Un risultato sorprendente: $\frac{\phi^5}{2}$, dove $\phi$ è il rapporto aureo!

[marcokrt]

Riguardando un paper che ho pubblicato nel 2021 (mi riferisco alle pagine 164 e 165 https://ejournal2.undip.ac.id/index.php/jfma/article/view/12053), mi accorgo di un risultato che mi ha fatto cadere la mandibola sul pavimento: la soluzione del problema di ottimizzazione in 3D che sto per esporvi sarebbe proprio $\frac{\phi^5}{2}$, con $\phi := \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, cioè il celeberrimo rapporto aureo!

Problema: Nel solito spazio euclideo tridimensionale, sia dato il cubo di lato unitario $[0,1]^3$ e (tanto per cambiare) ci proponiamo di unire tutti i suoi $8$ vertici usando una spezzata composta da sole $6$ linee, cioè una poligonale (anche aperta) fatta da $6$ segmenti rettilinei consecutivi, connessi ai rispettivi punti finali. Ora, sotto il suddetto vincolo, l'obiettivo è quello di ridurre al massimo il volume della scatola che contenga tale poligonale di $6$ segmenti, ma vogliamo una scatola con le facce orientate proprio come quelle del dato cubo, un cosiddetto "axis-aligned bounding box".

Risultato "strabilianteh" (come direbbe un noto personaggio con le antenne di Dragon Ball): Chiamando $\phi$ il rapporto aureo e ammettendo che la nostra poligonale possa anche intersecarsi da sola in qualche punto (non in corrispondenza con i vertici del cubo), la miglior soluzione di una certa classe che si deriva è data per esempio da $$(0,1,0)-(0,0,0)-\left(\frac{1+\phi}{2},0,\frac{1+\phi}{2}\right)-\left(\frac{1}{2},1+\phi,\frac{1}{2} \right)-\left(\frac{1-\phi}{2},0,\frac{1+\phi}{2} \right)-(1,0,0)-(1,1,0).$$
Ne consegue che il volume dell'AABB relativo è $(\frac{1+\phi}{2}-\frac{1-\phi}{2}) \cdot (1+\phi) \cdot (\frac{1+\phi}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \phi \cdot (1+\phi)^2 = \frac{\phi^5}{2}$.

Domanda: Qualcuno ha idea della ragione profonda per cui partendo da un problema di ottimizzazione in 3D esca fuori una soluzione del genere, con una potenza quinta del rapporto aureo? Capisco che, essendo $\sqrt{5} = \sqrt{1^2+2^2}$, ci si possa aspettare che tale irrazionale compaia ogni qual volta si lavori con le diagonali di un rettangolo di lati $1$ e $2$, ma il salto che si ha trasportando lo stesso problema da $2$ a $3$ dimensioni ai miei occhi inatteso: in $2$ dimensioni la soluzine è banalmente una poligonale del tipo $(1,0)-(0,0)-(0,1)-(1,1)$ contenuta nel quadrato $[0,1]^2$ di area è $1$, ma salendo di una dimensione fioriscono rapporti aurei a iosa.

[megas_archon]

Non è poi così sorprendente che una costante che appare come limite di un processo iterativo appaia, poi, anche come limite di altri processi iterativi. Per esempio, una soluzione dell'apparentemente innocente equazione differenziale \(y'(x)=y^{-1}(x)\) è \(y(x)=\frac 1{\sqrt[\varphi]\varphi}x^\varphi\). (Dove chiaramente, \(\sqrt[\varphi]\varphi\) è solo una zolletta sintattica per dire \(e^{\frac 1\varphi\log\varphi}\))

Quando ti si rimette a posto la mascella, puoi provare a capire perché...

[marcokrt]

Non è poi così sorprendente che una costante che appare come limite di un processo iterativo appaia, poi, anche come limite di altri processi iterativi. Per esempio, una soluzione dell'apparentemente innocente equazione differenziale \(y'(x)=y^{-1}(x)\) è \(y(x)=\frac 1{\sqrt[\varphi]\varphi}x^\varphi\). (Dove chiaramente, \(\sqrt[\varphi]\varphi\) è solo una zolletta sintattica per dire \(e^{\frac 1\varphi\log\varphi}\))

L'osservazione è molto interessante (sullo sviluppo iterativo in frazioni continue di $\phi$ ci feci anche una live, magari ti riferivi proprio a quello che accenno attorno al minuto 15:30 qui https://www.youtube.com/watch?v=inB7dD_rM2s... una curiosità ulteriore è che $\phi$ ha la convergenza più lenta possibile da quel punto di vista), ma a un livello più di effetto che di causa ci vedo lo zampino delle proprietà che rendono interessante questa costante: che so, il fatto che $\frac{1}{\phi} = \phi - 1$ e quindi si può salire/scendere un gradino nella gerarchia degli iperoperatori a seconda di come si vuole esprimere una relazione algebrica in cui compare il rapporto aureo.
Sono fuso a quest'ora, magari domani ci ragiono con più calma.

[marcokrt]

Ok, forse ho finalmente trovato un nesso più puntuale, parlando nello specifico di $\phi^5$ che è un intero in $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ (per quello che vale, per dire... già in $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ possiamo scrivere $42^3$ come somma di due cubi di altrettanti interi dell'insieme $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$), ma questo richiama direttamente un'altra costante d'interesse, eccola qui: https://mathworld.wolfram.com/HardHexagonEntropyConstant.html.