Io, come sempre, per far prima, preferisco seguire una mia strada risolutiva: scrivendo i tre contributi, se non erro,
$ { ( i_{C_1} = -\frac{3}{2} v_{C_1} - \frac{1}{2} v_{C_2} +3/2 e^{-3t }),( i_{C_2} =- \frac{1}{2} v_{C_1} - \frac{3}{2} v_{C_2}+3/2 e^{-3t } ):} $
Vista la perfetta simmetria, avremo che $v_{C_1}=v_{C_2}$; di conseguenza basterà risolvere una sola equazione differenziale del primo ordine
$ i_{C} = -2 v_{C} +3/2 e^{-3t } $
per l'evoluzione libera avremo quindi un solo autovalore $\lambda=-2$ mentre per la risposta forzata, che sarà del tipo $A e^{-3t}$, potremo facilmente ottenere $A=-3/2$, ne segue che
$v_C(t)=B e^(-2t)-3/2 e^{-3t }$
che con la condizione iniziale
$v_C(0)=0$
porterà a
$v_C(t)=3/2 e^(-2t)-3/2e^(-3t)$
per concludere
$v_u(t)=v_1-v_g+v_2=2v_C-v_g=3e^(-2t)-4e^(-3t)$