poco fa in una tua discussione vecchia usando il "cerca", ma non voglio allungare troppo il bordo qui e prima vorrei finire quanto stavamo dicendo
Grazie mille, mi hai insegnato molte cose!