8 punti e 6 linee (solo per i più bravi)

[marcokrt]

Vi propongo un problema inedito che coniuga più abilità e richiede anche tecniche standard (da liceo) per raffinare poi il tutto... non ho lavorato a una dimostrazione che la mia risposta sia la migliore possibile e (anche se ne dubito) potrebbe rivelarsi non ottimale (nel dubbio non ve la fornirò proprio e darò solo un bound per valutare se qualcuno abbia trovato di meglio).

Problema: Si consideri un cubo (nello spazio Euclideo) di vertici \((0,0,0) \), \((1,0,0) \), \((0,1,0) \), \((0,0,1) \), \((1,1,0) \), \((1,0,1) \), \((0,1,1) \) e \((1,1,1) \). Il nostro vincolo è di unire tutti gli \(8 \) vertici suddetti tramite una spezzata composta da esattamente \(6 \) segmenti (connessi ai loro punti finali) e non solo... dobbiamo pure farlo minimizzando la lunghezza totale dei \(6 \) segmenti utilizzati!
Per ovvie ragioni, non sarebbe troppo furbo non partire da un vertice del cubo per terminare in un altro vertice, ma non ci sono vincoli di sorta (non è richiesto di chiudere un circuito, di non usare punti esterni al cubo stesso come nodi della spezzata e via dicendo).

Anticipo che la mia soluzione è un path (percorso che non visita mai due volte alcun vertice) di lunghezza approssimata \( 11.1 \) unità (per non spoilerare formule rivelatrici).

Consiglio di prendersi del tempo per ragionarci, immagino non sia facile già immaginarsi una spezzata composta da meno di \( 7 \) linee che passi per gli \(8 \) vertici di un cubo, eppure si tratta solo del punto di partenza qui...
Buon divertimento e buon inizio settimana!

[marcokrt]

P.S. La prima soluzione nota che unisse i vertici di un cubo con una spezzata di \( 6 \) linee è stata proposta da Koki Goma, dal Giappone, che nell'agosto 2021 evidenziò un errore in una sequenza della OEIS che avevo inviato in precedenza... non era una poligonale ottimale sotto altri profili, ma il fatto che fosse di soli \( 6\) segmenti mi colpì molto per intuizione, al punto da ispirare prima un paper e poi un preprint successivo di cui sono mero coautore e in cui dimostriamo costruttivamente che in generale, per unire tutti i vertici di un ipercubo \(k\)-dimensionale con una spezzata, questa deve essere composta da almeno \( 3 \cdot 2^{k-2} \) segmenti e che questo valore è anche sufficiente per ogni \(k > 1\).
Come se non bastasse, lì proviamo anche che una spezzata composta da \( 3 \cdot 2^{k-2} \) segmenti è sempre in grado di realizzare un ciclo (cioè un percorso chiuso che passi su tutti i vertici una e una sola volta, tornando poi nel punto di partenza).

[marcokrt]

Visto che nessuno ha risolto il problema (ringrazio comunque gugo82 per aver risposto nel thread "Problema di minimizzazione con un triangolo rettangolo"), fornisco le coordinate che definiscono univocamente la mia poligonale di lunghezza euclidea minima formata da soli $6$ segmenti:
$(0,0,1)-(0,0,0)-(1+\frac{x+2+\sqrt{2}}{2\cdot\sqrt{2}\cdot(x+\sqrt{2})},1+\frac{x+2+\sqrt{2}}{2\cdot\sqrt{2}\cdot(x+\sqrt{2})},0)-(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1+\frac{x}{\sqrt{2}})-(- \frac{x+2+\sqrt{2}}{2\cdot\sqrt{2}\cdot(x+\sqrt{2})},1+\frac{x+2+\sqrt{2}}{2\cdot\sqrt{2}\cdot(x+\sqrt{2})},0 )-(1,0,0)-(1,0,1)$
dove
$x := 1/2 sqrt((2/3)^(2/3) \cdot (9 + sqrt(177))^(1/3) - 4 \cdot (2/(3 (9 + sqrt(177))))^(1/3)) + 1/2 sqrt(4 \cdot (2/(3 (9 + sqrt(177))))^(1/3) - (2/3)^(2/3) \cdot (9 + sqrt(177))^(1/3) + 4 \cdot sqrt(2/((2/3)^(2/3) \cdot (9 + sqrt(177))^(1/3) - 4 \cdot (2/(3 (9 + sqrt(177))))^(1/3)))) = 1.59792093355003207476470535078046555882788360 \ldots$.

Abbiamo pertanto che la lunghezza euclidea totale della suddetta poligonale ottimale è pari a $2\cdot (1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{2+\sqrt{2} \cdot x}{2} \cdot ( \frac{1}{x} + \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}) ) \approx 11.105251123065331797359171121524195.$

N.B. La formula che esprime il valore di $x$ può chiaramente essere semplificata, ma non ne ho voglia e forse così è anche più chiaro tutto il procedimento di derivazione (che ha comunque ottimamente illustrato gugo82 nel thread menzionato a inizio post).