Un predicato che mi manda ai matti

[krakken]

Sono molto ignorante in logica e oggi stavo ragionando su una cosa che mi ha incasinato, fino ad ora.

E così non riesco a dormire perché non riesco a capire se vale questa implicazione

$(forally,P(y) => forall x, Q(x))=>(forallz,(P(z)=>Q(z)))$

da una parte mi viene da dire "sì", perché per dimosrarlo dovrei prendere un certo z e ho per ipotsi P(z), però se prendo un qualunque z dall'antecedente so che per qualunque y (tra cui z) P(y=z) implica che per qualunque x (tra cui z) Q(x=z).

però dall'altra sono in dubbio perché in $(forally,P(y) => forall x, Q(x))$ le due parti dell'implicazione sono completamente separate, non condividono nulla è come dire per ogni macchina allora una montagna. Sì, ok, bella frase ma è diverso che dire $forallz,(P(z)=>Q(z))$ per ogni individuo z, se z è un bambino allora z ha un padre.

non so districarmi.

[krakken]

Ci ho ragionato un bel po ma mi sa che non sono arrivato a una grande conclusione.

Mi metto in un caso concreto, cioèdi voler dimostrare qualcosa tipo:
Ho pensato di prendere P(z) come proposizione z è una macchina e Q(z) z è oggetto nero

Quindi se voglio mostrare $(∀y,P(y)⇒∀x,Q(x))⇒(∀z,(P(z)⇒Q(z)))$
preso l'insieme universo U insieme di tutti gli oggetti, da dove pesco gli x,y,z il nostro asserto dice:

(se y è ogni macchina allora ogni oggetto è nero)=>(per ogni oggetto z (se z è una macchina allora z è nera))

queso equivale a dire:

per ogni oggetto z(((se y è ogni macchina allora ogni oggetto è nero) e (z oggetto è nero)) => z è nera)

tuttavia (se y è ogni macchina allora ogni oggetto è nero) sia vero sempre dato che è sempre falso che ogi oggetto di U sia una macchina, quindi mi stupisce ma l'antecedente è sempre vero, cioè ho che tutto si riduce a:

per ogni oggetto z((VERO & z è una macchina) => z è nera), cioè semplificando il VERO nell'end:
per ogni oggetto z(z è ua macchina) => z è nera)


Inoltre la cosa che mi lascia ancora più interdetto è che se prendo U come "l'insieme delle sole macchine bianche" allora questo "teorema" diventa, essendo questa volta (se x è ogni macchina allora ogni oggetto è nero) sempre falso:
per ogni oggetto z((FALSO & z è una macchina) => z è nera), che è sempre vero.

Nah non sono convinto, però mi sembra giusto, chissà dove sbaglio.

[megas_archon]

Riduci l'espressione usando le regole dell'algebra booleana e se quello che ti viene fuori è una tautologia hai finito: \(\lnot(a\to b)=\lnot b\to \lnot a\), \(u\to v = v\lor \lnot u\), e \(\lnot\forall x=\exists x.\lnot\).

Trovare degli esempi con le pizze e i bicchieri e i vibratori rosa è solo fuorviante: la logica proposizionale ha dei teoremi di soundness and completeness, usali.

[krakken]

Onestamente mi sarebbe piaciuto prima capire cosa sbagliavo intuitivamente nell'applicazione perché poi quando sfrutti queste cose hai bisogno di quello non tanto di stare a formalizzarlo. Quindi devi saper far girare queste nozioni e per quello ho chiesto espressamente i casi in esame, perché mi aiutavano a capire.

Comunque, sperando qualcuno abbia voglia di spiegarmelo, anche perché purtroppo di fonti ce ne sono meno di zero sull'utilizzo; nel frattempo rispondo alla tua risposta :
il problema è che io ho (dato che la prima parte è quantificata) per P(x) e Q(x): $(P=>Q)=>(forallx,(P(x)=>Q(x)))$ quindi non capisco bene come procedere.

[otta96]

Invece io ti consiglio di provare ad interpretare le proposizioni su cui devi ragionare, ma devi stare attento, ad esempio qui:

Mi metto in un caso concreto, cioèdi voler dimostrare qualcosa tipo:
Ho pensato di prendere P(z) come proposizione z è una macchina e Q(z) z è oggetto nero

Quindi se voglio mostrare $(∀y,P(y)⇒∀x,Q(x))⇒(∀z,(P(z)⇒Q(z)))$
preso l'insieme universo U insieme di tutti gli oggetti, da dove pesco gli x,y,z il nostro asserto dice:

(se x è ogni macchina allora ogni oggetto è nero)=>(per ogni oggetto z (se z è una macchina allora z è nera))

ci sei andato vicino ma di preciso era "se $y$ è UNA macchina allora ogni oggetto è nero $=>$ per ogni oggetto $z$ (se $z$ è una macchina allora $z$ è nera)". Da qui riesci a capire in che relazione stanno?

[krakken]

@otta96: oh si, ho fatto un typo, lo correggo. Per il resto ci sto ancora raginando sopra.
Più che altro non sono affatto convinto di:

queso equivale a dire:

per ogni oggetto z(((se y è ogni macchina allora ogni oggetto è nero) e (z oggetto è nero)) => z è nera)

tuttavia (se y è ogni macchina allora ogni oggetto è nero) sia vero sempre dato che è sempre falso che ogi oggetto di U sia una macchina, quindi mi stupisce ma l'antecedente è sempre vero, cioè ho che tutto si riduce a:

per ogni oggetto z((VERO & z è una macchina) => z è nera), cioè semplificando il VERO nell'end:
per ogni oggetto z(z è ua macchina) => z è nera)


Inoltre la cosa che mi lascia ancora più interdetto è che se prendo U come "l'insieme delle sole macchine bianche" allora questo "teorema" diventa, essendo questa volta (se x è ogni macchina allora ogni oggetto è nero) sempre falso:
per ogni oggetto z((FALSO & z è una macchina) => z è nera), che è sempre vero.

Nah non sono convinto, però mi sembra giusto, chissà dove sbaglio.

tu che dici di questa parte? . Non so, non ne sono affatto convinto.

Inoltre mi lascia molto dubbioso quello che dicevo oggi: data la quantificazione starei dimostrando qualcosa del tipo (P⇒Q)⇒(∀x,(P(x)⇒Q(x)))

[otta96]

Se esiste una macchina cosa ne deduci?

[krakken]

@otta96:

ho riordinato parecchie idee spremendomi le meningi in queste ultime due ore, volevo chiederti se quello che sono riusciro a riordinare autonomamente (quindi non saprei a chi chiedere conferma alrimenti) può andare.

Mi piacerebbe quindi chiederti, quando hai tempo e (se hai) voglia potessi dirmi se è corretto.
Numero per permetterti di leggere in modo più comodo i vari punti:


OSS: un primo errore era dovuto al fatto che io ero abituato a teoremi (cioè dimosrare vede implicazioni) del tipo $forallx,(A(x)=>B(x))$ quindi non mi ero mai accorto che in effetti una proposizione dipende molto dall'universo in cui è "immersa".

1) Inizo col dire che quello che pensavo un "teorema" vero mi accorgo che in realtà è falso: $[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))]$=>$(forallz,(P(z)=>Q(z))$

Qui viene utile l'osservazione che facevo, per essere vero questo teorema deve essere vero per tutti i tipi di universi U che vado a scegliere, infatti per alcuni universi tale proposizione è vera ma per altri falsa.

Tuttavia, inizialmente, credendo fosse vero ho pensato di dimostrarlo al solito: ci basta provare che supposta l'antecedente vera ho conseguente vera.

Facciamolo: avere $(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))$ vero può vuoler dire solo due cose separatamente:
-a- per qualunque scelta di y per cui P(y) sia vera, abbiamo Q(x) vera per ogni elemento x dell universo U; quindi varrà anche per y e ciò ci dice che P(y)=>Q(y).
Il conseguente vero si traduce in $forallz,(P(z)=>Q(z)$ vero, ma questo è ovvio perché basta prendere y=z e per la precedente è fatto.
-b- cambiando universo possiamo in altro modo avere antecedente vero nel caso in cui si abbia che ogni oggetto y di tale universo rende falsa P(y). Ne discende che $(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))$ è vera, tuttavia non è per forza vera $(forallz,(P(z)=>Q(z))$ potrebbe ad esempio esserci un universo in cui non tutti gli oggetti soddisfano P(y) e che non tutti soddisfano Q(x), avrei così l'antecedente della freccia rossa vero, però degli elementi z per cui P(y) è vero ma Q(x) no che rende $(forallz,(P(z)=>Q(z))$ falso: antecedente del teorema vero conseguente falso -> teorema falso.

Concludiamo quindi che non valendo per tutti gli universi, essendocene alcuni con antecedente vera e conseguente falso, allora il teorema è falso.


2)vediamo degli esempi:
Consideriamo ora una realizzazione di questo teorema considerando delle proposizini e uiversi concreti, leggiamo quindi: P(t) come "l'oggetto t di U è una macchina" e Q(t) come "l'oggetto t è nero"

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

* sia U:={tutte e sole le macchine nere}:
comunque scelto un oggetto $y in U$ P(y) è vera, perché è infatti una macchina, d'altra parte Q(x) è vera anche per ogni x essendo tutte nere.
Sono proprio nel caso antecedente $(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))$ vero e mi aspetto dato il legame visto in -a- che sia vero. E infatti lo è perché in modo esplicito si vede che $(forallz,(P(z)=>Q(z))$: per ogni z se z è una macchina allora è nera.

* assumiamo ora un universo U:={macchine bianche e nere}
sono in un universo in cui $(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))$ è ora evidentemente falso, infatti P(y) è vero per ogni oggetto che seleziono, ma Q(x) non è vero per ogni x (tutti gli oggetti sono neri è falso); e che accade? beh non ci dice nulla sul conseguente l'implicazione infatti è sempre vera qualunque valore abbia $(forallz,(P(z)=>Q(z))$.
In questo caso: $(forallz,(P(z)=>Q(z))$ è falso perché se prendo una macchina non è assicurato che sia nera.

Qualche ragionamento in più:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

notavo però che il legame del primo punto -a- sopra analizzato è utile in questo contesto perché seppure quello scrito non sia un teorema, il punto -a- ci dà però un legame logico utile in certe circostanze.

Solitamente se io prendo A(x) piove e B(x) la strada è bagnata, allora $forallx,(A(x)=>B(x))$ se piove la strada è bagnata nel nostro universo è falso, ad esempio può piovere e esserci una galleria e la srada è bagnata.
Altra considerazione innteressante è che se non piove non possiamo dire nulla di conclusivo: la strada può essere bagnaa dalla notte di rugiada oppure asciutta.
Se ora mi metto in un universo in cui A(x) sia sempre vero, perché piove sempre, siccome abbiamo detto che il teorema è falso quando ho A(x) vera non so concludere se la strada sarà bagnata o meno, dipende infatti dal fatto se c'è la galleria.

Quando invece io considero le solite macchine col senso detto sopra $[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))]=>(forallz,(P(z)=>Q(z))$ sebbene questo teorema sia falso, se mi metto in un universo in cui è verò l'antecedente (cioè analogo al caso A(x)) vero appena visto) con la clausola che sia vero perché verifica P(x) e Q(x) allora automaticamente questo legame mi porta a poter concludere qualcosa sul conseguente in modo dissimile da B(x) della strada, perché qui trovo che in automatico $forallz,(P(z)=>Q(z))$ è vero e discende proprio dal legame esposto in -a-

Curioso

3) E' invece vero il teorema opposto: $(∀z,(P(z)⇒Q(z))=>[(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))]$

lo dimostro facilmente prendendo ogni tipo di universo possibile, cioè per casi:
I) universo in cui tutti gli y soddisfano P(y) e non tutti gli x soddisfano Q(x)
II) U in cui non tutti gli y soddisfano i P(y) e tutti soddisfano i Q(x)
III) U in cui non tutti gli y soddisfano i P(y) ma alcuni soddisfano i P(z) e tutti gli x soddisfano Q(x)
IV) U in cui non tutti gli y soddisfano i P(y) ma alcuni soddisfano i P(z) e non tutt gli x soddisfano Q(x) ma alcuni soddisfano Q(z)
... Insomma ho fatto tutte le combinazioni possibili e ogni volta che antecedente è vero ho conseguente vero, quindi è un teorema/implicazone vera quella scritta. (fatto per casi funziona quinidi è vero, spero sia giusto come metodo ma mi pare di sì). Al contrario di 1) questo è vero sempre per qualunque universo preso.

Ho fatto per casi perché ho provato a farlo per via diretta, cioè supponendo $(∀z,(P(z)⇒Q(z))$ vera provare che $[(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))]$ è vera ma non ci sono riuscito, non so se hai delle idee su come farlo te lo chiedo .


4) volevo poi dimostrare
${[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))]=>(forallz,(P(z)=>Q(z))}$ I
<=>
${forallz,{[[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))] ∧ P(z)]=>Q(z)}}$ II

Per farlo dimostro I=>II e II=>I supponendo l'antecedente vero e dimostrando che il conseguente lo è nei due casi.

I=>II) l'antecedente è vero in 3 casi per i quali si ha:
- $(forally,P(y))$ vero, $(forallx,Q(x))$ vero, $forallz,(P(z)=>Q(z))$ vero. Ma questo rende automaticamente vero II) infatti $forally,P(y))=>(forallx,Q(x))$ è vero ma essendo P(y) vero per ogni elemento è vero P(z), allo stesso modo Q(z) è vero e quindi II è vera.

- $(forally,P(y))$ falso, $(forallx,Q(x))$ vero, $forallz,(P(z)=>Q(z))$ vero. Concretizziamolo con le macchine:
ho un universo per cui è falso che tutti gli oggetti y siano macchine, ed è vero che tutti gli oggetti sono neri inoltre ho che è vero "se è una macchina allora z è nera". Quest'ultima proposizione in z è vera in 3 sotto-casi:
] se z è una macchina allora è sicuramente nera (e questo si ha per forza perché se vale per ogni x Q(x) sto assedendo che ogni oggetto è nero in questo universo)
] se z non è una macchina ed è vero che è nera
] se z non è una macchina ed è falso che sia nera (questa non si realizza mai perché ogni oggetto è nero, quindi Q(z) falsa non esiste)
D'altra parte questi casi rendono automaticamente vero: ${forallz,{[[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))] ∧ P(z)]=>Q(z)}}$,
(analizziamone solo uno, cioè $(forally,P(y))$ falso, $(forallx,Q(x))$ vero e la z per cui P(z) è falso e Q(z) vero):
mettendo assieme in ${forallz,{[[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))] ∧ P(z)]=>Q(z)}}$ (*) ho che fissato z $ [(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))] ∧ P(z)]$ è falso e quindi (*) è automaticamente vera come volevo.
L'altro caso funziona similmente
- ragionamenti simili che non sto a trascrivere tutto per evitare pugni negli occhi ...

II=>I) svolto in modo analogo mi dice che ogni volta che II è vero I è vero
Quindi il se e solo se è vero

Qui ti vorrei chiedere, c'è un modo migliore di dimostrare questo <=>? E come


5)Esempi per questo caso:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dulcis in fundo, prendo $forallz,{[[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))] ∧ P(z)]=>Q(z)}$ e due casi/universi pragmatici che avevo messo in apertura thread che mi confondevano:
Di fatto consideran
* sia U:={tutti gli oggetti conosciuti dall'uomo} e P(x) e Q(x) le solite proposizioni sulle macchine.
Analizziamo la proposizione: è evidente che $[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))]$ sia vero perché non è vero che ogni y sia una macchina e quindi rende l'implicazione vera, ora per un fissato z dipende da z: è evidente che non ogni macchina è nera e quindi se P(z) è vera, cioè l'oggetto z è una macchina, non posso concludere alcunché su Q(z): implicazione falsa

* se prendo U:={macchine bianche}
$[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))]$ è falso, P(z) è per forza una macchina e non è nera. Quindi Q(z) falsa, l'implicazione è falsa.
Insomma, nulla di strano, è giusto che sia così.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Più di così non so fare

Quindi riassumendo:
- E' giusto quello che dico? Mi pare di sì come ragionamenti.

- $[(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))]=>(∀z,(P(z)⇒Q(z))$ questo mi viene falso, è giusto come risultato? Se il mio metodoper mostrarlo è sbagliato potrei chiederti come mostrare la falsità o verità di tale teorema?

- Io ho dimostrato questo per casi: $(∀z,(P(z)⇒Q(z))⇒[(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))]$ ma si può fare in modo più furbo? Se si come?

- ${[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))]=>(forallz,(P(z)=>Q(z))}$ I
<=>
${forallz,{[[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))] ∧ P(z)]=>Q(z)}}$ II
come dimostro questo in modo furbo? Il mio per casi mi sembra complesso da impazzire.

- ci sono modi per lavorare con questo tipo di dimostrazioni in modo che come regola riesco a ricavare i risultati sperati operando sui quantificatori ecc?

[otta96]

Attento, hai scritto una proposizione diversa dal messaggio originale, infatti lì hai scritto $p:[(forally, P(y)=>forallx, Q(x))]=>(forallz, (P(z)=>Q(z))$, mentre ora hai scritto $q:[(forally, P(y))=>(forallx, Q(x))]=>(forallz, (P(z)=>Q(z))$, che sono due cose completamente diverse¹.

OSS: un primo errore era dovuto al fatto che io ero abituato a teoremi (cioè dimosrare vede implicazioni) del tipo $forallx,(A(x)=>B(x))$ quindi non mi ero mai accorto che in effetti una proposizione dipende molto dall'universo in cui è "immersa".

Comunque quando non si esplicita dove sono quantificate le variabili, si sottintende che lo siano nello stesso insieme universo di riferimento, mica si cambia universo per ogni variabile della formula che è quello che hai fatto nel punto 1).

1) Inizo col dire che quello che pensavo un "teorema" vero mi accorgo che in realtà è falso: $[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))]$=>$(forallz,(P(z)=>Q(z))$

Qui viene utile l'osservazione che facevo, per essere vero questo teorema deve essere vero per tutti i tipi di universi U che vado a scegliere, infatti per alcuni universi tale proposizione è vera ma per altri falsa.

Tuttavia, inizialmente, credendo fosse vero ho pensato di dimostrarlo al solito: ci basta provare che supposta l'antecedente vera ho conseguente vera.

Facciamolo: avere $(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))$ vero può vuoler dire solo due cose separatamente:
-a- per qualunque scelta di y per cui P(y) sia vera, abbiamo Q(x) vera per ogni elemento x dell universo U; quindi varrà anche per y e ciò ci dice che P(y)=>Q(y).
Il conseguente vero si traduce in $forallz,(P(z)=>Q(z)$ vero, ma questo è ovvio perché basta prendere y=z e per la precedente è fatto.
-b- cambiando universo possiamo in altro modo avere antecedente vero nel caso in cui si abbia che ogni oggetto y di tale universo rende falsa P(y). Ne discende che $(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))$ è vera, tuttavia non è per forza vera $(forallz,(P(z)=>Q(z))$ potrebbe ad esempio esserci un universo in cui non tutti gli oggetti soddisfano P(y) e che non tutti soddisfano Q(x), avrei così l'antecedente della freccia rossa vero, però degli elementi z per cui P(y) è vero ma Q(x) no che rende $(forallz,(P(z)=>Q(z))$ falso: antecedente del teorema vero conseguente falso -> teorema falso.

Concludiamo quindi che non valendo per tutti gli universi, essendocene alcuni con antecedente vera e conseguente falso, allora il teorema è falso.

Qui hai scritto la $q$ ma hai ragionato sulla $p$ e hai cambiato universo a metà, non si fa
Ora, la $p$ è vera perchè se $EEyP(y)$, allora $Q$ è vera per tutti gli elementi e quindi banalmente è vero anche il conseguente. Se invece nessun elemento soddisfa $P$, il conseguente ha l'antecedente mai soddisfatto quindi è vero. Quindi tutto considerato $p$ è vero.
Mentre l'antecedente di $q$ non dà informazione su cosa succede quando non tutti gli elementi soddisfano $P$, che ci suggerisce che sia falso, e lo si può capire da un esempio, l'insieme universo sono dei conigli in un grosso recinto isolati, $P$ è "è femmina", $Q$ è "farà dei cuccioli". Ora, se sono tutte femmine, nessuna potrà fare dei cuccioli, ma se non sono tutte femmine di sicuro faranno cuccioli perchè ci sono anche i masci (Fibonacci docet).

2)vediamo degli esempi:
Consideriamo ora una realizzazione di questo teorema considerando delle proposizini e uiversi concreti, leggiamo quindi: P(t) come "l'oggetto t di U è una macchina" e Q(t) come "l'oggetto t è nero"

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

* sia U:={tutte e sole le macchine nere}:
comunque scelto un oggetto $y in U$ P(y) è vera, perché è infatti una macchina, d'altra parte Q(x) è vera anche per ogni x essendo tutte nere.
Sono proprio nel caso antecedente $(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))$ vero e mi aspetto dato il legame visto in -a- che sia vero. E infatti lo è perché in modo esplicito si vede che $(forallz,(P(z)=>Q(z))$: per ogni z se z è una macchina allora è nera.

* assumiamo ora un universo U:={macchine bianche e nere}
sono in un universo in cui $(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))$ è ora evidentemente falso, infatti P(y) è vero per ogni oggetto che seleziono, ma Q(x) non è vero per ogni x (tutti gli oggetti sono neri è falso); e che accade? beh non ci dice nulla sul conseguente l'implicazione infatti è sempre vera qualunque valore abbia $(forallz,(P(z)=>Q(z))$.
In questo caso: $(forallz,(P(z)=>Q(z))$ è falso perché se prendo una macchina non è assicurato che sia nera.

Qualche ragionamento in più:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

notavo però che il legame del primo punto -a- sopra analizzato è utile in questo contesto perché seppure quello scrito non sia un teorema, il punto -a- ci dà però un legame logico utile in certe circostanze.

Solitamente se io prendo A(x) piove e B(x) la strada è bagnata, allora $forallx,(A(x)=>B(x))$ se piove la strada è bagnata nel nostro universo è falso, ad esempio può piovere e esserci una galleria e la srada è bagnata.
Altra considerazione innteressante è che se non piove non possiamo dire nulla di conclusivo: la strada può essere bagnaa dalla notte di rugiada oppure asciutta.
Se ora mi metto in un universo in cui A(x) sia sempre vero, perché piove sempre, siccome abbiamo detto che il teorema è falso quando ho A(x) vera non so concludere se la strada sarà bagnata o meno, dipende infatti dal fatto se c'è la galleria.

Quando invece io considero le solite macchine col senso detto sopra $[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))]=>(forallz,(P(z)=>Q(z))$ sebbene questo teorema sia falso, se mi metto in un universo in cui è verò l'antecedente (cioè analogo al caso A(x)) vero appena visto) con la clausola che sia vero perché verifica P(x) e Q(x) allora automaticamente questo legame mi porta a poter concludere qualcosa sul conseguente in modo dissimile da B(x) della strada, perché qui trovo che in automatico $forallz,(P(z)=>Q(z))$ è vero e discende proprio dal legame esposto in -a-

Curioso

Giusto, ma il mio esempio mi piace di più

3) E' invece vero il teorema opposto: $(∀z,(P(z)⇒Q(z))=>[(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))]$

lo dimostro facilmente prendendo ogni tipo di universo possibile, cioè per casi:
I) universo in cui tutti gli y soddisfano P(y) e non tutti gli x soddisfano Q(x)
II) U in cui non tutti gli y soddisfano i P(y) e tutti soddisfano i Q(x)
III) U in cui non tutti gli y soddisfano i P(y) ma alcuni soddisfano i P(z) e tutti gli x soddisfano Q(x)
IV) U in cui non tutti gli y soddisfano i P(y) ma alcuni soddisfano i P(z) e non tutt gli x soddisfano Q(x) ma alcuni soddisfano Q(z)
... Insomma ho fatto tutte le combinazioni possibili e ogni volta che antecedente è vero ho conseguente vero, quindi è un teorema/implicazone vera quella scritta. (fatto per casi funziona quinidi è vero, spero sia giusto come metodo ma mi pare di sì). Al contrario di 1) questo è vero sempre per qualunque universo preso.

Ho fatto per casi perché ho provato a farlo per via diretta, cioè supponendo $(∀z,(P(z)⇒Q(z))$ vera provare che $[(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))]$ è vera ma non ci sono riuscito, non so se hai delle idee su come farlo te lo chiedo .

Non hai considerato tutti i casi possibili ma per fortuna non è veramente necessario, è molto banale in realtà se per ogni elemento vale $P=>Q$, allora se $P$ vale per tutti gli elementi, anche per $Q$ sarà altrettanto.

4) volevo poi dimostrare
${[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))]=>(forallz,(P(z)=>Q(z))}$ I
<=>
${forallz,{[[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))] ∧ P(z)]=>Q(z)}}$ II

Per farlo dimostro I=>II e II=>I supponendo l'antecedente vero e dimostrando che il conseguente lo è nei due casi.

I=>II) l'antecedente è vero in 3 casi per i quali si ha:
- $(forally,P(y))$ vero, $(forallx,Q(x))$ vero, $forallz,(P(z)=>Q(z))$ vero. Ma questo rende automaticamente vero II) infatti $forally,P(y))=>(forallx,Q(x))$ è vero ma essendo P(y) vero per ogni elemento è vero P(z), allo stesso modo Q(z) è vero e quindi II è vera.

- $(forally,P(y))$ falso, $(forallx,Q(x))$ vero, $forallz,(P(z)=>Q(z))$ vero. Concretizziamolo con le macchine:
ho un universo per cui è falso che tutti gli oggetti y siano macchine, ed è vero che tutti gli oggetti sono neri inoltre ho che è vero "se è una macchina allora z è nera". Quest'ultima proposizione in z è vera in 3 sotto-casi:
] se z è una macchina allora è sicuramente nera (e questo si ha per forza perché se vale per ogni x Q(x) sto assedendo che ogni oggetto è nero in questo universo)
] se z non è una macchina ed è vero che è nera
] se z non è una macchina ed è falso che sia nera (questa non si realizza mai perché ogni oggetto è nero, quindi Q(z) falsa non esiste)
D'altra parte questi casi rendono automaticamente vero: ${forallz,{[[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))] ∧ P(z)]=>Q(z)}}$,
(analizziamone solo uno, cioè $(forally,P(y))$ falso, $(forallx,Q(x))$ vero e la z per cui P(z) è falso e Q(z) vero):
mettendo assieme in ${forallz,{[[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))] ∧ P(z)]=>Q(z)}}$ (*) ho che fissato z $ [(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))] ∧ P(z)]$ è falso e quindi (*) è automaticamente vera come volevo.
L'altro caso funziona similmente
- ragionamenti simili che non sto a trascrivere tutto per evitare pugni negli occhi ...

II=>I) svolto in modo analogo mi dice che ogni volta che II è vero I è vero
Quindi il se e solo se è vero

Qui ti vorrei chiedere, c'è un modo migliore di dimostrare questo <=>? E come

Dato che l'antecedente di $q$ è completamente slegato dal conseguente, si può dimostrare molto più facilmente individuando una struttura tipo $R=>AAxP'(x)=>Q'(x)<=>AAx(P'(x)∧R)=>Q'(x)$, è vero per una manipolazione puramente formale.

5)Esempi per questo caso:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dulcis in fundo, prendo $forallz,{[[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))] ∧ P(z)]=>Q(z)}$ e due casi/universi pragmatici che avevo messo in apertura thread che mi confondevano:
Di fatto consideran
* sia U:={tutti gli oggetti conosciuti dall'uomo} e P(x) e Q(x) le solite proposizioni sulle macchine.
Analizziamo la proposizione: è evidente che $[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))]$ sia vero perché non è vero che ogni y sia una macchina e quindi rende l'implicazione vera, ora per un fissato z dipende da z: è evidente che non ogni macchina è nera e quindi se P(z) è vera, cioè l'oggetto z è una macchina, non posso concludere alcunché su Q(z): implicazione falsa

* se prendo U:={macchine bianche}
$[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))]$ è falso, P(z) è per forza una macchina e non è nera. Quindi Q(z) falsa, l'implicazione è falsa.
Insomma, nulla di strano, è giusto che sia così.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Più di così non so fare

Nel secondo esempio l'implicazione è VERA, perchè l'antecedente è falso.

Quindi riassumendo:
- E' giusto quello che dico? Mi pare di sì come ragionamenti.

- $[(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))]=>(∀z,(P(z)⇒Q(z))$ questo mi viene falso, è giusto come risultato? Se il mio metodoper mostrarlo è sbagliato potrei chiederti come mostrare la falsità o verità di tale teorema?

- Io ho dimostrato questo per casi: $(∀z,(P(z)⇒Q(z))⇒[(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))]$ ma si può fare in modo più furbo? Se si come?

- ${[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))]=>(forallz,(P(z)=>Q(z))}$ I
<=>
${forallz,{[[(forally,P(y))=>(forallx,Q(x))] ∧ P(z)]=>Q(z)}}$ II
come dimostro questo in modo furbo? Il mio per casi mi sembra complesso da impazzire.

- ci sono modi per lavorare con questo tipo di dimostrazioni in modo che come regola riesco a ricavare i risultati sperati operando sui quantificatori ecc?

Alle domande sopra ho risposto via via, all'ultima, si esiste ed è quello che accennava megas_archon.

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Note

1. mi ricorda questo ↑

[krakken]

Wow Grazie di cuore per la tua risposta. In questi giorni sto studiando molto queste cose perché assieme al tuo aiuto che mi stai dando son determinato a capirle anche se sono sicuramente il mio tallone d'achille.


Volevo rispondere alle tue utilissime osservazioni. Tra l'altro fin dall'inizio io avevo in mente la $q$ che hai scritto.

Ora, la p è vera perchè se ∃yP(y), allora Q è vera per tutti gli elementi e quindi banalmente è vero anche il conseguente. Se invece nessun elemento soddisfa P, il conseguente ha l'antecedente mai soddisfatto quindi è vero. Quindi tutto considerato p è vero.

qui però non hai cambiato universo? mi sembra che ne prendi uno in cui alcuni elementi soddisfano $P$ e un altro dove tutti non la soddisfano. Che mi sembra simile a quello che volevo fare.

Comunque quando non si esplicita dove sono quantificate le variabili, si sottintende che lo siano nello stesso insieme universo di riferimento, mica si cambia universo per ogni variabile della formula che è quello che hai fatto nel punto 1).
[...]
e hai cambiato universo a metà, non si fa

Mi è chiara la parte dove dici della quantificazione universale sottointesa e così la intendevo anche io. Quello che volevo dire nel punto 1) e con l'osservazioni era questo (e credo mi confonda ancora un poco). Provo a spiegarmi:
Quando io ho $∀x,(A(x)⇒B(x))$ per verificare se è vera l'implicazione, al solito, prendo A(x) vera e mostro che quando succede B(x) è vera. Seguendo le orme del tuo esempio: se x è madre, allora è femmina. Per cambiare il valore di verità di A(x) non devo cambiare universo, ad esempio se prendo l'universo "tutti gli esseri umani della terra" posso cambiare il soggetto x e verificare la veridicità di quella implicazione senza cambiare universo. Fin qui non ci piove.
Quando invece io prendo qualcosa tipo q $q:[(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))]⇒(∀z,(P(z)⇒Q(z))$ e mi si dicesse "è vera?" io dovrei dimostrare che quando è vero l'antecedente¹ $(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))$ è vero anche $∀z,(P(z)⇒Q(z)$, però come faccio a cambiare il valore di verità di (∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))? beh mi ero risposto che potevo farlo solo cambiando universo, perché nel singolo universo quella rimane in modo fisso o vera o falsa, contrariamente al caso delle madri.

Mi ero convinto dell'esattezza di questo modo di procedere perché se invece consideravo $(∀z,(P(z)⇒Q(z))⇒[(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))]$ notavo che invece a prescindere dall'universo era sempre vero! Al contrario di q.

Era questo discorso che mi ha portato a cambiare universo, invece se ho ben capito il discorso è su due piani:

A) se voglio dimostrare vera o non vera q, in un dato universo, posso: 1) fissare universo, 2) in quel fissato universo provo se quando è vero $(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))$ è vero anche $∀z,(P(z)⇒Q(z))$ e in quel fissato universo in base al fatto se succede dico: "in questo universo è vera", "in questo universo è falsa".

B) se voglio dimostrare che in ogni universo è vera, allora presa $(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))$ vera, cioè presi tutti gli universi in cui è vera valuto se è vero $∀z,(P(z)⇒Q(z))$. Se sono vere entrambe quando tutti gli universi che rendono vero il discorso allora è vera, se invece come capita considerando tutti gli universi c'è uno per cu antecedente è vera e conseguente falsa, posso affermare che non è sempre vera questa implicazione logica.

Spero di aver ben capito ora grazie alla tua spiegazione (?)

$(∀z,(P(z)⇒Q(z))⇒[(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))]$

Non hai considerato tutti i casi possibili ma per fortuna non è veramente necessario, è molto banale in realtà se per ogni elemento vale P⇒Q, allora se P vale per tutti gli elementi, anche per Q sarà altrettanto.

qui, per il discorso fatto sopra, se voglio provare che è vera in ogni universo posso procedere in due modi

1) per brute force come volevo fare io e provare tutti i casi (forse ne ho saltato qualcuno, ad esempio ragionando con macchine e oggetti ecc dovrei prendere tutte le combinazioni possibili di macchine, non macchine, colore nero, colore non nero combinati tra loro)

2) oppure come fai tu valuto quando l'antecedente è vero (al solito), e mi accorgo che il conseguente $[(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))]$ è automaticamente valido perché tu dici se vale $P(z)=>Q(z)$ è automaticamente vero che se per ogni oggetto y vale $P(y)$ allora applicando $P(z)=>Q(z)$ su ogni tale oggetto y, avrò che ogni oggetto di quell'universo verifica Q.
Però mi chiedevo non dovrei anche verificare che vera $(∀z,(P(z)⇒Q(z))$ sia vera anche $[(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))]$ quando $(∀y,P(y))$ è falso? Questo è tanto ovvio da tralasciarlo dal dirlo e lo capisco, però è giusto dire che anche questo caso concorre allo studio della verità della proposizione.


Ho detto giusti i due punti?

Dato che l'antecedente di q è completamente slegato dal conseguente, si può dimostrare molto più facilmente individuando una struttura tipo $R⇒∀xP'(x)⇒Q'(x)⇔∀x(P'(x)∧R)⇒Q'(x)$, è vero per una manipolazione puramente formale.

Ok qui in sostanza applichi $A=>B=>C <=> (A∧B)=>C$ però quello che non so maneggiare e ho sempre paura di farlo è il $∀$.
Mi sembra di capire che tu dici: $R⇒∀xP'(x)⇒Q'(x)$ e siccome R non dipende da nulla posso portarci il per ogni davanti senza danno? $∀x(P'(x)∧R)⇒Q'(x)$.
Quindi mi chiedo se avessi qualcosa tipo: $(forally(R(y)))⇒[∀xP'(x)⇒Q'(x)]$ varrebbe ancora: $∀x(forally(P'(x)∧R(y))⇒Q'(x)$?
insomma questa cosa non ho capito come e quando sfruttarla e il ragioamento che mi permette di portare il $forall$ davanti a tutto.

p e q

Vediamo, se ho ben capito il mio errore iniziale, sebbene in realtà fin da principio pensassi a q, volevo capire meglio la p, in sostanza
$p:[∀yP(y)⇒∀xQ(x)]⇒(∀z,(P(z)⇒Q(z))$ vuol dire scrivere $[∀y,(P(y)⇒∀xQ(x))]⇒(∀z,(P(z)⇒Q(z))$ giusto?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

OSS (non c'entra molto ma volevo lasciarla per completezza avendo disquisito di nolte cose in questo 3D): di $∀y,(P(y)⇒∀xQ(x))$ è interessante notare una curiosità, che se ho una y che soddisfa P in quell'universo non possono esistere altri elementi che non soddisfino P, perché se trovo una macchina e verifico che tutti gli oggetti sono neri è vero per un elemento y, allora non può esistere una macchina (e in generale un oggetto) che non sia nera in automatico, infatti per rendere falsa la proposizione avrei bisogno di una macchina bianca, ma se vale la proposizione anche solo una volta non potrà esistere alcuna macchina bianca (essendo tutte nere); mentre di solito in un universo in cui piove e ci sono strade bagnate e asciutte, se dico ad esempio piove => la strada è bagnata, se trovo un caso in cui piove e la strada è bagnata può accaderne anche uno che piove e non è bagnata in quell'universo, non si escludono a vicenda. Bellissimi tutti sti legami, non ci avevo mai ragionato troppo.

Qui hai scritto la q ma hai ragionato sulla p

qui mi sa che non ho capito nemmeno cosa ho detto io Cerco di spiegarti la mia idea.
$q:[(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))]⇒(∀z,(P(z)⇒Q(z))$ io in verità volevo ragionare su questa.

Ora, quando scrivevo

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x)) vero può vuoler dire solo due cose separatamente:
-a- per qualunque scelta di y per cui P(y) sia vera, abbiamo Q(x) vera per ogni elemento x dell universo U; quindi varrà anche per y e ciò ci dice che P(y)=>Q(y).
Il conseguente vero si traduce in ∀z,(P(z)⇒Q(z) vero, ma questo è ovvio perché basta prendere y=z e per la precedente è fatto.

non vorrebbe dire:
- [per qualunque scelta di y per cui P(y) sia vera] = "∀y,P(y)"
- [abbiamo] = "=>"
- [Q(x) vera per ogni elemento x di U] = "∀x,Q(x)"
Io la leggevo così, quindi non riesco bene a capire l'errore per cui dici che "ragionavo su p", mi indichieresti dove? Non riesco a vederlo

Quindi nel punto -a- volevo dire questo: se è vero che "ogni oggetto nel mio universo è una macchina allora ogni oggetto del mio universo è nero" allora sicuramente è vero che $(∀z,(P(z)⇒Q(z))$="se il mio oggetto z fissato è una macchina allora è nero"
Il ragionamento che volevo fare era questo e mi sembra utile per $q$ (non per $p$). Sbaglio?

Allo stesso modo, cambiamo universo: -b- ho antecedente vero nel caso in cui si abbia che ogni oggetto y di tale universo rende falsa P(y). Ne discende che (∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x)) è sempre vera (anche qui mi sembra di trattare $q$) no? .


Ultimo ma non ultimo, non so davvero come ringraziarti per il tuo aiuto, è stato ed è fondamentale poterne parlare con qualcuno. Mi hai fatto capire tantissime cose! Prometto che se dovrò scrivere altri messaggi sarò più conciso possibile.

PS ho visto il video, ho riso

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Note

1. o almeno questa è stata la mia idea ↑