BayMax ha scritto:Buonasera a tutti !
Oggi vi chiedo aiuto per calcolare il periodo di una funzione applicando la definizione: $f(x+T)=f(x)$ oppure $f(x+kT)=f(x)$, che dir si voglia.
La funzione è la seguente: $ln(4sin^2(x)+4sin(x)+1)$.
Dal grafico si evince facilmente che questa è una funzione periodica di periodo $T=2pi$. Il mio scopo, però, è dimostrarlo in modo algebrico utilizzando la definizione di funzione periodica. Ora, andando a sostituire $x+T$ nella precedente funzione ed eguagliandola alla funzione di partenza, ottenendo $ln(4sin^2(x+T)+4sin(x+T)+1)=ln(4sin^2(x)+4sin(x)+1)$, ho scritto una marea di calcoli senza riuscire a semplificare l'equazione né a raggiungere l'obiettivo. Evito di scrivere tutti i calcoli fatti per motivi di lunghezza e spero vi fidiate di me quando dico che ci ho davvero provato
. Ho tentato di trasformare il $sin^2(x)$ utilizzando le formule di duplicazione, ho tentato usare le formule di addizione del seno e poi svolgere i quadrati, ma nulla, i calcoli si sono complicati sempre più invece di semplificarsi.
Pertanto chiedo a qualche anima pia, disposta a cimentarsi in calcoli noiosi e molto poco stimolanti, di aiutarmi nei passaggi per arrivare a calcolare il periodo.Grazie sin da ora a quanti risponderanno
Saluti
BayMax
Appunto, calcoli noiosi di certo...e forse non troppo utili. Potresti dimostrare, estendendo in sostanza il suggerimento che ti è stato dato da axpgn, piuttosto, che
"se $f$ e $g$ sono due funzioni componibili con $f$ periodica di periodo $T$, allora la funzione composta $g\circ f$ ammette $T$ come (un) suo periodo".
Un caveat però: che definizione usi di "periodo"? Quando diciamo che $2\pi$ è
il periodo della funzione seno, diciamo qualcosa che è un po' di più che dire che valgono le (infinite) uguaglianze $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$ per ogni $x\in\RR$; infatti è altrettanto vero che $\sin(x-6\pi)=\sin(x)$ per ogni $x\in\RR$, eppure non diciamo che $-6\pi$ è "il" periodo della funzione seno (potremmo, al più, dire che $-6\pi$ è
un periodo di $\sin$)...
il periodo dovrebbe avere una certa proprietà di "minimalità" in un senso opportuno.
Se provi a dimostrare il fatto sulla (pre)composizione con una funzione periodica, considera anche il caso il cui la funzione esterna (la $g$) sia costante...
Nel tuo esempio $g(t)=\ln(4t^2+...)$, mentre $f(x)=\sin(x)$...
In generale, anche se la domanda può apparire sensata, di solito, se possibile, non ci si mette a cercare il periodo di una
generica funzione $f$ introducendo un'incognita $T$ e cercando di risolvere il
sistema di infinite equazioni simultanee$f(x+T)=f(x)$ per ogni $x\in\RR$ (diciamo per semplicità, almeno, che il dominio della generica $f$ sia $\RR$, anziché un generico "insieme $T$-periodico" )...non è il modo migliore di passare il pomeriggio, via