Dubbio rappresentazione grafica dominio 2 variabili

[Marco1005]

Buona sera
Ho un piccolo dubbio sulla rappresentazione grafica di questo dominio di funzione in due variabili:
$f(x,y)=sqrt(x^2-4x-21)+(x-3)/(7x^2-49x)$
Impongo che l’argomento della radice sia maggiore o uguale a zero
Risolvo la disequazione trovando che le due soluzioni sono $x_1=-3$ e $x_2=7$
Pertanto il polinomio può essere riscritto come $(x+3)(x-7)>=0$
Analizzo separatamente il segno dei due fattori della moltiplicazione ottenendo che l’argomento della radice è positivo per numeri $x<=-3$ V $x>=7$
Per il denominatore della fratta lo impongo diverso da zero ottenendo
$x!=0$ e $x!=7$
Incrociando le soluzioni a sistema ottengo che ai fini della sopravvivenza della funzione, le zone di piano che rispettano le condizioni appena riportate sono tutte quelle a sinistra di $x=-3$ compreso, e tutte le zone a destra di $x=7$ non compreso
Corretto come ragionamento?
Grazie mille come sempre

[mgrau]

Ma perchè la chiami funzione di due variabili?

[Marco1005]

Ma perchè la chiami funzione di due variabili?

è un'esercitazione scritta dalla prof della mia alunna, l'ho copiata pari pari

[Mephlip]

@Marco1005: Se veramente la professoressa intende quella come funzione di due variabili, il procedimento che hai effettuato è corretto ma la conclusione sul dominio naturale di \(f\) è sbagliata. Prova a riflettere un po' sul perché.

Invece, se è un errore di battitura e la funzione è di una variabile, è tutto corretto.

[Marco1005]

@Marco1005: Se veramente la professoressa intende quella come funzione di due variabili, il procedimento che hai effettuato è corretto ma la conclusione sul dominio naturale di \(f\) è sbagliata. Prova a riflettere un po' sul perché.

Invece, se è un errore di battitura e la funzione è di una variabile, è tutto corretto.

Da vedere così effettivamente la y non compare, quindi non si capisce per quale motivo dovesse essere scritta come $f(x,y)$.
Il dominio naturale di funzioni a due variabili è $R*R$, penso centri con questo giusto?
in questo caso dovrei inserire anche la varabile y se la prof la intende come funzione di due variabili?
Grazie mille

[Mephlip]

Prego! No, usualmente con dominio naturale si intende "il più grande insieme in cui la funzione esiste". Quindi, ad esempio, \(g(x,y)=x+\log y\) non ha dominio naturale \(\mathbb{R}^2\) ma \( \mathbb{R} \times (0,+\infty)\).

Sempre supponendo che la professoressa intendesse veramente una funzione di due variabili indipendente dalla \(y\) e che \(f\) sia una funzione di variabili reali, dato che la variabile \(y\) non compare la \(f\) ha senso qualsiasi sia \(y \in \mathbb{R}\). Quindi, il dominio naturale di \(f\) è \(\left((-\infty,-3] \cup (7,+\infty)\right) \times \mathbb{R}\). In sostanza, il dominio naturale di \(f\) è formato da due parallelepipedi infiniti: quello che ha come frontiera il piano di equazione \(x=7\) escluso e quello che ha come frontiera il piano di equazione \(x=-3\) incluso.

Brutalmente: dato che \(y\) può variare come vuole in \(\mathbb{R}\), una volta che hai stabilito quali sono le condizioni su \(x\) graficamente devi "trascinare" l'insieme corrispondente alle condizioni su \(x\) lungo tutto l'asse \(y\) (questo, graficamente, significa che \(y\) è libera di variare in \(\mathbb{R}\)). Quindi, pensando l'asse \(y\) come quello perpendicolare allo schermo del tuo computer, devi "trascinare" semipiani da te disegnati in verde sia verso di te sia oltre lo schermo del tuo computer; formi così i parallelepipedi sopraccitati. Spero di essermi spiegato.

[@melia]

Non sono d’accordo con le risposte date. Marco deve disegnare il Dominio della funzione in due variabili. Quindi deve disegnare nel piano $RR^2$ l’intervallo $(-oo,-3]uu(7,+oo) times RR$ che sono appunto le due strisce evidenziate.

[Mephlip]

Ha ragione @melia: per qualche contorto motivo, nella mia testa stavo pensando al grafico di una funzione costante avente lo stesso dominio di \(f\) invece di rappresentare il dominio di \(f\). Scusa per la confusione, Marco1005.

[Marco1005]

Grazie mille per le risposte. ricapitolo sempre per i miei neuroni che non vedono l'ora di andare in ferie
Se la prof intende la funzione in 2 variabili allora devo aggiungere al dominio anche $R$ riferita alla variabile y, mentre se è stato un errore il dominio riporta solo le condizioni relative alle x.

[@melia]

Esatto