@otta96: vorrei poterti fare una domanda su questa discussione perché c'è una cosa che non capisco e trovo utile capire
"Un insieme E è chiuso se e solo se per ogni successione in E che converga in X, il suo limite appartiene ad E"
tuttavia da altre fonti ho trovato questa caratterizzazione:
"Sia E contenuto in X, $forall X$ x appartiene alla chiusura di e se e solo se è limite di una successione a valori in E". Oss: La chiusura di E coincide dunque con l’insieme di tutti i possibili punti limite di successioni in E
D'altra parte per ancora un'altra caratterizzazione: "un sottoinsieme $C ⊆ X$ è chiuso sse coincide con l’insieme di tutti i suoi punti aderenti, ossia $C = ¯C$"
Quindi cosa posso dedurre, beh che E è chiuso se e solo se ogni suo punto è limite di una successione a valori in E.
indico con E' la chiusura di E.
Da una parte di dice che $E$ è chiuso <=> per ogni $x_n->x => x in E)$ (*)
D'altra parte da "$forall x, x in E' <=> ∃x_n : x_n->x $" , possiamo trovare la caratterizzazione
"$E$ chiuso <=> $forall x, ∃ x_n : x_n->x"<=>x in E' $" (**)
Ora, se io prendo le $x_n$ che convergono a $x$ (cioè prendo le $x_n->x$) ciò vuol dire che prendo tutte le xn legate a una certa x, quindi dire "per ogni ($x_n->x$)" è come dire "per ogni x, $x_n->x$".
E quindi mi pare di poter riscrivere la (*) con questa sostituzione:
$E$ è chiuso <=> per ogni x, $x_n->x => x in E$", ma questo sarebbe palesemente simile a (**)
"$E$ chiuso <=> $forall x, ∃ x_n : x_n->x"=>x in E' $", solo che mandante del <=, che invece ci andrebbe.
Vuol dire quindi che sbaglio ma non ho capito cosa.